云南省昆明市官渡区第一中学2025-2026学年高一上学期期中数学试题

16.(15分) 昆明市官渡区第一中学教育集团2025-2026学年上学期期中考试 高一数学（答题卡） 姓名 班级 缺考标记口 1答题，考生先将自已的姓名、准考证号填写清，井 旅相应的考号信息点。 填 正确填 必 2选样是必须使用2笔填：解答必须使用围色水 的签字笔书写，不得用卧宅或得殊笔作解物题：字体工整 条形码 3请按调思号顺序在各题目的容题区减内作答，加出容题区 城书写的答无效：在草纸，试题在上答题无效 保持面清洁，不要新叠，不要弄破。 单选题(18题，每题5分) 二多选题（⑨11题，每题6分.少选得部分分，多选得0分.】 1ANB)[c116NE1[o]D】 9EAJB][CJ[D】 2 [AJ [B][c]Do] 7 CA][B][C][D] 10 CA][B][C][D] 3 Lo] 11 [AJ [B][C]CD] 4 LAJ [B][C]DD] 5 [AT [B][c][0] 三、填空题：（每题5分，共15分） 12. 13. 17.(15分) 14 四、解答题：（共77分） 15.(13分) 18.(17分) 19.(17分) 2昆明市官渡区第一中学教育集团高一年级2025-2026学年上学期期中考试 数学试卷 (试卷满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合 题目要求的.) 1.已知集合A={x∈N*|x20},B={xx<5},则AOB=() A.{0,1,2,3,4} B.1,2,3,4} C.{1,2,3,4,5} D.{0,1,2,3,4,5} 2.命题“x>-1,x3+2x2-1>0”的否定是() A.3x≤-1，x3+2x2-1>0 B.3x>-1,x3+2x2-1≤0 C.x≤-1，x3+2x2-1>0 D.x>-1,x3+2x2-1≤0 3.下列各组函数表示相同函数的是() A.f(x)=Vx2,g(x)=(x)2 B.f()-x-bg() C.f(x)=Vx+1-L,g(x)=V2-1 D.f(x)=2x+1,g(t)=2t+1 4.使2x+≥1成立的一个充分不必要条件是() 1-x A.x≤0或x≥1 B.0<x<1 C.0≤x<1 D.0≤x≤1 5,已知边长为1的正方形ABCD,E为CD边的中点，动点P在正方形ABCD边上沿A→B→C→E运动，设点P 经过的路程为x,VAPE的面积为y,则y关于x的函数的图像大致为() B 2.5 2.5 6.已知a=22,b=0.42,c=0.151,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a (2a-1)x+4a,x<1 7.已知函数f(x)= 是R上的增函数，则a的取值范围是() x2-ax+5,x21 B别 C.[2,+o∞) D.[1,2] 8.已知正实数x,y满足y+x+2y=6,则x+2y的最小值是() A.2√2+2 B.4 C.5 D.2√5 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.) 答案第1页，共4页 9.下列命题正确的有() A.若a>b,则ac>bc B.若a<b<0,则a2>b2 C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b>0,c>0,则2<b+c a+c 10.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三 大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数， 例如[©]=2，[-1.8]=-2，定义函数f(x)=x-[x],则下列说法正确的是() A.函数f(x)的最大值为1 B.函数f(x)的最小值为1 C.函数f(x)在(-2，-1)上递增 D.f(x+1)=f(x) 11.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为M,则下列说法正确的是() A.若M=0,则a<0且b2-4ac<0 B.若a=b-c 吉。)。，则关于x的不等式a2+br+c>0的解集也为M C.若M={x-1<x<2},则关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为N={x|x<0或x>3} D.若一元二次函数y=ar2+br+c的值域为[0，+)，且a<b,则0+3b+4c的最小值为5+25 b-a 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12.已知函数f(x)=〈 0,题一 3.若x€R,2+:<0是真命题，则实数k的取值范围是·（结果用集合表录 4.已知函数=f+山-3为奇函数，8国四)与g(四的图像有8个交点，分别为 (x,),(x2,y2)…(g,8),则(y+y2+3+y4+y+y6+y,+)-(x1+x2+x+x4+x+x6+x,+x)= 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知集合A={xx2-2x-3<0},B={x|3m<x<1-m. (I)若m=-1,求B中所有整数元素组成集合的非空子集的个数； (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围. 答案第2页，共4页 16.(15分)已知幂函数f(x)=(k2+k-1)x(k∈R)在区间(0，+∞)单调递增 (1)求k的值： (2)若函数g(x)=f2(x)+mf(x),x∈[1,2]，则是否存在实数m,使得g(x)的最小值为4？若存在，求m的值；若 不存在，说明理由 17.(15分)由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医 疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势.某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某 产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产x台该产品，需另投入成本G(x)万元， x2+x,0≤x≤40， 且G(x)= 101x+250-10,40<x≤80：当年产量为10台时，需另投入成本50万元.由市场调研知，每台该产 品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. ()求出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式（利润=销售收入-成本）： (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 答案第3页，共4页 1区7分话数)-护是定义在(1)上的奇函数，且)号 (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断f(x)在(-1,1)上的单调性，并用定义证明： (3)求满足不等式f(t-1)+f()<0的t的取值范围. 19.(17分)对于四个正数m、n、P、9,若满足g<p,则称有序数对(m,n)是(p,q)的下位序列. (1)对于2、3、7、11，有序数对(3,11)是(2,7)的“下位序列吗？请简单说明理由： 2设a、b、c、d均为正数，且a,b)是Gd)的下位序列，试判断分分“之何的大小关系，并说理 (3)设正整数n满足条件：对集合{m0<m<2024,m∈N}内的每个m,总存在正整数k,使得(m,2024)是(k,n)的下 位序列”，且(k,n)是(m+1,2025)的下位序列”，求正整数n的最小值. 答案第4页，共4页高一上学期期中数学参考答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B B B BCD CD 题号 11 答案 CD 1.B 【分析】根据交集的运算法则，结合正整数集的含义求解即可 【详解】由A={x∈N*x≥0}，B={xx<5},得A∩B={1,2,3,4}. 故选B. 2.B 【分析】利用全称量词命题的否定可得出结论， 【详解】命题“x>-1,x3+2x2-1>0”为全称量词命题， 该命题的否定为“x>-1,x3+2x2-1≤0” 故选：B 3.D 【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同，依次判断各项中两个函数是否为同一函数即可. 【详解】A:∫(x)=VF的定义域为R,g(x)=(W)的定义域为[0，+o),不是同一函数： B:八)=x-1的定义域为R,g()=-1的定义域为(0U0+,不是同一函数： C:f(x)=+1k-1的定义域为l,+o),g(x)=V2-1的定义域为(-o,-U,+o),不是同一函数： D:f(x)=2x+1,g(t)=2t+1的定义域均为R,且对应法则相同，为同一函数. 故选：D 4.B 【分析】解不等式求出2x+1≥1的充要条件，利用充分必要条件概念判断。 1-x 【详解】2+≥1，即3x≤0，等价于 3x(x-1)≤0 1-x x-1 x-1≠0 ，解得x∈0,1)， 所以2+之1的充要条件为0≤x<1, 1-x 使2x+≥1”成立的一个充分不必要条件是0<x<1. 1-x 故选：B. 5.A 【分析】根据题意求y与x的函数关系式，进而可得结果， 答案第1页，共9页 【详解】当动点P在正方形ABCD边上沿A→B运动时， 则VAPE的面积为y=xx1=),0<xs1: 2 当动点P在正方形ABCD边上沿B→C运动时， 则vE的面积为y+写》1-宁-11-分-x上片6-r<2: 1 2 当动点P在正方形ABCD边上沿C→E运动时， 则v4PE的面积为y=仔-火162x2s<25: x,0<x≤1 所以y= (3-xx,1<x<2，所以A正确，BCD错 45-292s<25 故选：A 6.A 【分析】根据幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为y=x02在R上单调递增，所以22>0.42，即a>b, 又因为0.402=(0.4)=0.161，又且y=x1在0，+o)上单调递增， 所以0.161>0.150.1，b>c,所以a>b>c. 故选：A. 7.B 【分析】根据分段函数的单调性列不等式组求解即得 [2a-1>0 【详解】依题意，需使 1 2 ,解得<as, (2a-1)+4a≤1-a+5 即a的取值范围为 21 故选：B 8.B 【分析】由题意得x=8-2,代入x+2y得x+2y=8+20+)-4,再由均值不等式即可求解 y+1 y+1 【详解】由y+x+2y=6有：x=6-2y-8 -2, y+1y+ 所以x+2y=82+2y=8+20+1）4≥2 /8 y+1 y+1 ×2+14=8-4=4, y+1 答案第2页，共9页 旦仅当v2y+,即y=时，等号成立 故选：B. 9.BCD 【分析】根据不等式的性质，利用作差法，举反例等方法逐一判断各选项即可. 【详解】对于A,若取c=0,则ac=bc=0,故A错误； 对于B,由a<b<0可得Iab1,即可得a2>b2,故B正确； 对于C,由ac2>bc2可得c2>0,由不等式性质，可得a>b,故C正确； bb+c b(a+c)-ab+c)cb-a) 对于D,由 aa+c a(a+c)a(a+c)' 因a>b>0,c>0,则c(b-a)<0,a(a+c)>0, 故2b+c<0,即得仁<+C,故D正确。 aa+c aa+c 故选：BCD 10.CD 【分析】根据高斯函数定义分析函数∫(x),判断各选项. 【详解】对于A、B:根据定义，[x]表示不超过x的最大整数， 所以当x是整数时，[]=x,f(x)=x-x]=0, 当x不是整数时，设x=n+t,其中n=[x],t∈(0,1)， 所以f(x)=t∈(0，)，所以f(x)∈[0，)，故A错误，B错误： 对于C:当x∈(-2，-1)时，[x]=-2,f(x)=x-[x]=x+2是增函数，C正确： 对于D:因为[x+=[]+1, 所以f(x+1)=(x+1)-[x+=x+1-[x]-1=x-[x]=f(x),D正确： 故选：CD 11.CD 【分析】对于A项，利用一元三次不等式的性质可知A错误：对于B项，令。=名=！≠0，当1<0附，不 等式ax2+bx+c'>0的解集不为M,B不正确；对于C项，根据M求出b=-a,c=-2a,代入所求不等式求出解 集，可知C正确：对于D项，根据题意得到a>0且A=-4c=0,将4c-公代入+36+4c,然后换元利用基 a b-a 本不等式可求出最小值可得D正确： 【详解】对于A选项，若M=☑，即一元二次不等式ax2+bx+c>0无解， 答案第3页，共9页 则一元二次不等式ax2+bx+c≤0恒成立， .a<0且b2-4ac≤0，故A错误： 对于B选项，令4=b= a'b'c =10,则d-月、6-年、e= t ∴.ar2+bx+c'>0可化为(a2+bx+c)>0, 当1<0时，1(ar2+bx+c)>0可化为ar2+hr+c<0,其解集不等于M,故B错误： 对于C选项，若M={x|-1<x<2}, 则a<0,且-1和2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根， 1+2=8且-1x2-台b=a,c=2a, .关于x的不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax可化为a(x2+1)-a(x-1)-2a<2ax, 可化为a(x2-3x)<0,a<0,x2-3x>0,解得x<0或x>3, 即不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为N={x|x<0或x>3},故C正确； 对于D选项，：一元二次函数y=ax2+bx+c的值域为0，+o), ∴.a>0且b2-4ac=0,.a+3b+4ca+3b+b a b-a b-a :b>a>0,b-a>0,令b-a=t>0,则b=a+t, a+36+b a+3a+10+a+了 b-a t 0225 t a 当且仅当t=√5a,则b=1+√5)a,c= ,。(3+5),且a为正数时，等号成立， 所以a+3动+4c的最小值为5+25，故D正确 b-a 故选：CD. 12.-6 【分析】根据分段函数定义分类计算. 【详解】由己知f(-1)=f(3)=-32+3=-6, 故答案为：6， 13.（-3,0] 【分析】讨论k是否等于0，结合判别式列出不等式，即可求得答案. 【详解由题意知Vx∈R,2x+c<0是真命思， 答案第4页，共9页 当k=0时，即有-3<0恒成立，符合题意： 8 2k<0 当k≠0时，则需满足 △=k2+3k<0'解得-3<k<0, 综合得实数k的取值范围是(-3,0]， 故答案为：（-3,0] 14.16 【分析】由y=f(x+)-3为奇函数可得函数f()关于点(3)对称，分离常数s(付=3r-2.3-)+1-3十1可 x-1x-1 x-1 知函数g(x)关于点(1,3)对称，继而可得f(x)与g(x)图像的8个交点关于点(1,3)对称，则 +x2+x+x4+x+x6+x+Xg,+y2++y4++y6+y,+yg可求，结果可得. 【详解】：y=f(x+1)-3为奇函数 ∴函数f(x)关于点(1,3)对称 g()=3-2_3(x-)+1=311 x-1 x-1 x-1 ∴.函数g(x)关于点(1,3)对称 ∴.f(x)与g(x)图像的8个交点关于点(1,3)对称 +=1,5+=L,+=1,x+x=1 2 2 2 2 可得x+x2+x3+x4+X,+x6+x,+x=4×2×1=8 同理可知片+2+3+y4++y%+y,+=4×2×3=24 (y+y2+3+y4+y+y%+y2+yg)-(x+x2+3+x4+x+x6+x,+x)=16 故答案为：16. 15.(1)15个： (2[-3+m). 【分析】(1)利用列举法表示给定集合，进而求出其非空子集的个数. (2)解不等式化简集合A,再利用交集的结果，结合集合的包含关系列式求解 【详解】(1)当m=-1时，B={x-3<x<2},则集合B中有4个整数元素-2，-1,0,1， 所以B中所有整数元素组成集合{-2，-1,0，}的非空子集的个数为24-1=15个. 答案第5页，共9页 (2)由x2-2x-3<0,解得-1<x<3,则A={x-1<x<3}, 由A∩B=B,得BSA, 当B=②时，3m≥1-m,解得m≥好满足Bg4: 当B≠⑦时，-1≤3m<1-m≤3，解得 L≤m4 1 3 所以实数m的取值范围是[- Γ3，+0∞). 16.(1)k=1 (2)存在m=3 【分析】(1)结合幂函数的定义、单调性求得k的值： (2)求得的解析式g(x)=x2+mx,对m进行分类讨论，结合的最小值为4来求得m的值. 【详解】(1)因为f(x)是幂函数，所以k2+k-1=1, 解得k=-2或k=1, 当k=-2时，f(x)=x2在区间(0，+0)单调递减，不符合题意， 当k=1时，f(x)=x在区间(0，+o)单调递增，符合题意， 所以k=1. (2)由(1)函数f(x)的解析式为f(x)=x,函数g(x)=2(x)+mf(x), 即g(x)=x2+mx,x∈[1,2]， 函数y=x2+mx的对称轴为x=- 2 ①当受1，即m2-2时，则8m=80=1+m=4, 解得m=3,满足题意； ②当1<-号2时，即4<m<-2,则g以2？-4，无解，合去： 2 ③当2≥2时，即m≤4时，则g()=g(2)=4+2m=4,解得m=0,不清足，含去： 综上所述，存在m=3使得g(x)的最小值为4. -x2+60x-100,0≤x≤40 17.(1)W(x) 2500 +1000,40<x≤80 (2)50台，900万元 【分析】(1)利用利润=销售收入-成本公式列式求解即可： (2)利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可. 答案第6页，共9页 【详解】(1)由题意可得，当x=10时，102+10k=500,故k=40, 故当0≤x≤40时，W(x)=100x-x2-40x-100=-x2+60x-100: 当40<x≤80时，w()=100c-101x-250+10-10=-x-2500+100. 故年利润W(x)关于年产量x的函数关系式为 -x2+60x-100,0≤x≤40， W(x)= 2500 +1000,40<x≤80. (2)由(1)得当0≤x≤40时，W(x)=-x2+60x-100=-(x-30)2+800: 当x=30时，W(x)mx=800; 当40<x≤80时， m(x)=-x-2500 1000= 2500 x+ +1000≤-2 .2500+1000=900, 2500 当且仅当x= ,即x=50时，等号成立，W(x)max=900 而900>800，故当x=50时，年利润最大，最大年利润是900万元. 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元. 18.0)-e- (2)函数f(x)在(-1,1)上的单调递增.证明见解析 80s 【分扪D由函数因-护是定义在(-)上的商筒数。则/0=0，结合)子求出a-1,方=0， 1 即可得到函数f(x)的解析式： (2)任取x,x2∈(-1，)且x<x2,化简f(x)-f(x),然后判断f(x)-f(2)的符号，即可判断函数的单调性； 「-1<t-1<1 (3)由题可得f(t-1)<-f(t)=f(-),再根据函数f(x)在(-1，)上的单调递增，列不等式{-1<t<1,求解即 t-1<-t 可 【详解】)因为fd=r+D是定义在-上的奇函数，所以=b=0,所以f以 1+x2 1 因为 =,所以2 (2 1+ 4 答案第7页，共9页 所以函数()的解折式为)=十，(-： (2)函数f(x)在(-1,1)上的单调递增. 任取x,x2∈(-1,1)，且x<x2, 则f)-f)=5=+51+-x (（1+)1+x) （1+x)(1+到 因为-1<x<2<1,则x2-x>0,xx2-1<0,1+x2>0,1+x>0, 所以fx)-)医<0，所以f6<f). (1+)1+x) 所以函数f(x)在(-1,1)上的单调递增： (3)因为f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数，所以f(-1)=-f(t), 由f(t-1)+f(t)<0可得f(t-)<-f(t)=f(-t), 因为函数f(x)在(-1，)上的单调递增， -1<t-1<1 则-1<t<1,解得0<t<2 1 t-1<-t 19.(1)是，理由见详解： @g9后 (3)4049 【分析】(1)根据“下位序列的定义判断即可： (2)由条件可得ad<bc,然后利用作差法比较大小即可； (3)根据下位序列的定义列不等式组，利用不等式组求出的范围，然后将恒成立问题转化最值问题，即可求出 正整数n的最小值。 【详解】(1)因为3×7<2×11，所以(3,11)是(2,7)的下位序列” (2)因为(a,b)是(c,d)的“下位序列'，所以ad<bc, 又a,b,c,d均为正数， arc_a_b(ate)-a(bd)_be-ad0 ateza b+d b b(b+d)b6+d) b+d b' atc c_d(are)-c(btd)=ad-bc<o.mate<e, b+dd d(b+d) d(b+d) b+d a' 答案第8页，共9页 所以<a+cc bb+dd' mn<2024k (3)由题，可得 (m+1)n>2025k’又m,,k均为整数， mn+1≤2024k 所以 (mn+n-1≥2025k' .2024(mn+n-1)≥2024×2025k≥2025(mn+1), 4049 ∴.n2 ,对集合{m0<m<2024}内的每一个正整数m都成立， 2024-m 所以n≥ 4049 =4049, 2024-2023 所以正整数n的最小值为4049. 答案第9页，共9页