5.4　用一次函数解决问题 同步练习 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第5章　一次函数 第1课时　建立一次函数模型解决问题 5.4　用一次函数解决问题  　建立一次函数模型解决问题 1.【跨物理·弹簧秤】(2023山西中考)一种弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体,不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂1 kg物体,弹簧伸长0.5 cm,在弹性限度内,挂重物后弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间的函数关系式为 ( ) A.y=12-0.5x　    B.y=12+0.5x C.y=10+0.5x　    D.y=0.5x B 解析　根据不挂物体时弹簧的长为12 cm,每挂1 kg物体,弹簧 伸长0.5 cm,可得在弹性限度内,挂x kg的物体,弹簧伸长了 0.5x cm,则挂重物后弹簧的长度为(12+0.5x)cm,所以y=12+ 0.5x(0≤x≤10).故选B. 2.小明同学在一次学科综合实践活动中发现,某品牌鞋子的长 度y(cm)与鞋子的码数x之间满足一次函数关系,下表给出y与x 的一些对应值: 码数x 26 30 34 42 长度y/cm 18 20 22 26 根据小明的数据,可以得出该品牌38码鞋子的长度为 ( ) A.24 cm　    B.25 cm C.26 cm　    D.38 cm A 解析　　设y与x的函数表达式为y=kx+b. ∵点(26,18),(30,20)在该函数图象上, ∴ 解得 即y与x的函数表达式为y=0.5x+5, 当x=38时,y=0.5×38+5=24.故选A. 3.(2024江苏淮安中考)一辆轿车从A地驶向B地,设出发x h后, 这辆轿车离B地路程为y km,已知y与x之间的函数表达式为y= 200-80x,则轿车从A地到达B地所用时间是_____h. 2.5 解析　已知y=200-80x,令y=0,则200-80x=0,解得x=2.5,∴轿车 从A地到达B地所用时间是2.5 h. 4.(2024四川南充月考)七年级某班需要购买一种笔记本,已知 总费用m(单位:元)和购买笔记本总数n(单位:本)的关系为m=  如果需要100本笔记本,怎样购买能省钱?最省钱 时m的值为________. 222.2 解析　若购买100本,则m=2.4×100=240, 若购买101本,则m=2.2×101=222.2. ∵222.2<240,∴买101本省钱,此时m的值为222.2. 5.【学科特色·教材变式】(2024内蒙古包头中考)如图所示的是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位:cm)随着碗的数量x(单位:个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据: x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测得的数据,写出y与x之间的函数表达式,并说明 理由. (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm,求此时碗的数量最多为多少个. 解析    (1)由题表中的数据,可知x每增加1,y的增加量不变, ∴y是x的一次函数,设y=kx+b(k≠0), 由题意得 解得  ∴y与x之间的函数表达式为y=2.4x+3.6. (2)设碗的数量为x个,则2.4x+3.6≤28.8, 解得x≤10.5,∴x的最大整数解为10. 答:碗的数量最多为10个. 6.拖拉机开始工作时,油箱中有油30 L,每小时耗油5 L. (1)写出油箱中的剩余油量Q(L)与工作时间t(h)之间的函数关 系式. (2)写出自变量t的取值范围. (3)拖拉机工作2小时后,油箱中剩余油量是多少? (4)若油箱中剩余油量为10 L,则拖拉机工作了几小时? 解析    (1)由题意可得,油箱中的剩余油量Q(L)与工作时间t(h) 之间的函数关系式是Q=30-5t. (2)当Q=0时,0=30-5t,解得t=6, ∴自变量t的取值范围是0≤t≤6. (3)当t=2时,Q=30-5×2=20, ∴拖拉机工作2小时后,油箱中剩余油量是20 L. (4)当Q=10时,10=30-5t,解得t=4. ∴拖拉机工作了4小时.   7.(2025重庆复旦中学教育集团期中,★★☆)某停车场的收费标准 如下,一辆汽车付停车费22元,那么它的停车时间可能是( ) 收费标准 ①2小时以内(含2小时)10元. ②超过2小时,每小时收费6元(不足1小时的按1小时计算). A.8:55~11:05　    B.7:45~12:25 C.9:20~13:25　    D.12:25~15:35 D 解析　设停车的时长为t(t为整数)小时,费用为y元,当0<t≤2 时,y=10;当t>2时,y=10+6(t-2)=6t-2.当y=22时,6t-2=22,解得t=4, ∴停车时长为4小时.观察题中的四个选择可知正确答案为D. 故选D. 8.(2024河北沧州期末,★★☆)甲、乙两个体育用品专卖店的 优惠活动如下,设购买体育用品的原价总额为x元,甲、乙两个 专卖店实际付款分别为y甲元、y乙元.对于结论Ⅰ,Ⅱ,判断正确 的是 ( )     A     甲店:所有商品按原价八折出售; 乙店:一次性购买商品总额不超过200元时按原价付款;超过 200元时,其中200元无优惠,超过200元的部分享受七折优惠. 结论Ⅰ:当x>200时,y乙与x之间的函数表达式为y=0.7x+60; 结论Ⅱ:当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额 相同,且实际付款相差20元时,x的值为100或800. A.只有结论Ⅰ正确 B.只有结论Ⅱ正确 C.结论Ⅰ,Ⅱ都正确 D.结论Ⅰ,Ⅱ都不正确 解析　由题意得y甲=0.8x, 当0≤x≤200时,y乙=x, 当x>200时,y乙=200+(x-200)×0.7=0.7x+60,故结论Ⅰ正确. 当0≤x≤200时,y甲<y乙.∴y乙-y甲=20,即x-0.8x=20,解得x=100. 当x>200时,分两种情况: ①若y甲-y乙=20,则0.8x-(0.7x+60)=20,解得x=800; ②若y乙-y甲=20,则(0.7x+60)-0.8x=20,解得x=400. ∴当在甲、乙两个专卖店一次性购买商品的原价总额相同, 且实际付款相差20元时,x的值为100或400或800,故结论Ⅱ错 误.故选A. 9.(2024甘肃甘南州中考,★★☆)某网络经销商购进了一批A型钥匙扣和B型钥匙扣.已知购进A型钥匙扣50个、B型钥匙扣30个共需870元,购进A型钥匙扣30个、B型钥匙扣50个共需810元. (1)每个A型钥匙扣和B型钥匙扣的进价分别是多少元? (2)该经销商决定购进A型钥匙扣和B型钥匙扣共100个,投入资金不超过1 000元,并将A型钥匙扣的售价定为每个20元,B型钥匙扣的售价定为每个15元,则如何进货可以使该经销商获得最大利润?最大利润是多少元? 解析    (1)设每个A型钥匙扣的进价为x元,每个B型钥匙扣的 进价为y元, 根据题意得 解得  答:每个A型钥匙扣的进价为12元,每个B型钥匙扣的进价为9元. (2)设购进A型钥匙扣a个,利润为W元, 则购进B型钥匙扣(100-a)个, 根据题意得W=(20-12)a+(15-9)(100-a), 即W=2a+600, ∵2>0,∴W随着a的增大而增大, ∵12a+9(100-a)≤1 000,∴a≤33 ,∵a为非负整数, ∴当a=33时,W的值最大,为2×33+600=666, ∴该经销商应购进A型钥匙扣33个,B型钥匙扣67个,可获得最 大利润,最大利润为666元.   10.【新课标·模型观念】(2024河北石家庄四十一中模拟)为了倡导绿色低碳的生活方式,鼓励居民节约用电,某地采取如下表所示的计费方式.已知嘉淇家7月份用电量为280 kW·h,缴纳电费164元. 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量为180 kW·h以下(含180 kW·h)每 kW·h价格为0.55元 月用电量为180 kW·h至300 kW·h的部分(不含180 kW·h,含300 kW·h),每kW·h比第一档提价a元 月用电量为300 kW·h以上的部分,每kW·h比第一档提价0.3元 (1)求a的值. (2)设某用户月用电量为x kW·h,应缴纳电费y元,求y与x的函数 关系式. (3)某户8月份的电费为194元,求该户8月份的用电量. 解析    (1)由题意得180×0.55+(280-180)×(0.55+a)=164, 解得a=0.1. (2)当0≤x≤180时,y=0.55x. 当180<x≤300时,y=180×0.55+(x-180)×(0.55+0.1)=0.65x-18. 当x>300时,y=180×0.55+(300-180)×(0.55+0.1)+(x-300)× (0.55+0.3)=0.85x-78, 所以y与x的函数关系式如下:y=  (3)当x=180时,y=0.55×180=99<194, 故该用户8月份用电量大于180 kW·h, 当x=300时,y=0.65×300-18=177<194, 故该用户8月份用电量大于300 kW·h, 所以0.85x-78=194,解得x=320. 故该户8月份的用电量为320 kW·h. $第5章　一次函数 第2课时　根据一次函数的图象解决问题 5.4　用一次函数解决问题  　利用图象解决实际问题 1.(2024江苏南通中考)甲、乙两人沿相同路线由A地到B地匀 速前进,两地之间的路程为20 km.两人前进的路程s(单位:km) 与甲的前进时间t(单位:h)之间的对应关系如图所示.根据图象 信息,下列说法正确的是 ( ) A.甲比乙晚出发1 h　    B.乙全程共用2 h C.乙比甲早到B地3 h　    D.甲的速度是5 km/h D 解析　根据题中图象可知,甲比乙早出发1小时,但晚到2小时, 从甲地到乙地,甲实际用4小时,乙实际用1小时,甲的速度是 20÷4=5(km/h).故选D. 2.(2024江苏镇江中考)甲、乙两车出发前油箱里都有40 L油, 油箱剩余油量y(单位:L)关于行驶路程x(单位:百公里)的函数 图象分别如图所示,已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每 百公里平均耗油量少2 L,则下列关系式正确的是( ) A. - =2　    B. - =2 C. - =2　    D. - =2     B     解析　　由题中图象知,甲、乙两车行驶m百公里时,甲车耗 油40-24=16(L),乙车耗油40-20=20(L),由题意得 - =2.故选B. 3.(2024黑龙江哈尔滨中考)一个有进水管与出水管的容器,从 某时刻开始5 min内只进水不出水,在随后的10 min内既进水 又出水,每分钟的进水量和出水量均是常数.容器内的水量y (单位:L)与时间x(单位:min)之间的关系如图所示,当x=9时,y=  ( )     B     A.36　　B.38　　C.40　　D.42 解析　设当5≤x≤15时的函数表达式为y=kx+b(k≠0). ∵图象过点(5,30),(15,50), ∴ ∴ ∴y=2x+20, 令x=9,得y=2×9+20=38.故选B. 4.(2022江苏盐城中考)小丽从甲地匀速步行去乙地,小华骑自 行车从乙地匀速前往甲地,同时出发.两人离甲地的距离y(m) 与出发时间x(min)之间的函数关系如图所示. (1)小丽步行的速度为_____m/min. (2)当两人相遇时,求他们到甲地的距离. 解析    (1)由题中图象可知,小丽步行的速度为 = 80(m/min).故答案为80. (2)由题中图象可得,小华骑自行车的速度是 = 120(m/min), ∴出发 =12 min后两人相遇, ∴相遇时小丽所走的路程为12×80=960 m, 即当两人相遇时,他们到甲地的距离是960 m. 5.(2025陕西西安交大附中月考)甲无人机从地面起飞,乙无人 机从距离地面一定高度的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上 升10秒.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单 位:米)与无人机上升的时间x(单位:秒)之间的关系如图所示. (1)写出乙无人机距离地面的高度y与上升时间x之间的表达 式:_____,表达式中一次项系数的实际意义是_____,常数项 的实际意义是_____. (2)无人机上升多少秒后,两架无人机的高度差为10米? 解析    (1)乙无人机上升的速度为 =4(米/秒). ∴乙无人机距离地面的高度y与上升时间x之间的表达式为y= 4x+20,表达式中一次项系数的实际意义是乙无人机平均每秒 上升4米,常数项的实际意义是乙无人机从距离地面20米的楼 顶起飞. (2)甲无人机上升的速度为40÷5=8(米/秒),∴甲无人机距离地 面的高度y与上升时间x之间的表达式为y=8x,根据题意得4x+ 20-8x=10或8x-(4x+20)=10,解得x=2.5或x=7.5, ∴无人机上升2.5秒或7.5秒后,两架无人机的高度差为10米.   6.(2024河南安阳期末,★★☆)一辆客车从甲地开往乙地,一辆 出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,两车到甲地的距离y (千米)与行驶时间x(小时)之间的函数图象如图所示,则下列说 法中错误的是 ( ) C A.客车比出租车晚4小时到达目的地 B.客车的速度为60千米/小时,出租车的速度为100千米/小时 C.两车出发后3.25小时相遇 D.两车相遇时客车距乙地还有375千米 解析　由题中图象可知客车行驶了10小时,出租车行驶了6小 时,∴客车比出租车晚4小时到达目的地,故选项A说法正确,不 符合题意;由题中图象可知甲、乙两地相距600千米,客车行驶 了10小时,出租车行驶了6小时,∴客车的速度为60千米/小时, 出租车的速度为100千米/小时,故选项B说法正确,不符合题 意;设出租车到甲地的距离y与行驶时间x的函数表达式为y= kx+b(k≠0),将(0,600),(6,0)代入y=kx+b,得b=600,6k+b=0,解得 k=-100,∴y=-100x+600, 设客车到甲地的距离y与行驶时间x的函数表达式为y=mx(m≠ 0),将(10,600)代入y=mx,得10m=600,解得m=60,则y=60x,当两 车相遇时,60x=-100x+600,解得x=3.75,∴两车出发后3.75小时 相遇,故选项C说法错误,符合题意;∵3.75小时客车行驶了60× 3.75=225(千米),∴距离乙地还有600-225=375(千米),故选项D 说法正确,不符合题意.故选C. 7.(2024吉林长春中考,★★☆)区间测速是指在某一路段前后 设置两个监控点,根据车辆通过两个监控点的时间来计算车 辆在该路段上的平均行驶速度.小春驾驶一辆小型汽车在高 速公路上行驶,其间经过一段长度为20千米的区间测速路段, 从该路段起点开始,他先匀速行驶 小时,再立即减速以另一 速度匀速行驶(减速时间忽略不计),当他到达该路段终点时, 测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千 米/时.汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行 驶的时间x(小时)之间的函数图象如图所示. (1)a的值为_____. (2)当 ≤x≤a时,求y与x之间的函数关系式. (3)通过计算说明在此区间测速路段内,该辆汽车减速前是否 超速.(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) 解析    (1)由题意得100a=20,解得a= .故答案为 . (2)设当 ≤x≤ 时,y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0), 则 解得  ∴y=90x+2 . (3)当x= 时,y=90× +2=9.5, ∴匀速行驶 小时的速度为9.5÷ =114(千米/时), ∵114<120,∴这辆汽车减速前没有超速.   8.【新课标·模型观念】甲、乙两货车分别从相距225 km的A, B两地同时出发,甲货车从A地出发途经配货站时,停下来卸货, 半小时后继续驶往B地,乙货车沿同一条公路从B地驶往A地, 但乙货车到达配货站时接到紧急任务,立即原路原速返回B 地,结果比甲货车晚半小时到达B地.如图所示的是甲、乙两 货车到A地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象,结合 图象回答下列问题: (1)甲货车到达配货站之前的速度是_____km/h,乙货车的速度 是_____km/h. (2)求甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车到A地 的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式. (3)直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中,出发多长时间, 甲、乙两货车到配货站的距离相等. 解析    (1)甲货车到达配货站之前的速度是105÷3.5=30(km/h), 乙货车的速度是(225-105)×2÷6=40(km/h).故答案为30;40. (2)∵3.5+0.5=4(h),6-0.5=5.5(h), ∴点E(4,105),F(5.5,225). 设线段EF对应的函数表达式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0,且4≤ x≤5.5). 将(4,105)和(5.5,225)分别代入y=kx+b, 得 解得  ∴甲货车在配货站卸货后驶往B地的过程中,甲货车到A地的距离y与行驶时间x之间的函数表达式为y=80x-215(4≤x≤5.5). (3)出发  h或  h或5 h时,甲、乙两货车到配货站的距离相等. 详解:线段CM对应的函数表达式为y=225-40x=-40x+225(0≤x ≤3), 线段MN对应的函数表达式为y=105+40(x-3)=40x-15(3≤x≤6), 线段OD对应的函数表达式为y=30x(0≤x≤3.5). 当0≤x≤3时,甲货车到配货站的距离为(105-30x)km,乙货车 到配货站的距离为-40x+225-105=(-40x+120)km, 根据“甲、乙两货车到配货站的距离相等”,得105-30x= -40x+120,解得x= . 当3<x≤3.5时,甲货车到配货站的距离为(105-30x)km,乙货车 到配货站的距离为40x-15-105=(40x-120)km, 根据“甲、乙两货车到配货站的距离相等”,得105-30x=40x- 120,解得x= . 当乙货车返回B地过程中与甲货车相遇时,两车到配货站的距 离相等,所以80x-215=40x-15,解得x=5. ∴出发  h或  h或5 h时,甲、乙两货车到配货站的距离相等. $