精品解析：广西壮族自治区南宁市青秀区第四十七中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度秋季学期 九年级数学学科期中学业质量监测 （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义判定即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，解题关键是掌握如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 2. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式． 一元二次方程的一般形式为，其中二次项系数是项的系数，据此求解即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是1． 故选：A． 3. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半作答即可． 【详解】解：在中，，则， 故选：B． 4. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向上平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是， 故选：C． 5. 的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点到圆心的距离与圆的半径的关系进行判定即可求解． 【详解】解：设点到圆心的距离， ∵， ∴点在外， 故选：A ． 6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得出AB=AD、∠BAD=100°，再根据等腰三角形的性质可求出∠B的度数，此题得解． 【详解】根据旋转的性质,可得：AB=AD,∠BAD=100°， ∴∠B=×(180°−100°)=40°. 故选D. 【点睛】本题考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 7. 抛物线的顶点坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线顶点坐标的求法，理解抛物线的顶点式是解答关键． 先将抛物线的一般式化为顶点式来求解． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标是． 故选：C． 8. 二次函数的图象如右图，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由图象可以看出：二次函数与轴的两个交点 时，图象在轴的下方, 此时. 故选：A. 9. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】由切线长定理可得PA=PB, CA=CE,DE=DB, 由于△PCD的周长=PC+CE+ED+PD, 所以△PCD的周=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, 故可求得三角形的周长. 【详解】解:PA、PB为圆的两条相交切线, PA=PB, 同理可得: CA=CE, DE=DB. △PCD的周长=PC+CE+ED+PD, △PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA, △PCD的周长=10, 故选D 【点睛】本题考查了切线的性质以及切线长定理的运用. 10. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，推导出，且是解题的关键．由点为正六边形的对角线的中点，可得， ，且平分，从而得到是等边三角形，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵多边形是正六边形， ∴， 点为正六边形对角线的中点，即正六边形的中心， ，且平分， ∴， 是等边三角形， ． 故选：B． 11. 如图，已知的半径为3，且．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．连接，先根据圆O的直径为6求出的长，再由得出，由圆周角定理求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵的半径为3， ， ， ， ， 故选：A． 12. 对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或0.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ， 整理得， ∴， 解得或． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 抛物线y＝3x2的开口方向向______（填“上”或“下”）． 【答案】上 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和二次项系数的关系求解即可． 【详解】解：∵抛物线y＝3x2， 二次项系数， ∴抛物线y＝3x2的开口方向向上． 故答案为：上． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口． 14. 点关于原点的对称点为，则点的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求关于原点对称的点的坐标．熟练掌握关于原点对称点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，是解题的关键．根据关于原点对称点的特征即可得解． 【详解】解：点关于原点的对称点为，则点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形内接于⊙，可得，又由，即可求得． 【详解】解：∵四边形内接于⊙， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过轨迹分析，即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ，． ，， ， 点在以为直径的半圆上运动， 如图，设圆心为，连接交于点，此时最短． ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的轨迹与最短距离问题，熟练掌握由直角推导点的轨迹，结合勾股定理和圆的性质求最短距离是解题的关键． 二、解答题（本题共7题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和解一元二次方程． （1）先计算算术平方根，绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）； ； （2） ∴ 则或 解得． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求，其中，； （2） 【解析】 【分析】（1）分别作出点、绕点顺时针旋转所得对应点，再与点首尾顺次连接即可得； （2）利用弧长的公式求解可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 弧的长度． 【点睛】本题主要考查作图旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点及扇形的面积公式． 19. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠BAD＝∠B＝30°． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）若OA＝8，求OA、OD与弧AD围成的扇形的面积． 【答案】 （1）证明：∵OA＝OD，∠A＝∠B＝30°， ∴∠A＝∠ADO＝30°， ∴∠DOB＝∠A+∠ADO＝60°， ∴∠ODB＝180°﹣∠DOB﹣∠B＝90°， ∵OD是半径， ∴BD是⊙O的切线 （2）π. 【解析】 【分析】（1）求出∠A=∠ADO=30°，求出∠DOB=60°，求出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可；（2）根据扇形的面积公式即可求出答案． 【详解】（1）略 （2）∵∠DOB＝60°， ∴∠AOD＝120°， ∵AO＝8， ∴OA、OD与弧AD围成的扇形的面积＝＝π． 【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定，扇形面积的计算，正确的理解题意是解题的关键． 20. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2），，144元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【详解】（1）设与的函数解析式为， 将、代入，得：， 解得：， 所以与的函数解析式为； （2）根据题意知， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，取得最大值，最大值为144， 答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． 21. 小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 【答案】（1） （2）小明此次试投的成绩能达到满分，理由： 令，即， 解得或（舍去）， ， ， 所以，小明此次试投的成绩能达到满分． 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为，设抛物线解析式为，利用待定系数法代入求解即可； （2）令，即，解方程求解即可得出结论． 【小问1详解】 由题意得，抛物线的顶点坐标为，点A的坐标为， 设抛物线解析式为， ∵抛物线经过点A， ， 解得， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意，熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 22. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，______； （2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． （3）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （4）思维拔高：若关于的一元二次方程．当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、、、，…，、，求________． 【答案】（1） 3， （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记相关结论并学会举一反三是解题关键． （1）根据材料即可求解； （2）根据即可求解； （3）由题意得：实数s、t是一元二次方程的两个根，结合即可求解； （4）设一元二次方程的两个根分别为，可得，根据即可求解． 【小问1详解】 解：，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得：实数s、t是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：设一元二次方程的两个根分别为， 则， ∴ ∴ ． 故答案为：． 23. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 【答案】（1）①或或或(写出一个即可)；② （2）， 理由如下：如图：   ∵等边绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴， ∴， ∵F为中点，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）①根据为等边三角形，将绕点A旋转，得到，可得，又F为中点，故，，可知； ②由是的中位线，可得； （2）由等边绕点A逆时针旋转，得到，可得，，，即得，而F为中点，，有，故是等腰直角三角形，，从而； （3）分两种情况：当在下方时，求出，，可得，故；当在上方时，，，有． 【小问1详解】 解：①∵为等边三角形，将绕点A旋转，得到， ∴， ∵F为中点， ∴，是的中位线，也是的中位线， ∴， ∴； 故答案为：或或或(写出一个即可)； ②由①知，是的中位线， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当在下方时，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，F为中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当BE在BC上方时，如图： ∵， ∴； 综上所述，的长为或1． 【点睛】本题考查几何变换综合应用，涉及等边三角形性质及应用，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握含特殊角的直角三角形三边的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度秋季学期 九年级数学学科期中学业质量监测 （考试时间：120分钟 满分120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分，请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 2．答题前，请认真阅读答题卡上的注意事项． 3．不能使用计算器，考试结束时，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 下列图形属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程的二次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 0 3. 如图，在中，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 的半径为3，点到圆心的距离为4，点与的位置关系是（ ） A. 点在外 B. 点在内 C. 点在上 D. 不能确定 6. 如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE，若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为( ) A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如右图，当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 9. 如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（　　） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 10. 苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的，随着研究的不断深入，发现如图1的一个苯分子中的6个碳原子形成了正六边形的结构，其示意图如图2，点为正六边形对角线的中点，连接，若，则的长是（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 11. 如图，已知的半径为3，且．则的长为（ ） A. B. C. D. 3 12. 对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或0.5 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 抛物线y＝3x2的开口方向向______（填“上”或“下”）． 14. 点关于原点的对称点为，则点的坐标为____________． 15. 如图，四边形内接于，E为延长线上一点，若，则________． 16. 如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 二、解答题（本题共7题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，在给出的平面直角坐标系中： （1）画出绕点顺时针旋转后得到的；并直接写出、的坐标； （2）计算点旋转到点位置时，经过的路径弧的长度． 19. 如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，点D为⊙O上一点，连结AD、OD、BD，∠BAD＝∠B＝30°． （1）求证：BD是⊙O的切线． （2）若OA＝8，求OA、OD与弧AD围成的扇形的面积． 20. 一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 21. 小明进行实心球训练，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，实心球从y轴上的点A处出手，运动路径可看作抛物线，在点B处达到最高位置，落在x轴上的点C处．小明某次试投时的数据如图所示． （1）根据图中信息，求出实心球路径所在抛物线的表达式． （2）若实心球投掷距离（实心球落地点C与出手点A的水平距离OC的长度）不小于9.6m，成绩为满分，请通过计算，判断小明此次试投的成绩是否能达到满分． 22. 阅读材料： 材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，， ，，则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则_______，______； （2）初步体验：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． （3）类比应用：已知实数、满足，，且，求的值． （4）思维拔高：若关于的一元二次方程．当时，相应的一元二次方程的两个根分别记为、、、，…，、，求________． 23. 数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动： （1）【操作探究】如图1，为等边三角形，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接． ①写出图1中一个等于的角 ； ②图1中与的数量关系是 ． （2）【迁移探究】如图2，将（1）中的等边绕点A逆时针旋转，得到，其他条件不变．探究与的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】如图3，在，，，，将绕点A旋转，得到，连接，F是的中点，连接．在旋转过程中，当时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $