专题13.2勾股定理的应用（知识点总结+14大题型）讲义-2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.2勾股定理的应用 【题型1】梯子滑落高度问题 1.核心知识点总结 直接应用勾股定理：直角三角形中，（为斜边）。 梯子长度为斜边，墙与地面垂直构成直角三角形，顶端下滑/底端滑动后仍满足勾股定理。 2.高频考点梳理 已知初始状态两边长度，求滑动距离（顶端下滑高度或底端滑动距离）。 多步计算：先求初始高度/水平距离，再求滑动后对应边长，差值为滑动距离。 3.易错点警示 误将梯子顶端下滑距离与底端滑动距离相等（实际不相等，需通过勾股定理计算）。 忽略梯子长度不变（始终为斜边），错把滑动后某边当作原边长。 4.解题技巧拆解 步骤：①确定直角三角形三要素（斜边=梯子长）；②代入勾股定理求未知边；③计算滑动前后边长差值。 【例题1】．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时B到墙底端C的距离为米． (1)求梯子的顶端到地面的距离的长． (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米，那么B将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2)B向外移动米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用及勾股定理在直角三角形中的正确运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）在中，利用勾股定理即可求出的长． （2）根据题意有米，再利用勾股定理得到米，最后根据即可获得答案． 【详解】（1）解：在中，米，米， ∴米． （2）解：∵米，米， ∴米， 在中，米，米， ∴米． ∴米． 故B向外移动米． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）白银市全民健身中心正在维修屋顶，工作人员使用一架长为5米的梯子靠在墙上，已知梯子底部距离墙面3米，且梯子顶端刚好到达屋顶边缘．请问这面墙的高度是多少米？（假设墙面与地面垂直，梯子、墙面和地面构成一个直角三角形） 【答案】4米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 故这面墙的高度是米． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为（   ） A．4米 B．6米 C．8米 D．15米 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题． 【详解】解：由题意知米，米，米， 在直角中，斜边， 米， 已知米，则米， 在直角中， 米， 米． 故选：C． 【变式题1-3】．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 【答案】(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 【题型2】旗杆/物体高度问题 1.核心知识点总结 构造直角三角形：旗杆（物体）垂直地面，绳子/视线为斜边，地面距离为直角边。 结合实际条件：绳子余长、观测者身高、水平距离等补充边长。 2.高频考点梳理 已知绳子长度（斜边）和水平距离，求旗杆高度（直角边）。 含余长问题：绳子长度=旗杆高度+余长，结合勾股定理列方程。 3.易错点警示 遗漏观测者身高（如放风筝时，风筝高度=直角边长度+观测者身高）。 混淆绳子长度与斜边（绳子未拉直时不能直接作为斜边）。 4.解题技巧拆解 建模技巧：画示意图标注直角边（地面距离、旗杆高度）和斜边（绳子长）。 公式：（若有）。 【例题2】．（河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2． 小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远． 请选择一种方案求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，分别选择两种方案利用勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：选择小明的方案： 如图2，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米； 或者选择小亮的方案： 如图3，设旗杆的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米． 【变式题2-1】．（24-25七年级上·山东淄博·期中）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能成功，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 【变式题2-2】．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． ()设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； ()过作，垂足为，证明四边形为长方形，得出，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：旗杆的高度． （2）过作，垂足为， 则， ∴四边形为长方形， ∴， ∵， ∴ 在中，， 由勾股定理得：， ∴． 答：小明需后退． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为6米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】(1)旗杆的高度为8米； (2)小明需后退2米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为米，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出米，，由勾股定理得米，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为8米； （2）解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴米，， 米， 米，米， 在中，， 由勾股定理得：米， 米 答：小明需后退2米． 【题型3】大树折断前高度问题 1.核心知识点总结 折断后形成直角三角形：树干剩余部分（直角边）、地面距离（直角边）、折断部分（斜边）。 原高度=剩余部分长度+折断部分长度（）。 2.高频考点梳理 已知剩余高度和地面距离，求原高度。 逆向问题：已知原高度和地面距离，求折断位置。 3.易错点警示 误将折断部分当作直角边（实际为斜边，长度最长）。 计算原高度时遗漏剩余部分或折断部分。 4.解题技巧拆解 步骤：①求折断部分长度；②原高度。 【例题1】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”大体意思是：一根竹子原高一丈（1丈尺），从某处折断后，竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺．则竹子折断处离地面的高度（即折断后直立部分的长度）为 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设折断处离地面的高度为尺，则斜边长为尺，根据勾股定理建立方程求解． 【详解】解：依题意，竹子折断后形成直角三角形，直立部分高尺，底边长为3尺，斜边长为尺， 由勾股定理，得：， ， 两边减去，得：， 移项，得：， ， ， 故折断处离地面的高度为尺． 故答案为：． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·四川·期中）如图所示，一棵高24米的大树处发生断裂，断裂后树的顶部落在离底部12米处，这棵大树在距离地面 米处发生断裂． 【答案】9 【分析】本题考查勾股定理的应用，运用勾股定理列出方程是解题的关键．设，则，根据勾股定理得到，从而列出方程求解即可． 【详解】解：标记字母如下： 由题意可知：，，， 设，则， ∴， 解得：，即这棵大树在距离地面9米处发生断裂 故答案为：9． 【变式题3-2】．（21-22八年级下·北京海淀·期中）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面尺，根据题意，列出的正确方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题．根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺， ∴图中直角三角形的斜边长尺， 根据勾股定理建立方程得：， 故选：C． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 【题型4】水杯中筷子最值问题 1.核心知识点总结 圆柱形容器内，筷子最长时为斜边（底面直径+高为直角边），最短时为容器高度。 露在外面长度，最值对应容器内长度最值。 2.高频考点梳理 已知容器底面直径、高和筷子总长，求露在外面长度的取值范围。 逆向问题：已知露在外面长度，求筷子总长或容器尺寸。 3.易错点警示 混淆底面直径与半径（计算直角边时需用直径）。 忽略“最长长度”为斜边，误将筷子长度直接等于容器高度。 4.解题技巧拆解 关键公式： 容器内筷子长度 计算方式 最长（斜放） （为底面直径，为容器高） 最短（竖放） （容器高度） 取值范围：。 【例题4】．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图将一根长为的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，将筷子垂直于水杯的底面放置，此时筷子露在杯子外面的长度最大，即h的最大值为， 将筷子斜着放置，一端在水杯底面，一端在杯口边缘时，此时筷子在杯中的长度最长，筷子露在杯子外面的长度最小，即h的最小值为， ∴h的取值范围是， 故选：B． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·陕西·阶段练习）如图，是一个长方体的盒子，长，宽，高分别为，，，现将一根长为的筷子插入到盒子的底部，则筷子露在盒外的部分的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了长方体中勾股定理的运用，解答此题的关键是要找出筷子最长和最短时在盒中所处的位置，然后计算求解． 根据题中已知条件，首先要考虑筷子放进盒里垂直于底面时露在盒外的长度最长为；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答，进而求出露在盒外的长度最短． 【详解】解：①当筷子放进盒子垂直于底面时露在盒外的长度最长，最长为； ②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形， 底面对角线长为，高为， 由勾股定理可得盒里面的筷子长为， 则露在盒外的长度最短为； 故选：B． 【变式题4-2】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，将一根长的筷子，置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可． 【详解】解：当筷子与杯底垂直时最大，最大． 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时最小， 如图所示：此时，， 故， 故的取值范围是． 故选：C． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为，则h的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． 当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长；分别求出h的最大值和最小值即可． 【详解】解：如图1，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴； 如图2，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短， 在中，，， ∴， 此时， ∴h的取值范围是， 故选：B． 【题型5】航海方位角问题 1.核心知识点总结 结合方位角（北偏东/南偏西等）构造直角三角形，方位角夹角为90°时直接构成直角。 路程=速度×时间，通过勾股定理求两船距离或某船速度。 2.高频考点梳理 已知两船航向（夹角90°）、速度和时间，求距离。 已知距离和一船速度，求另一船速度。 3.易错点警示 方位角判断错误（如北偏东30°与南偏东60°夹角为90°，需准确画图）。 忽略时间单位统一（如速度为海里/时，时间为小时，路程单位为海里）。 4.解题技巧拆解 步骤：①画方位角示意图，确定直角三角形直角边（两船路程）；②计算路程；③用勾股定理求斜边(两船距离)或未知边(速度)。 【例题5】．（25-26八年级上·江苏南京·期中）一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行，离开港口1小时后两船相距（　　） A．12海里 B．8海里 C．10海里 D．13海里 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 两船分别向北和向东航行，方向垂直，构成直角三角形，利用勾股定理求出离开港口1小时后两船的距离即可． 【详解】解：第一艘船向北航行距离：（海里）， 第二艘船向东航行距离：（海里）， 且两方向垂直， 则两船距离为直角三角形的斜边：（海里）， 故选：D． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）目前，河南省已建立各类自然保护地351处，有效保护了野生动植物．如图，南北方向线以西为某保护区，以东为普通区域，上午10时20分，监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来，便立即通知正在线上巡逻的巡逻车，巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去．已知开始时，的距离是13千米，，的距离是5千米，，的距离是12千米．巡逻车能否拦截住违规车辆？ 【答案】巡逻车能拦截住违规车辆 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键． 设直线与线段交于点．则，利用勾股定理列方程求得，，进而求得违规车辆和巡逻车到达E处的时间，比较大小可得结论． 【详解】解：设直线与线段交于点． 由题意知，，所以违规车辆进入保护区的最短距离是线段的长． 在和中，，， 所以，解得（千米）， 因为违规车辆的速度是72千米/小时， 所以（小时）， 千米，（小时） ，所以巡逻车能拦截住违规车辆．（此题解法不唯一，由勾股数5，12，13得出是直角三角形，再利用面积求解亦可） 【变式题5-2】．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，在大型徒步定向越野比赛中，选手和选手从起点同时出发，选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步，选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步，2小时后选手分别到达打卡点，此时两名选手相距17千米．试确定选手的徒步方向． 【答案】选手的徒步方向是南偏东方向 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理以及方位角，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 首先选手和选手的路程，再根据勾股定理逆定理可证明，然后再根据R在P北偏东方向，可得选手的徒步方向是南偏东方向． 【详解】解：由题意得：选手经2小时的路程：（千米）， 选手经2小时的路程：（千米）， ∵， 即 ∴， ∵R在P北偏东方向， ∴ ∴Q在P南偏东方向． ∴选手的徒步方向是南偏东方向． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为，此时，一艘快艇在B的正南方向的A处，以的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？ 【答案】快艇最快需要 【分析】此题考查了勾股定理的应用，读懂题意，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 快艇最快需要 ，则，，根据勾股定理得到，则，即可求出答案． 【详解】解：快艇最快需要 ，则，； 由题意得：； 即：； 所以 解得：（负数舍去） 答：快艇最快需要 ． 【题型6】台风影响判断问题(提升) 1.核心知识点总结 求点到直线的距离(海港到台风移动路线的垂直距离)，判断是否小于影响半径。 影响时间=影响路段长度÷台风移动速度(影响路段为圆与直线的交点间距离)。 2.高频考点梳理 已知台风移动路线、海港位置(三角形三边)，判断是否受影响。 计算影响持续时间(求弦长)。 3.易错点警示 误将海港到台风初始位置的距离当作点到直线距离(需用面积法求垂直距离)。 漏算影响路段长度(弦长=2，为影响半径，为垂直距离)。 4.解题技巧拆解 关键步骤： 求垂直距离：用三角形面积公式(为台风路线长度)。 判断影响：若 ，受影响；反之不受。 求影响时间：弦长，时间。 【例题6】．（25-26八年级上·四川·期中）据中央气象台消息，第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动，已知距台风中心的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：，，．问： (1)海港C会不会受到台风的影响？ (2)若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？ 【答案】(1)受台风影响，理由见解析 (2)受台风影响的时间为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、直角三角形的面积公式以及点到直线的距离在实际问题中的应用，解题的关键是通过计算海港到台风移动路径的最短距离判断是否受影响，再结合勾股定理求出台风影响的路径长度，进而计算持续时间． （1）通过勾股定理逆定理判断为直角三角形，利用面积法求出C到的距离，比较与的大小，确定海港是否受影响； （2）以C为圆心、为半径作圆，交于E、F，利用勾股定理求出的长度，得到的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响． 理由：如图，过点作于点， 因为，，，, 所以是直角三角形．, 由三角形面积相等可得：， 即， 所以． 因为以台风中心为圆心周围以内(包括)为受影响区域，所以海港受台风影响． （2）如图，设台风中心移动到点，处时刚好影响海港，连接，，则， 所以，因， 所以． 因为台风中心移动的速度为， ， 所以受台风影响的时间为． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路ON方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响． (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)影响； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为 24 千米/时，折合为米/秒。 ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C，公路上有A、B两处观测点，观测点A距离鸟类巢穴，观测点B距离鸟类巢穴，两观测点A、B相距．大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染． (1)求点C到公路的距离； (2)一辆大货车以的速度经过公路时，会对鸟类巢穴造成噪声污染吗？若不会造成噪声污染，请说明理由；若会造成噪声污染，求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长． 【答案】(1) (2)会造成噪声污染，污染的时间为 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理的实际应用，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）过点C作于点D，利用勾股定理逆定理推出，再利用三角形面积公式求解，即可解题． （2）在上取不同的两点E、F，连接，使得，利用勾股定理求出，进而求出，再根据时间路程速度，即可解题． 【详解】（1）解：过点C作于D，如图所示， 由题意，得． ， ． 是直角三角形，， ， ． 答：点C到铁路的距离为． （2）解：， ∴会对鸟类巢穴造成噪声污染． 如图所示，在上取不同的两点E、F，连接，使得． ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ∴货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 答：货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长为． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在点正北方的处有一信号接收站，点在点的北偏东的方向，一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收站接收信号的有效范围为． (1)作于点，求点到射线的距离；并判断处是否能接收信号，说明理由； (2)信号接收站若能接收信号，求出接收信号持续多长时间？ 【答案】(1)；能，理由见解析 (2)接收信号持续 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，理解题意，利用勾股定理解决问题是解题的关键． （1）通过证明是等腰直角三角形，求出的长，再结合题意判断处能接收信号，即可解答； （2）分别求出信号接收站恰好能接收信号的临界点与，求出的长度，再利用时间路程速度，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴是等腰直角三角形，， ∴点到射线的距离为； ∵， ∴处能接收信号； （2）解：由（1）得，， 当时，， 当时，， ∴， ， 答：接收信号持续． 【题型7】数轴上表示无理数(提升) 1.核心知识点总结 利用勾股定理构造直角三角形，斜边长度为(为正整数)，再用圆规在数轴上截取。 关键：找到两个正整数、，使。 2.高频考点梳理 画、、等无理数对应的数轴点。 连续构造：利用已画的作为直角边，画。 3.易错点警示 构造直角三角形时，直角边长度选择错误(如画需用1和2，而非2和2)。 圆规截取时，圆心或半径错误(圆心为原点，半径为斜边长度)。 4.解题技巧拆解 构造方法表： 无理数 直角边1 直角边2 构造步骤 1 1 画直角边1，斜边为，截取到数轴 1 } 以为直角边，另一直角边1，斜边为 1 2 画直角边1和2，斜边为，截取到数轴 【例题7】．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）如图，正方形的面积为，顶点在数轴上，且点表示的数为，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式求出正方形的边长，则可利用勾股定理求出的长，进而得到的长，据此可得答案． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵点表示的数为，数轴上有一点在点的左侧， ∴点表示的数为， 故答案为：． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·甘肃白银·阶段练习）已知两个正方形的边长分别是，且满足． (1)如图①，，数轴上点A对应的是m，n中的 ；（填m或n） (2)请在图②的数轴上找到另一个数对应的点． 【答案】(1)m (2)见解析 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，勾股定理，实数与数轴，熟知相关知识是解题的关键． （1）先求出m、n的值，再利用勾股定理求出的长，进而得到点A表示的数即可得到答案； （2）由于，利用勾股定理和数轴的特点求解即可． 【详解】（1）解：∵两个正方形的边长分别是，且满足， ∴或（舍去），或（舍去）； 由数轴和勾股定理可得， ∵点A在原点右侧， ∴点A表示的数为，即点A对应的是m； （2）解：如图所示，点B即为所求． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图所示，已知，． (1)说出数轴上点A所表示的数为 ； (2)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） (3)比较点A所表示的数与的大小，要求写出具体过程； 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数大小比较，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）在中，根据勾股定理求出，进而得，再根据点在轴的负半轴上即可得出点所表示的数； （2）在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为； （3）先计算，，根据即可得出答案． 【详解】（1）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， 点在轴的负半轴上， 点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：在数轴上，过数2的点作数轴的垂线，垂足为，且，以点为圆心，以为半径画弧交轴正半轴于点，则点所表示的数为，如图所示： 理由如下： 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 故点表示的数为； （3）解： ，， 又， ， ． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）如图，在数轴上，点与原点重合，点表示的数是，且，连接．以点为圆心，长为半径画弧，在点左侧与数轴交于点，则点表示的数是（　　） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与无理数，利用勾股定理求出的长，进而得到的长，进而可得出点C表示的数．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴点C表示的数为； 故选：C． 【题型8】选址使距离相等问题(提升) 1.核心知识点总结 利用勾股定理列方程：设选址点到某点距离为，表示出到另一点的距离，列等式求解。 直角三角形中，斜边相等或直角边相等的建模。 2.高频考点梳理 公路上选址，使到两侧村庄距离相等。 结合垂直距离(村庄到公路的距离)构造直角三角形。 3.易错点警示 设未知数时混淆线段关系(如设，则，需准确表示)。 遗漏垂直条件(村庄到公路的距离为直角边，不可忽略)。 4.解题技巧拆解 建模方法：设停靠站到距离为，则到距离为(为总长)，列方程： (、为两村庄到公路的垂直距离)。 【例题8】．（25-26八年级上·四川达州·月考）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 【变式题7-1】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，公路上两点相距为两村庄，于点于点．已知，现在要在公路上建一个土特产市场，使得两村庄到市场的距离相等．市场应建在距点多少千米处？ 【答案】市场应建在距点20km的位置 【分析】可以设则在直角中根据勾股定理可以求得，在直角中根据勾股定理可以求得，根据，即可求得的值． 【详解】解：设，则． 在中，； 在中，． 由题意得， 解得，即． 故市场应建在距点km的位置． 【点睛】本题考查了勾股定理，正确的运算是解题的关键． 【变式题7-2】．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，证明勾股定理的方法层出不穷，以下为勾股定理的一种证法： 把两个全等的直角三角形（）按如图1所示的方式放置， ，点在边上，设两直角边，斜边，连接，用分别求出梯形，四边形的面积，再探究三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理． (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理； (2)如图2，某研学基地有一条观光道，长度为米，道旁有两个研学站点C，D，其中到的距离米到的距离米，求两个站点C，D之间的直线距离； (3)在（2）的情境中，基地计划在观光道上增设一个补给站，使，请用尺规作图确定点的位置，并求出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)点的位置见解析，米 【分析】本题考查了勾股定理的证明及应用，注意计算的准确性即可； （1）由图可知：梯形的面积，的面积；由推出四边形的面积；即可求解； （2）连接，作，则四边形是矩形，推出，，即可求解； （3）作出的垂直平分线即可确定点，设，则；，即可求解； 【详解】（1）解：由图可知：梯形的面积，的面积； ∵， ∴四边形的面积； ∴ ， ∴； （2）解：连接，作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴； ∴两个站点C，D之间的直线距离为米； （3）解：如图所示： 设，则； ∵， ∴，解得：； 即：的长度为米； 【变式题8-3】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图甲，笔直的公路上A，B两点相距，C，D为两村庄，于点A，于点B，已知，，现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E． (1)若规划C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？ (2)若规划C，D两村到收购站E的距离的和最短，请在图乙中通过作图画出收购站E的位置，并求出最短距离． 【答案】(1) (2)图见解析， 【分析】本题考查了作图-应用设计作图，勾股定理，轴对称-最短路线问题，熟记勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在与中，由勾股定理结合得出方程求出x的值即可求解； （2）作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值，在中由勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：设，则， 在与中，由勾股定理得， ，， ∵， ∴， ∴， 解得， 即收购站E应建在离A点处； （2）解：如图，作点C关于的对称点，连接交于点E，则点E即为所求，长即为距离的和最短值， 过点作交的延长线于点F， 则， 即最短距离为． 【题型9】数学文化类问题（提升） 1.核心知识点总结 结合古代数学问题（葭生池中、折竹抵地、荡秋千），本质为勾股定理建模。 提取题干中的直角三角形三要素（如“半尺出水面”“离原处二尺”）。 2.高频考点梳理 2023-2025真题热点：《九章算术》“折竹抵地”、吉林中考“红莲问题”。 文言文翻译与建模结合（将文字转化为直角三角形边长）。 3.易错点警示 误解文言文含义（如“送行二步”为水平距离10尺，“人高五尺”为踏板高度）。 设未知数时混淆边长关系（如红莲问题中，水深为，红莲总长为）。 4.解题技巧拆解 步骤：①翻译题干，确定直角边和斜边；②设未知数（通常设所求量为）；③列勾股定理方程求解。 真题示例（2024吉林中考）：红莲高出水面0.5尺，风吹后离原处2尺，花贴水面，求水深： 解得尺。 【例题9】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，如图，题目是“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇的长各是多少尺？(1丈尺) 【答案】水深为尺，芦苇的长是尺． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据勾股定理列方程并解方程即可求出答案． 【详解】解：设水深为x尺，由题意可得， . 解得， 答：水深为尺，芦苇的长是尺． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·宁夏银川·月考）今有立木，系索其木，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？（选自《九章算术》）题目大意：如图，在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直．那么这根绳索的长度为 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，利用勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，设尺， 由题意得，尺，尺，， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， ∴这根绳索的长度为尺， 故答案为：． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题，大意是：如图，一根竹子原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地，抵地处离竹子底部的水平距离尺，已知，问折断处离地面的高度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，得，再结合，，得，即可算出的值． 【详解】解：∵一根竹子原高一丈（一丈尺），一阵风将竹子从点B处折断，其竹梢C恰好抵地， ∴， 则， ∵，， ∴在中，， 即， ∴， ∴折断处离地面的高度是尺． 故答案为： 【变式题9-3】．（24-25八年级下·云南德宏·期末）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题，一根竹子高10尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．设折断处离地面的高度为 x 尺，根据勾股定理列出方程即可． 【详解】解：设折断处离地面的高度为 x 尺，根据题意可得： 故选：A． 【题型10】跨学科综合问题(提升) 1.核心知识点总结 结合物理(滑轮、斜面)、地理(方位、海拔)等学科，核心为勾股定理建模。 提取跨学科场景中的直角三角形要素(如滑轮问题中的绳子长度、斜面高度与长度)。 2.高频考点梳理 物理滑轮问题：滑块滑动距离与物体升降高度的勾股定理关系。 地理海拔问题：两点水平距离、垂直高度差，求实际距离。 3.易错点警示 混淆跨学科场景中的物理量与几何边长(如滑轮问题中，绳子长度为斜边，水平滑动距离为直角边)。 未统一单位(如海拔差为米，水平距离为千米，需先统一单位)。 4.解题技巧拆解 示例(物理滑轮)：滑块水平距离物体60cm，定滑轮到垂直距离80cm，绳子总长=60+80=140cm；若升高70cm，滑块滑动距离： 新垂直距离=10cm，新水平距离=cm，滑动距离=139.6-60≈79.6cm。 【例题10】．（24-25八年级下·广东广州·期末）实验探究： 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A，一端固定在滑块B上，另一端固定在物体C上；（、B、C可以视作三个点） ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动，以调节物体C的高度． 初始状态 图1物体C静止在轨道上，其到滑轮A的垂直距离为，且． 实验条件 绳子始终绷紧，滑轮、滑块及物体的大小均可忽略． 任务 （1）求绳子的总长度； （2）图2若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】（1）绳子长；（2）滑块B向左滑动的距离为 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）设，则，在中，利用 求解，最后算出绳子长度即可； （2）由题意可知，（），在中，由勾股定理得，，最后算得长度即可． 【详解】解：（1）物体C到定滑轮A垂直距离为，且， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ，， 绳子长度（）． 答：绳子总长度为18分米． （2）如图2，由题意可知，， 若物体C升高，则此时（）， 在中，由勾股定理得，（）， （）． 答：滑块B向左滑动的距离为． 【变式题10-1】．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在地形图上，我们把地面上海拔相同的点连成的闭合曲线叫等高线．如图，曲线即为地形图中的等高线（同一曲线上点的海拔是一样的）．如果量得图中A、T两点之间的距离为3厘米，那么A、T两点之间的实际直线距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，比例尺的应用，熟练掌握勾股定理，是解题的关键．从地形及其等高线可以抽象出一个，分别求出，，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，从地形及其等高线可以抽象出一个， ∵点A的海拔为，点T的海拔为， ∴， 根据比例尺可知：， ∴A、T两点之间的实际直线距离为： ， 故选：D． 【变式题10-2】．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）在物理力学实验探究活动中，同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在滑轮A的正下方物体C上．滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．实验初始状态如图1所示，物体C到定滑轮A的垂直距离， (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若滑块B向左滑动了，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题考查了勾股定理的应用，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， ， 答：绳子的总长度为27； （2）如图2， 由（1）得：， 由题意可知，，，， ， 由勾股定理得：， ， ， 答：此时物体C升高了 【变式题10-3】．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）数学兴趣小组和物理兴趣小组的同学一起进行了如下的实践活动： 【实践主题】 从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】 实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】 在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点A表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，A，B，O，C在同一平面上． 【数学建模】 如图2是小球摆动过程的示意图，，过点B作于点D，过点C作于点E． 【数据测量】 ，，． 【问题解决】请根据以上条件， ①求的长． ②求点D到的距离． 【答案】①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，勾股定理，关键是根据证明三角形全等． ①根据同角的余角相等推出，再根据证明，得，利用线段的和差关系进行求解即可； ②由勾股定理求出，连接，设点D到的距离为，则，代值计算即可． 【详解】解：①∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②在中，， 如图，连接，设点D到的距离为， ∴ ∴， 解得． 即点D到的距离为． 【题型11】最值综合问题（培优） 1.核心知识点总结 结合“将军饮马”模型、轴对称，利用勾股定理求最短路径和。 本质：将折线转化为直线，再用勾股定理计算最短长度。 2.高频考点梳理 同侧两点到直线上一点的距离和最小（将军饮马+勾股定理）。 多段路径和最小（如最小，结合轴对称和勾股定理）。 3.易错点警示 未作轴对称点，直接连接两点（同侧两点需作对称点，异侧可直接连接）。 对称点作错（需作关于直线的对称点，而非其他点）。 4.解题技巧拆解 步骤：①作其中一点关于直线的对称点；②连接对称点与另一点，线段长度为最短距离和；③构造直角三角形，用勾股定理计算长度。 示例：、在直线同侧，到距离4，到距离2，水平距离8，求最小： 作对称点，到距离4，最短距离=。 【例题11】．（24-25八年级上·甘肃武威·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线对称的；（要求：点与点，点与点，点与点相对应） (2)若有一格点到点，点的距离相等（即），则网格中所有满足条件的点共有___________个，并画出来； (3)的面积是___________； (4)在直线上找一点，使得的周长最小． 【答案】(1)图见解析 (2)9，图见解析 (3)5 (4)图见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形、作线段垂直平分线、利用网格求三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称图形和轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用网格画出的线段垂直平分线，由此即可得； （3）根据的面积等于一个长方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得； （4）连接，交直线于点，先求出，，则的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的长最小，由此即可得． 【详解】（1）解：即为所求． ． （2）解：由题意可知，点在的线段垂直平分线上，如图所示： 则网格中所有满足条件的点共有9个， 故答案为：9． （3）解：的面积为， 故答案为：5． （4）解：如图，连接，交直线于点，则的周长最小． 理由：由轴对称的性质可知，， ∵， ∴的周长为， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的长最小，的周长最小， ∴点即为所求． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·山东济南·阶段练习）阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小． 方法：如图②，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图③，若、两点在直线同侧，分别过点、作，，为线段上一动点，连接、．已知，，，设． （1）用含的代数代表示的长为__________． （2）图③中，当的值最小时，求出最小值； 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值． （3）求代数式的最小值． 【答案】（1），（2）17，（3）5 【分析】此题考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，解题的关键是利用了数形结合的思想，构造直角三角形解决问题，正确理解题意构造直角三角形是解题的关键： （1）由于和都是直角三角形，故可由勾股定理求得； （2）若点C不在的连线上，根据三角形中任意两边之和>第三边知，，故当A、C、E三点共线时，的值最小； （3）仿照拓展应用构造直角三角形，利用勾股定理求解即可 【详解】解：（1）由勾股定理知， ∴ ， 故答案为：； （2）当A、C、E三点共线时，的值最小，如下图，    ∴； （3） 建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和， 则 ， 那么，代数式的最小值为5． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·浙江金华·阶段练习） “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图，点、在直线的同侧，点到的距离，点到的距离，． ①请在图1直线上作出点，使得最小； ②的最小值为______； (2)如图2，在等腰中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是______； (3)如图3，正方形的边长为4，、分别是边和上的动点且始终满足，连结、，求的最小值． 【答案】(1)①图见解析；②5 (2) (3) 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，轴对称-最短问题，解题的关键是掌握轴对称-最短问题． （1）①利用轴对称解决最短问题，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求；②作，交的延长线于点H，证明四边形是长方形，再根据勾股定理求出结论即可． （2）作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长，利用勾股定理求出点的长即可； （3）首先利用证明，得，将的最小值转化为的最小值，然后由（2）同理可得答案． 【详解】（1）解：①如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求作； ②作，交的延长线于点H， ∴ ∴四边形是长方形， ， ， ， ， ∵点A关于直线l的对称点， ， 的最小值为； （2）解：作点C关于的对称点，连接交于，此时的最小值为的长， 由对称性知，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）连接，作点D关于点A的对称点，连接交于点， 则， 正方形中，， 又∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值是． 【变式题11-3】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，为线段上一动点，分别过点、作，，连接、．已知，，，设．    (1)用含的代数式表示的长； (2)请问点满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？ (3)根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值． 【答案】(1) (2)、、三点共线 (3) 【分析】本题考查了勾股定理，两点之间线段最短，数形结合是解题的关键． （1）根据题意，，，设，得到，利用勾股定理求解即可； （2）连接，根据，得到当、、三点共线时，的值最小； （3）根据，构造，，，，当、、三点共线时，最小，最小值为，延长到点，过点作于点，则四边形是长方形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解： ，设， ， ，，，， ，， ； （2）连接， ， 当、、三点共线时，的值最小． 故点满足的条件为、、三点共线； （3）如图所示，根据，构造，，，， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 延长到点，过点作于点， 则四边形是长方形， ，，， ， 即的最小值为． 【题型12】勾股定理创新应用(培优) 1.核心知识点总结 弦图原理：利用四个全等直角三角形拼成正方形，通过面积关系验证。 创新情境：无人机测距、折叠最值、航海动态避险等实际问题。 核心：将复杂情境转化为直角三角形模型，灵活运用勾股定理。 2.高频考点梳理 弦图变式题：已知弦图中正方形边长或直角三角形边长，求未知量(中考创新题)。 实际动态问题：如台风影响范围、无人机飞行测距，求安全距离或时间。 跨学科结合：与物理运动学结合，求斜面上物体滑动距离。 3.易错点警示 弦图变式中，未识别出全等直角三角形和正方形的边长关系。 实际问题建模时，未考虑动态变化中的临界条件(如台风中心到观测点的最短距离)。 跨学科问题中，混淆物理量与几何边长的对应关系。 4.解题技巧拆解 弦图问题：先明确大正方形边长=直角三角形斜边，小正方形边长=，再结合求解。 动态实际问题：①确定临界位置(如台风中心到观测点的最短距离)；②构造直角三角形；③代入计算关键量（距离、时间）。 【例题12】．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则． 【探索求证】 （1）与按如图2所示位置放置，连接，其中，请你利用图2推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）问中，若，，，，，设，求x的值． 【答案】（1）见解析；（2）少0.16千米；（3）6 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，理解题意是解答的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）由，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 【变式题12-1】．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边的长度为a，b，斜边的长度为c，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）在中，，，，且点D在直线上，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）10或22 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识，熟知勾股定理是解题的关键． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）分点D在线段上和点D在线段的延长线上两种情况，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得， ， 解得，即千米， 千米， 答：新路比原路少千米； （3）如图所示，当点D在线段上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 如图所示，当点D在的延长线上时， ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴； 综上所述，的长为10或22． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·河南焦作·月考）综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”，他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式，严密又直观，为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范．如图1，“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形． (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为：________（化简），也可直接表示为大正方形边长的平方，即________，所以________，勾股定理得到了验证； (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒（如图2），聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积，也可证明勾股定理，请你就图2情形进行证明； (3)拓展应用 若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图3所示的“数学风车”，请直接写出这个风车的外围周长． 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)76 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式与几何图形． （1）根据完全平方公式化简，用大正方形边长求出大正方形的面积，根据面积相等列等式即可； （2）依据题意，四边形的面积从大的一方面来说属于直角梯形，可利用直角梯形的面积公式进行表示；从组成来看，由三个直角三角形组成．利用三角形的面积公式来进行表示即可； （3）根据外延的4部分全等，且，由勾股定理求得，再根据风车的外围周长，据此计算即可． 【详解】（1）因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和，即面积表示为： ，也可直接表示为大正方形边长的平方，即，所以，勾股定理得到了验证； 故答案为：；；； （2）证明：由题意，图中的四边形为直角梯形，为等腰直角三角形，和的形状和大小完全一样， 设梯形的面积为，则， 又， ， （3）如图2，由题意知，外延的4部分全等，且， ∴， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在年构造发现了一个新的证法：把两个全等的和按如图所示的方式放置，其三边长分别为，，，，显然． （1）请用，，，分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． 【方法迁移】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图，小正方形边长为，连接小正方形的三个顶点，可得，边上的高为_________． （3）如图，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）；；；；证明见解析 （2） （3） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在 和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：由题图，可知 ， ，． 因为， 所以， 所以， 所以． （2）由题图，可知，． 所以， 解得． （3）解：在中，由勾股定理，得． 由题意，得． 在中，由勾股定理，得． 所以， 解得：． 【题型13】立体图形表面最短路径(提升) 1.核心知识点总结 化曲为直：将长方体/圆柱表面展开为平面图形，最短路径为两点间线段。 长方体有3种展开方式，圆柱侧面展开为长方形(长=底面周长)。 2.高频考点梳理 长方体表面两点间最短路径(比较3种展开方式的线段长度)。 圆柱侧面缠绕问题(展开后求斜边，多圈缠绕需乘以圈数)。 3.易错点警示 长方体展开时漏算一种方式(需计算、、三种情况)。 圆柱缠绕多圈时，底面周长未乘以圈数(如2圈则展开长=2×底面周长)。 4.解题技巧拆解 长方体最短路径计算表： 展开方式 直角边1 直角边2 路径长度 前+右 前+上 左+上 圆柱侧面路径：（为圈数，为底面周长，为圆柱高）。 【例题13】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发，经过3个面爬到点正下方的处，则蚂蚁走的最短路径为 ． 【答案】 【分析】此题考查了平面展开最短路径问题，勾股定理，熟练求出的长是解本题的关键． 将正方体展开，根据两点之间线段最短，构造出直角三角形，进而求出最短路径的长． 【详解】解：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时最短， ∴， 故答案为：． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”，它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器，属于色散棱镜的一种，能够使复色光在通过棱镜时发生色散．示意图如图所示．在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这圈金属丝的长度至少为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题关键．将棱镜侧面展开，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，将棱镜侧面展开， 根据题意，可得，， ， 所以，这圈金属丝的长度至少为． 故答案为：10． 【变式题13-2】．（23-24八年级下·山东聊城·期中）【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，和是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为___________，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是，高是，若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点，则蚂蚁爬行的最短距离为___________． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计）（画出示意图并进行计算） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，由题意得 ， 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，, ， ， ， 蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期中）为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题．为此，某数学兴趣小组开展了综合与实践活动，记录如下： 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干，皮尺，剪子，直尺 研究问题 如图1，一个圆柱的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物，那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少？ 设计方案 （1）将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开，确定展开图的形状，以及与圆柱的对应关系，； （2）在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置； （3）在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线，并计算它的长度． 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息，解决下列问题： (1)圆柱的侧面展开图是__________； (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线； (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程． 【答案】(1)长方形 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查立体几何中最短路线问题，把曲面上的最短路径问题转化为平面上的最短路径问题是解题的关键． （1）由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为长方形； （2）观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接即可； （3）根据（2）中的位置，根据勾股定理进行求解计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，得到展开图的形状为：长方形， 故答案为：长方形； （2）解：观察圆柱发现，A、B两点是相对的顶点，将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开后，点B位于长方形中与点A所在的线段的对边中点处，根据两点之间，线段最短，连接，如图： （3）解：、、 ． 答：蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程为． 【题型14】折叠与勾股综合问题(培优) 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，利用全等转化边长。 折叠后形成直角三角形，结合勾股定理列方程求解未知边。 2.高频考点梳理 长方形折叠(如折顶点到对边，求折痕长度或剩余线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，利用勾股定理求重叠部分)。 3.易错点警示 折叠后未准确识别对应边(如长方形折叠后，顶点落在对边上，需明确折痕两侧的相等边)。 忽略折叠后的直角关系(如折叠后形成的新直角三角形，未利用勾股定理)。 4.解题技巧拆解 关键：标记折叠后相等的线段(如设，则)，构造直角三角形。 示例：长方形，，，折到上的，求： 设，则，，，，列方程： 解得。 【例题14】．（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在长方形中，分别是上的点．现将四边形沿EF折叠，点的对应点分别为，且点恰好落在上．连接，过作，垂足为G，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查胡不归问题，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题． 连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接． 由翻折变换的性质可知垂直平分线段，， ， 、G、N三点共线， ， 四边形是长方形， ， ， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【变式题14-1】．（25-26八年级上·四川成都·期中）在综合与实践课上，蓉宝同学将正方形纸片沿过点A的直线折叠，如图1，使点B落在正方形内部的点G处，折痕为，延长交于点F，连接． (1)求证：； (2)若，，求正方形的边长； (3)如图2，过点F作于点M，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形，是解题的关键： （1）根据证明，即可得证； （2）设正方形的边长为，分别表示出的长，在中，利用勾股定理进行求解即可； （3）过点作，交于点，交于点，易得，根据折叠的性质，全等三角形的性质，推出为等腰直角三角形，得到，证明，得到，进而得到，等边对等角，求出的度数即可． 【详解】（1）证明:∵四边形是正方形， ∴，， ∵折叠， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：∵折叠， ∴， 设正方形的边长为，则：， 由（1）知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴正方形的边长为6； （3）解：过点作，交于点，交于点，则：， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）在一节数学综合实践课上，老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动． 如图①，在长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）． (1)试探究重叠部分的形状，并说明理由； (2)若，，请直接写出面积的最小值为______． (3)把长方形纸片对折，折痕为，请你仅用圆规在图③的折痕上找一点，使得为等边三角形．（保留作图痕迹，不写作法）． (4)如图④，若，，在边上找一点，在边上找一点，将沿翻折得．设与边交于点，当点、位置发生变化时，点的位置也跟着变化，试求整个变化过程中最大值与最小值的和． 【答案】(1)为等腰三角形，理由见解析 (2) (3)见解析 (4) 【分析】（1）利用长方形对边平行的性质得到，结合折叠的性质得到，通过等量代换得出，进而判定三角形为等腰三角形； （2）根据等腰三角形的边长关系，结合三角形面积公式，分析出最小时面积最小，进而计算即可； （3）以为圆心，的长为半径作弧交于点，连接、，则是等边三角形； （4）分别画出取得最大值与最小值的示意图，再利用翻折的性质以及勾股定理求出的最大值与最小值，两者相加即可解答． 【详解】（1）解：为等腰三角形，理由如下： ∵长方形纸片沿线段折叠， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：由（1）得， ∵的面积， ∴当最小，即最小时，的面积取得最小值， ∴当时，的面积的最小值． 故答案为：． （3）解：如图，点即为所求： 由折叠可得，， 由作图可得，， ∴， ∴是等边三角形； （4）解：当点与点重合，点与点重合时，有最大值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的最大值为； 当点与点重合，点与点重合时，有最小值， 由翻折的性质得，， ∵长方形纸片， ∴，， ∴， ∴， ∴的最小值为； ∴最大值与最小值的和为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定、尺规作图、等边三角形的判定、勾股定理与翻折问题，熟练掌握相关知识点，根据题意准确画出图形是解题的关键． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）综合与实践： 探究长方形折叠问题 背景 如图①，在长方形中，，，，点是射线上一动点，点沿过点、的直线翻折得到点． 素材1 如图②，若点运动到点，连接交于点． 素材2 如图③，若翻折后点落在边上，连接，． 素材3 连接和，当点在射线上移动时，小明发现存在某个位置，使得是直角三角形． 问题解决 任务1 在素材1中，求证：． 任务2 在素材2中，求长． 任务3 在素材3中，小明发现的结论是否存在?若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】任务1：见解析；任务2： ；任务3：存在，3或或30 【分析】本题考查了翻折的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质等知识点，难度较大，注意分类讨论的思想． 任务1：根据翻折得到角平分线，结合平行线，继而根据等角对等边得结论； 任务2：根据勾股定理求出，进而求出，在中，由列方程求解； 任务1：分三种情况讨论，一是，连接，由垂直平分，得，则，可证明，则，求得；二是，点在上，此时点在上，连接、，则，，由勾股定理得，所以，则，求得；三是，点在的延长线上，此时点在的延长线上，连接、，求得，则，，所以，求得． 【详解】任务1：证明： ∵， ∴， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴； 任务2：∵翻折， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， 的长是； 任务3：解：存在，理由如下： 图1，，连接，   点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ； 如图2，，点在上，    ， 点在上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ∵ ，， ， 解得； 如图3，，点在的延长线上，   ， 点在的延长线上， 连接、， 垂直平分， ，， ， ， ，， ， ， 解得， 综上所述，的长为3或或30． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·福建宁德·期中）平静的水池中央生长着一株荷花，荷花高出水面1尺．一阵强风吹过，荷花被吹至倾斜，其顶端恰好接触到岸边的水面．此时，荷花顶端相比于原位置，在水平方向上移动了4尺．由此可知水池的深度是 A．7尺 B．尺 C．8尺 D．尺 【答案】B 【分析】本题考查了解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 设水池的深度为尺，利用勾股定理，列出关于的方程求解． 【详解】解：设水池的深度为尺， 则， 解得：， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①，彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用勾股定理求出长方形对角线长度，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长． 【详解】解：彩旗下垂时最低处离地面的最小高度即为旗杆的高度减去彩旗的对角线的长， 彩旗的对角线长为， ∴． 则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段练习）《醉翁亭记》中写道：“……射者中……”，其中“射”指投壶，宴饮时的一种游戏．如图，现有一圆柱形投壶，内部底面直径是，内壁高，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，求出箭在投壶外面部分的最大长度和最小长度即可判断求解，利用勾股定理求出箭在投壶外面部分的最小长度是解题的关键． 【详解】解：由题意，箭在投壶外面部分的长度最长为， 最小长度为； 故箭在投壶外面部分的长度不可能是； 故选A． 4．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）《九章算术》“勾股”章记载：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何？”题目大意：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处，那么折断处离地面的高度为多少？（注：1丈尺）．若设竹子未折断部分的高度为尺，根据勾股定理可列方程求解，则未折断部分的高度为（　　） A．4.55尺 B．5.45尺 C．6.35尺 D．7.25尺 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，准确计算是解题的关键． 本题可根据竹子折断后形成的直角三角形进行求解，关键是要利用勾股定理建立方程． 【详解】设竹子未折断部分的高度为尺，因竹子高尺，所以折断部分的高为尺， 根据题意可得出图形： ， 解得：； 故选． 5．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，一个棱长为60厘米的正方体快递包裹，在顶点A处有一只蚂蚁．蚂蚁沿着正方体的表面爬行，从顶点A爬到顶点B的最短路程是（    ）    A．厘米 B．120厘米 C．厘米 D．厘米 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确将正方体展开，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 根据正方体展开图的特点，将正方体展开，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将正方体展开，则，， ∴由勾股定理得， ∴需要爬行的最短路程是厘米， 故选：D．    二、填空题 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）一根竖直的旗杆在离地面3米处折断，旗杆顶部落在地面离旗杆底部4米处，未折断前旗杆高 米． 【答案】8 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． 通过勾股定理计算折断部分长度，进而求解旗杆原高． 【详解】解：根据勾股定理得，旗杆上半截长度为（米）， 所以，未折断前旗杆高度为（米） 故答案为：8． 7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 8．（2025八年级上·江苏·专题练习）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，米，米，，由勾股定理得：，解方程即可求出所求． 【详解】解：由题意得：米，米，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则旗杆的长为米． 故答案为：． 9．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开图，勾股定理，两点之间，线段最短的知识点．熟练掌握圆柱的侧面展开图，勾股定理是解题的关键． 把圆柱形玻璃杯的侧面沿母线展开成矩形，把立体空间中蚂蚁到蜂蜜的最短路径问题，转化为平面直角三角形中斜边长度的计算问题，进而利用勾股定理求解． 【详解】解： 圆柱底面周长为， 展开后长方形的长为，长的一半为（水平方向的关键距离）， 圆柱高为，点离杯底， 垂直方向的距离为， 展开后，蚂蚁从到的最短路径是直角三角形的斜边，两条直角边分别为（水平）和（垂直）， 根据勾股定理，最短距离． 故答案为． 10．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在中，，，，点在线段上从点向点移动，同时，点在线段上由点向点移动，当点与点重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余等知识，先证为直角三角形，则，作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，然后证明，所以，，根据等面积法求得，由勾股定理得，则有，所以，证明，所以，故有，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形，则， 作交于，作，并使得，过点作交延长线于点，连接，， 则，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵点，点运动速度相同， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，当点在上时，取等号， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·江西九江·期中）小逸同学想利用勾股定理的知识来测量教学楼的高度，他用一根绳子从楼顶垂下，发现绳子垂到地面后还多了米，当他把绳子的下端拉开米后，发现绳子下端刚好接触地面，求教学楼的高． 【答案】米 【分析】本题考查勾股定理的应用，设教学楼高为米，则绳子长为米，当绳子下端拉开米后，绳子、教学楼和地面构成直角三角形，应用勾股定理列出方程求解．掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：设教学楼高为米，则绳子长为米， 依题意，得：， 解得：， 答：教学楼的高为米． 12．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处（即米，于点A），在B处有一艘游船，工作人员用绳子在C处拉船靠岸，开始时绳子的长为12米．为了让游船靠岸，工作人员以1米/秒的速度收绳，7秒后游船移动到点D处（点D在上），求游船向岸边移动的距离．（结果保留根号） 【答案】米 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，二次根式的运算，关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型． 在中，利用勾股定理计算出长，继而可得长，然后再利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】解：在中，，米，米， （米）， 工作人员以1米秒的速度收绳，7秒后游船移动到点处， （米）， 在中，（米）， 米． 13．（25-26七年级上·山东东营·期中）某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)海港受台风影响的时间会持续h 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）过点作，利用勾股定理求出，再利用等面积法得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）假设当时，正好影响港口，利用勾股定理得出，再得出的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作， ，，， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，假设当时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为， （h）， 答：海港受台风影响的时间会持续h． 14．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）《九章算术》中有这样一个问题，“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问：索长几何？”题目大意：在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺．在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直，这根绳索有多长？                                                                                                            【答案】绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺，在中，根据勾股定理即可列出方程解答即可． 【详解】解：如图， 设绳索的长为x尺，则木柱的长为尺， 在中， 由勾股定理得，， ， 解得：， 答：绳索长为尺． 15．（25-26八年级上·四川成都·期中）八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得如图风筝到地面的高度，他们进行了如下操作： ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.68米． (1)求风筝的高度； (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点（即米），求的长度． 【答案】(1)米 (2)26 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求得的长即可求解； （2）根据勾股定理求得的长即可． 【详解】（1）解：由题意，，， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， ∴（米）， 答：风筝的高度为米． （2）解： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴（取正）， 即的长度为26米． 16．（25-26八年级上·山东枣庄·月考）【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 学科网（北京）股份有限公司 $13.2勾股定理的应用 【题型1】梯子滑落高度问题 1.核心知识点总结 直接应用勾股定理:直角三角形中,(为斜边)。 梯子长度为斜边,墙与地面垂直构成直角三角形,顶端下滑/底端滑动后仍满足勾股定理。 2.高频考点梳理 已知初始状态两边长度,求滑动距离(顶端下滑高度或底端滑动距离)。 多步计算:先求初始高度/水平距离,再求滑动后对应边长,差值为滑动距离。 3.易错点警示 误将梯子顶端下滑距离与底端滑动距离相等(实际不相等,需通过勾股定理计算)。 忽略梯子长度不变(始终为斜边),错把滑动后某边当作原边长。 4.解题技巧拆解 步骤:①确定直角三角形三要素(斜边=梯子长);②代入勾股定理求未知边;③计算滑动前后边长差值。 【例题1】.(25-26八年级上 浙江宁波 期中)如图,一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上,这时B到墙底端C的距离为米. (1)求梯子的顶端到地面的距离的长. (2)如果梯子的顶端沿墙面下滑米,那么B将向外移动多少米? 【变式题1-1】.(25-26八年级上 甘肃白银 期中)白银市全民健身中心正在维修屋顶,工作人员使用一架长为5米的梯子靠在墙上,已知梯子底部距离墙面3米,且梯子顶端刚好到达屋顶边缘.请问这面墙的高度是多少米?(假设墙面与地面垂直,梯子、墙面和地面构成一个直角三角形) 【变式题1-2】.(25-26八年级上 重庆 阶段练习)一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动的距离为( ) A.4米 B.6米 C.8米 D.15米 【变式题1-3】.(25-26八年级上 河南平顶山 阶段练习)如图,一架长的梯子斜靠在竖直的墙上,这时梯子的底端B到墙底O的距离为. (1)求梯子的顶端A 距地面有多高; (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处,求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少. 【题型2】旗杆/物体高度问题 1.核心知识点总结 构造直角三角形:旗杆(物体)垂直地面,绳子/视线为斜边,地面距离为直角边。 结合实际条件:绳子余长、观测者身高、水平距离等补充边长。 2.高频考点梳理 已知绳子长度(斜边)和水平距离,求旗杆高度(直角边)。 含余长问题:绳子长度=旗杆高度+余长,结合勾股定理列方程。 3.易错点警示 遗漏观测者身高(如放风筝时,风筝高度=直角边长度+观测者身高)。 混淆绳子长度与斜边(绳子未拉直时不能直接作为斜边)。 4.解题技巧拆解 建模技巧:画示意图标注直角边(地面距离、旗杆高度)和斜边(绳子长)。 公式:(若有)。 【例题2】.(河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷)如图1,同学们想测量旗杆的高度,他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下: 小明:①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米,如图1;②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部6米,如图2. 小亮:先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结(打结所用绳长忽略不计),然后举起绳结拉到如图3所示的点处.已知小亮举起的绳结离地面2.25米高,此时绳结离旗杆6.75米远. 请选择一种方案求出旗杆的高度. 【变式题2-1】.(24-25七年级上 山东淄博 期中)小明买了一个年画风筝,并进行了试放,为了验证某些数学问题,他设计了如下的方案:先测得放飞点与风筝的水平距离为;根据手中余线长度,计算出的长度为;牵线放风筝的手到地面的距离为.已知点A,B,C,D在同一平面内. (1)求风筝离地面的垂直高度; (2)在余线仅剩的情况下,若想要风筝沿射线方向再上升,请问能否成功?请说明理由. 【变式题2-2】.(24-25八年级上 全国 期末)如图,数学兴趣小组要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米,小明同学将绳子拉直,绳子末端落在点处,到旗杆底部的距离为米. (1)求旗杆的高度; (2)小明在处,用手拉住绳子的末端,后退至观赛台的米高的台阶上,此时绳子刚好拉直,绳子末端落在点处,问小明需要后退几米(即的长)?(,结果保留位小数) 【变式题2-3】.(25-26八年级上 四川成都 期中)如图,数学兴趣小组要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为2米,小明同学将绳子拉直,绳子末端落在点处,到旗杆底部的距离为6米. (1)求旗杆的高度; (2)小明在处,用手拉住绳子的末端,后退至观赛台的2米高的台阶上,此时绳子刚好拉直,绳子末端落在点处,问小明需要后退几米(即的长)? 【题型3】大树折断前高度问题 1.核心知识点总结 折断后形成直角三角形:树干剩余部分(直角边)、地面距离(直角边)、折断部分(斜边)。 原高度=剩余部分长度+折断部分长度()。 2.高频考点梳理 已知剩余高度和地面距离,求原高度。 逆向问题:已知原高度和地面距离,求折断位置。 3.易错点警示 误将折断部分当作直角边(实际为斜边,长度最长)。 计算原高度时遗漏剩余部分或折断部分。 4.解题技巧拆解 步骤:①求折断部分长度;②原高度。 【例题3】.(25-26八年级上 山东青岛 期中)《九章算术》中有“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?”大体意思是:一根竹子原高一丈(1丈尺),从某处折断后,竹梢触地面处与竹根的水平距离为3尺.则竹子折断处离地面的高度(即折断后直立部分的长度)为 尺. 【变式题3-1】.(25-26八年级上 四川 期中)如图所示,一棵高24米的大树处发生断裂,断裂后树的顶部落在离底部12米处,这棵大树在距离地面 米处发生断裂. 【变式题3-2】.(21-22八年级下 北京海淀 期中)如图,《九章算术》中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺,问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=十尺),折断后,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,求折断处离地面的高度.设竹子折断处离地面尺,根据题意,列出的正确方程为( ) A. B. C. D. 【变式题3-3】.(25-26八年级上 广东佛山 期中)如图,超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折,折断处与地面的距离,树尖恰好碰到地面.在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车,,树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由. 【题型4】水杯中筷子最值问题 1.核心知识点总结 圆柱形容器内,筷子最长时为斜边(底面直径+高为直角边),最短时为容器高度。 露在外面长度,最值对应容器内长度最值。 2.高频考点梳理 已知容器底面直径、高和筷子总长,求露在外面长度的取值范围。 逆向问题:已知露在外面长度,求筷子总长或容器尺寸。 3.易错点警示 混淆底面直径与半径(计算直角边时需用直径)。 忽略“最长长度”为斜边,误将筷子长度直接等于容器高度。 4.解题技巧拆解 关键公式: 容器内筷子长度 计算方式 最长(斜放) (为底面直径,为容器高) 最短(竖放) (容器高度) 取值范围:。 【例题4】.(23-24八年级上 四川遂宁 期末)如图将一根长为的筷子,置于底面直径为,高为的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为,则h的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式题4-1】.(25-26八年级上 陕西 阶段练习)如图,是一个长方体的盒子,长,宽,高分别为,,,现将一根长为的筷子插入到盒子的底部,则筷子露在盒外的部分的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式题4-2】.(2025八年级上 全国 专题练习)如图,将一根长的筷子,置于底面直径为,高为的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度为,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【变式题4-3】.(25-26八年级上 全国 单元测试)将一根长的筷子置于底面圆直径为、高为的圆柱形水杯中,如图,设筷子露在杯子外面的长度为,则h的取值范围是( ) A. B. C. D. 【题型5】航海方位角问题 1.核心知识点总结 结合方位角(北偏东/南偏西等)构造直角三角形,方位角夹角为90 时直接构成直角。 路程=速度 时间,通过勾股定理求两船距离或某船速度。 2.高频考点梳理 已知两船航向(夹角90 )、速度和时间,求距离。 已知距离和一船速度,求另一船速度。 3.易错点警示 方位角判断错误(如北偏东30 与南偏东60 夹角为90 ,需准确画图)。 忽略时间单位统一(如速度为海里/时,时间为小时,路程单位为海里)。 4.解题技巧拆解 步骤:①画方位角示意图,确定直角三角形直角边(两船路程);②计算路程;③用勾股定理求斜边(两船距离)或未知边(速度)。 示例:甲船北偏东40 ,速度16海里/时,乙船南偏东50 ,3小时后距60海里,乙船速度:甲路程=48海里,乙路程=海里,速度=36 3=12海里/时。 【例题5】.(25-26八年级上 江苏南京 期中)一艘轮船以12海里/时的速度从港口出发向北航行,另一轮船以5海里/时的速度同时从港口出发向东航行,离开港口1小时后两船相距( ) A.12海里 B.8海里 C.10海里 D.13海里 【变式题5-1】.(25-26八年级上 河南焦作 阶段练习)目前,河南省已建立各类自然保护地351处,有效保护了野生动植物.如图,南北方向线以西为某保护区,以东为普通区域,上午10时20分,监测站发现正东方向有一违规进入的车辆以72千米/小时的速度沿正西方向偷偷向保护区驶来,便立即通知正在线上巡逻的巡逻车,巡逻车立即以60千米/小时的速度向正北方向驶去.已知开始时,的距离是13千米,,的距离是5千米,,的距离是12千米.巡逻车能否拦截住违规车辆? 【变式题5-2】.(25-26八年级上 陕西汉中 阶段练习)如图,在大型徒步定向越野比赛中,选手和选手从起点同时出发,选手以每小时7.5千米的速度沿北偏东方向徒步,选手以每小时4千米的速度沿另一方向徒步,2小时后选手分别到达打卡点,此时两名选手相距17千米.试确定选手的徒步方向. 【变式题5-3】.(25-26八年级上 山西太原 阶段练习)如图,一艘货轮在B处向正东方向航行,船速为,此时,一艘快艇在B的正南方向的A处,以的速度要将一批货物送到货轮上,问快艇最快需要多少时间? 【题型6】台风影响判断问题(提升) 1.核心知识点总结 求点到直线的距离(海港到台风移动路线的垂直距离),判断是否小于影响半径。 影响时间=影响路段长度 台风移动速度(影响路段为圆与直线的交点间距离)。 2.高频考点梳理 已知台风移动路线、海港位置(三角形三边),判断是否受影响。 计算影响持续时间(求弦长)。 3.易错点警示 误将海港到台风初始位置的距离当作点到直线距离(需用面积法求垂直距离)。 漏算影响路段长度(弦长=2,为影响半径,为垂直距离)。 4.解题技巧拆解 关键步骤: 求垂直距离:用三角形面积公式(为台风路线长度)。 判断影响:若 ,受影响;反之不受。 求影响时间:弦长,时间。 【例题6】.(25-26八年级上 四川 期中)据中央气象台消息,第21号台风“麦德姆”于2025年10月5日在广东徐闻第一次登陆.如图,海港C接到台风警报,一台风中心在沿着直线的方向以的速度移动,已知距台风中心的区域(包括边界)都属于受台风影响区,经工作人员测量:,,.问: (1)海港C会不会受到台风的影响? (2)若海港C会受到台风的影响,那么受台风影响的时间为多少小时? 【变式题6-1】.(25-26八年级上 江西景德镇 期中)如图,,在距离点米的处有一学校,一重型卡车沿道路ON方向行驶,在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响. (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响.为什么? (2)若卡车的行驶速度是24千米每小时,求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间. 【变式题6-2】.(25-26八年级上 安徽宿州 月考)如图,在一条东西方向公路的北边有一鸟类巢穴C,公路上有A、B两处观测点,观测点A距离鸟类巢穴,观测点B距离鸟类巢穴,两观测点A、B相距.大货车行驶时会对周围范围造成噪声污染. (1)求点C到公路的距离; (2)一辆大货车以的速度经过公路时,会对鸟类巢穴造成噪声污染吗?若不会造成噪声污染,请说明理由;若会造成噪声污染,求出大货车对鸟类巢穴造成噪声污染的时长. 【变式题6-3】.(25-26八年级上 四川成都 阶段练习)如图,在点正北方的处有一信号接收站,点在点的北偏东的方向,一信号车从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号,信号接收站接收信号的有效范围为. (1)作于点,求点到射线的距离;并判断处是否能接收信号,说明理由; (2)信号接收站若能接收信号,求出接收信号持续多长时间? 【题型7】数轴上表示无理数(提升) 1.核心知识点总结 利用勾股定理构造直角三角形,斜边长度为(为正整数),再用圆规在数轴上截取。 关键:找到两个正整数、,使。 2.高频考点梳理 画、、等无理数对应的数轴点。 连续构造:利用已画的作为直角边,画。 3.易错点警示 构造直角三角形时,直角边长度选择错误(如画需用1和2,而非2和2)。 圆规截取时,圆心或半径错误(圆心为原点,半径为斜边长度)。 4.解题技巧拆解 构造方法表: 无理数 直角边1 直角边2 构造步骤 1 1 画直角边1,斜边为,截取到数轴 1 } 以为直角边,另一直角边1,斜边为 1 2 画直角边1和2,斜边为,截取到数轴 【例题7】.(25-26八年级上 陕西汉中 阶段练习)如图,正方形的面积为,顶点在数轴上,且点表示的数为,数轴上有一点在点的左侧,若,则点表示的数为 . 【变式题7-1】.(25-26八年级上 甘肃白银 阶段练习)已知两个正方形的边长分别是,且满足. (1)如图①,,数轴上点A对应的是m,n中的 ;(填m或n) (2)请在图②的数轴上找到另一个数对应的点. 【变式题7-2】.(25-26八年级上 广东 阶段练习)如图所示,已知,. (1)说出数轴上点A所表示的数为 ; (2)在数轴上找出对应的点.(保留作图痕迹) (3)比较点A所表示的数与的大小,要求写出具体过程; 【变式题7-3】.(25-26八年级上 山西晋中 阶段练习)如图,在数轴上,点与原点重合,点表示的数是,且,连接.以点为圆心,长为半径画弧,在点左侧与数轴交于点,则点表示的数是( ) A. B. C.1 D. 【题型8】选址使距离相等问题(提升) 1.核心知识点总结 利用勾股定理列方程:设选址点到某点距离为,表示出到另一点的距离,列等式求解。 直角三角形中,斜边相等或直角边相等的建模。 2.高频考点梳理 公路上选址,使到两侧村庄距离相等。 结合垂直距离(村庄到公路的距离)构造直角三角形。 3.易错点警示 设未知数时混淆线段关系(如设,则,需准确表示)。 遗漏垂直条件(村庄到公路的距离为直角边,不可忽略)。 4.解题技巧拆解 建模方法:设停靠站到距离为,则到距离为(为总长),列方程: (、为两村庄到公路的垂直距离)。 【例题8】.(25-26八年级上 四川达州 月考)如图,公路上A、B两点相距,C、D为两村庄,已知,,于A,于B,现要在上建一个服务站E,使得C、D两村庄到E站的距离相等,则的长是( ). A.4 B.5 C.6 D.2 【变式题8-1】.(25-26八年级上 全国 期中)如图,公路上两点相距为两村庄,于点于点.已知,现在要在公路上建一个土特产市场,使得两村庄到市场的距离相等.市场应建在距点多少千米处? 【变式题8-2】.(25-26八年级上 山东枣庄 阶段练习)勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.千百年来,证明勾股定理的方法层出不穷,以下为勾股定理的一种证法: 把两个全等的直角三角形()按如图1所示的方式放置, ,点在边上,设两直角边,斜边,连接,用分别求出梯形,四边形的面积,再探究三个图形面积之间的关系,可得到勾股定理. (1)请根据图1中图形的面积关系证明勾股定理; (2)如图2,某研学基地有一条观光道,长度为米,道旁有两个研学站点C,D,其中到的距离米到的距离米,求两个站点C,D之间的直线距离; (3)在(2)的情境中,基地计划在观光道上增设一个补给站,使,请用尺规作图确定点的位置,并求出的长度. 【变式题8-3】.(25-26八年级上 四川成都 阶段练习)如图甲,笔直的公路上A,B两点相距,C,D为两村庄,于点A,于点B,已知,,现在计划在公路的段上建一个土特产收购站E. (1)若规划C,D两村到收购站E的距离相等,则收购站E应建在离A点多远处? (2)若规划C,D两村到收购站E的距离的和最短,请在图乙中通过作图画出收购站E的位置,并求出最短距离. 【题型9】数学文化类问题(提升) 1.核心知识点总结 结合古代数学问题(葭生池中、折竹抵地、荡秋千),本质为勾股定理建模。 提取题干中的直角三角形三要素(如“半尺出水面”“离原处二尺”)。 2.高频考点梳理 2023-2025真题热点:《九章算术》“折竹抵地”、吉林中考“红莲问题”。 文言文翻译与建模结合(将文字转化为直角三角形边长)。 3.易错点警示 误解文言文含义(如“送行二步”为水平距离10尺,“人高五尺”为踏板高度)。 设未知数时混淆边长关系(如红莲问题中,水深为,红莲总长为)。 4.解题技巧拆解 步骤:①翻译题干,确定直角边和斜边;②设未知数(通常设所求量为);③列勾股定理方程求解。 【例题9】.(24-25八年级上 甘肃兰州 期中)我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题,就是“引葭赴岸”问题,如图,题目是“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,长各几何?”题意是:有一正方形池塘,边长为一丈,有棵芦苇长在它的正中央,高出水面部分有一尺长,把芦苇拉向岸边,恰好碰到岸沿,问水深和芦苇的长各是多少尺?(1丈尺) 【变式题9-1】.(25-26八年级上 宁夏银川 月考)今有立木,系索其木,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽.问:索长几何?(选自《九章算术》)题目大意:如图,在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索,绳索自然下垂后托在地面上的长度为3尺.在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索,整根绳索恰好被拉直.那么这根绳索的长度为 尺. 【变式题9-2】.(25-26八年级上 陕西咸阳 期中)《九章算术》中有一道“折竹抵地”问题,大意是:如图,一根竹子原高一丈(一丈尺),一阵风将竹子从点B处折断,其竹梢C恰好抵地,抵地处离竹子底部的水平距离尺,已知,问折断处离地面的高度是 尺. 【变式题9-3】.(24-25八年级下 云南德宏 期末)我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题,一根竹子高10尺,折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处,折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,根据题意,可列方程为( ) A. B. C. D. 【题型10】跨学科综合问题(提升) 1.核心知识点总结 结合物理(滑轮、斜面)、地理(方位、海拔)等学科,核心为勾股定理建模。 提取跨学科场景中的直角三角形要素(如滑轮问题中的绳子长度、斜面高度与长度)。 2.高频考点梳理 物理滑轮问题:滑块滑动距离与物体升降高度的勾股定理关系。 地理海拔问题:两点水平距离、垂直高度差,求实际距离。 3.易错点警示 混淆跨学科场景中的物理量与几何边长(如滑轮问题中,绳子长度为斜边,水平滑动距离为直角边)。 未统一单位(如海拔差为米,水平距离为千米,需先统一单位)。 4.解题技巧拆解 示例(物理滑轮):滑块水平距离物体60cm,定滑轮到垂直距离80cm,绳子总长=60+80=140cm;若升高70cm,滑块滑动距离: 新垂直距离=10cm,新水平距离=cm,滑动距离=139.6-60≈79.6cm。 【例题10】.(24-25八年级下 广东广州 期末)实验探究: 实验情景示意图 实验使用装置 ①一根不可伸缩的绳子绕过定滑轮A,一端固定在滑块B上,另一端固定在物体C上;(、B、C可以视作三个点) ②滑块B可在水平直轨道上左右滑动,以调节物体C的高度. 初始状态 图1物体C静止在轨道上,其到滑轮A的垂直距离为,且. 实验条件 绳子始终绷紧,滑轮、滑块及物体的大小均可忽略. 任务 (1)求绳子的总长度; (2)图2若物体C升高,求滑块B向左滑动的距离. 【变式题10-1】.(24-25八年级下 黑龙江哈尔滨 期中)在地形图上,我们把地面上海拔相同的点连成的闭合曲线叫等高线.如图,曲线即为地形图中的等高线(同一曲线上点的海拔是一样的).如果量得图中A、T两点之间的距离为3厘米,那么A、T两点之间的实际直线距离为( ) A. B. C. D. 【变式题10-2】.(25-26九年级上 安徽宣城 月考)在物理力学实验探究活动中,同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A,一端拴在滑块B上,另一端拴在滑轮A的正下方物体C上.滑块B与物体C均放置在水平地面的直轨道上,通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降.实验过程中,绳子始终保持绷紧状态,定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计.实验初始状态如图1所示,物体C到定滑轮A的垂直距离, (1)求绳子的总长度; (2)如图2,若滑块B向左滑动了,求此时物体C升高了多少? 【变式题10-3】.(25-26八年级上 浙江温州 阶段练习)数学兴趣小组和物理兴趣小组的同学一起进行了如下的实践活动: 【实践主题】 从数学角度探究钟摆过程中的规律. 【素材准备】 实验支架,细绳,小球,卷尺等. 【实践操作】 在支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球,小球可以自由摆动.如图1,点A表示小球静止时的位置.小明将小球从摆到的位置,并向右推动小球,是小球在摆动过程中某一瞬间的位置,A,B,O,C在同一平面上. 【数学建模】 如图2是小球摆动过程的示意图,,过点B作于点D,过点C作于点E. 【数据测量】 ,,. 【问题解决】请根据以上条件, ①求的长. ②求点D到的距离. 【题型11】最值综合问题(培优) 1.核心知识点总结 结合“将军饮马”模型、轴对称,利用勾股定理求最短路径和。 本质:将折线转化为直线,再用勾股定理计算最短长度。 2.高频考点梳理 同侧两点到直线上一点的距离和最小(将军饮马+勾股定理)。 多段路径和最小(如最小,结合轴对称和勾股定理)。 3.易错点警示 未作轴对称点,直接连接两点(同侧两点需作对称点,异侧可直接连接)。 对称点作错(需作关于直线的对称点,而非其他点)。 4.解题技巧拆解 步骤:①作其中一点关于直线的对称点;②连接对称点与另一点,线段长度为最短距离和;③构造直角三角形,用勾股定理计算长度。 示例:、在直线同侧,到距离4,到距离2,水平距离8,求最小: 作对称点,到距离4,最短距离=。 【例题11】.(24-25八年级上 甘肃武威 期中)如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点(即三角形的顶点都在格点上). (1)在图中作出关于直线对称的;(要求:点与点,点与点,点与点相对应) (2)若有一格点到点,点的距离相等(即),则网格中所有满足条件的点共有_个,并画出来; (3)的面积是_; (4)在直线上找一点,使得的周长最小. 【变式题11-1】.(25-26八年级上 山东济南 阶段练习)阅读并回答下列问题 【几何模型】 如图①,、是直线同侧的两个定点,问题:在直线上找一点,使值最小. 方法:如图②,作点关于的对称点,连接交于点,则为所求作的点. 【模型应用】 如图③,若、两点在直线同侧,分别过点、作,,为线段上一动点,连接、.已知,,,设. (1)用含的代数代表示的长为_. (2)图③中,当的值最小时,求出最小值; 【拓展应用】 由可得代数式的几何意义:如图,建立平面直角坐标系,点是轴上一点,则可以看成点与点的距离,可以看成点与点的距离,所以原代数式的值可以看成线段与长度之和,它的最小值就是的最小值. (3)求代数式的最小值. 【变式题11-2】.(25-26八年级上 浙江金华 阶段练习) “白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李颀《古从军行》里的一句诗,由此却引申出一系列非常有趣的数学问题,通常称为“将军饮马”问题. (1)如图,点、在直线的同侧,点到的距离,点到的距离,. ①请在图1直线上作出点,使得最小; ②的最小值为_; (2)如图2,在等腰中,,,是边的中点,是边上一动点,则的最小值是_; (3)如图3,正方形的边长为4,、分别是边和上的动点且始终满足,连结、,求的最小值. 【变式题11-3】.(25-26八年级上 陕西西安 阶段练习)如图,为线段上一动点,分别过点、作,,连接、.已知,,,设. (1)用含的代数式表示的长; (2)请问点满足什么条件时,的值最小,最小值是多少? (3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值. 【题型12】勾股定理创新应用(培优) 1.核心知识点总结 弦图原理:利用四个全等直角三角形拼成正方形,通过面积关系验证。 创新情境:无人机测距、折叠最值、航海动态避险等实际问题。 核心:将复杂情境转化为直角三角形模型,灵活运用勾股定理。 2.高频考点梳理 弦图变式题:已知弦图中正方形边长或直角三角形边长,求未知量(中考创新题)。 实际动态问题:如台风影响范围、无人机飞行测距,求安全距离或时间。 跨学科结合:与物理运动学结合,求斜面上物体滑动距离。 3.易错点警示 弦图变式中,未识别出全等直角三角形和正方形的边长关系。 实际问题建模时,未考虑动态变化中的临界条件(如台风中心到观测点的最短距离)。 跨学科问题中,混淆物理量与几何边长的对应关系。 4.解题技巧拆解 弦图问题:先明确大正方形边长=直角三角形斜边,小正方形边长=,再结合求解。 动态实际问题:①确定临界位置(如台风中心到观测点的最短距离);②构造直角三角形;③代入计算关键量(距离、时间)。 【例题12】.(25-26八年级上 陕西咸阳 月考)【问题背景】 如图1是著名的赵爽弦图,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为,也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边长为a,b,斜边长为c,则. 【探索求证】 (1)与按如图2所示位置放置,连接,其中,请你利用图2推导勾股定理; 【问题解决】 (2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水,决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路,且.测得千米,千米,求新路比原路少多少千米? 【延伸扩展】 (3)在第(2)问中,若,,,,,设,求x的值. 【变式题12-1】.(25-26八年级上 广东清远 阶段练习)著名的赵爽弦图(如图①,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为,也可以表示为,由此推导出重要的勾股定理:如果直角三角形两条直角边的长度为a,b,斜边的长度为c,则. 【结论探究】 (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”,请你利用图②推导勾股定理; 【结论应用】 (2)如图③,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,,由于某种原因,由C到A的路现在已经不通,该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上),并新修一条路,且.测得千米,千米,求新路比原路少多少千米? 【问题拓展】 (3)在中,,,,且点D在直线上,,请直接写出的值. 【变式题12-2】.(25-26八年级上 河南焦作 月考)综合与实践 我国古代数学家赵爽创造了“赵爽弦图”,他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数恒等式,严密又直观,为中国古代“形数统一”、代数和几何紧密结合的独特风格树立了一个典范.如图1,“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形. (1)观察验证 因为大正方形的面积可以看成4个直角三角形与1个边长为的小正方形的面积的和,即面积表示为:_(化简),也可直接表示为大正方形边长的平方,即_,所以_,勾股定理得到了验证; (2)类比探究 善于思考的小亮同学把一个直立的火柴盒放倒(如图2),聪明的他发现用不同的方法计算梯形的面积,也可证明勾股定理,请你就图2情形进行证明; (3)拓展应用 若,,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍,得到图3所示的“数学风车”,请直接写出这个风车的外围周长. 【变式题12-3】.(25-26八年级上 全国 期中)综合与实践. 【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠,充满着魅力.如图是著名的赵爽弦图,由四个全等的直角三角形拼成,用它可以证明勾股定理,思路是大正方形的面积有两种求法,一种是等于,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和,即,从而得到等式,化简便得结论.这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法,我们称之为“双求法”. 【方法运用】 千百年来,人们对勾股定理的证明趋之若鹜,其中有著名的数学家,也有业余数学爱好者.向常春在年构造发现了一个新的证法:把两个全等的和按如图所示的方式放置,其三边长分别为,,,,显然. (1)请用,,,分别表示出四边形,梯形,的面积,再探究这三个图形面积之间的关系,证明勾股定理. 【方法迁移】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题:如图,小正方形边长为,连接小正方形的三个顶点,可得,边上的高为_. (3)如图,在中,是边上的高,,,,设,求的值. 【题型13】立体图形表面最短路径(提升) 1.核心知识点总结 化曲为直:将长方体/圆柱表面展开为平面图形,最短路径为两点间线段。 长方体有3种展开方式,圆柱侧面展开为长方形(长=底面周长)。 2.高频考点梳理 长方体表面两点间最短路径(比较3种展开方式的线段长度)。 圆柱侧面缠绕问题(展开后求斜边,多圈缠绕需乘以圈数)。 3.易错点警示 长方体展开时漏算一种方式(需计算、、三种情况)。 圆柱缠绕多圈时,底面周长未乘以圈数(如2圈则展开长=2 底面周长)。 4.解题技巧拆解 长方体最短路径计算表: 展开方式 直角边1 直角边2 路径长度 前+右 前+上 左+上 圆柱侧面路径:(为圈数,为底面周长,为圆柱高)。 【例题13】.(25-26八年级上 重庆 期中)如图,一只蚂蚁沿着棱长为的正方体表面从点出发,经过3个面爬到点正下方的处,则蚂蚁走的最短路径为 . 【变式题13-1】.(25-26八年级上 江西景德镇 期中)三棱镜在物理学中被称为“光的魔法师”,它是由透明材料制成的截面呈三角形的光学仪器,属于色散棱镜的一种,能够使复色光在通过棱镜时发生色散.示意图如图所示.在三棱镜的侧面上,从顶点到顶点镶有一圈金属丝,已知此三棱镜的高为,底面边长为,则这圈金属丝的长度至少为 . 【变式题13-2】.(23-24八年级下 山东聊城 期中)【问题情境】 数学综合与实践活动课上,老师提出如下问题:一个三级台阶,它每一级的长、宽、高分别为20、3、2,和是一个台阶两个相对的端点. 【探究实践】 老师让同学们探究:如图①,若点处有一只蚂蚁要到点去吃可口的食物,那么蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少? (1)同学们经过思考得到如下解题方法:如图②,将三级台阶展开成平面图形,可得到长为20,宽为15的长方形,连接,经过计算得到长度为_,就是最短路程. 【变式探究】 (2)如图③,是一只圆柱形玻璃杯,该玻璃杯的底面周长是,高是,若蚂蚁从点出发沿着玻璃杯的侧面到点,则蚂蚁爬行的最短距离为_. 【拓展应用】 (3)如图④,圆柱形玻璃杯的高,底面周长为,在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在外壁上,离杯上沿,且与蜂蜜相对的点处,则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少?(杯壁厚度不计)(画出示意图并进行计算) 【变式题13-3】.(25-26八年级上 辽宁铁岭 期中)为方便学生将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题.为此,某数学兴趣小组开展了综合与实践活动,记录如下: 活动主题 探索蚂蚁从圆柱的下底面上的点A沿圆柱侧面爬到相对顶点B的最短路程 活动准备 同一尺寸的圆柱若干,皮尺,剪子,直尺 研究问题 如图1,一个圆柱的高为,底面圆的周长为,在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁,它想吃道上底面与点A相对的点B处的食物,那么它沿圆柱爬行的最短路程是多少? 设计方案 (1)将圆柱侧面沿着经过A点的母线剪开,确定展开图的形状,以及与圆柱的对应关系,; (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置; (3)在圆柱的侧面展开图中确定两点之间的最短路线,并计算它的长度. 确定思路 将曲面上的最短路线问题转化为平面上的最短路线问题 根据以上信息,解决下列问题: (1)圆柱的侧面展开图是_; (2)在圆柱的侧面展开图中标出点B的位置并画出A、B两点之间的最短路线; (3)求蚂蚁沿圆柱从A爬到B的最短路程. 【题型14】折叠与勾股综合问题(培优) 1.核心知识点总结 折叠性质:折叠前后对应边相等、对应角相等,利用全等转化边长。 折叠后形成直角三角形,结合勾股定理列方程求解未知边。 2.高频考点梳理 长方形折叠(如折顶点到对边,求折痕长度或剩余线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边,利用勾股定理求重叠部分)。 3.易错点警示 折叠后未准确识别对应边(如长方形折叠后,顶点落在对边上,需明确折痕两侧的相等边)。 忽略折叠后的直角关系(如折叠后形成的新直角三角形,未利用勾股定理)。 4.解题技巧拆解 关键:标记折叠后相等的线段(如设,则),构造直角三角形。 【例题14】.(25-26八年级上 江苏淮安 阶段练习)如图,在长方形中,分别是上的点.现将四边形沿EF折叠,点的对应点分别为,且点恰好落在上.连接,过作,垂足为G,则的最小值为 . 【变式题14-1】.(25-26八年级上 四川成都 期中)在综合与实践课上,蓉宝同学将正方形纸片沿过点A的直线折叠,如图1,使点B落在正方形内部的点G处,折痕为,延长交于点F,连接. (1)求证:; (2)若,,求正方形的边长; (3)如图2,过点F作于点M,连接,求的度数. 【变式题14-2】.(25-26八年级上 江苏泰州 阶段练习)在一节数学综合实践课上,老师和同学们对长方形纸片进行折纸探究活动. 如图①,在长方形纸片上任意画一条线段,将纸片沿线段折叠(如图②). (1)试探究重叠部分的形状,并说明理由; (2)若,,请直接写出面积的最小值为_. (3)把长方形纸片对折,折痕为,请你仅用圆规在图③的折痕上找一点,使得为等边三角形.(保留作图痕迹,不写作法). (4)如图④,若,,在边上找一点,在边上找一点,将沿翻折得.设与边交于点,当点、位置发生变化时,点的位置也跟着变化,试求整个变化过程中最大值与最小值的和. 【变式题14-3】.(25-26八年级上 江苏泰州 期中)综合与实践: 探究长方形折叠问题 背景 如图①,在长方形中,,,,点是射线上一动点,点沿过点、的直线翻折得到点. 素材1 如图②,若点运动到点,连接交于点. 素材2 如图③,若翻折后点落在边上,连接,. 素材3 连接和,当点在射线上移动时,小明发现存在某个位置,使得是直角三角形. 问题解决 任务1 在素材1中,求证:. 任务2 在素材2中,求长. 任务3 在素材3中,小明发现的结论是否存在?若存在,请直接写出的长;若不存在,请说明理由. 同步练习 一、单选题 1.(25-26八年级上 福建宁德 期中)平静的水池中央生长着一株荷花,荷花高出水面1尺.一阵强风吹过,荷花被吹至倾斜,其顶端恰好接触到岸边的水面.此时,荷花顶端相比于原位置,在水平方向上移动了4尺.由此可知水池的深度是 A.7尺 B.尺 C.8尺 D.尺 2.(25-26八年级上 安徽宿州 阶段练习)将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆从旗顶到地面的高度为,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图①,彩旗完全展平时的尺寸(单位:)如图②的长方形,则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是( ) A. B. C. D. 3.(25-26八年级上 山东枣庄 阶段练习)《醉翁亭记》中写道:“……射者中……”,其中“射”指投壶,宴饮时的一种游戏.如图,现有一圆柱形投壶,内部底面直径是,内壁高,若箭长,则箭在投壶外面部分的长度不可能是( ) A. B. C. D. 4.(25-26八年级上 山西运城 阶段练习)《九章算术》“勾股”章记载:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?”题目大意:一根竹子高1丈,折断后竹子顶端落在竹子底端3尺处,那么折断处离地面的高度为多少?(注:1丈尺).若设竹子未折断部分的高度为尺,根据勾股定理可列方程求解,则未折断部分的高度为( ) A.4.55尺 B.5.45尺 C.6.35尺 D.7.25尺 5.(25-26八年级上 山东青岛 期中)如图,一个棱长为60厘米的正方体快递包裹,在顶点A处有一只蚂蚁.蚂蚁沿着正方体的表面爬行,从顶点A爬到顶点B的最短路程是( ) A.厘米 B.120厘米 C.厘米 D.厘米 二、填空题 6.(25-26八年级上 广东梅州 期中)一根竖直的旗杆在离地面3米处折断,旗杆顶部落在地面离旗杆底部4米处,未折断前旗杆高 米. 7.(2024八年级上 全国 专题练习)如图在一棵树的高的处有两只猴子,其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处,另一只爬到树顶后直接跃向池塘处.如果两只猴子所经过的距离相等,试问这棵树高 . 8.(2025八年级上 江苏 专题练习)如图,数学兴趣小组要测量旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图1),聪明的小红发现:先测出垂到地面的绳子长,再将绳子拉直(如图2),测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n,利用所学知识就能求出旗杆的长,若米,米,则旗杆的长为 米. 9.(25-26八年级上 福建漳州 期中)如图,圆柱形玻璃杯,高为,底面周长为,在杯外壁离杯底的点处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在点处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 . 10.(25-26八年级上 广东深圳 期中)在中,,,,点在线段上从点向点移动,同时,点在线段上由点向点移动,当点与点重合时运动停止,已知它们的运动速度相同,连接,,则的最小值为 . 三、解答题 11.(25-26八年级上 江西九江 期中)小逸同学想利用勾股定理的知识来测量教学楼的高度,他用一根绳子从楼顶垂下,发现绳子垂到地面后还多了米,当他把绳子的下端拉开米后,发现绳子下端刚好接触地面,求教学楼的高. 12.(25-26八年级上 陕西咸阳 期中)如图,某景区的划船观景处位于离水面A处4米高的岸上C处(即米,于点A),在B处有一艘游船,工作人员用绳子在C处拉船靠岸,开始时绳子的长为12米.为了让游船靠岸,工作人员以1米/秒的速度收绳,7秒后游船移动到点D处(点D在上),求游船向岸边移动的距离.(结果保留根号) 13.(25-26七年级上 山东东营 期中)某市夏季经常受台风天气影响,台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,有一台风中心沿东西方向由点行驶向点,已知点为一海港,当时,点到,两点的距离分别为和,以台风中心为圆心周围以内为受影响区域. (1)海港受台风影响吗?为什么? (2)若台风的速度为,则台风影响该海港持续的时间有多长? 14.(25-26八年级上 江西景德镇 期中)《九章算术》中有这样一个问题,“今有立木,系索其末,委地三尺.引索却行,去本八尺而索尽.问:索长几何?”题目大意:在直立于地面的一根木杆顶端系一根绳索,绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺.在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索,整根绳索恰好被拉直,这根绳索有多长? 15.(25-26八年级上 四川成都 期中)八(1)班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后,为了测得如图风筝到地面的高度,他们进行了如下操作: ①测得放风筝的小明到的距离的长度为24米; ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米; ③牵线放风筝的小明身高为1.68米. (1)求风筝的高度; (2)若小亮让风筝沿方向下降了8米到点(即米),求的长度. 16.(25-26八年级上 山东枣庄 月考)【问题情境】数学综合与实践活动课上,老师提出如下问题:一个三级台阶,它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点. 【探究实践】老师让同学们探究:如图(1),若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物,则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少? (1)同学们经过思考得到如下解题方法:如图(2)为三级台阶的平面展开图,可得到长为,宽为的长方形,连接,经过计算得到的长度为_,就是最短路程. 【变式探究】(2)如图(3),已知圆柱底面的周长为,圆柱高为,在圆柱的侧面有一只蚂蚁,从点爬到点,再从点爬回点,恰好爬行一圈,则这只蚂蚁爬行的最短路程为_. 【拓展应用】(3)如图(4),圆柱形玻璃杯的高为,底面周长为,在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜,此时,一只蚂蚁正好在外壁离杯口,且与蜂蜜相对的点处,则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少?(杯壁厚度不计) 学科网(北京)股份有限公司 $