精品解析：湖北省武汉市武钢实验学校教联体2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

钢实教联体2025-2026学年度八年级上学期期中测试 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6， B. 3，4，5 C. 6，3，3 D. 2，3，6 3. 如图，点，在上，且．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 被垂直平分 6. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 7. 下列条件中，不能判定与一定全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 8. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题） 11. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 12. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为 ______． 13. 如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为___________． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是___________． 15. 如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中正确的序号是___________． 16. 如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 三、解答题（共8小题） 17. 如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，．求和的度数． 18. 如图，在和中，若；；．求证： 19. 命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 已知：如图，中， 求证：． 三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明． 小刚的方法：作的平分线，可证，得； 小亮的方法：作边上的高，可证．得； 小莉的方法：作边上的中线． （1）请你写出小刚与小亮方法中的理由：___________； （2）小莉的方法：作边上的中线，但发现无法直接通过证明和全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明． 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，，，，求的长． 21. 如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程． （2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）． （3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由． 22. 如图1，在中，为边上一点，连，为边上一点，若平分，平分． （1）若，则___________． （2）求证：； （3）如图2，若，且，求的度数． 23. 【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 24. 如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． （1）如图1，若，直接写出点的坐标：___________； （2）如图1，点，、两点均在轴上，且，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． （3）如图2，若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 钢实教联体2025-2026学年度八年级上学期期中测试 数学试卷 一、选择题（共10小题） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 2. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ） A. 5，6， B. 3，4，5 C. 6，3，3 D. 2，3，6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边据此解答即可． 【详解】A、，无法组成三角形，故本选项不符合题意； B、满足三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，能组成三角形，故本选项符合题意； C、，无法组成三角形，故本选项不符合题意； D、，无法组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 3. 如图，点，在上，且．若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，根据，从而可得的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4. 如图是可调躺椅示意图，与的交点为，，，，，为了舒适，需调整的大小，使，且、、保持不变，则应调整为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质；连接，并延长至点；由三角形内角和定理求得，由三角形外角的性质有，，再由即可求得的度数． 【详解】解：如图，连接，并延长至点， 在中，，， ， ， ，， ， ，， ， ， 应调整为． 故选：C． 5. 如图，与关于直线对称，则以下结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 被垂直平分 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂直于同一直线的两直线平行等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 由轴对称的性质可得，，垂直平分、，进而可得，于是得解． 【详解】解：与关于直线对称， 根据轴对称的性质可得： ，，垂直平分、， ， 结论错误，结论、、正确， 故选：． 6. 三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ） A. 三条高线的交点 B. 三条中线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 7. 下列条件中，不能判定与一定全等的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：如图示： .，，，根据证明，不符合题意； .，，，根据不能推出，故本选项符合题意； .，，，利用能推出，故本选项不符合题意； .，，，利用能推出，故本选项不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 8. 如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，各组展示作图痕迹如下，其中射线为的平分线的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质；第一个图由角平分线的标准作法即可判断，第二个图由等腰三角形的性质“三线合一”即可判断，第三个图由可判断，由全等三角形的性质得，由可判定，全等三角形的性质得，由可判定，即可判断，第四个图由平行线的判定及性质，由等腰三角形的性质得，即可判断；第五个图由可判定，即可判断；掌握角平分线的尺规作图的作法，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 由作图痕迹得知是角平分线的标准作法，射线为的平分线； 由作图痕迹得知，是的垂直平分线， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，，， （）， ， ，， （）， ， （）， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，， ，， ， ， 射线为的平分线； 由作图痕迹得知，作、的垂直平分线， ， （）， ， 射线为的平分线； 故选：D． 10. 如图，等边三角形的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点．若，当取得最小值时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是准确找到点的位置． 根据对称性和等边三角形的性质，过点B作交于点F，连接，此时取得最小值，借助等边三角形的性质得，，即可求解． 【详解】解：过点B作交于点F，连接， ∵等边三角形的边长为4， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（共6小题） 11. 点和点关于x轴对称，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴，， ∴． 故答案为：． 12. 若等腰三角形的周长为16cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的底边为 ______． 【答案】4cm 【解析】 【分析】分4cm是底边和腰长两种情况讨论，再利用三角形的任意两边之和大于第三边判断是否能组成三角形． 【详解】解：①4cm是底边时，腰长为×（16-4）=6， ∵4+6>6， ∴能组成三角形， ②4cm是腰长时，底边为16-2×4=8， ∵4+4=8， ∴不能组成三角形， 综上所述，该等腰三角形的底边长为4cm． 故答案为：4cm． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的任意两边之和大于第三边的性质，难点在于分情况讨论． 13. 如图，在等边三角形中，为的中点，为延长线上一点，且，则为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，解题的关键是掌握等边三角形的性质． 根据等边三角形的性质（三线合一）求出的度数，再利用等边对等角求解即可． 【详解】解：∵为等边三角形，且为的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 在中，，，则边上的中线的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系． 根据中线的定义，全等三角形的判定方法，三角形三边关系补全求解过程即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故边上的中线的取值范围是． 故答案为：． 15. 如图，在等边中，于，是线段上一点，是边上一点，且满足，是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④当时，，其中正确的序号是___________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边对等角等内容，解题的关键是掌握以上性质． ①利用等腰三角形的三线合一求证即可； ②连接，根据等腰三角形的性质以及角的和差进行求解即可； ③利用等边对等角以及角的和差进行求解即可； ④利用等边对等角以及角的和差进行求解即可． 【详解】解：①∵为等边三角形，且， ∴， 故①正确，符合题意； ②如图，连接， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故②正确，符合题意； ③， ， ， ， ， ， ， ， 故③正确，符合题意； ④，， ， ， ， ∴， ∴， 故④错误，不符合题意； 综上，正确选项为：①②③， 故答案为：①②③． 16. 如图，在中，是的中点，过点作，垂足为的垂直平分线分别交于点，且．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∵直平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， 又∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ 故答案为：2． 三、解答题（共8小题） 17. 如图，是上一点，是上一点，，相交于点，，，．求和的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，先根据三角形的外角的性质求得，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：在中，，， ； 在中，． 18. 如图，在和中，若；；．求证： 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．由题目的条件可证明，则，故，则题目可证． 【详解】略 19. 命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）． 已知：如图，中， 求证：． 三位同学作出了三种不同的辅助线，并完成了命题的证明． 小刚的方法：作的平分线，可证，得； 小亮的方法：作边上的高，可证．得； 小莉的方法：作边上的中线． （1）请你写出小刚与小亮方法中的理由：___________； （2）小莉的方法：作边上的中线，但发现无法直接通过证明和全等而得到结论；老师提醒小莉，可以通过作两条垂线去证明，请你按照小莉的方法帮助她继续完成证明． 【答案】（1） （2） 证明：过点作于点，过点作于点． 在和中， ， ， ，． 在和中， ， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）根据证明三角形全等即可； （2）过点作于点，过点作于点，首先证明，推出，，再证明，推出即可解决问题． 【小问1详解】 解：小刚的方法： ∵平分 ， ∴， 在 与 中， ； 小亮的方法： ∵， ∴ ， 在 与 中： ． 故答案为：； 【小问2详解】 略 20. 如图，是的角平分线，、分别是和的高． （1）试说明垂直平分； （2）若，，，，求的长． 【答案】（1） 是的角平分线，，， ， 点在的垂直平分线上， 在和中， ， ， 点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2） 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质及线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质．熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质可得，进而证明，进而证明，即可求解； （2）根据等面积法可得，利用含角的直角三角形的性质，即可求解的长度； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ； ， ． 21. 如图（1），在△ABC，AB=AC，O为△ABC内一点，且OB=OC，求证：直线AO垂直平分BC．以下是小明的证题思路，请补全框图中的分析过程． （2）如图（2），在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且BD=CE．请你只用无刻度的直尺画出BC边的垂直平分线（不写画法，保留画图痕迹）． （3）如图（3），在五边形ABCDE中，AB=AE，BC=DE，∠B=∠E，请你只用无刻度的直尺画出CD边的垂直平分线，并说明理由． 【答案】 （1） （2）如图（2），AO为所作； （3）如图（3），AO为所作． 在△ABC和△AED中 ， ∴△ABC≌△AED， ∴AC=AD，∠ACB=∠ADE， ∴∠ACD=∠ADC， ∴∠BCD=∠EDC， 在△BCD和△EDC中， ， ∴△BCD≌△ECD， ∴∠BDC=∠ECD， ∴OD=OC， ∴AO垂直平分CD． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理，只要AB=AC，OB=OC即可说明直线AO垂直平分BC； （2）连结BE、CD相交于点O，则直线AO为BC边的垂直平分线； （3）连结BD、CE相交于点O，则直线AO为CD边的垂直平分线．先证明ABC≌△AED得到AC=AD，∠ACB=∠ADE，根据等腰三角形的性质得∠ACD=∠ADC，所以∠BCD=∠EDC，再证明△BCD≌△ECD，则∠BDC=∠ECD，所以OD=OC，于是根据线段垂直平分线定理的逆定理即可判断直线AO为CD边的垂直平分线． 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 22. 如图1，在中，为边上一点，连，为边上一点，若平分，平分． （1）若，则___________． （2）求证：； （3）如图2，若，且，求的度数． 【答案】（1） （2） 证明：过作于，于，于，如图1所示： 平分，平分， ，， ， 平分， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由平分，平分，可得，，在和中分别利用外角可得，则题目可解； （2）过作于，于，于，先由角平分线的性质得，，则，得平分，则，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，先证，则，再证，得，则，求出，然后由三角形的外角性质得，最后由三角形内角和定理进而得出答案． 【小问1详解】 解： 平分 ， ， 平分 ， ， ， 代入得： ， ∵， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接，如图2所示： 则， 即， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， 解得：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质和角平分线的判定与性质是解题的关键． 23. 【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图1、图2），即“一线三等角”模型． （1）已知，，请在图1和图2中选择一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）在中，，，点D为射线上的一动点（点D不与点C重合），连接，以为直角边，在的右侧作三角形，使，，连接，交直线于点H． ①如图3，当点D在线段上时，求证：； ②如图4，当点D在的延长线上时，若，请直接写出的长． 【答案】 （1）证明：选择图1： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； 选择图2：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）①证明：过点E作交的延长线于点F，如图； ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或5． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一元一次方程的应用，证明三角形全等、分类讨论是解题的关键． （1）由，得，利用即可证明； （2）①过点E作交的延长线于点F，证明，再证明，即可得出结论；②过点E作交的延长线于点F，由①得，得到；根据已知求出；设；分为当点H在线段上时，当点H在线段反向延长线上时，两种情况讨论即可． 【详解】（1）略 （2）①略 ②过点E作交的延长线于点F， 由①得， ∴； ∵， ∴， ∴； 设； 当点H在线段上时，如图， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：， ∴； 当点H在线段反向延长线上时，如图， 同理得：， ∴； ∴，，； ∵，， ∴， 解得：， ∴． 综上，或5． 24. 如图，等腰，，，等腰，，，点、分别在轴、轴的正半轴上． （1）如图1，若，直接写出点的坐标：___________； （2）如图1，点，、两点均在轴上，且，连接交轴于点，的长度是否发生改变？若不变，求出的值；若变化，求的取值范围． （3）如图2，若，求证：． 【答案】（1） （2）不发生改变， （3） 证明：如图，连接、交于点H， 与为等腰直角三角形， ，，， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）过点C作，构造一线三垂直全等即可得出点C坐标； （2）过点E作，构造一线三垂直全等得出，从而可证，结合即可求解； （3）连接和，可证明，从而证明，利用八字型导角即可得证． 【小问1详解】 解：如图，过点C作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， ， 故答案为： 【小问2详解】 解：长度不发生改变，，理由如下， 如图，过点C作，过点E作， 为等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在与中， ， ， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握一线三垂直的辅助线构造是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $