精品解析：江苏省泰州中学2025-2026学年高一上学期11月期中数学试题

江苏省泰州中学2025～2026学年度第一学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：谷灿远 审题人：陈生 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1. 已知集合，，且，则（ ）． A. B. C. D. 2. 已知命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则下列各式的值等于1的是（    ） A. B. C. D. 6. 给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 当分别取，，，，，，，，，时，计算代数式的值.将所得的结果相加，其和等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2025 8. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 9. 已知，则下列不等关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在单调递增 C. 的解集是 D. 的最大值是 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的单调减区间为 B. 函数为R上的单调函数，则 C. 若恒成立，则实数m的取值范围是 D. 对，不等式恒成立 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 不等式的解集为_____. 13. 一次函数（），且，求_________. 14. 已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求下列各式的值： （1）已知，求的值； （2）； （3）若，，用，表示. 16. 已知集合，全集． （1）当时，求 （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 17. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 18. 已知函数， （1）求的值； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 19. 设为正实数， （1）试比较的大小，并说明理由； （2）当时，求的最大值； （3）若对任意的正实数，以 为三边长均可构成三角形，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2025～2026学年度第一学期期中考试 高一数学试题 （考试时间：120分钟；总分：150分） 命题人：谷灿远 审题人：陈生 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 1. 已知集合，，且，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意并利用集合的包含关系求解参数即可. 【详解】因为，所以，则，故C正确. 故选：C 2. 已知命题，则的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可求得. 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知： 命题的否定. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义，结合复合函数的意义，列出不等式求解作答. 【详解】依题意，，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4. 下列图象中，函数的部分图象有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 5. 若，则下列各式的值等于1的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将指数化为对数，然后利用对数运算性质及换底公式求解即可. 【详解】因为，所以，所以，， 所以. 故选：B. 6. 给出下列命题中，真命题的个数为（ ） ①已知，则成立； ②已知且，则成立； ③已知，则的最小值为2； ④已知，，则成立． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式以及基本不等式的使用要求逐一判断即可. 【详解】当时，①中的不等式是错误的，①错； 因为与同号，所以是正确的，且，即时等号成立，所以②中的基本不等式计算是正确的，②对； （当时，无解，等号不成立），故③错； 因为，所以且，且，即时等号成立，所以④中的基本不等式运算是正确的，④对． 故选: B． 7. 当分别取，，，，，，，，，时，计算代数式的值.将所得的结果相加，其和等于（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】令，则，结合，将所得的结果相加，其和为. 【详解】令， 当不为0时，， 所以， 所以，， ，， 又，所以， . 故选：B 8. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若当时，总有，则满足的实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到在上是偶函数，从而将，转化为求解. 【详解】令， 因为，当时，总有，即， 即，当时，总有， 所以在上递增，又因为， 所以，， 所以在上是偶函数， 又因为， 所以，即， 所以，即， 解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上是偶函数，将问题转化为求解. 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请将答案填涂到答题卡相应区域.） 9. 已知，则下列不等关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合特例法进行判断即可. 【详解】A：当时，显然不成立，所以本选项不正确； B：因为，所以， 即，所以本选项正确； C：若，显然没有意义，所以本选项不正确； D：因为，所以，而，所以，因此本选项正确， 故选：BD 10. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 在单调递增 C. 的解集是 D. 的最大值是 【答案】AD 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得，可判断A选项；利用函数单调性和奇偶性可判断B选项；由可得，解该不等式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】因为数是定义在上的偶函数，当时，. 对于A选项，，A对； 对于B选项，当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，函数在上不单调，B错； 对于C选项，由可得，可得， 解得或， 所以不等式的解集为，C错； 对于D选项，因为函数为偶函数，要求函数的最大值，只需求该函数在上的最大值， 由二次函数的基本性质可知，当时，，D对. 故选：AD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的单调减区间为 B. 函数为R上的单调函数，则 C. 若恒成立，则实数m的取值范围是 D. 对，不等式恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，画出时的函数图象，得到A错误；B选项，分析得到若，函数不单调，若，比较端点值后得到函数单调递减；C选项，在B选项基础上，满足要求，当时，再分，和三种情况，求出时要想满足要求，求出，再检验其在时满足要求，故C正确；D选项，根据函数为上凸函数，得到D正确. 【详解】当时，，画出其图象，如下： 的单调减区间为，不能用，A错误； B选项，当时，，单调递减， 当时，，对称轴为，开口向下， 若时，，故在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，不合要求， 当时，，且， 将代入中，得， 故在R上的单调递减，满足要求 故，B正确； C选项，由B选项可知， 当时，在R上的单调递减，满足恒成立， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减， 当时，满足恒成立， 当，即时，要想恒成立， 则要， 解得， 因为，故，解得， 当且，即时， 要想恒成立，则要， 即在恒成立， 检验当时，对称轴为， 此时， 故在之间， 故在处取得最小值， ， 因为，所以， 故满足要求， 故实数m的取值范围是，C正确； D选项，当时，为上凸函数， 以时为例，画出图象，如图所示， 满足不等式恒成立，D正确. 故选：BCD 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分为和两种情况去绝对值符号，即可求解不等式. 【详解】因为，所以或， 即或，所以或， 所以不等式的解集为：. 故答案为： 13. 一次函数（），且，求_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体代入法，即可列方程求解. 【详解】， 故且，结合，解得， 所以 故答案为： 14. 已知0＜a＜1，0＜b＜1，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】 转化条件为，令，进而可得，转化条件为，结合基本不等式即可得解. 【详解】已知， 由得，即， 令， 所以，所以， 故 ， 当且仅当即时，取等号. 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1） “一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 求下列各式的值： （1）已知，求的值； （2）； （3）若，，用，表示. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）两边平方得，再两边平方得，代入求解即可； （2）利用对数的性质及运算法则求解即可； （3）根据，得，再根据对数的性质及运算法则求解即可. 【小问1详解】 因为，所以两边同时平方得：， 所以，两边再平方得：， 故，所以. 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 由题意得，，即， 所以. 16. 已知集合，全集． （1）当时，求 （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，再根据补集和交集的概念求出答案； （2）为的真子集，分和两种情况，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 当时，，或， 又， 故或； 【小问2详解】 “”是“”的必要不充分条件，故为的真子集， 若，则，解集为， 若，则或， 解得， 综上，实数的取值范围是 17. 某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时，某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中（）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）而公交群体的人均通勤时间不受影响，恒为分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： （1）当在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族的人均通勤时间的表达式，讨论的单调性，并说明其实际意义. 【答案】（1） （2） ， 在上单调递减，在上单调递增， 说明当自驾群体范围小于时，人均通勤时间随自驾群体的增加而减少； 当自驾群体占比为时，人均通勤时间最少； 当自驾群体范围超过时，人均通勤时间随自驾群体的增加而增加. 【解析】 【分析】比较不同通勤方式的人均通勤时间来确定范围，再根据加权平均数求得人均通勤时间的表达式，最后分析其单调性. 【小问1详解】 根据题意，即， 当时，，不满足题意； 当时，，化简得， 即，∴或（舍），∴， 综上，当时，公交群体人均通勤时间少于自驾群体人均通勤时间； 【小问2详解】 由题意，， 当时，， 由一次函数图象性质可知，在时单调递减； 当时，， 由二次函数图象性质可知，当时，单调递减， 当时，单调递增； 综上，， 在上单调递减，在上单调递增，实际意义略. 18. 已知函数， （1）求的值； （2）用定义证明函数在上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） ， 则 . 因为， 所以，，，， 所以，， 所以，， 所以，函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出的值，然后再代入计算即可得出答案； （2），作差整理得出.根据已知范围，得出，即可得出证明； （3）先根据定义判断函数的奇偶性，进而转化为.然后根据函数的单调性结合定义域，列出不等式组，求解即可得出答案. 【小问1详解】 由已知可得，， 所以，. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由已知，定义域为，关于原点对称. 又，所以为奇函数. 由可得，. 由（2）函数在上单调递增， 可得，解得. 19. 设为正实数， （1）试比较的大小，并说明理由； （2）当时，求的最大值； （3）若对任意的正实数，以 为三边长均可构成三角形，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用作差法比较即可； （2）由已知，将化为形式，利用基本不等式可得的最大值； （3）结合，由a，b，c为三边可构成三角形，得到，且成立，即，且成立，运用参数分离和换元法，结合基本不等式和函数的单调性求解可得. 【小问1详解】 因为， 所以， 即. 【小问2详解】 若，则， 则， 所以， 由，知，则， 所以 的最大值为. 【小问3详解】 若a，b，c为三边可构成三角形，由（1）知，则，且成立， 即，且成立， 即，且成立， 设， 令，则，令， 则，易知在上递减， 所以，所以，则； 设，而， 当且仅当时，等号成立，所以，所以，则. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $