精品解析：海南省海口市海南中学2025-2026学年高三上学期第2次月考数学试题

海南中学2026届高三年级第2次月考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分命题：文德良、邢贵龙 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “ ” 是 “ ”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 数据的第百分位数为 C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为 D. 若随机变量，且，则 10. 已知函数，且，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的值域是 D. 在上单调递减 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 曲线在点处的切线方程为_________. 13. 函数，若，则实数的值为__________. 14. 一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则______，______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的所有极值点； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围. 16. 已知是定义在上的函数，，且当时，. （1）证明：； （2）证明：在定义域上是增函数； （3）如果，求满足不等式的的取值范围. 17. 已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. （1）求的准线方程； （2）若直线的方程为，求； （3）过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． （1）求、； （2）求； （3）证明：是等比数列． 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）已知函数，有两个极值点，. ①求的取值范围； ②若不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2026届高三年级第2次月考数学试题卷 时间：120分钟满分：150分命题：文德良、邢贵龙 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断. 【详解】集合， 则. 故选：C 2. “ ” 是 “ ”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断. 【详解】因为，所以， 反之满足，但是不满足， 所以“ ” 是 “ ”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知函数在区间上有零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】易得函数在上单调递增，由求解. 【详解】因为函数，在区间上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由函数在区间上有零点， 得即解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：B. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过求函数的零点判断图像与轴的交点，结合函数值的正负区间以及时的极限状态（或求导分析单调性）即可排除错误选项。 【详解】令，即，因为恒成立，所以， 解得或，数图像与轴有两个交点和。 观察选项：A选项：当时图像一直在轴下方，不符合时，故排除A； B选项：当时图像有部分在轴下方，而当时，，，所以，故排除B； D选项： 由导数可知，当时，函数单调递增，D 选项在时单调递减，故排除D； C选项：图像过原点，在时函数值为正且先增后减（存在极大值），在后先减后增（存在极小值），符合函数性质. 5. 的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数函数值域确定真数取值集合，再利用二次函数求出范围. 【详解】 因为的值域为， 所以的值域包含， 所以，解得. 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【详解】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A 7. 定义在上的函数，关于的方程有个不同的实根，，，，则（ ） A. B. 8 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的图象，结合函数的图象的对称性性，确定方程和的根，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，关于的方程，即，解得：或， 作出函数的大致图像，如图所示， 当时，有三个根，其中一个根为2，另两个根关于直线对称； 当时，有两个根，这两个根也关于直线对称. 所以原方程一共有5个根，可得，故A正确. 故选：A. 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，再判断函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合函数的性质，即可求解不等式. 【详解】设，， 所以函数是定义在上的偶函数， 由条件可知，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不等式， 即， 即， 所以，即，得， 解得：. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分. 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度 B. 数据的第百分位数为 C. 若一组样本数据的样本点都在直线上，则这组数据的相关系数为 D. 若随机变量，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用方差、极差的意义判断A；计算百分位数判断B；利用相关系数判断C；利用正态分布的概率计算判断D. 【详解】对于A，方差、标准差、极差均能反映一组数据的离散程度，A正确； 对于B，计算第百分位数：数据个数为，，为整数，则第百分位数是第个数与第个数的平均值，即，B错误； 对于C，样本点都在直线上，说明变量呈完全正线性相关，相关系数，C错误； 对于D，由知正态曲线关于对称，，结合， 代入得， 又，解得， 则， 由对称性，D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，且，则（ ） A. 是奇函数 B. C. 的值域是 D. 在上单调递减 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据奇偶函数的定义判断A；代入验证等式两边是否相等，证明B；利用基本不等式判断C；利用导数判断D. 【详解】对于A，函数定义域为， ，则函数为偶函数，故A错误； 对于B，, , 所以，故B正确； 对于C，因为且，则， 由基本不等式得，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的值域是，C正确； 对于D，， 当时，，在时小于1， 所以，故在上单调递减， 当时，同理可得在上单调递减，故D正确. 故选：BCD 11. 已知椭圆，我们把圆称为的蒙日圆，为原点，点在上，延长与的蒙日圆交于点，则（    ） A. 的最大值为 B. 若为的中点，则的离心率的最小值为 C. 过点不可能作两条互相垂直的直线都与相切 D. 若点在上，则的蒙日圆面积最小为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据为的中点建立关于的齐次不等式，从而得到离心率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D. 【详解】对于A，因为圆的圆心为，半径为， 又椭圆，所以， 所以，故A正确； 对于B，若为的中点，则， 则，故，B正确； 对于C，取，则直线，互相垂直，且都与相切，C错误； 对于D，因为点在上，所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的蒙日圆面积最小为，D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置. 12. 曲线在点处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义即得. 【详解】由题，得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 函数，若，则实数的值为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论的取值范围，代入解析式即可求出答案. 【详解】当时，； 当时，， 综上所述：或. 故答案为：或. 14. 一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，随机变量服从超几何分布，求出分布列，再由期望公式求解即可；又，即可得解. 【详解】根据题意，随机变量服从超几何分布， ，， ，， ，， X的概率分布如下表所示， X 0 1 2 3 4 5 P 由表可知，随机变量X的均值为 ； . 故答案为：； 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，求函数的所有极值点； （2）若函数在上单调递减，求的取值范围. 【答案】（1）极大值点；极小值点 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，判断单调性进而得到函数的极值点. （2）对函数求导，根据二次函数性质列出不等式组，然后即可求出的范围. 【小问1详解】 当时，， 令. 解得或. 令或；， 则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 根据单调性可知的极大值点为1；极小值点为5. 【小问2详解】 在上单调递减 ，在上恒成立， 则. 16. 已知是定义在上的函数，，且当时，. （1）证明：； （2）证明：在定义域上是增函数； （3）如果，求满足不等式的的取值范围. 【答案】（1）证明：令，则，得. 取，则， 所以. （2）证明：，且， 则，. 因为，所以，则，即， 因此函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件等式，代入数值，先求，再赋值，即可证明； （2）根据（1）的结论，再变形，结合单调性的定义，即可证明； （3）根据条件变形不等式 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，又 故可化为 ，，. 17. 已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点. （1）求的准线方程； （2）若直线的方程为，求； （3）过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2） （3） 证明：根据题意作图如下： 由已知，直线与抛物线有两个交点，则其斜率一定存在. 设. 由，得， 所以. 由，得，则， 所以过点的切线方程为，即， 同理过点的切线方程为， 由，得，即， 又点的纵坐标为，所以，又， 所以， 解得，所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式，结合抛物线焦点坐标列方程求解，即可得准线方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合弦长公式即可计算弦长. （3）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理得到根与系数的关系，再利用导数得出切线的方程， 联立切线的方程得到交点的坐标，最后结合点纵坐标条件推导直线过定点，即可得证. 【小问1详解】 根据题意作图如下： 由题意知.因为点到直线的距离为，所以， 解得或，又因为，所以， 所以抛物线的准线方程为. 【小问2详解】 根据题意作图如下： 将代入，得， 则， 所以. 【小问3详解】 略 18. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，在人工智能、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即．已知甲盒子中装有个黄球和个黑球，乙盒子中装有个黄球和个黑球（个球的大小形状完全相同）．记操作：从甲、乙两个盒子中各任取一个球交换放入另一个盒子中．在重复次操作后，记甲盒子中黄球个数为，恰有个黄球的概率为，恰有个黄球的概率为，并记的数学期望为． （1）求、； （2）求； （3）证明：是等比数列． 【答案】（1）； （2） （3） 记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为， 由题，可得， 而， ， ， 于是，， 也即， 首项为， 因此是首项为，公比为等比数列. 【解析】 【分析】（1）、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率，结合古典概型的概率公式可求得、的值； （2）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，求出的值，分析可知的所有可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量在不同取值下的概率，可得出的分布列，由此可得出的值； （3）记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，可得，推导出，结合等比数列的定义可证得结论成立. 【小问1详解】 、分别表示操作一次后，甲盒子中恰有个、个黄球的概率， 由题可知：，. 【小问2详解】 记重复次操作后，甲盒子中恰有个黄球的概率为，易得， 由题易得的所有可能取值为、、、， 且， ， ， ， 所以的分布列为： 数学期望为. 【小问3详解】 略 19. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）已知函数，有两个极值点，. ①求的取值范围； ②若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）①求出的表达式，依题意有两个不等的正实数根，令， 则有两个大于的不等实数根，，利用根的判别式及韦达定理得到不等式组，解得即可；②依题意可得恒成立，结合①可得，从而得到在时恒成立，参数分离得到对恒成立，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得解. 【小问1详解】 当时，，函数定义域为， 又， 令，解得或； 令，解得， 故的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【小问2详解】 ①由题意得，， 则， 因为函数有两个极值点，，又， 故有两个不等的正实数根； 令，，则，则即为， 则有两个大于的不等实数根，， 故，解得； 故的取值范围为； ②可变形为， 结合①可知，， 即，，， 所以， 则不等式恒成立，即为在时恒成立， 由，即得对恒成立， 令，， 则， 则在上单调递减，故， 故，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $