精品解析：广东省广州市增城区2025-2026学年上学期九年级数学期中试卷

2025学年第一学期期中质量检测卷九年级数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．） 1. 数学图形以其独特的结构、精确的线条和丰富的内涵展现出一种独特的美感．下列数学图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握中心对称图形的概念． 根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形； B选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形； C选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形能与原来的图形重合，是中心对称图形； D选项，将图形绕着某个点旋转，旋转后的图形不能与原来的图形重合，不是中心对称图形． 故选：C ． 2. 已知的半径，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键． 根据点与圆的位置关系进行判断，即可得出结论． 【详解】解：∵的半径， ∴ ∴点P与的位置关系是：点P在外． 故选：B． 3. 将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移规律，根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移个单位长度，， 故选：A． 4. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转问题．根据旋转的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：A 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随增大而减小 D. 顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括开口方向、对称轴、增减性和顶点坐标，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据二次函数的性质判断选项即可． 【详解】解：二次函数中，，开口向上，A正确； 对称轴为，B正确； ，且对称轴，当时，y随x的增大而减小，C正确； 顶点坐标为，而非，D不正确． 故选：D． 6. 如图，是的直径，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握定理以及推论是解题的关键．根据在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对应的圆心角相等，解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．由题意可把方程看作是二次函数与直线的交点问题，根据图象可得答案． 【详解】二次函数与直线的交点即为方程的解， 根据图象可知：二次函数与直线有两个交点， 方程的根的情况为：有两个不相等的实数根， 故选：C． 8. 如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定， 设，可表示出，再说明是中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． ∵是的直径， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴是的中位线， ∴． 在中，， 即， 解得， ∴． 故选：B． 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与轴的交点位置，即可得到、、的正负性，从而判断A选项；把代入二次函数解析式中，即可判断B选项；根据二次函数图象的对称轴可判断C选项的正确性；根据二次函数图象与轴有个交点，从而判断D选项． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ， 对称轴， ，，故C选项正确； 二次函数图象与轴的交点在轴上方， ， ，故A选项错误； 当时，， ，即，故B选项错误； 二次函数图象与轴有个交点， ，故D选项错误； 故选：C ． 10. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，连接、，与交于点G，满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定与性质，连接，由正方形的性质可得，，垂直平分，证明出，由旋转的性质可得，，证明为等边三角形，得出，，再由三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ， ∵四边形是正方形， ∴，，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为_________时，旋转后的五角星与自身重合． 【答案】##72度 【解析】 【分析】根据五角星图案被分成相同的五份，用圆心角除以5即可得到最小旋转度数，即可得到答案； 【详解】解：由图形可得， 五角星图案被分成相同的五份， ∴， ∴只要是旋转的整数倍都可以与原图形重合， 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 13. 已知二次函数的图象，当时，有最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，包括二次函数的对称轴、顶点坐标以及函数在给定区间内的最值问题．关键在于准确确定对称轴，结合函数的开口方向和给定取值范围判断函数的最值情况． 【详解】该二次函数为正数，开口向上，由二次函数顶点公式，得顶点横坐标 ， 在取值范围内，故当时，函数取最小值．所以代入函数得 ． 故答案为 ． 14. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为的圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了圆锥与扇形之间的关系，扇形的弧长，勾股定理；设圆锥的母线为，由勾股定理得，由弧长公式得，即可求解；理解圆锥与扇形之间的关系，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：设圆锥的母线为，这个扇形的圆心角， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 15. 如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得点，设抛物线的解析式为，把点代入，可求出抛物线的解析式，然后令，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴点， 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴点C的坐标为， ∴， 即的长为． 故答案为： 16. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，进而得到，再根据得到，即得，最后根据三角形外角性质解答即可求解； （）过作于，连接，可得，即得半径为， 由等腰三角形的性质得，又可得，得到，即得到，再利用勾股定理求出即可； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：（）连接， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵劣弧沿弦翻折交于点，和都对， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （）过作于，连接，如图，则， ∵，， ∴， ∴的半径为， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知抛物线经过两点，求这条抛物线的解析式 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将两点代入即可求解； 【详解】解：将两点代入得： ，解得：， ∴这条抛物线的解析式为：； 18. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，根据垂径定理证明即可． 【详解】证明：过作，垂足为E， ，， ， ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； （2）请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 【答案】（1）见详解， （2）见详解 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【小问1详解】 解： 如图，即为所求，． 【小问2详解】 解： 如图，即为所求． 20. 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，连接并延长，交于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角为，等边对等角，解决本题的关键是作辅助线构造直角． 连接，由旋转可得，即可得的度数，且可得，再由直径所对的圆周角为，可得，由此可得的度数，由此可得的度数，由此可证． 【详解】证明：连接，如图， ∵将弦绕点顺时针旋转得到， ∴，且， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 21. 已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 【答案】（1）； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的综合知识，二次函数中对称轴的计算方法，顶点的计算方法和绘图的方法，熟知二次函数图像的性质是解题的关键． （1）将抛物线变为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据抛物线自变量的取值范围，适当选取自变量的值，计算函数值，并在平面直角坐标系中描点，连线即可； （3）根据函数图像的性质即可求解． 【小问1详解】 解： ， ∴抛物线的对称轴是，顶点坐标是， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时， 或 解得， 当时， ， 综上所述，可选取， 依次描点、连线如图所示， 【小问3详解】 解：∵， ∴由图可得． 22. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明，推出，即可证明与相切； （2）由可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 23. 6月中旬，荔枝相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解荔枝的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处荔枝园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A荔枝园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/箱） 销售量（箱） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 ．．． ．．． ．．． 第x天 已知A荔枝园每天的固定成本为745元． B荔枝园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）求A荔枝园第1天的利润； （2）求B荔枝园第x天的利润（元）与x（天）的函数关系式； （3）设两处荔枝园的利润之和为w，求第几天w有最大值，最大值是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）第天有最大值，最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，并考查了待定系数法求解二次函数表达式，二次函数最值问题求解，实际问题中运用函数关系正确表示利润是解答的关键． （1）根据利润销量单价成本，化简表达式即可得到函数解析式，然后代入即可求解得到第一天的利润； （2）根据待定系数法，将根据，代入方程，求得的值，进而得到二次函数的表达式； （3）根据前面所求求出的结果，再利用二次函数的性质，在顶点处取得最大值，进而完成求解． 【小问1详解】 解：由题意知，， 第一天的利润（元）． 答：荔枝园第天的利润为元． 【小问2详解】 解：把，代入得， ， 解得， ∴． 答：函数关系式为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴利润之和， ∴， ∴， ∵（为正整数）， ∴当时，取得最大值，最大值为， 答：第天有最大值，最大值为． 24. 如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． （1）如图1，若，，则的度数为 ； （2）如图2，若，E为外的一点，，，判断的形状，并加以证明． （3）若将线段绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，求与的数量关系． 【答案】（1） （2）为等边三角形，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上性质并分类讨论点C与点D的位置是解决本题的关键． （1）由，，可得，再结合，即即可求解的度数； （2）先由边角边的方法证明与全等，再可得，再结合，可证明为等边三角形． （3）分两种情况，当点C在之间时，当点D在之间时，由全等三角形的性质及等边三角形的性质可得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 证明：为等边三角形，证明如下： 连接，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴为等边三角形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形． 【小问3详解】 解：或，理由如下： 当点C在之间时，如图： ∵将线段也绕点B顺时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段. ∴，，， ∴， 且， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在之间时，如图， 同理可得：， 且同理可得， ∴， ∴. 综上所述：或． 25. 我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把该函数称为“函数”，其图象上这一点，称为“点”．例如：“函数”，其“点”为． （1）在下列关于的函数中， （请填写对应序号）是“函数”． ①；②；③． （2）若点，点是“函数”（其中0）上的“点”，且，求的取值范围； （3）若“函数”的图象上存在唯一的一个“点”，且当时，的最小值为，求的值． 【答案】（1）②③； （2）； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解一元二次方程，根的判别式及根与系数的关系等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意令，解方程判断即可； （2）设，由题意知，整理得，根据根的判别式及根与系数的关系得到，即可求解； （3）由题意得，整理得，求解，分三种情况讨论即可得出答案． 【小问1详解】 解：①令，即，方程无解， 不是“函数”； ②令，即， 解得：， 是“函数”； ③令，即， 解得：或， 是“函数”． 故答案为：②③； 【小问2详解】 解：设， 点，点是“函数”（其中）上的“点”， ， 整理得：， ， ， ， ， 解得：， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：“函数”的图象上存在唯一的一个“点”， ， 整理得：， ， 解得：， 关于的二次函数图象开口向上，对称轴为直线； ， 分以下三种情况讨论： ①当，即时，当时有最小值， 即， 解得：（舍去）； ②当，即时，当时有最小值， 即， 解得：或（舍去）； ③当，即时，当时有最小值， 即， 解得：； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期期中质量检测卷九年级数学 （本试卷共三大题25小题，共6页，满分120分．考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．下面每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．） 1. 数学图形以其独特的结构、精确的线条和丰富的内涵展现出一种独特的美感．下列数学图形中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知的半径，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在外 C. 点P在上 D. 无法确定 3. 将抛物线向上平移个单位长度，得到的抛物线是（    ） A. B. C. D. 4. 如图，绕点逆时针旋转得到，若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，随的增大而减小 D. 顶点坐标为 6. 如图，是的直径，，若，则的大小为（ ） A B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于x的方程的根的情况为（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 有实数根 8. 如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（　　） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论，其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E为对角线上一点，连接，将绕点D逆时针旋转至，连接、，与交于点G，满足，若，则（ ） A B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分．） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________________． 12. 如图，一个五角星图案，绕着它的中心O旋转，则旋转角至少为_________时，旋转后的五角星与自身重合． 13. 已知二次函数的图象，当时，有最小值为_________． 14. 如图，数学课上，老师让同学们从卡纸上剪下一个扇形，它可以折成一个底面半径为，高为圆锥体，那么这个扇形的圆心角的度数是______． 15. 如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度（）与水平距离（）之间的关系如图2所示，点为该水流的最高点，点为该水流的落地点，且，垂足为点，．若，，则的长为______． 16. 如图，在中，为直径，点为圆上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，连接． （）若，则的度数等于_______， （）若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 已知抛物线经过两点，求这条抛物线的解析式 18. 如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； （2）请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 20. 如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，连接并延长，交于点．求证：． 21. 已知抛物线． ．．． ．．． ．．． ．．． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）选取适当的数据填入表中，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； （3）若该抛物线上两点，的横坐标满足，试比较，的大小． 22. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的长． 23. 6月中旬，荔枝相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解荔枝的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处荔枝园连续15天的销售情况进行了统计与分析： A荔枝园 第x天的单价、销售量与x的关系如下表： 单价（元/箱） 销售量（箱） 第1天 50 20 第2天 48 30 第3天 46 40 第4天 44 50 ．．． ．．． ．．． 第x天 已知A荔枝园每天的固定成本为745元． B荔枝园 第x天的利润（元）与x的关系可以近似地用二次函数刻画，其图象如图： （1）求A荔枝园第1天利润； （2）求B荔枝园第x天的利润（元）与x（天）的函数关系式； （3）设两处荔枝园的利润之和为w，求第几天w有最大值，最大值是多少元？ 24. 如图，在中，，，将线段绕点B逆时针旋转得到线段． （1）如图1，若，，则的度数为 ； （2）如图2，若，E为外一点，，，判断的形状，并加以证明． （3）若将线段绕点B顺时针旋转得到线段，当C，D，E三点在同一条直线上时，求与的数量关系． 25. 我们不妨约定：若某函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则把该函数称为“函数”，其图象上这一点，称为“点”．例如：“函数”，其“点”为． （1）在下列关于的函数中， （请填写对应序号）是“函数”． ①；②；③． （2）若点，点是“函数”（其中0）上的“点”，且，求的取值范围； （3）若“函数”的图象上存在唯一的一个“点”，且当时，的最小值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $