精品解析：四川省成都市盐道街中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

成都市盐道街中学2025-2026学年（上）半期考试 高2024级数学试卷 命题人：黄文亭 审题人：秦凤英 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线经过两点，那么直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 7.5 4. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为． A. B. C. D. 5. 圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是 A. B. C. D. 6. 一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，则，，，，，5这6个数的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 25 D. 30 7. 已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 8. 已知，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 10. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面周长为 B. 上存在点P，使得平面 C. 三棱锥和体积相等 D. 上存在点P，使得平面 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 13. 如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________. 14. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆M:，圆N：，若圆M上存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a的取值范围为________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值： （1）直线过点，并且直线与垂直； （2）直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为. 16. 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12. （1）第二小组的频率是多少?样本容量是多少? （2）通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数. 17. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3的3个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的两个球标号相同的概率； （3）若将乙盒中的球倒入甲盒中，然后从甲盒的6个球中不放回的随机取出两个，求取出的两个球标号相同的概率. 18. 如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知圆和点． （1）过M作圆O的切线，求切线的方程； （2）过M作直线l交圆O于点C，D两个不同的点，且CD不过圆心，再过点C，D分别作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程； （3）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都市盐道街中学2025-2026学年（上）半期考试 高2024级数学试卷 命题人：黄文亭 审题人：秦凤英 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知直线经过两点，那么直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率公式求得直线的斜率. 【详解】依题意，直线的斜率为. 故选：C 2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基底的定义，判断是否共面即可逐一求解. 【详解】对于A，由于基底向量不能是零向量，故A错误， 对于B，由于与不共面，符合基底要求，故B正确， 对于C，，故共面，不符合要求，C错误， 对于D，，故共面，不符合要求，D错误， 故选：B 3. 数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的定义进行求解. 【详解】，从小到大第6个数据为7，第7个数据为8， 故分位数为. 故选：D 4. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组的概率为． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 考虑基本事件总数时，按照指挥交通组选人，打扫街道组选人，计算基本事件总数，先计算甲乙在同一组的概率，其对立事件的概率即为所求. 【详解】根据指挥交通组选人打扫街道组选人，基本事件总数为， 甲乙在同一组包含基本事件总数为2，其概率为， 其对立事件：“甲、乙不在同一组” 所以甲、乙不在同一组概率为 故答案为：C 【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确算出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数，其中考查基本计数原理，解题中合理使用对立事件概率关系能降低解题难度. 5. 圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出圆心坐标，写出圆的方程，根据点在圆上将点代入圆的方程，求解出未知数，则圆的标准方程可知. 【详解】设所求圆的圆心为，半径为r，则， ∴圆的标准方程为； ∵点(3，1)在圆上， ∴，解得，∴圆的标准方程为. 【点睛】本题考查圆的方程的求解，难度一般.圆心在轴上的圆的方程可设为：，圆心在轴上的圆的方程可设为：. 6. 一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，则，，，，，5这6个数的方差为（ ） A. 5 B. 6 C. 25 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】利用平均数和方差公式，即可计算. 【详解】∵一组5个数据，，，，的和为25，方差为6， ∴这5个数据，，，，的平均数为， ，， ∴，，，，，5这6个数的平均数为， ∴，，，，，5这6个数的方差为. 故选：A. 7. 已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂径定理，过圆内一点的最短的弦，应垂直于该定点和圆心的连线，再结合弦长公式进行求解即可. 【详解】过点的直线被圆所截得的弦长的最小， 即点为弦的中点 所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点的距离， 圆心到直线距离的最大值为，所以弦长的最小值为. 故选：D 8. 已知，则 的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】转化为到两点距离之和后数形结合求解． 【详解】， 故可以看作点到和的距离之和， 数形结合得，最小值为与的距离为5， 故选：D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分. 9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线在坐标轴上的截距为0与不为0讨论求解即可. 【详解】当截距为0时，设直线的方程为， 将点代入可得，所以，即; 当截距不等于0时，设直线的方程为， 将点代入可得，解得， 所以直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 故选：BD 10. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立 C. 事件发生的概率为 D. 事件发生的概率为 【答案】BC 【解析】 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 11. 如图，正方体的棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法正确的是（ ） A. 平面截正方体所得截面周长为 B. 上存在点P，使得平面 C. 三棱锥和体积相等 D. 上存在点P，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于B，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用反证法可判断其正误，而对于ACD，连接，，，利用线线平行可判断截面为梯形，从而可求截面的周长，连接，利用等积法可求棱锥的体积，再取的中点M，的中点N，连接，，，利用线面平行的判定定理可证的中点Р满足平面，从而可判断这三者的正误. 【详解】对于B选项，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，所以，， 若平面，则，而显然不成立， 所以与不垂直，所以上不存在点P，使得面， 所以B选项错误； 对于A选项，连接，， ∵E，F分别为，的中点，故，而，故， ∴E﹐F，，C四点共线， ∴平面截正方体所得的截面为梯形， ∴截面周长， 故A正确； 对于C选项，连接， 故， 而平面即为平面，因， 故到平面的距离为到平面的距离的， 而到平面为，故到平面的距离为， 故， 所以成立，C正确； 对于D选项，取的中点M，的中点N，连接，，， ∵且， ∴四边形为平行四边形，∴， ∴，∵平面，平面 ∴平面，∴点P为的中点， ∴上存在一点Р使得平面，故D正确． 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由两条直线的位置关系可得直线的斜率与直线的斜率相等，然后根据斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】解：因为直线与直线平行，直线的斜率为， 所以直线的斜率与直线的斜率相等，即直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 所以，即直线的倾斜角为， 故答案为：. 13. 如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求解. 【详解】由题意，二面角等于， 可得向量，， 因为，可得, 所以 . 故答案为： 14. 在平面直角坐标系xoy中，已知圆M:，圆N：，若圆M上存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a的取值范围为________． 【答案】［－2，2］ 【解析】 【分析】可将问题转化为圆的半径增加后与圆有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆与圆有交点，则，得，即. 【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值： （1）直线过点，并且直线与垂直； （2）直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据直线垂直的充要条件以及点在直线上，列出方程组即可解出； （2）根据两直线平行斜率相等，以及直线纵截距的意义，列出方程，即可解出． 【小问1详解】 因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②得a＝2，b＝2. 【小问2详解】 因为直线l2在y轴上的截距为3，所以b＝－3， 又,所以,所以,故. 16. 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12. （1）第二小组的频率是多少?样本容量是多少? （2）通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数. 【答案】（1）频率是，样本容量是 （2）平均数为121.8，中位数为，众数为115 【解析】 【分析】（1）直接根据公式计算频率和样本容量得到答案； （2）根据频率分布直方图分别求众数、平均数和中位数. 【小问1详解】 第二组的频率是，样本容量是. 【小问2详解】 有频率分布直方图可知，在频率分布直方图中最高的小长方形的底边的中点就是这组数据的众数，即样本众数是115， 因为各组的频率分别是：0.04，0.08，0.34，0.30，0.18，0.06， 所以样本平均数是： ∵ ∴中位数在第四组，不妨设中位数为， 则有，解得 所以样本中位数为. 于是可以估计样本平均数为121.8，中位数为，众数为115. 17. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3的3个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等. （1）写出试验的样本空间； （2）求取出的两个球标号相同的概率； （3）若将乙盒中的球倒入甲盒中，然后从甲盒的6个球中不放回的随机取出两个，求取出的两个球标号相同的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）列举试验的样本空间即可； （2）根据古典概型概率公式计算即可； （3）分别用和表示甲、乙两盒中的球，再结合古典概型概率公式求解即可. 【详解】（1） （2）设事件A=“取出的两个球上标号为相同数字”， 则事件， ， ∴ （3）分别用和表示甲、乙两盒中的球， 设不放回的抽取两个所得样本空间为，则， 设事件“两次取出的球标号相同”， 则， 则 18. 如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且. （1）证明：平面平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 设圆O的半径为r， 在中，，，， 故，又，故， 在中，由余弦定理得， 所以，即； 圆锥中，底面，底面，故， 又，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证线面垂直再得面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 有，即，解得， 设直线与平面所成角为， 则. 19. 已知圆和点． （1）过M作圆O的切线，求切线的方程； （2）过M作直线l交圆O于点C，D两个不同的点，且CD不过圆心，再过点C，D分别作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程； （3）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）x＝1和 （2） 设，，，，， ∴由，则，即，又， 故，同理，∴直线CD为，又M在CD上， ∴，故E恒在直线上． （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）分斜率存在和斜率不存在两种情况求切线方程即可； （2）设，，，根据，得到，再结合，得到，同理得到，即可得到直线的方程为，再根据M在CD上，即可得到点的轨迹方程； （3）设，根据得到，再设，，即可得到，再根据存在，使为定值，列方程求解即可. 【小问1详解】 当斜率不存在时，显然x＝1与圆相切； 当斜率存在时，设切线为，由圆心到切线的距离为1， ∴，解得，则，整理得 综上，切线方程为x＝1和. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题设，若则，整理可得， 若存在，使为定值，而，． ∴，整理得， ∴， 整理得， 要使为定值，则,解得或. 综上，存在或，使为定值． 【点睛】关键点点睛：（1）过一定点，求圆的切线时，首先判断点与圆的位置关系．若点在圆外，有两个结果，若只求出一个，应该考虑切线斜率不存在的情况； （2）求动点轨迹时，主要是要利用题目中的条件取列等式，然后利用等式去导出动点横纵坐标的关系； （3）存在，使为定值，关键在于对任意点都要满足，也就是等式的成立跟，的值无关，将等式整理成关于，的等式，让，的系数等于零，同时保证等式成立，解方程，有解则存在，无解则不存在. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $