精品解析：辽宁省葫芦岛市协作校2025-2026学年高二上学期第一次考试数学试题

2025-2026学年度上学期协作校高二第一次考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章至第二章2.5． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据即可求出倾斜角. 【详解】由题意得直线的斜率为，所以直线的倾斜角为. 故选：C 2. 已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 3. 椭圆的焦距为（　　） A. 4 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，直接求出，即可求解. 详解】由，得， 所以椭圆焦点在轴上，且， 所以，焦距. 故选：A 4. 若圆与圆外离，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心距和两圆半径和的大小关系即可求解. 【详解】由题意， 所以． 因为圆与圆外离，所以． 故选：A 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上的点满足三点共线，且的周长为，则的离心率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用椭圆的定义，化简得到，结合，即可求解. 【详解】如图所示，因为周长为， 由椭圆的定义，可得， 所以，则，所以的离心率为． 故选：D. 6. 在空间直角坐标系中，是直线的方向向量，点，则直线与所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的夹角公式即可求解. 【详解】由题意得， 则直线与所成角的余弦值为， 所以直线与所成角的大小为， 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，根据点到坐标轴和原点的距离公式，结合已知条件列出方程，再对轨迹方程进行分析，判断其对应的图形即可. 【详解】设，则，，. 因为，所以， 则，则， 所以动点的轨迹为两条直线与（除去坐标原点），其图形大致为选项A中的图象. 故选：A. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，且的面积为6，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先设点，再应用面积公式及点在椭圆上列式计算，最后应用两点间距离公式求解. 【详解】由椭圆的对称性不妨设点在第一象限，则． 由题意可得，则． 因为的面积为6，所以，解得． 因为点在椭圆上，所以，解得， 则， 故． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 两个焦点分别为的椭圆的标准方程可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，逐项确定椭圆焦点位置及坐标判断即可． 【详解】对于A：的焦点在轴上，A错误； 对于B：的两个焦点分别为，B正确； 对于C：的两个焦点分别为， C错误； 对于D：的两个焦点分别为，D正确. 故选：BD． 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出向量，，和平面的法向量、平面的一个法向量为，由即可判断A；由即可判断B；由计算即可判断C；计算即可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则令，得，得. 因为，所以， 又平面，所以平面，A正确； 因为，所以，所以平面，B正确； 易得平面的一个法向量为， 所以平面与平面夹角的余弦值为，C错误； 点到平面的距离为，D正确. 故选：ABD 11. 在正方形中，，，，，点（不与重合）在线段上，点（不与，重合）在线段上，光线从点出发到达点后，在正方形内不断反射，直至到达正方形顶点时停止，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则光线第一次反射后落在上的点的纵坐标为 B. 若光线第一次反射后落在上，则的斜率 C. 若的斜率，则光线第一次反射后落在上 D. 若点与点重合，且光线最终到达点，则反射次数为偶数 【答案】ACD 【解析】 【分析】A确定关于直线的对称点，求出直线并将代入求解判断；B、C设，其中，得斜率，设时，将代入求对应范围判断；D利用入射、反射光线斜率互为相反数，且光线的可逆性，分析光线的路径，判断的奇偶性. 【详解】对于A，关于直线的对称点为，则， 直线的方程为，令，得，正确. 对于B、C，设，其中， 由，关于直线的对称点分别为，，则的斜率， 当时，设直线的方程为， 令，得，即与线段有交点， 即光线第一次反射后落在上，B错误，C正确. 对于D，因为每一次反射的反射光线斜率与入射光线斜率互为相反数，而过点的光线斜率不可能与的斜率互为相反数， 所以过点的光线斜率与的斜率相等， 因为光线可逆，考虑光线从点返回，不断反射会回到点， 所以整个光线路径是关于原点对称的， 设光线路径为， 则为偶数，共有个点，条光线，反射次数为偶数，正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点到平面距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据坐标的定义可知. 【详解】由题意可知，点到平面的距离为. 故答案为： 13. 已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得，则的外接圆是以线段为直径的圆，从而可求出圆心坐标和半径长，进而可得圆的方程． 【详解】由已知得，， 故，所以，则的外接圆是以线段为直径的圆． 因为 设线段的中点为，则的坐标为， 所以该圆的标准方程为． 故答案为： 14. 方程的解是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将根式转化为两点间的距离公式，利用几何意义和椭圆的定义可得. 【详解】因为， 所以， 可转化为点到点和点的距离之和为， 因，故点在以和为焦点的椭圆上， 因，则, 则椭圆方程为，则，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线的斜率为3． （1）若直线经过点，求直线在轴上的截距； （2）求经过，两点的直线的方程（结果化为方程的一般式）； （3）求经过点且与直线垂直的直线的方程（结果化为方程的一般式）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求解； （2）根据题意，利用斜率公式，求得，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）根据题意，得到所求直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【小问1详解】 若直线经过点且直线的斜率为3， 则直线的方程为，即， 令，可得，所以直线在轴上的截距为． 【小问2详解】 因为点，可得， 所以所求直线的方程为，即． 【小问3详解】 因为直线的斜率为3，则与直线垂直的直线的斜率为， 又由，则所求直线的方程为，即． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 【答案】（1） （2）①；②或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的一般方程成立条件，建立不等式，可得答案. （2）①根据弦长公式，建立方程，求出参数；②根据切线方程的求法，可得答案. 【小问1详解】 （方法一）由题意得，则， 得，所以的取值范围为. （方法二）由， 得，所以的取值范围为. 【小问2详解】 ①由题意得到的距离， 则圆的半径为， 得. ②当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为. 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即. 由，得， 所以所求的切线方程为，即. 综上，过点的圆的切线方程为或. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点. （1）证明：平面. （2）求EF与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）通过构造中位线，结合线面平行的判定定理来证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得EF与平面所成角的正弦值. 【小问1详解】 连接.因为E，F分别是AB，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 依题意可知两两相互垂直，以为坐标原点， BC，BA，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，. 设是平面的法向量，则，即， 取，得 设与平面所成角为， 则， 即EF与平面所成角的正弦值为. 18. 如图，在正三棱锥中，，，D是棱AB的中点，点E在棱PC上，. 记. （1）用表示； （2）若，求k的值； （3）求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图形可得，分别用表示，再计算即得； （2）由可得，利用余弦定理求得，进而，代入即可求得的值； （3）利用向量数量积的运算律求出，根据二次函数的性质即可求得其最小值. 【小问1详解】 由图可知，因为是棱的中点， 所以，， 因为，所以. 故. 【小问2详解】 由（1）可知， 则（*）. 因为正三棱锥,，所以， 由余弦定理， 所以， 则由（*）可得：，解得. 【小问3详解】 由（2）可知，又， 则 ， 故，当时，取得最小值. 19. 已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍. （1）求的方程. （2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围. 【答案】（1） （2）是，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）由题得到关于的方程，解方程即得解； （2）应用斜率公式结合椭圆方程计算化简求值； （3）设直线l的方程为：，联立椭圆C的方程得到韦达定理，结合弦长公式及点到直线距离再化简求出面积，再应用值域求解. 【小问1详解】 由题意得解得 所以的方程为. 【小问2详解】 是定值，该定值为. 理由如下： 设，，则.由，得， 同理可得， 则. 【小问3详解】 设：，，. 由，得， 则， 所以. 设，则，得， 所以直线的方程为. 设，.由得，则. 点到直线的距离，点到直线的距离. 因为，在的两侧， 所以 ， 四边形的面积 . 由，得，得， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期协作校高二第一次考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：人教B版选择性必修第一册第一章至第二章2.5． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（ ） A. B. C. D. 3. 椭圆的焦距为（　　） A. 4 B. 4 C. D. 2 4 若圆与圆外离，则（　　） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，上的点满足三点共线，且的周长为，则的离心率为（　　） A. B. C. D. 6. 在空间直角坐标系中，是直线方向向量，点，则直线与所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，动点到轴、轴、坐标原点的距离分别为，，，这3个距离均大于0，且，则动点的轨迹对应的图形大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，且的面积为6，则（　　） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 两个焦点分别为的椭圆的标准方程可能为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 平面与平面夹角余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 在正方形中，，，，，点（不与重合）在线段上，点（不与，重合）在线段上，光线从点出发到达点后，在正方形内不断反射，直至到达正方形顶点时停止，则下列判断正确的是（ ） A. 若，，则光线第一次反射后落在上的点的纵坐标为 B. 若光线第一次反射后落在上，则的斜率 C. 若的斜率，则光线第一次反射后落在上 D. 若点与点重合，且光线最终到达点，则反射次数为偶数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在空间直角坐标系中，点到平面的距离为___________． 13. 已知平面内有，，三点，则的外接圆的标准方程为___________． 14. 方程的解是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知点，直线的斜率为3． （1）若直线经过点，求直线在轴上的截距； （2）求经过，两点的直线的方程（结果化为方程的一般式）； （3）求经过点且与直线垂直的直线的方程（结果化为方程的一般式）． 16. 已知圆. （1）求m的取值范围. （2）已知直线与圆交于两点，且. ①求； ②求过点的圆的切线方程. 17. 如图，在直三棱柱中，，，，E是AB的中点，F是的中点. （1）证明：平面. （2）求EF与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在正三棱锥中，，，D是棱AB中点，点E在棱PC上，. 记. （1）用表示； （2）若，求k的值； （3）求的最小值. 19. 已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍. （1）求的方程. （2）若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由. （3）已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $