安徽省合肥市第六中学2025-2026学年高二上学期期中教学质量检测数学试卷

合肥六中2025-2026学年上学期高二期中教学质量检测 数学 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.直线xV3y3=0的倾斜角为( A君 B号 c D 2.已知点A(-1,1)在圆x2+y2+2x+3yHm=0外，则实数m的取值范围是( A.（-3,+oo) B.(保，o) c.(,)》 D.（3,) 3.如图，空间四边形OABC中，OA=.OE-b,OC-昆，点M在OA上，且OM=2MA,点N为BC 中点，则( A衣号+ B玉 c2+五 D.++安 4已知双曲线C号号-1的两个焦点分别为，B,双曲线C上有一点卫，若都PR,5,则 IPF2I=( A.1 B.9 C.1或9 D.2或10 5.若平面α的法向量为=(-1,2,4)，平面的法向量为-(m,-1,-2),直线1的方向向量为 =(n,-2,-4),则( A.若m=-10,则a⊥f B.若ILa,则n=2 C.若n=-20,则lla D.若ad/B,则m=1 6,若椭圆号+片-1的弦B被点P1,1)平分，则AB所在直线的方程为、) A.4x+9y13=0 B.9x+4y13=0 C.x+2y3=0 D.2x+y3=0 第1页，共4页 7.已知A(-2,0),B(2,0),若圆xa-1)2+y3a十2)2-4上存在点P满足P·P万=5，则a的取值范 围是() A.[-2,3] B.【-2,1] C.[-1,2] D.[-3,2] 8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值(>0且≠1) 的点的轨迹是圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆"在平面直角坐标系xOy中，A(-2,0),B(4,0),点 户满足%-2：设点P的轨迹为C,则下列说法错误的是( A.迹C的方程为(+4)2+y2=16 B.在C上存在点M,使得|MO=2MA C在x辅上存在异于A纽的两点DB,使得份- D.当A,B,P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.下列说法正确的是( A.“a=-1"是“直线a2xy叶1=0与直线xay2-0互相垂直”的充分不必要条件 B.“a=-2”是“直线ax+2y叶a2=0与直线+a+1)y叶1=0互相平行的必要不充分条件 C.直线xsina中+2-0的倾斜角的取值范围是[0，]U[3买， D.若点A(1,0),B(0,2,直线1过点P2,1)且与线段AB相交，则1的斜率k的取值范围是-≤≤1 10.曲线y-V√1-x与直线y(x1)+2有两个交点，则实数k的值可能是() A景 B号 C.1 D. 11.在四棱柱ABCD-AB1CD,中，底面ABCD是平行四边形，AD=AA1-2AB=2,且 ∠A1A∠A1AD=∠BAD-,点P满足B产-BD,则下列说法正确的是() A.若=子则P,A,C,B四点共面 B.若=7则产号心-恋-2 C直线4C,与直线D8所成角的余弦值为2 D.四棱柱ABCD-A1B1CD1的体积为2V2 第2页.共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.经过点P(2,1),且在x轴上的截距是y轴上截距的2倍的直线方程为 13.已知双曲线片音-1的焦距为2下，则该双曲线的渐近线方程为 14.己知直线：mxy3m+1=0与直线2x+my3m-1=0相交于点E,其轨迹记为曲线C1,曲线C2 的方程为(+1)2+(y+1)2=16,点M,N分别在曲线C1,C2上运动，点P在直线1上，若直线1经 过点Q(4,-2),且与两曲线C,C2的公共弦所在的直线垂直，则PM+PW的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知三条直线：4：2x-y+a=0(a>0),12:4x-2y-1=0,:x+y-1=0,且4与12间 的距离是5 2 (1)求a的值： ②洁点喝 己，求点P到的距离与点P到马的距离之比！ 16.(15分)已知圆G:(x-42+y2=4,圆C2:(x-2a+2)2+y-a)2=1. (1)若圆C与圆C2外切，求实数a的值： (2)设a=2时，圆G与圆C2相交于A、B两点，求AB. 17.(15分)在平面直角坐标系中，已知A(0,5),B(1,-2),C(0,-3),D(-3,4), (1)求经过A,B,C三点的圆的方程，并判断点D是否在该圆I 2)过点P（2,3)作(1)中圆的切线，求切线方程： (3)设(1)中圆的圆心为E,点T在直线：x-y-6=0上，过点作圆E的两条切线，切点分 别为M,N,求四边形EMTN面积的最小值. 第3页，共4页 18.(17分)如图1，E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG 将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，分别连接AB、CG 就得到了一个空间五面体（如图2). G 图1 图2 (I)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO/1平面GCF: ②)若图2中的∠ABB=名π，求直线AB与平面GCr所成角的正弦值： (3)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点P,使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的余 弦值为②？若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由。 19.(17分)已知椭圆C的焦点在y轴上，长轴长为4，离心率为？： (1)求椭圆C的标准方程： (2)M,N是C上任意两点， (①C与y轴的交点分别为4,4（自下而上），点N位于y轴的右侧，若点M(-2,,直 线MN交y轴于点G,设aM4G和△4，G的面积分别为S,,当了-8，=时，求点N 的坐标； (i)已知直线MN与坐标轴不垂直，H为线段N的中点，直线OH与C交于K,L两点， 当|KHI HL-MH‖NI时，求直线N的斜率， 第4页，共4页 合肥六中2025-2026学年上学期高二期中教学质量检测 数学答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的 1.直线-V3-3=0的倾斜角为() A.6 B.3 c D. 【答案】A 解：直线方程化为=号-V3,斜率为号，由 =号得=石即倾斜角为5故选. 2.已知点(-1,1)在圆2+2+2+3+=0外，则实数的取值范围是() A.(-3,+∞) B.(保+ c.（∞，》 D.(-3,) 【答案】D 解：由圆的方程可化为(+1)2+(+}=号-号>0。< ,又点(-1,1)在圆外，则(- 1+1)2+1+>号-，。>3，综上-3<<是故选： 3.如图，空间四边形 中， =,=,=，点在上，且=2，点为中点，则 =() 2 2 3 1 C.2+2 -2 D.-号++ 【答案】D 解：由题意 2 1 ++2 1 2 -3 一2 二一3 +2 又=， =， = 二一3 22 4.已知双曲线：年-2元=1的两个焦点分别为1”2：双曲线上有一点，若1=5，则2=(） A.1 B.9 C.1或9 D.2或10 【答案】B 解：：2=4,2=21，·2=25，·=5，lz-11=2=4,1l=5得12=1或9， 又：|2≥-=5-2=3.所以2=9.故选： 5.若平面的法向量为=(-1,2,4)，平面的法向量为=(，-1，-2)，直线的方向向量为=(，-2，- 4),则() A.若=-10，则1 B.若1，则=2 C.若=-20，则/ D.若/，则=1 【答案】A 解：对于，由=-10，得=(-10，-1，-2)，·=10-2-8=0,1，则1，故A正确. 对于，由上，得∥，则受=解得=1，放B错误： 对于，由=-20，得=(-20，-2，-4)，·=20-4-16=0,1，则/或c,故C错误： 对于，由/，得∥，则与=会=子解得=京故D错误：故选：， 2 6.若椭圆g+年=1的弦被点(1,1)平分，则所在直线的方程为() A.4+9-13=0 B.9+4-13=0 C.+2-3=0 D.2+-3=0 【答案】A +3=1 解：设（1,1)，(2,2)， )9 4 1所以+0，验 4 1-2-9(1+2)1 因为(1,1)为弦 的中点，所以1+2=2,1+2=2，所以 =片=-t=- 1-2 第1页，共9页 所以弦 所在直线的方程为-1=-(-1)，即4+9-13=0.故选A. 7.己知(-2,0)，(2,0)，若圆(--1)2+(-3+2)2=4上存在点满足·=5，则的取值范 围是() A.[-2,3] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[-3,2] 【答案】C解：设点(，)，则=(--2，一)，=(-+2，-) 所以·=(--2)(-+2)+2=5，所以的轨迹方程为2+2=9，圆心为(0,0)，半径为3. 由此可知圆(--1)2+(-3+2)2=4与2+2=9有公共点， 又圆(--1)2+(-3+2)2=4的圆心为(+1,3-2)，半径为2， 所以1≤V(+1)2+(3-2)2≤5，解得-1≤≤2，即的取值范围是[-1,2].故选： 8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值(>0且≠1)的点的轨 迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系中，(-2,0)，(4,0)，点满足一2设点 的轨迹为，则下列说法错误的是() A.轨迹的方程为(+4)2+2=16 B.在上存在点，使得引1=2引 C在轴上存在异于，的两点，使得二=号 D.当，，三点不共线时，射线是∠的角平分线 【答案】B 解：在平面直角坐标系中，(-2,0)， 4,0)点满足=克设(，)则++” 1 2 V(-4)2+2 化简可得(+4)2+2=16，故A正确； 对于选项B,若在上存在点，使得||=2引，设(，)，则√2+2=2√C+2)2+乙， 化简得2+2++=0，与(+4)？+2=16联立，方程组无解，故在上不存在点， 3 使得引1=2！1，因此错： 假设在轴上存在异于， 的两定点，，使得=克可设(，0)，（，0)， 可得V(-)2+2=2、(-)2+2,化简可得32+32-(8-2)+42-2=0， 由的绒迹方程为2+2+8=0，因此4224，解得一1或{二42()。 即在轴上存在异于，的两点，，使得=，故C正确： 对于选项D,当，，三点不共线时， 111 =2= ,可知射线是上 的角平分线，故D正确. 故选： 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 9.下列说法正确的是() A.“ =-1”是“直线2-+1=0与直线一一2=0互相垂直”的充分不必要条件 B.“=-2”是“直线+2+2=0与直线+(+1)+1=0互相平行”的必要不充分条件 C.直线sin++2=0的倾斜角的取值范围是[0，JU[子，) D.若点(1,0)，(0,2)，直线过点(2,1)且与线段相交，则的斜率的取值范围是-2≤≤1 【答案】CD 解：选项：当=-1时，直线-+1=0与直线+-2=0斜率分别为1，-1，斜率之积为-1，故 两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线2一+1=0与直线一2=0互相垂直”，则2+ =0,故=0或=-1，所以得不到=-1，故必要性不成立，故A正确； 选项：由直线平行得}本2—，·=-2，故B错误； 选项：直线的倾斜角为，则tan=-sin∈[-1,1，因为0≤<，所以e[0,JU[,),故C正 确 项：如图，由=一 =1,结合图像知-2≤≤1，故D正确.故答案选：A· 第2页，共9页 B 0 A 10.曲线=√1-z与直线=(-1)+2有两个交点，则实数的值可能是() A 4 B C.1 0.2 3 【答案】BC 解：由题意，直线=(-1)+2可化为-2=(-1)，可得直线 过定点(1,2)，将曲线=V1-2化为2+2=1（≥0）， 可得曲线表示以原点为圆心，半径为1，且位于轴上方的半圆，如图所 示， 当直线过点(-1,0)时，直线与曲线有两个不同的交点，此时= 9号=1， 当直线过点时，此时直线与曲线相切，直线与曲线只有一个交点， =1得=景即=子 曲线=√1-2与直线=(-1)+2有两个交点，结合图形， 可得<≤1，即实数的取值范围是（子，1]，故答案为BC 11.在四棱柱 -1111中，底面 是平行四边形， =1=2=2,且∠1=∠1= =了点满足1=1，则下列说法正确的是() A若=3则，1，， 四点共面 B.若=2 则1=2 1 1 -2 1 C.直线1与直线 所成角的余弦值为2 51 D.四棱柱 -1111的体积为22 【答案】ABD 解：由题意知1=11+11+1，若=了则1=号1=行11+号11+号1，可得31= 11+11+1,所以1-11=（11-1)+(1-1)，即1=1+，所以，11 四点共面，故A正确； 由题意知1= -1=-(+)=--1若=2则1=号1=分-克 1,故B正确； 因为· =11l1cos3=1×2×2=1, ·1=1, ·1=2,且1=++1， 所以 l=、( ++2=√2+2+12+20 ++·1十 ·1)= √1+4+4+2×(1+1+2=V17,又=-，所以1=√(-)2= -2 2=V1-2×1+4=V3,所以1· =(++1)(-)=2 114+1-24,所以co山E州x即 1· 4 + 直线与直线所成角的余弦值为故C错误： 第3页，共9页 记点1在平面 内的投影为’，设′=+，所以1’=’一1= 1 又11 1 ,所以1·=(+ -1)·= 2+ 1 +-1=0,① 2 1 =( × 1)· 1· =+4-2=0,② 由@2解得=号=专所以1’=司 + 所以11=图 +写 1)2= 2+ + 1- ·1= 后++4+含 3 即四棱柱 111的高为2 ,所以四棱柱 1111的体积为1×2sm写×29=2V2, 故D正确故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.经过点(2,1)，且在轴上的截距是轴上截距的2倍的直线方程为 【答案】-2=0或+2-4=0 解：当直线过原点时，可设方程为=，代入点(2,1)，可得=多故方程为=号，即一2=0：当 直线不过原点时，可设方程为2+-=1，代入点(2,1)，可得=2，故方程为红+2=1，即+2-4=0： 故所求方程为：-2=0或+2-4=0. 22 13.已知双曲线气-立=1的焦距为2√5，则该双曲线的渐近线方程为 【答案】=土月 解：由题意可知=√15，又2=12，所以2=2-2=15-12=3，双曲线的焦点在轴上，所以渐近 2 线方程为=±√号=±号· 14.已知直线1：一一3+1=0与直线2：+-3-1=0相交于点，其轨迹记为曲线1，曲线 2的方程为(+1)2+(+1)2=16，点，分别在曲线1,2上运动，点在直线上，若直线经过点(4，- 2),且与两曲线1,2的公共弦所在的直线垂直，则！|+|的最小值为 【答案】3V10-V2-4 解：由题意可知，直线1： --3+1=0恒过定点(3,1)，直线2：+-3-1=0恒过定点(1,3)， 且112，所以直线1与2的交点的轨迹是以(3,1)与(1,3)为直径端点的圆， 所以曲线1的方程为(-2)2+(-2)2=2，圆心为1(2,2)，半径1=V2, 因为曲线2的方程为(+1)2+（+1)2=16，所以圆心为2(-1，-1)，半径2=4， 由两曲线方程可得其公共弦所在的直线方程为3+3-10=0，其斜率=-1， 所以直线的斜率’=1，所以直线的方程为+2=-4，即--6=0， 0-2 设122)关于直线的对称点为(0，小，则有9号-1， 0解9三品即08。 +2-2-6=0, 2 所以川23l=√[8-(-1)]2+[(-4)-(-1)]2=V90=3V10, 由圆的性质可知(|+1Dmin=[(01l-1)+(I2l-2)]min=(I1l+12)min-（1+2), 由对称思想知，|1l+|2l≥|23，即(11+|2)min=3√10， 所以(11+|)mim=3V10-V2-4, 即1+11的最小值为3v10-V2-4.故答案为：3√10-√2-4. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)已知三条直线：4：2x-y+a=0(a>0),42:4x-2y-1=0,43:x+y-1=0,且4与l2间的距离 是VS (1)求a的值： 若点3，S,求点P到的距离与点P到马的距离之 第4页，共9页 【解】(1)l2:2x-y 10, 1与l2间的距离为d= 3分 V22+(-1) √5 即a --5分 .∵a>0,.a=2: -6分 P,29,(若记点P(%则2x-%+2+%-=5 186 点P到l的距离为d 26-%+25 5651 一一9分 点P到l的距离为4=+⅓5 —-11分 V262 所以点P到l的距离与点P到的距离之比是√2：√5. --—13分 16.(15分)已知圆C:(x-4)2+y2=4,圆C2:(x-2a+2)2+(y-a)}2=1. (1)若圆C与圆C2外切，求实数a的值： (2)设a=2时，圆C与圆C,相交于A、B两点，求AB. 【解】(1)因圆C:(x-4)2+y2=4,得圆心C(4,0),半径5=2. 又圆C2:(x-2a+2)}2+(y-a)}=1,得圆心C,(2a-2,0),半径=1.一---2分 所以圆心距C,C=V2a-2-42+a2=V5a2-24a+36,5+5=3, 因圆C,与圆C2外切，所以CC2=5+5,得V5a2-24a+36=3,-一一一5分 解得a=3或a=5 故实数口的值为3或号 -——6分 (2)当a=2时，圆C2:(x-2)+(y-2)2=1,此时两圆的圆心距CC2=2√2<3，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为4x-4y-5=0.一一一一9分 所以圆心C(4,0)到直线AB的距离d= 4×4-0-511 √42+42 8，且半径=2， 一一一—12分 由圆的弦长公式得|46=2P-d=24-21-14 32 4 故A=年 --15分 4 17.(15分)在平面直角坐标系中，已知A(0,5),B(1,-2),C(0,-3),D(-3,-4) (1)求经过A,B,C三点的圆的方程，并判断点D是否在该圆上： (2)过点P(2,3)作(1)中圆的切线，求切线方程： (3)设(1)中圆的圆心为E,点T在直线：x-y-6=0上，过点T作圆E的两条切线，切点分别为M,N,求 四边形EMTN面积的最小值. 【解】(1)设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0, [25+5E+F=0 则{D-2E+F+5=0, 一一2分 9-3E+F=0 解方程组可得D=6,E=-2,F=-15, 第5页，共9页 所以圆的方程为x2+y2+6x-2y-15=0(或(x+3)2+(y-1)2=25):一-一一4分 又点D(-3-4)的坐标满足上述圆的方程， 点D在圆x2+y2+6x-2y-15=0上： 一6分 (2)当斜率不存在时，方程为x=2,与圆相切，成立； 一7分 当斜率存在时，设直线方程为y-3=k(x-2),即c-y-2k+3=0, 所以可得 -3-1-2水+3-5，可得k=2孔 Vk2+1 20 所以直线为21x+20y-102=0,一 一一9分 所以所求切线方程为x=2或21x+20y-102=0: --10分 (3)由已知ET与直线1垂直时，四边形EMTN面积最小， 此时圆心E(-3,)到直线：x-y-6=0的距离d-上3-1- 1=52, 一一12分 VP+12 四边形EMTN面积最小值为SHENNT=r√d-2=5×5=25. 一一15分 18.(17分)如图1，E,F,G分别是边长为4的正方形三边AB,CD,AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直 角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，分别连接AB、CG就得到了一个空间五 面体（如图2） G E B B 图1 图2 (1)若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：AO/I平面GCF: (2)若图2中的∠AEB=?元，求直线B与平面GCF所成角的正弦值： 3 (3)在(2)的条件下，在棱AG上是否存在点P,使得平面EBP与平面GCF所成的二面角的余弦值为 ?若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由， 1 【解】(1)取CF中点M,连接OM,GM,-一-一1分 A = C 由题意可知AG11EF且AG=EF,又因为O是矩形EBCF对角线的交点， 所以OM11EF且OM=EF,所以4G1IOM且AG=OM, 则四边形AOMG为平行四边形，所以AO/1GM,一一一一3分 又因为AO丈平面GCF,GMc平面GCF, 所以AO/1平面GCF; 一——5分 (2)因为在图1中EF⊥AE,EF⊥BE,且EF=4,AE=BE=2, 在图2中上述关系依然成立， 第6页，共9页