山西省卓越大联考2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

四，单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 L.D2.A3.C4.D5.D6.A7.B8.B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.BCD 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1或-2 13.5a+b+4e 14.11+V26 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 解：(1)设与，垂直的直线方程为x-3y+m=0, 将点4(-1.3)代入得-1-9+m=0,解得m=10, 所以过点A(-1,3)且与l垂直的直线方程为x-3y+10=0.…5分 2油9&化则直线与萄火车标为0动 当所求直线在两坐标轴上的截距都为0时.即直线过(0,0)，此时直线方程为x=0.…8分 当所求直线在两坐标轴上的截距相等且都不为0时， 设所求直线方程为产+兰=1，将点(0.5)代人得a=5。 aa 所以所求直线方程为x+y-5=0. 综上所求直线方程为x+y-5=0或x=0.…13分 16.(15分) 解：(1)设A到平面A,BC的距离为d 因为6L……2分 又-=写SK·d.且△4BC的面积为3Y2 ………4分 21 所以×32×d=1,所以A到平面ABC的距离=V2.…6分 3 (2)证法一：DE=BE-BD=BB+B,E-(B+AD =不+配-风-+网) =石+c-到+西-c+) =号不+号顶，…1B分 高二数学试题答案第1页（共4页） 又DE平面A,ABB,所以DE∥平面A,ABB.… …15分 证法二：取BC的中点F,连接DE,DF,EF,A,B,因为在△A,BC中 D.F分别为边A,C,BC的中点，所以DF∥A,B,…7分 又DFC平面A,ABB,A,BC平面A,AAB,所以DF∥平面A,ABB, 又E,F分别为B,C,BC的中点，所以EF∥B,B,…8分 又EF￠平面ABB,A,B,BC平面A,ABB, 故EFW平面A,ABB,… …1小分 又DF∩EF=F,DF,EFC平面DEF,所以平面DEF∥平面A,ABB,…13分 (第16题答图) 又DEC平面DEF,所以DE∥平面A,ABB.…15分 17.(15分) 解：(1)设圆心C的坐标为(a,b).因为圆心C在直线：2x+3y=0上， 所以a=- …1分 即C的华标为号小 因为A.B是圆C上两点，所以CA=|CB 化+2名b3+6. 得b=一2.所以例心C的坐标是(3，-2).……5分 圆C的半径r=AC=1.…………6分 所以所求圆C的标准方程是(x-3)炉+（心+2）=1.…7分 (2)根据光的反射原理，作点E关于y轴的对称点E《-2.3)…8分 从E射出的光线经y轴反射后，反射光线所在的直线即为经过点E'的圆C的切线」 由题得该直线的斜率存在，设切线的斜率为k, 则切线方程为y-3=k(x+2).即kr一y+2k+3=0.…10分 由圆心C(3,-2)到切线的距离等于周的半径1，得5k+51 =1. 12分 V2+1 解得6=寻与=专 4 …14分 故所求直线方程为3x+4)-6=0或4x+3y-1=0.…15分 18.(17分) 解析：(1)证明：在△ABC中，因为BC=2AB,∠ABC=60°， 所以AC=AB+BC-2AB·BCeos60°=3AB, 所以AC=V3AB,所以AC+AB2=BC,即∠B4C=90°， …2分 所以AC⊥AB,又AC⊥PB.PB∩AB=B.PB,ABC平面PAB,…3分 所以AC⊥平面PAB,又ACC平面ABCD. 所以平面PAB⊥平面ABCD,即平面ABB,A,⊥平面ABCD.…4分 (2)由四棱柱ABCD-A,B,C,D.可得C,D,∥AB, 所以LB,MB为异面直线B,与CD,所成的角或其补角.…6分 连接PM,因为△PAB是等边三角形，M为AB的中点， 所以PM⊥AB,所以四边形PWBB,是矩形，……7分 高二数学试题答案第2页（共4页） 由△PAB是等边三角形，可得∠PBM=60°，所以∠B,MB=60°， ……8分 所以异面直线B,M与CD,所成的角为60°。…9分 (3)由(2)知，PM⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,PMC平面PAB,所以PM⊥平 面ABCD, 又P,M分别为A,B,AB的中点，所以侧棱A,A⊥平面ABCD,则A,A⊥AB,A,A⊥AC.由(1)知，AC⊥AB.·10分 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB=2m,则A(0,0,0),B(2m,0,0),D(-2m.2V3m.0,C(0,2V3m,0, p(m.0.V3m). 所以CD=(-2m,0.0),CP=(m,-2V3m,V3m),AC=(0,2V3m,0 Bd=（-4m,2V3m.0.Dp=(3m.-2V3m,V3m）. 平面CDQF即平面PCD.设平面PCD的法向量是n,=(x): 则n而=0 -2mx1=0. 所以《 n,·Cp=0. mx,-2V3my1+V3m1=0. (第18题答图) 令y1=1.则平面PCD的一个法向量是m,=(0.L,2)… …12分 因为而=20严，所以成=2示在平面BE0F中， 3 设平面BEQF的法向量是n:=(x小又AC∥平血BEQF,则m:上AC, n,B0=0. n,·AC=0. 3m,+2V3 2m,+2 2m脑=0令，=1.则平面B0F的一个法向量是n:=.0V列…14分 2V3m1=0. 设平面BEQF与平面CDQF的夹角为8，则cos0=cos(n1.n:= nrn:2V3 v15 …16分 nn v5x2 所以平面BEQF与平面C0F的夹角的余弦值为国 …17分 5 19.(17分) 解：1)油题在知c=2,二=8，所以r=16,公=0-产=16-4=12，所以椭圆r的标准方程为二+。 1612=1 …3分 )4 =8 (2)证法一：如图，作AG⊥x轴于G.作AH与直线x=8垂直，垂足为H, 记AF=点E80.则PE=6FG=m.奥后-号 根据椭圆的焦点-准线定义.小A1==2.…5分 (第19题答图】 又|FE到=FG+AH,故6=reos0+2r,…8分 高二数学试题答案第3页（共4页） 6 6 解得r=2+s即M门=2+os0 4…10分 证法二：设椭圆的左焦点F",AF=r,则1AF上2a-r=8-r 在△AFF中，由余弦定理得引AF=AF+|FF-2AF,FFcos∠AFF,…8分 即(8-)广=r产+16-2·4cms(红-0).解得=2+00即AF2+00 6 6 …10分 (3)解法一：由题意知A,F,B三点共线，又射线FM逆时针旋转至FA的角为9 故射线FM旋转至FB的角为0+T 6 6 故BF=2+co(0+m)2-coa0 …11分 所以1AB=aF+BF=2+og+2-om64m0 6 6 24 …12分 由B1D知，射线W逆时针旋转至C.FD的角分别为9+号。+受。 2· 6 6 6 所以CD=|CF|+|DFI= 6 24 ，…14分 2+c0t2+s042-m02+im04m0 所以因边形ACBD的面积S=分h8CD=立40'4n。产2+m0 124 288 288 12+4im20 易知m0ea故12+m29e[2所以se[g2.24 …17分 解法二：当AB⊥y轴时.易知A.B.C.D的坐标为(-4.0).(4.0).(2,3).(2.-3) 此时四边形C80的面积5=×8×6=24：1分 当A6不垂直于y轴时，设AB的方程为x=my+2,联立6+五=山 + x my +2. 消去x,整理得(3m2+4)y2+12my-36=0,则y,+y。 -12m -36 3m+4w=3nm+4 …13分 24(m2+1) 故AB=V1+my-)=V1+m·√，+y-4yy= ，…14分 3m2+4 同理可得1C1=241+m心 …15s分 3+4m2 故四边形ACBD的面积S= 124(m2+1）24(1+m)288(m+2m2+1） =24 23m2+43+4m2 12m+25m2+12 12(m2+ 1 )+25 小………16分 综上se12 /4924…心…17分 高二数学试题答案第4页（共4贞）高二数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用 0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知直线的方程为x+y-V了=0，则直线的倾斜角为 A B. 3 胃 03 2椭圆女+ 圆。+存=1a>6>0)的短轴长为2，焦距为2V3,则椭圆的标准方程为 A装+yr=1 B.e41 c号+rl 0r+51 3.已知向量a=(1,-1,2),b=(1,3,-2),若a⊥(a+Ab),则实数入的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.在空间直角坐标系中，平面α的一个法向量的坐标为(4,4，-7)，直线l的一个方向向 量的坐标为(8，-4,1)，则直线1与平面α所成角的余弦值为 A号 B时 C.2v2 D.4v3 3 .9 3衡圆c荐+ 62 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F,F2,焦距为2c,A,B为椭圆上关 于原点对称的两个动点，△ABF,周长的最小值为4c,则椭圆C的离心率为 A号 B号 c 4 0 高二数学试题第1页（共4页） 6.如图，长方体ABCD-A,B,C,D,中，底面是边长为2的正方形，动点 P在线段BD上运动（包括端点），则DC,AP的取值范围是 A.[0,4] B.[1,2] c.[0,2] D.[-2,2] 7.已知点M是圆C:x2+y2-2y-31=0上的动点，A(0,-1),线段 AM的垂直平分线与线段CM交于点Q,当点M在圆C上运动时，点 (第6题图)》 Q的轨迹方程是 A.x2+y2=2 B+ 81 8.在△ABC中，点A的坐标为(2,3)，AC边的中线所在的直线方程为2x-y+5=0,AB 边的高线所在的直线方程为x+y-3=0,则点C的坐标为 a层) 别 c -别 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9若焦点在锁上的椭图+二=1的左右焦点分别为F,A,P为循国上的动 *、y2 点，则 A.m的取值范围为(-∞，4) B当椭圆的焦距为2V2时，离心率为② 2 C.当m=2且P不在x轴上时，△PF,F2的周长为2V5+4 D.若椭圆上存在点P使得△PF,F,为等边三角形，则m= 7 10.已知点P是四边形ABCD所在平面外一点，如果AB=(2-1,-4),AC=(6,1,-4), AD=(4,2.0),AP=(-1,2,-1)下列结论正确的是 A.APLAB B.AP∥BD C.四边形ABCD为平行四边形 、7 D.若BE= 23,2 ,则点E为线段PD的中点 高二数学试题第2页（共4页） 11.已知圆C:(x-3}2+(y+2)}2=1与圆C2:x2+y2-14x+2ay+a2+13=0.则下列结论 正确的是 A.若圆C,与圆C2内切，则a=5 B.当a=6时，圆C,与圆C,相交，且公共弦所在的直线方程为8x-8y-37=0 C.若P(m,n)为圆C,上一动点，则m2+n2的最大值为14+2V13 D.若M,N是圆C,上的两点，且MN|-V2,在直线y=x+b上存在点P,使得 C,M+C,N=C,P,则实数b的取值范围为[-7，-3]. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2已知直线a+x-y=号4-2y-号当1，∥时，a的值为人 13.在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1, BC,C,D,的中点，2MP+4NC用向量a,b,c可表示为▲ 14椭圆C,:芬+名=1的左、右焦点分别为FP为精圆上的动点，Q为圆 C2:x2+y2-4x-10y+28=0上的动点，则PQ+PF,的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知直线l1:x-2y+10=0,2:3x+y-5=0. (1)求过点A(-1,3)且与L2垂直的直线方程； (2)求过，与L,的交点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程。 16.(15分) 如图，直三棱柱ABC-A,B,C的体积为3，△A,BC的面积为3Y2 2 (1)求A到平面A,BC的距离； (2)若D为A,C的中点，E为B,C,的中点， 求证：DE∥平面A,ABB, (第16题图) 高二数学试题第3页（共4页） 17 .(15分) 已知圆C的圆心在直线l:2x+3y=0上，且经过A(4,-2),B(3,-1)两点 (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点E(2,3)射出，经y轴反射后，与圆C相切，求反射后光线所在直线 的方程 18.(17分) 如图，在四棱柱ABCD-AB,C,D,中，底面ABCD是平行四边形.P为A,B,的中点，△PAB 是等边三角形，BC=2AB,LABC=60°，PB⊥AC, A (1)求证：平面ABBA⊥平面ABCD; (2)设M为AB的中点，求异面直线BM与CD,所成的角： (3)点Q满足D0=2QP,过线段BQ且平行于直线AC的 平面BEQF分别交PA,PC于点E,F,求平面BEQF与 平面CDQF的夹角的余弦值， (第18题图)》 19.(17分) 古希腊数学家帕普斯(Pappus of Alexandria)在《数学汇编》中，清晰地阐述了椭圆的 “焦点一准线”定义：平面内到定点F(6,0)的距离与到定直线x=口的距离之比为 常数后a6>0的动点航法为精圆，其标准方程为号+苦-1a>6>0),其中。 -心点F四做右焦点，直线1叫做右准线.已知餐圆r后+苦=1a>6>0的 个焦点为F(2,0),一条准线为：x=8.点M是椭圆T的右顶点，将射线FM绕点F逆 时针旋转0rad后得到的射线与椭圆相交于点A. (1)求椭圆T的标准方程； 2)当0e,}时，证明AP1=2+80 6 (3)已知当6eR时，(2)中的结论依然成立，若直线AF与椭圆的另一个公共点为B, 经过点F且与AB垂直的直线交椭圆T于两点C,D,求四边形ACBD面积的取值 范围. 高二数学试题第4页（共4页）