专题06 二次函数特殊四边形相关存在性综合题（5种类型40道）-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练

弈泓共享数学 专题06 二次函数特殊四边形相关存在性综合题 （5种类型40道） 目录 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1 【题型2 矩形相关存在性问题】 5 【题型3 菱形相关存在性问题】 8 【题型4 正方形相关存在性问题】 12 【题型5 平移相关四边形存在性问题】 16 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． (3)若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于两点，直线与拋物线交于A、D两点，与轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，求的最大面积； (3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标． 3．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和最大面积； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)对称轴上有一动点M，抛物线上有一点，当周长最小时，求出点M的坐标． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型2 矩形相关存在性问题】 9．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 10．如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 12．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 13．已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 15．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 16．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【题型3 菱形相关存在性问题】 17．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 23．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 24．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型4 正方形相关存在性问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 26．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 27．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 28．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 29．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 30．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 32．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【题型5 平移相关四边形存在性问题】 33．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上方抛物线上的一动点，连接，，求的面积取最大值时，点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线，连接，点是线段上的一动点（不包括端点），点是抛物线上的一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 34．如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，平移抛物线：后得到抛物线，抛物线过点， ． (1)求抛物线的表达式； (2)点，都在抛物线上，若且，比较与的大小并说明理由； (3)点在抛物线上，过作轴交抛物线于点，设点的横坐标为，若，直接写出的取值范围； (4)若抛物线上的点平移得到点，过作轴交抛物线于点，判断四边形的形状，并说明理由． 37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 38．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 39．如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题06 二次函数特殊四边形相关存在性综合题 （5种类型40道） 目录 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1 【题型2 矩形相关存在性问题】 27 【题型3 菱形相关存在性问题】 52 【题型4 正方形相关存在性问题】 76 【题型5 平移相关四边形存在性问题】 99 【题型1 平行四边形相关存在性问题】 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C． (1)求直线的解析式． (2)若点E是直线下方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点E的坐标． (3)若点Q是x轴上一动点，点P是抛物线上一动点，是否存在Q，P，使以P，Q，B，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或 【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入： ，解得， ∴直线的解析式为． （2）解：如图，过点E作轴，交直线于点F， 设，则， 即， ∵， ∴当时，的面积最大．此时． （3）解：存在．点P的坐标为或或． 设， 以，，P，Q为顶点的平行四边形，分三种情况： ①如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴，即， 则，解得，， ∴点P的坐标为或； ②如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，， ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为； ③如图，以为平行四边形的边，为对角线： 此时，，则． ∴， 令，代入二次函数解析式得， 解得：，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的解析式表达，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合性强，难度大． 2．如图，抛物线与轴交于两点，直线与拋物线交于A、D两点，与轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)已知点为线段上一动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，求的最大面积； (3)若点是轴上的一动点，点是抛物线上一动点，当以点四点为顶点的四边形是平行四边形时，请你直接写出符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积最大值为 (3)或或或 【分析】（1）将点代入二次函数解析式并求解，即可获得答案； （2）首先利用待定系数法确定直线解析式，联立直线和抛物线解析式并求解，即可确定点坐标，进而可得，当取得最大值时，的面积取得最大值；设，则，易得，根据二次函数的性质确定取得最大值，即可获得答案； （3）分以为边和以为对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：拋物线与轴交于两点， ，解得：， 拋物线解析式为； （2）将点代入， ，解得， 直线解析式为， 依题意，联立， 解得：， ， ， 当取得最大值时，的面积取得最大值， 设，则， ， 时，取得最大值为， 的面积最大值为； （3）是与轴的交点， 当时，， ， ①当、为对角线时， 在轴上， ∴的中点为，此时的中点也为， ∴点的纵坐标为2， 在抛物线上， ， 解得：， 或； ②当、为对角线时， 在轴上， ∴的中点纵坐标为0，此时的中点纵坐标也为0， ∴可有，即， 解得， ∴点的纵坐标为， 在抛物线上， ， 解得：， 或； ③当为对角线时， 在轴上， ∴的中点纵坐标为1，此时的中点纵坐标也为1， ∴， ∴，解得，即的纵坐标为2， ， 解得：， 或． 综上所述，或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数和二次函数解析式、二次函数和一次函数综合应用、平行四边形的性质等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 3．如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B、C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点E是直线上方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点E的坐标和最大面积； (3)在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线于点M，连接，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)面积最大值为18，此时 (3)存在，点P的坐标是或或. 【分析】（1）首先根据直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，求出点B的坐标是，点C的坐标是，然后根据抛物线经过B，C两点，求出a，c的值是多少，即可求出抛物线的解析式； （2）首先过点E作轴，交直线于G，然后设，则，求出的值是多少；最后根据三角形的面积求法，求出，进而判断出当面积最大时，点E的坐标和面积的最大值各是多少即可； （3）在抛物线上存在点P，使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形，然后分三种情况讨论，根据平行四边形的特征，求出使得以P，Q，A，M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是多少即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，， ∴， 把和代入抛物线中得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，过E作轴，交直线于G， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴S有最大值为18，此时． （3）解：， 对称轴是：， ∴， ∵点Q是抛物线对称轴上的动点， ∴Q的横坐标为， 在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形； ①如图2，以为边时，由（2）可得点M的横坐标是3， ∵点M在直线上， ∴点M的坐标是， 又∵点A的坐标是，点Q的横坐标为， 根据到的平移规律可知：点P的横坐标为， ∴； ②如图3，以为边时，四边形是平行四边形，由（2）可得点M的横坐标是3， ∵，且Q的横坐标为， 根据A到Q的平移规律：可知P的横坐标为， ∴； ③以为对角线时，如图4， ∵M到Q的平移规律可得A到P的平移规律， ∴点P的坐标是， 综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标是或或. 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点坐标的求解，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，平行四边形的性质及坐标平移规律． 4．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点和，与y轴交于点C，抛物线上有一动点P，抛物线的对称轴交x轴于点E，连接，作直线． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)对称轴上有一动点M，抛物线上有一点，当周长最小时，求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)抛物线上存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为 (3) 【分析】（1）把和分别代入，列方程组求出a、b的值，即可求得二次函数解析式； （2）分别以，，为对角线讨论求解即可； （3）因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，作点关于对称轴的对称点，运用待定系数法求出直线的解析式，可得直线与对称轴的交点坐标，即为点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点和， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于，当时，， ∴， 又， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴点的坐标为， ①当为对角线时，设的中点为点 ∵， ∴，即， ∵， ∴， 当时，， ∴点不在抛物线上，即不存在这样的平行四边形； ②当为对角线时，设的中点为， ∵，， ∴， 又， ∴， 当时，， ∴点在抛物线上，即存在这样的平行四边形； ③当为对角线时，设的中点为， ∵，， ∴ ∵， ∴， 当叶，， ∴点不在抛物线上，即不存在这样的平行四边形； 所以，抛物线上存在一点P，使得以点B、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形，此时点的坐标为； （3）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， 因为的长为定值，所以当的值最小时，则的周长最小，作点关于对称轴的对称点，点关于对称轴对称的点的坐标为， 连接，交对称轴于点， 设直线的解析式为， 把点代入得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、用待定系数法求函数关系式、平行四边形的性质、轴对称的性质、两点之间线段最短，正确作出分类讨论是解答本题的关键． 6．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)点P是直线下方的抛物线上一动点，连接，，，当四边形的面积最大时，求点P的坐标． (3)点M是抛物线上一动点，在x轴上是否存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P的坐标为 (3)在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数综合，待定系数法，二次函数最值，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据待定系数法求抛物线解析式； （2）过点P作轴于点D，交AC于点设，则，，进而根据二次函数的性质求得取得最大值时，t的值，进而求得P点的坐标； （3）分情况讨论，根据抛物线的性质以及平行四边形的性质先求得M的坐标进而求得Q点的坐标． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于，两点，将点A，点B的坐标分别代入得： ， 解得：， 该抛物线的表达式为； （2）解：二次函数与y轴交于点C， 当时，得：， ， 设直线AC的表达式为，将点A的坐标代入得： ， 解得：， 直线的表达式为， 如图1，过点P作轴于点D，交于点 设，则， ，，， ，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或理由如下： 设， ， 如图2，①当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：(不合题意，舍去或， ，； ②当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：或， ，或， ； ③当为平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式，得：， 解得：(不合题意，舍去或， ， 综上所述，在x轴上存在点Q，使得以A，C，M，Q为顶点的四边形是平行四边形；点Q的坐标为或或或 7．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H，M，H三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 8．已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值； (4)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)13.5 (4)存在；，， 【分析】（1）根据，，求出C点坐标，把点的坐标代入，即可求出函数解析式； （2）连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小．先求出，再求出直线的解析式为：，则当时，，即可作答． （3）过点作轴交线段于点，设，然后求出的表达式，利用，转化为二次函数求最值； （4）①过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形；②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，由题意可知点的纵坐标为3，从而可求得其横坐标． 【详解】（1）解：∵的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴， ∵将代入抛物线的解析式， 可得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得， 令，则 即 如图所示：连接与抛物线的对称轴交于点Q，此时的周长最小． ∵， ∴ ∴ 设直线的解析式为：， ∵， ∴ 解得， ∴直线的解析式为：， 则的对称轴是直线， ∴当时，， ∴点Q的坐标是； （3）解：如图1所示，过点作轴，交于点， ∵该抛物线的对称轴为，， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， ∵将代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大面积， ∴， ∴四边形的面积的最大值为13.5； （4）解：存在，理由如下： ①如图2，过点作轴交抛物线于点，过点作交轴于点，此时四边形为平行四边形， ∵，令， ∴， ∴； ②平移直线交轴于点，交轴上方的抛物线于点，当时，四边形为平行四边形，当时，四边形为平行四边形， ∵， ∴的纵坐标均为3， 令，可得， 解得， ∴． 综上所述，存在3个点符合题意，坐标分别是，或． 【点睛】本题是二次函数综合题，一次函数的几何综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式、利用二次函数求最值、平行四边形的判定与性质等知识，根据题意作出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 【题型2 矩形相关存在性问题】 9．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），经过点的直线与轴负半轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且． (1)求A、B两点的坐标及抛物线的对称轴； (2)求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若的面积的最大值为，求a的值； (4)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线 (2) (3) (4)能，或 【详解】（1）解：当时，， 解得：，， ，， 对称轴为直线； （2）解：直线过， ， 即， 直线， 抛物线与直线交于点，， ， 即， ， 点的横坐标为4， ， ， 直线的函数表达式为； （3）解：过作轴交直线于，设， 则，， ， ， ， 的面积的最大值为， 的面积的最大值为， ， 解得； （4）以点、、、为顶点的四边形能成为矩形， 令，即， 解得：，， ， 抛物线的对称轴为直线， 设， ①若是矩形的一条边， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ； ②若是矩形的对角线， 则， ，则， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ， ， 综上所述，点、、、为顶点的四边形能成为矩形，点或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的图像和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)该二次函数图象上有一点，使，求点的坐标； (4)若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 (4)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数与坐标轴的交点，面积问题，矩形的性质，正方形的性质与判定； （1）直接将的坐标代入二次函数解析式可求出，从而得到二次函数的解析式； （2）令，解方程得点坐标； （3）由，同底等高的两个三角形面积相等，得出，进而分类讨论，当在轴上方时，由抛物线的对称性可得的坐标，当在轴的下方时，，代入函数解析式求得横坐标，即可求解； （4）分是矩形的边或对角线两种情况，通过画图，利用数形结合法求解即可． 【详解】（1）解：将代入二次函数解析式， 得． 解得，． （2）由（1）可得，二次函数解析式为， 令，得． 解得或． ∴点的坐标为． （3）在中，令，得，则点的坐标为， ∵， ∴ 当当在轴的上方时，点、关于二次函数对称轴对称． ∵由二次函数解析式可得其对称轴为，点的坐标为， ∴点的坐标为． 当在轴的下方时，， 当时，， 解得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为； （4）设直线的解析式为：，代入， 则， 解得， ∴直线的解析式为：， 如图， 若为矩形的对角线， ∵， ∴， ∵ ∴，，矩形是正方形 ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，平分， ∴，， 若为矩形的边， 同理可得，矩形是正方形， 由，，得，， 综上所述，存在，，使能构成矩形． 11．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； (3)点是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以，，，为顶点的四边形是以为边的矩形，求点和的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记于y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解，结合平移的性质可得：；如图，当在的左边，同理可得：，结合平移的性质可得：． 【详解】（1）解： 把，，分别代入得： ， 解得 ， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记于轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； （3）解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即， 由平移的性质可得：； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，平移的性质，熟练的建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 12．如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)面积的最大值为此时 (3)存在点或或或 【分析】（1）把和代入求解即可; （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解; （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线下方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ∴即面积的最大值为 ； （3）由题意可得：， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图3.1：当为矩形一边时，且点在轴的下方，过作轴于点， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 如图3.2：当为矩形一边时，且点在轴的上方，的对称轴为与轴交于点， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 如图3.3：当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 13．已知抛物线：与抛物线关于原点对称，和的顶点分别是E． (1)若，直接写出抛物线的解析式： ； (2)如图1，若，点P是x轴上一个动点，过P作x轴的垂线交于A点，交于B点，求的最小长度（用含k的式子表示）． (3)如图2，若两条抛物线和相交于G，H，当四边形是矩形时，求k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将数字代入，化成顶点式，再根据对称得到顶点代入定点式即可得到答案； （2）根据（1）的原理得到解析式，设，， 表示出，根据二次函数的性质求解即可得到答案； （3）联立两条曲线，求出点的坐标得到点G和点H关于原点对称，结合抛物线对称得到四边形是平行四边形，结合当时四边形是矩形列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵：的顶点是， ∴的顶点为：， ∴的解析式为：， 故答案为：； （2）解：同理（1）可得， 的解析式为：， 设，， ∴， ∵， ∴当时，； （3）解：由得， ， ∴， ∴点G和点H关于原点对称， ∴， 同理可得， 和的顶点关于原点对称， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时， 四边形GHFE是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴或． 【点睛】本体考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据对称求出另外一个抛物线的解析式，再结合特殊图形性质列等式． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 15．如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析； (2)或或； (3)存在，或或或 【分析】此题考查了二次函数综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质是关键． （1）证明，即可得到是平行四边形； （2）①若为的对角线时，则与互相平分，② 若为的对角线，则与互相平分，③ 若为的对角线，则与互相平分，分三种情况进行解答即可； （3）要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形，分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵抛物线与y轴交于点C， 令，则， ∴点， 令，则， 解得， ∴，， ∴由平移的性质可知， ∵， ∴是平行四边形； （2）∵抛物线的解析式为， ∴点， 设点， ∵，， ①若为的对角线时，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ② 若为的对角线，则与互相平分， ∴    ∴ 解得   ∴ ③ 若为的对角线，则与互相平分 ∴    ∴ 解得   ∴ 综上所述，点G的坐标为或或； （3）存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则一定是直角三角形， ∵点G在对称轴上， ∴设点G的坐标为， 由勾股定理，得，， ①若，则 即， 得， 此时点G的坐标为， ② 若，则， 解得， 此时点G的坐标为， ③ 若，则， 解得， 此时点G的坐标为或， 综上可知，点G的坐标为或或或． 16．如图1，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的点，过点P作轴交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，请直接写出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题是二次函数的综合应用题，主要考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，利用平移的性质解决问题是解本题的关键． （1）把和代入求解即可． （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大即可解答． （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点D在x轴的下方；当为矩形一边时，且点D在x轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时， 解得： ∴ 设直线的解析式为，把，点的坐标代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为 点P为直线上方抛物线上的点， 设， ， ， 当时，， ； （3）解：∵ 将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线， ∴， 的对称轴为. ∵，， ∴， 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的下方，过D作轴于点F， ∵D在的对称轴上， ， ∵，， ∴， ，，即点， ∴点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D，则点B向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点； 如图：当为矩形一边时，且点D在x轴的上方，的对称轴为与x轴交于点F， ∵D在的对称轴上， ∴， ， ，即， ，即点， ∴点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D，则点C向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点； 当为矩形对角线时，设，，的中点F的坐标为， 依意得：，解得， 又， ， 解得：， 联立， 解得：， ∴点E的坐标为或. 综上，存在点或或或，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形． 【题型3 菱形相关存在性问题】 17．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或或或 【详解】（1）解：当时，，， 当时，由得， ， 对称轴为直线， ， 设抛物线的表达式为， ， ， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1， 作于，交于， ，， ， ， ∵，， 当时，S取最大值，最大值为， 当时，， ； （3）解：∵点在抛物线对称轴上， ∴设， ∵以点，，，为顶点作菱形， ∴①当以，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ，即， ， ， ； ②当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或； ③当以，，，为顶点的四边形是以、为邻边的菱形， ，即， ， ， 或 综上：或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的面积综合，待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点及分类讨论思想的运用． 18．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【详解】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 19．如图．二次函数的图象交轴于点，，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点．交抛物线于点． (1)求这个二次函数的解析式； (2)若点在线段上运动（点与点，点不重合），求四边形面积的最大值．并求出此时点的坐标； (3)若点在轴上运动，则在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形．请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值是，此时 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线对称轴是直线，可求出，再根据点的坐标为，求出，即可求解； （2）连接，设，则，可得，再求出点，，得到，，，由可得，根据二次函数的性质可得答案； （3）求出直线的解析式为，设，，则，，由知，，是菱形的一组对边；分两种情况：①当、为对角线时，、的中点重合，且，②当、为对角线时，、的中点重合，且，分别列出方程组，即可解得答案． 【详解】（1）解：二次函数的对称轴是直线， ， ， 点的坐标为， ， ， 二次函数的解析式为； （2）解：如图，连接， 设，则， ， 在中，令，则，令，则， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 当时，四边形的面积取最大值，四边形面积的最大值是，此时； （3）解：在轴上存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设，，则，， ， 当以、、、为顶点的四边形是菱形时，，是一组对边； ①当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（此时、与重合，舍去）或， ； ②当、为对角线时，、的中点重合，且， ， 解得：（舍去）或 或， 或； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形、四边形面积，菱形性质及应用，一次函数的图象与性质，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点A，B在x轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线交于另一点E． (1)求抛物线的解析式； (2)F为抛物线对称轴上一点，Q为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q，E，B为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究 是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）由题意得，进而可得，，然后把点B、D坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分①当时，②当时，然后根据两点距离公式进行分类求解即可； （3）如图所示，连接，由题意得，四边形是平行四边形，进而可得，则有，若使的值为最小，则需为最小，即当点三点共线时，的值为最小，然后求最小值，设线段的解析式为，代坐标求解析式，然后求时的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，点坐标为 ∴，A点坐标为 ∴， ∴点坐标为 把点的坐标代入抛物线得： 解得： ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在， 由（1）中抛物线解析式为，则有抛物线的对称轴为直线 ∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称 ∴点坐标为 ∴由两点距离公式可得 设点坐标为，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分： ①当时，如图1所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； ②当时，如图2所示： ∴由两点距离公式可得，即 解得： ∴点F的坐标为或； 综上所述：存在以点为顶点，以为边的四边形是菱形，点的坐标为或或或． （3）解：存在， 如图3所示： 由（2）可知点D与点E关于抛物线的对称轴对称，点坐标为 ∴ ∵过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为 ∴， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时， 的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图4所示： ∵点坐标为 ∴ ∴的最小值为，即的最小值为， 设线段的解析式为，代入点D的坐标得， 解得 ∴线段的解析式为 当时， ∴点坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，坐标系中两点间的距离公式等知识．解题的关键在于对知识的综合灵活运用． 21．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据当和时所对应的函数值相等，可得，根据待定系数法，可得函数解析式； （2）联立抛物线与直线，可得方程组，根据解方程组，可得B、C点坐标，根据勾股定理的逆定理求解即可； （3）首先得到，然后得到当四边形是平行四边形时，四边形是菱形，求出，设点N的横坐标为n，然后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）∵当和时所对应的函数值相等 ∴对称轴为直线 ∴ ∴ 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图所示，连接，， 联立抛物线与直线，得， 解得或， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）如图所示， 由（2）得， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴当四边形是平行四边形时，四边形是菱形 ∵，， ∴，即， 设点N的横坐标为n， ∵ ∴ ∴ ∴将代入 ∴． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用了待定系数法求函数解析式，菱形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理和逆定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 22．如图，抛物线 与x轴交于两点，与y轴交于点C，对称轴为直线l． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线下方的抛物线上一个动点，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标； (3)点F是直线l上一点，点G是平面内一点，是否存在以为边，以点B，C，F，G为顶点的菱形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为9，此时点P的坐标为； (3)或或或 【分析】1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）连接，设点P的坐标为，再由四边形面积，结合二次函数的性质解答，即可求解； （3）设点F的坐标为，分两种情况： 当为边，为对角线时，；当为边，为对角线时，，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点， ∴， 当时，， ∴点， ∴， 如图，连接， 设点P的坐标为， ∴四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积最大，最大值为9， 此时点P的坐标为； （3）解：∵点， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点F的坐标为， 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 当为边，为对角线时，， 即， ∴， 解得：， ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数与坐标轴的交点、面积的计算，菱形的性质，勾股定理等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 23．如图①，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，若点的坐标为，点是该二次函数图象上的一个动点，且在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，过点作轴于点，交线段于点，当点运动到什么位置时，线段有最大值？请求出点的坐标和的最大值； (3)连接，，若关于轴的对称图形是，是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为时，的最大值为4 (3)存在，的坐标是 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，菱形的性质． （1）将，分别代入，得到二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设，由由，，可得直线的表达式为，设，得，即可求解； （3）由四边形为菱形，得，，进而得，则，即可求解． 【详解】（1）解：将，分别代入， 得， 解这个方程组，得， 所以二次函数的表达式为； （2）解：设， 由，，可得直线的表达式为， 设， ∴ ， 当时，， 故点的坐标为时，的最大值为4； （3）解：存在，理由如下： 如图，连接，交于点， 设点， 若四边形为菱形， 则，， ∴， ∴，即， 解得， ∵点在第一象限， 故当点的坐标是时，四边形为菱形． 24．如图，二次函数图象顶点坐标为，一次函数图象与二次函数图象相交于y轴上一点，同时相交于x正半轴上点C． (1)试求二次函数与一次函数的表达式． (2)连接，试求四边形的面积． (3)假设点P 是二次函数对称轴上一动点，点Q 是平面直角坐标系中任意一点，是否存在这样的点P 及点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或或 【分析】（1）先设顶点式，再把代入计算，即可得出，再求出，结合，运用待定系数法解一次函数解析式，即可作答． （2）先作图，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M，再运用割补法进行列式四边形的面积，然后代入数值进行计算，即可作答． （3）结合菱形的判定（运用对角线互相平分，得出是平行四边形，再结合一组邻边相等的平行四边形），要进行分类讨论，过程紧扣中点公式列式计算，即可作答． 本题考查了菱形的判定与性质，二次函数的图象性质，待定系数法求出函数解析式，割补法求面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵顶点坐标为， ∴设二次函数为， 再把代入， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当， ∴， 结合图象，得出， 把，分别代入， 得， ∴， 则； （2）解：依题意，过点A作平行于x轴的直线交y轴于一点，再过点C作平行于y轴的直线交于一点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∵， ∴ 结合图象， 四边形的面积 ； （3）解：或或或或 过程如下： 依题意，设， 当为对角线时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 当为边时， ∵，，且以B，C，P，Q为顶点的四边形是菱形， 则菱形四边相等，即， ∴， 解得， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 则当时， ， ∴此时该菱形的对角线的中点为， ∴， ∴，， ∴， 综上：或或或或． 【题型4 正方形相关存在性问题】 25．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 26．如图，直线与轴、轴分别交于两点，抛物线经过A、B两点，并与轴交于另一点． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)若抛物线的对称轴上有一点，使得是以为底边的等腰三角形，求点的坐标； (3)在抛物线及其对称轴上分别取点，使得以为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出A、B坐标，代入抛物线的解析式即可求出a、k，进而得到答案； （2）过点作对称轴于点，设，根据并结合勾股定理求出t即可； （3）作出图象，可知以为顶点的四边形为正方形时，和分别为对角线，利用对称性和勾股定理即可求解． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、勾股定理解三角形、正方形的性质等，作出合理的辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于两点， 当时，； 当时，． 抛物线经过点， ∴，解得， ， 即抛物线的函数解析式为； （2）解：如图1，过点作对称轴于点， 设抛物线的对称轴与轴交于点，则， 设，则， 解得 ； （3）解：如图2， 由正方形的性质可知，且平分， 易求， ， 解得， 即正方形的边长为． 27．在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，；②存在，点P的坐标为或 【分析】（1）根据抛物线的交点式求出函数表达式即可； （2）①用m和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，根据，列出方程，求出m，即可求出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴抛物线的解析式可写为：； （2）解：①把代入得：， ∴直线与y轴交点为， 设直线与y轴交于点N，则， 把代入得：， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 令， 解得， ∴， ∵，且轴， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∵， ∴，且， ∴ 解得：，； ②存在，点P的坐标为或； ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，且轴， ∴，． 分以下两种情况讨论： （i）当时，如图1，点F在的左侧， ∴ ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （ii）当时，如图2，点F在的右边， 同理得， 解得，（舍去）， 同理得； 故存在点P，使四边形为正方形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第①小问通过面积关系列出关于m的方程是解题的关键，第②小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题． 28．如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是轴上方抛物线上的一点，过点D作轴的垂线，交直线于点E，求四边形的面积最大值及此时点D的坐标； (3)点F在直线上，点P在抛物线上，点Q在坐标平面内，以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为； (3)Q点为、、、 【分析】本题考查二次函数的图象与性质以及动点问题，待定系数法求解析式，正方形的性质； （1）抛物线解析式中有两个待定的系数a、b，又已知抛物线上的两个点，，将这两个点的坐标代入解析式中即可求出； （2）利用，先求出直线的解析式为，由轴得出点D、点E的横坐标相同，可设出两点的坐标，，即可表示出面积，从而利用二次函数求出最大值； （3）以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形则等腰直角三角形，分类讨论，在①中利用抛物线和直线解析式，设出P点的坐标，再利用正方形的性质求出P点坐标，进而求出Q点坐标；②③④可根据①的结论进行画图推导得出． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，， 将，代入解析式得 解得 ∴抛物线解析式为：． （2）解：∵抛物线与轴交于点， 可令，则 ∴， 设直线的解析式为：， 将，代入得 解得 ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∵轴， ∴点D、点E的横坐标相同， 设点D、点E在的横坐标为m， ∵点D在抛物线上方， ∴， ∵点D在抛物线上方，点E在直线上， ∴由抛物线解析式和直线解析式可知点，， ∴， ∴， ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴. （3）解：∵点P在抛物线上，抛物线解析式为， ∴设P的坐标为， ∵以B，F，P，Q为顶点的四边形为正方形， ∴等腰直角三角形， ①当B为直角顶点，即，，F在B的左侧，如图1，交x轴于E， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，轴， ∴， 解得或， ∵时P、B重合， ∴舍去， ∴P点为， ∵轴，且点F在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ②当B为直角顶点，即，，F在B的右侧，如图2，交于E，作轴， 同理点P为， ∵， ∴轴， ∴F点纵坐标为1，且在直线上， ∴F点为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，互相垂直平分， ∴Q点为， ③当F为直角顶点，即，如图3，此时为图1中P、Q两点交换位置所得， ∴Q点为， ④当P为直角顶点，即，如图4， 此时P点坐标为，B点坐标为，F点坐标为， ∴，且， ∵四边形为正方形， ∴， ∴Q点为， 综上所述：Q点为、、、 29．如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 综上所述，或或或； 30．如图，抛物线经过的三个顶点，与轴相交于，点坐标为，点是点关于轴的对称点，点在轴的正半轴上． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点为线段上一动点，过作轴，轴，垂足分别为，当四边形为正方形时，求出点的坐标； (3)将（）中的正方形沿向右平移，记平移中的正方形为正方形，当点和点重合时停止运动，设平移的距离为，正方形的边与交于点，所在的直线与交于点，连接，是否存在这样的，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，的值为或或 【分析】（）由二次函数的性质可得抛物线的顶点为， 即得，再利用待定系数法解答即可求解； （）分点在第一象限和第二象限两种情况，先求出直线的解析式，再利用正方形的性质求出点坐标即可； （）过点作于，表示出的坐标，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； 本题考查了二次函数几何应用，等腰三角形的定义，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点是点关于轴的对称点， ∴抛物线的对称轴为轴， ∴抛物线的顶点为， ∴抛物线的解析式为， ∵在抛物线上， ∴， 解得， ∴抛物线的函数关系表达式为； （2）解：①当点在第一象限时，如图， 令，得，     解得，，     ∴点的坐标为，     设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 设正方形的边长为，则， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在第二象限时， 同理可得点的坐标为，此时点不在线段上，故舍去； 综上所述，点的坐标为； （3）解：存在，理由如下： 过点作于，如图，则，， ∵点和点重合时停止运动， ∴， 当时，， ∴，， 当时，， ∴，， 在中，， 在中，，， ∴， ①当时， ， 解得； ②当时， ， 解得； ③当时， ， 解得或， ∵， ∴； 综上所述，存在的值为或或，使是等腰三角形． 31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 32．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【题型5 平移相关四边形存在性问题】 33．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，连接，点为直线上方抛物线上的一动点，连接，，求的面积取最大值时，点的坐标； (3)如图，将抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到新的抛物线，连接，点是线段上的一动点（不包括端点），点是抛物线上的一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【详解】（1）解：把点和点分别代入bx+3中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为且过和， ∴，解得：， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后 整理，得， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴， 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 34．如图1，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，点P为直线上方抛物线上的一动点，连接，求的面积取最大值时，点P的坐标； (3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新的抛物线，连接，点D是线段上的一动点（不包括端点），点E是抛物线上的一点，使得以点O、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：把点和点分别代入中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 由（）得抛物线的解析式为， 当时，， ∴， 设直线的函数解析式为， 和得，， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设点，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积取最大值，此时点的坐标为； （3）解：∵， ∴平移后， ∵点是线段上的一动点， ∴设点， 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，，， ∴，即， ∵， ∴ ∴ 解得或（舍去）， ∴； 以为对角线时，满足条件的点不存在， 综上所述，点的坐标为或． 35．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，与轴交于点． (1)求抛物线解析式． (2)在直线下方抛物线上有一点，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值． (3)将该抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线的交点为，点是新抛物线对称轴上一点，在（2）的条件下，在新抛物线上是否存在点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点的坐标为 (3)点Q的坐标为或或 【详解】（1）解：将，，坐标代入解析式， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：如图1，点P作轴交于点N，， 设P的横坐标为t， ∴， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为，此时点的坐标为． （3）解：存在，理由如下： ∵抛物线y的解析式为：， ∴抛物线向左平移4个单位，得到新抛物线， ∴的对称轴为直线，即点F的横坐标为0， 令， 解得， ∴， 由（2）知点P的坐标为， 当以为平行四边形的一条边时：或． ∴或， 解得：或， ∴点Q的坐标分别为或． 当以为平行四边形的对角线时：， ∴， 解得：， ∴． 综上可知，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、待定系数法求解析式、三角形的面积、平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题关键． 36．如图，平移抛物线：后得到抛物线，抛物线过点， ． (1)求抛物线的表达式； (2)点，都在抛物线上，若且，比较与的大小并说明理由； (3)点在抛物线上，过作轴交抛物线于点，设点的横坐标为，若，直接写出的取值范围； (4)若抛物线上的点平移得到点，过作轴交抛物线于点，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2) (3)或 (4)四边形是平行四边形，理由见解析 【详解】（1）设平移后的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的解析式为， 将点， 代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）， ， 点，都在抛物线：上， ，， ， ，， ，， ，即， ； （3）设点的横坐标为，点在抛物线上， ， 轴交抛物线于点， ， ， ， ， 解得或； （4）四边形是平行四边形，理由如下： 抛物线上的点平移得到点，由（1）知，抛物线向 左 平 移 个 单 位 ，再 向 上 平 移 个 单 位 得 到抛物线， ，即， 过作轴交抛物线于点， ， 抛物线过点， 抛物线上的点左平移个单位 ，再向上平移个单位得到抛物线上的点， ，， 四边形是平行四边形． 37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，平移后抛物线与轴交于点，原抛物线上有一点 ，点为平移后点的对应点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)：或或 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解∶ ∵将抛物线向右平移3个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向右平移3个单位得， 设， ， 则①当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ②当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； ③当、为对角线时， ∴， 解得， ∴； 综上所述，Q的坐标为：或或． 38．如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或，当点的坐标为时，原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度；当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，． 将，代入， 得解得 抛物线的表达式为， ， 顶点的坐标为； （2）存在． 如图，设． ①以为对角线． 此时，，， ， 即，解得． ，为矩形的对角线，由中点坐标公式，得， 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度． ②以为对角线． ，点在轴上，，则， 平移的方向为向左平移1个单位长度． ③以为对角线时，矩形不存在． 综上所述，点的坐标为或，当点的坐标为时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度； 当点的坐标为时，原抛物线向左平移1个单位长度． 39．如图，二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为，点C的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点P为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点P的坐标． (3)将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线，点E在新抛物线上，点F是原抛物线对称轴上的一点，若以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点E的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 (3)点E的坐标为或或 【详解】（1）解；把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解；如图2-1所示，当点P在下方时， ∵， ∴， ∴点P与点C关于抛物线对称轴对称， ∵抛物线对称轴为直线， ∴点P的坐标为； 如图2-2所示，当点P在上方时，设直线交x轴于H， ∵， ∴， ∴ 设， ∴， 解得， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或； （3）解：由（2）可得原抛物线对称轴为直线， ∵， ∴由对称性可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵将抛物线沿射线的方向平移个单位长度后得到新抛物线， ∴将原抛物线向左平移2个单位长度，向上平移6个长度得到新抛物线， ∴新抛物线解析式为， 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 当为对角线时，∵平行四边形对角线互相平分， ∴的中点坐标相同， ∴， ∴， ∴． ∴此时点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或或． 40．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：令，解得，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 过N作轴于D， ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）解：存在．理由如下： 原抛物线，对称轴为直线， ∴F的横坐标为， ∵点，点， ∴，， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y， ∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． ②当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为； ③当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $