专题05 二次函数选择填空压轴题分类训练（4种类型28道）-2025-2026学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（人教版）

弈泓共享数学 专题05 二次函数选择填空压轴题分类训练 （4种类型28道） 目录 【题型1 二次函数综合题含图像】 1 【题型2 二次函数综合题不含图像】 3 【题型3 二次函数相关代数操作题】 5 【题型4 二次函数与几何综合最值问题】 7 【题型1 二次函数综合题含图像】 1．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 2．如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；  ③；④；⑤；其中正确的结论序号为（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④ 4．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 7．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：；；；．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【题型2 二次函数综合题不含图像】 9．已知一元二次方程有两实根，且，则下列结论中正确的有（   ） ①； ②抛物线的顶点坐标为； ③； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（　　） A．②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 11．设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论： ①函数与在上是“逼近函数”； ②函数与在上是“逼近函数”； ③函数与在上是“逼近函数”； 其中，正确的命题序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 12．二次函数，当时，随的增大而减小．点，都在这个函数图象上．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 13．抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15．二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 二次函数相关代数操作题】 17．已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 18．已知点在二次函数的图象上，其中 ，令，，；为的个位数字（n为正整数），下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时，；的个位数字为5．正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 19．已知点在二次函数的图象上，其中，令．为的个位数字（为正整数），下列说法：①；②的最小值为，此时；③的个位数字为8．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．在平面直角坐标系中，对点和点给出如下定义： 若则称点是点的伴随点． 如：点的伴随点是，的伴随点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其伴随点的纵坐标的值不可能是（    ） A． B． C．10 D．11 21．已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法： ①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6． 正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 22．给定正整数，令表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如，，若对任意正整数n，二次函数满足当时，，则称该二次函数为“k号函数”．例如：，满足：当k＝3时，，因此，称为“3号函数”．现有如下结论：①；②当k＝1时，是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④ 【题型4 二次函数与几何综合最值问题】 23．如图，在平面直角坐标系中，过点P（m，0）作x轴的垂线，分别交抛物线y＝x2+2与直线y＝﹣x于A、B，以线段AB为对角线作正方形ACBD，则正方形ACBD的面积的最小值为 ． 24．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ． 25．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．    26．如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，是抛物线对称轴上任意一点，、、分别是、、的中点，连接，则的最小值为 ． 27．如图，过抛物线上一点作轴的平行线，交抛物线于另一点，交轴于点，已知点的横坐标为，在上任取一点，连结，作点关于直线的对称点，连结，求的最小值为 ． 28．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 ． 29．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且． 将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 30．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题05 二次函数选择填空压轴题分类训练 （4种类型28道） 目录 【题型1 二次函数综合题含图像】 1 【题型2 二次函数综合题不含图像】 10 【题型3 二次函数相关代数操作题】 20 【题型4 二次函数与几何综合最值问题】 30 【题型1 二次函数综合题含图像】 1．二次函数的对称轴是，该抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，其部分图像如图所示，下列结论：①；②；③；④若点在此抛物线上，则关于x的不等式的解集是．其中正确的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数图像的对称性、二次函数的最值是解题关键．根据抛物线的对称轴可判断①正确；根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③正确；根据抛物线的对称性可知抛物线与轴的另一个交点在和之间，可得当时，，即可判断②正确；根据抛物线的对称性可知点在抛物线上，由抛物线开口向下，可得时，，即可判断④正确，综上即可得答案． 【详解】解：由题意可知抛物线的顶点坐标为， ∵二次函数的对称轴是， ∴， ∴，故①正确； ∵最大值为， ∴， ∴，即，故③正确； ∵抛物线与x轴的一个交点在点和点之间， ∴抛物线与轴的另一个交点在和之间， ∴当时，，故②正确； ∵点在此抛物线上， ∴点在抛物线上， ∵抛物线开口向下， ∴时，， ∴关于x的不等式的解集是，故④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共个． 故选：D． 2．如图，已知顶点为的抛物线过．则下列结论：①；②对于任意实数，均有；③；④若，则；⑤．其中结论正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与轴的交点，即可判断的符号，即可判断①，根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把代入，得，故③正确，由关于直线对称的点为，进而得若，则或，故④错误；由抛物线的顶点为，，得，再由，得，故⑤正确． 【详解】解：抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确； 抛物线的顶点坐标为，即时，函数有最小值， ， ∴对于任意的，均有，故②错误； 抛物线过， ∴，故③正确； ∵抛物线过，关于直线对称的点为， ∴若，则或，故④错误； 抛物线的顶点为，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，故⑤正确． ∴正确的个数为 故选：． 3．二次函数的部分图象如图，图象过点对称轴为直线，下列结论：①；②；  ③；④；⑤；其中正确的结论序号为（ ） A．①②③ B．①③④ C．①③④⑤ D．②③④ 【答案】B 【分析】由图象可知，开口向下，交轴于正半轴即对称轴为直线，可判断①②是否正确，由抛物线与轴有两个交点，可得，据此可判断③是否正确；由图象可知当时，函数有最大值，据此可判断④是否正确；由图象可知，当时，函数值，则可判断⑤是否正确． 【详解】解：由图象可知，开口向下，交轴于正半轴， ∴， 又∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∴，故③正确； 当时，函数有最大值， ∴， ∴， 即，故④正确； 由图象可知，当时， ∴，故⑤错误； 综上，正确的有①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合并明确二次函数的相关性质是解题的关键． 4．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ①；②；③； ④，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【详解】解：由抛物线的开口方向向下可推出， 因为对称轴在轴右侧，对称轴为， 而，所以， 由抛物线与轴的交点在轴的正半轴上，可知， 故，①正确； 由图象知，当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ， 故③错误； 抛物线与轴有两个交点， ， 故④正确； 故选：C． 5．如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，则下列四个结论：①；②；③；④若是抛物线上两点，则．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质并数形结合是解题的关键． ①根据直线是对称轴，确定的值； ②根据时，确定的符号； ③根据时，，求得，即可得到结论； ④根据抛物线的对称性，得到与的大小关系即可． 【详解】解：∵直线是对称轴， ∴，即， ∴，故①正确； ∵直线是对称轴，二次函数图象经过点， ∴抛物线经过点, ∴当时，， 即，故②错误； 当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，则函数值越小， ∵，，与是抛物线上两点， ∵， ∴，故④错误， 综上，正确的是①③， 故选：B． 6．如图，二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线，顶点在第一象限，给出下列结论：①；②；③；④若，（其中）是抛物线上的两点，且，则．其中正确的结论有（   ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象与各项系数符号的关系是解题关键．根据二次函数的性质可得，，，即可判断结论①；由处的函数值可判断结论②；由处函数值可判断结论③；根据得到点、关于对称轴对称判断结论④． 【详解】解：∵二次函数开口向下， ∴， ∵二次函数的对称轴是直线， ∴，则， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象过点，抛物线的对称轴是直线， ∴由对称性可得二次函数与x轴的另一交点为， 由函数图象可得时，， ∴，故②正确； 时，， ， ，即，故③错误； ∵对称轴是直线，， ∴， ∴，关于对称轴对称， ∴，故④正确． 综上所述，正确的选项是①②④ 故选：A 7．二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，现给出以下结论：；；；．其中正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系等知识，熟知二次函数的性质是解题关键﹒根据抛物线开口得到，根据抛物线对称轴得到，根据抛物线与y轴交点得到，即可得到①正确；当时，，可得，结合，，，即可得到②正确；根据，，得到，得到③错误；根据对称轴得到，根据当时，，当时，，分别代入，得到，，得到④正确，问题得解﹒ 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在左侧， ∴同号，， ∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图象得当时，， ∴， ∵，，， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴，故④正确﹒ 故选：C 8．如图为二次函数的图象，则下列说法：①，②，③，④若，是抛物线上的两点，则，其中说法正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．根据抛物线的开口方向，抛物线与y轴的交点，对称轴的位置，可判断①，根据对称轴可判断②，根据特殊点可判断③，利用抛物线的增减性判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与x轴交点横坐标分别是和3， ∴抛物线对称轴为：， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵抛物线交于y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误； 由图可知，当时，， ∴，故③正确； ∵，且，这两个点都在对称轴左侧， ∴根据抛物线开口向下，在对称轴的左侧，函数值随x的增大而增大可得，，④正确． 所以②③④都正确． 故选：D． 【题型2 二次函数综合题不含图像】 9．已知一元二次方程有两实根，且，则下列结论中正确的有（   ） ①； ②抛物线的顶点坐标为； ③； ④当时，． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、二次函数的图像与性质等知识，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 首先将代入一元二次方程，可求得，即可判断①；确定，即可确定该抛物线的对称轴，再求得，，可确定顶点坐标为，即可判断②；结合，，，可知，即可判断③；由题意易知该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大，且当时和当时，函数值相等，易得，进而可得当时，，即可判断④． 【详解】解：由题意，一元二次方程有两实根， ∴得，由②①，可得． ∴，故①正确； 由可得， ∴抛物线的对称轴是直线， ∴抛物线的顶点为， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴顶点坐标为，故②不正确； ∵， ∴， 又∵，， ∴，故③正确； ∵，且抛物线的对称轴是直线， ∴该抛物线开口向下，当时，随的增大而增大， 又∵， ∴当时和当时，函数值相等， ∴当时，可有， 即当时，，故④正确． 综上，正确的有①③④，共3个． 故选：C． 10．对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③存在实数，使得； ④若是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（　　） A．②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即． 对于方程，其判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴， ， ，故②正确． ③令， ∵， ∴是二次函数， 二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形， ∴存在实数，使得，故③正确． ④∵是方程的一个根， ∴，即， 则或，故④错误． 故选：B． 11．设动直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，当时，总有恒成立，则称函数与在上是“逼近函数”，则下列结论： ①函数与在上是“逼近函数”； ②函数与在上是“逼近函数”； ③函数与在上是“逼近函数”； 其中，正确的命题序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查一次函数，二次函数性质，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，掌握一次函数，二次函数性质．由“逼近函数”定义逐项判断即可． 【详解】解：由“逼近函数”定义知在上，时，函数与在上是“逼近函数”， 令，     当时，最大为1，最小为， 函数与在上是“逼近函数”，①正确； 令， 在上，当时，最大为1，当时，最小为， 函数与在上是“逼近函数”，②正确； 令， 在上，当和时，取最大值1，时，取最小值为，③正确； 故选：D． 12．二次函数，当时，随的增大而减小．点，都在这个函数图象上．下列结论：①；②；③；④；⑤．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的增减性并结合已知可得出，，即可判断①、②；把A、B的坐标代入函数解析式，并结合不等式的性质，即可判断③、④，根据作差法即可判定⑤． 【详解】解∵当时，随的增大而减小， ∴，故①错误； ，即， ∴， ∴，故②正确； ∵在上， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在该范围内成立，故③正确； ∵在上， ∴， ∵， ∴， 又，则， ∴，即， 在该范围内成立，故④正确； ∵，， ∴， ∴，故⑤正确， 故选：D． 13．抛物线 的顶点为，抛物线与y轴的交点位于x轴上方． 以下结论：①；  ②； ③；  ④ ；⑤； ⑥，其中正确的个数是 （    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质以及二次函数图像与系数的关系．根据二次函数的解析式结合二次函数的性质，逐一分析判断，即可解题． 【详解】解：抛物线 的顶点为， 抛物线对称轴为直线， ，异号， 不能确定， 故①错误； 抛物线与y轴的交点位于x轴上方． ， 故②错误； 抛物线 的顶点为， ， 故③正确； 抛物线 的顶点为，抛物线的开口方向不确定， 的取值不确定； 故④错误； 抛物线对称轴为直线， ， ， ； 故⑤正确； 抛物线 的顶点为， ， ， 整理得， 故⑥正确． 综上所述，正确的有③⑤⑥共3个； 故选：B． 14．关于函数，下列说法正确的个数有（　　）个 ①此函数图象的对称轴为直线； ②该函数的最大值为4，最小值为0； ③该函数的图象与直线有3个交点； ④若点，，在该函数图象上，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】可得函数的对称轴为直线，由此即可判断说法①；由绝对值函数的性质可知，函数的最小值为，无最大值，由此即可判断说法②；先将函数化成顶点式，进而可得函数的顶点为，于是可得函数的图象与直线有3个交点，由此即可判断说法③；由“点，，在该函数图象上”可得，，，进而可得，由此即可判断说法④；综上，即可得出所有正确的说法． 【详解】解：函数的对称轴为直线， 函数图象的对称轴为直线，故说法①错误； 函数的最小值为，无最大值，故说法②错误； ， 函数的顶点为， 函数的图象与直线有3个交点，故说法③正确； 点，，在该函数图象上， ， ， ， ，故说法④错误； 综上，正确的说法有：③，共个， 故选：． 【点睛】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的最值，把化成顶点式，的图象与性质，求函数值等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质并运用数形结合思想是解题的关键． 15．二次函数的对称轴为直线，且经过点，且有最大值．下列结论： ①开口向下； ②； ③关于x的方程的另一个根是； ④点和点在抛物线上时，；其中正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键．根据二次函数有最大值，可判断开口向下，故①正确；根据二次函数的对称轴公式可求得，即可判断②；根据二次函数的对称性结合其对称轴可求出该二次函数还经过点，即可判断③；由两点坐标可判断其关于直线对称，结合二次函数的对称性即可得出，可判断④． 【详解】解：∵该二次函数有最大值， ∴开口向下，故①正确； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，故②错误； ∵二次函数的对称轴为直线，且经过点， ∴该二次函数还经过点， ∴关于x的方程的另一个根是，故③正确； ∵， ∴点和点关于直线对称， ∴，故④正确． 综上可知，正确的个数有3个． 故选C． 16．二次函数（）的对称轴为，且过点，下列结论：①；②；③；④若，是抛物线上两点，则；⑤．其中正确的有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象和系数的关系的应用，本题熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据图象分别求出、、的符号，即可判断①，根据对称轴求出，代入即可判断②，把代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点关于直线的对称点的坐标，根据对称轴即可判断④中和的大小，结合和代入二次函数的解析式即可判断⑤ 【详解】解：二次函数的图象开口向上， ， ∵对称轴为，且过点， ∴二次函数的图象交轴的负半轴于一点， ， 对称轴是中线， ， ， ， ①正确； ， ， ②正确； 把代入得：， 从图象可知，当时， 即， ③错误； 关于直线的对称点的坐标是， 又当时，随的增大而增大，， ， ④正确； ∵，即，， ∴，即， ∴⑤正确； 综上所述：正确的有①②④⑤； 故选D． 【题型3 二次函数相关代数操作题】 17．已知多项式（m，n为常数），若点的横坐标x、纵坐标y满足，则称这样的点为“零和点”．下列说法： ①直线上存在“零和点”； ②若且，则点为“零和点”； ③若二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】令代入，求得，，即可判定①正确；由，，，得到，即，求得，，则点为“零和点”， 即可判定②正确；把代入二次函数，求得，根据二次函数的图象上有且只有一个“零和点”，则即有且只有一个根，所以，求得，，从而求得，根据二次函数的增减性即可求得当或时，二次函数的最小值为，最大值为，即可求出当时，二次函数的最小值为，最大值为，则实数k的取值范围是，可判定③正确． 【详解】解：把，代入，得 解得： ∴ 即点在直线上， ∴直线上存在“零和点”，故①正确； ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴ ∴点为“零和点”，故②正确； ∵点是二次函数的图象上的“零和点”， ∴ ∴ ∵二次函数的图象上有且只有一个“零和点” ∴即有且只有一个根， ∴ ∴ 解得： ∴ ∴ ∴二次函数图象的对称轴为直线，函数的最大值为， ∵ ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 当时，则， 解得：，， ∴当或时，二次函数的最小值为，最大值为， ∵当时，二次函数的最小值为，最大值为， ∴实数k的取值范围是，故③正确； ∴①②③都要正确，共3个正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象性质，二次函数的最值，一元二次方程根的判别式等知识．第（3）题的解题关键是由点的坐标求出a与c的关系，再根据二次函数图象上有且只有一个“零和点”，结合求出a、c的值，然后根据二次函数的性质解答． 18．已知点在二次函数的图象上，其中 ，令，，；为的个位数字（n为正整数），下列说法：①；②；③；④的最小值为，此时，；的个位数字为5．正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】 本题考查了二次函数的最值问题，数字类的规律探索，根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断，将变形为，可计算出结果进而判断，由得，根据二次函数的性质及为正整数可判断其最值，进而判断，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，找其规律可判断． 【详解】 解：，则当时，， ， ∴， 当时，，故正确； ， ，故正确； ∵， ∴ ，故正确； ， 取得最小值，此时或，故错误； 为的个位数字，， ∴， 由此可知，，，，，，，，，，分别为： ，，，，，，，，，， ∴的规律为以，，，，，五次一循环，且这五个数相加为， ∴的个位，且也是五次一循环， ， ，， 的个位为，故错误； 故选：B． 19．已知点在二次函数的图象上，其中，令．为的个位数字（为正整数），下列说法：①；②的最小值为，此时；③的个位数字为8．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查数字变化的规律，二次函数上的点的坐标规律，能根据题意表示出和为正整数）是解题的关键． 依次求出，，，，，，，，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 将，2，3，，分别代入二次函数解析式得， ，，，，， 所以，． 当时， ． 故①错误． ， 因为为正整数， 则当或12时， 的最小值为：． 故②错误． 因为为的个位数字为正整数）， 所以的个位数字为1， 的个位数字为6， 的个位数字为2， 的个位数字为0， 的个位数字为0， 的个位数字为2， 的个位数字为6， 的个位数字为2， 的个位数字为0， 的个位数字为0， 的个位数字为2， 的个位数字为6， ， 所以的个位数字（从开始）按6，2，0，0，2循环出现， 又因为余2， 所以， 即的个位数字为9． 故③错误． 故选：A． 20．在平面直角坐标系中，对点和点给出如下定义： 若则称点是点的伴随点． 如：点的伴随点是，的伴随点是．若点在二次函数的图象上，则当时，其伴随点的纵坐标的值不可能是（    ） A． B． C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，先根据二次函数的性质求出当时，，当时，，进而根据定义得到当时，，即，当时，，即，由此即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为直线，且开口向上， 当时，， 当时， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴当时，，即； 当时，，即， 综上所述，， ∴四个选项中，只有D选项中的值符合题意， 故选D． 21．已知点在二次函数上，其中，，……，，令，，……，；为的个位数字（n为正整数），则下列说法： ①；②；③；④的最小值为，此时；⑤的个位数字为6． 正确的有（    ）个 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据题意可得，由此得，利用两个式子可判断①②，将变形为，可计算出解果进而判断③，由得，根据二次函数的性质及n为正整数可判断其最值，进而判断④，由为的个位数字，且，计算出，，，，，，，，，，……找其规律可判断⑤． 【详解】解：，则当时，， ∴，即： 当时，，故①错误； ，故②正确； ∵ ∴ ，故③正确； ， 当时，，当时，， 即当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 又∵为整数， ∴取得最小值，此时或，故④错误； ∵为的个位数字，且， 由此可知，，，，，，，，，，……分别为： 2，6，2，0，0，2，6，2，0，0，…… 即的规律为以2，6，2，0，0，五次一循环，且这五个数相加为10， 则的个位0，且也是五次一循环， ∵， ∴，， ∴的个位为，故⑤错误； 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征及二次函数的性质，找出数字的规律是解题的关键． 22．给定正整数，令表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如，，若对任意正整数n，二次函数满足当时，，则称该二次函数为“k号函数”．例如：，满足：当k＝3时，，因此，称为“3号函数”．现有如下结论：①；②当k＝1时，是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（    ） A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则逐一可判断①，②，③，再证明二次函数为“k号函数”时，，从而可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由新定义运算法则可得：，正确，故①符合题意； 当k＝1时，则当时， 故②符合题意； 所以原函数解析式为： 对称轴为 故③不符合题意； 二次函数满足当时，，则称该二次函数为“k号函数”． 当时， 则 而正整数， 越大，则越小， 所以k值越大，则“k号函数”开口越大．故④符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查的是新定义运算，二次函数的性质，理解新定义，再根据新定义进行运算与判断是解本题的关键. 【题型4 二次函数与几何综合最值问题】 23．如图，在平面直角坐标系中，过点P（m，0）作x轴的垂线，分别交抛物线y＝x2+2与直线y＝﹣x于A、B，以线段AB为对角线作正方形ACBD，则正方形ACBD的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据点P（m，0）得到点A，B的坐标，求得线段AB的长度，当线段AB最短时，正方形面积最小． 【详解】由题可知，A（m，m2+2），B（m，﹣m） ∴AB＝m2+m+2＝（m+）2+，当m＝﹣时，ABmin＝， ∴Smin＝•AB•CD＝××＝， 故答案是：． 【点睛】考查了二次函数的应用，解题关键是将m2+m+2化成（m+）2+的形式，从而求得AB的最小值. 24．如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小，求解即可. 【详解】连接AC,与对称轴交于点P, 此时DE+DF最小， 点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点， 在二次函数y=x2+2x﹣3中，当时， 当时，或 即 点P是抛物线对称轴上任意一点， 则PA=PB, PA+PC=AC, PB+PC= DE+DF的最小值为： 故答案为 【点睛】考查二次函数图象上点的坐标特征，三角形的中位线，勾股定理等知识点，找出点P的位置是解题的关键. 25．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为对角线作矩形，连结，则对角线的最小值为 ．    【答案】1 【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得BD=AC，由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1，从而得到BD的最小值． 【详解】∵y=x2-2x+2=（x-1）2+1， ∴抛物线的顶点坐标为（1，1）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴BD=AC，AC⊥x轴， ∴AC的长等于点A的纵坐标， 当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小，最小值为1， ∴对角线BD的最小值为1． 故答案为：1． 26．如图，抛物线与轴交于点，点在抛物线上，是抛物线对称轴上任意一点，、、分别是、、的中点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由三角形的中位线可得，求的最小值，求的最小值即可，作关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：、、分别是、、的中点， ， ， ， 求的最小值， 求的最小值即可， 点在抛物线上， ， ， ， 对称轴为直线， 如图，作关于直线的对称点， ， 当、、三点共线时，取得最小值， 此时，， ， ， 的最小值为． 故答案：． 【点睛】本题考查了函数图象上的点，勾股定理，两点之间连线段最短，掌握性质及“将军饮马”典型问题解法是解题的关键． 27．如图，过抛物线上一点作轴的平行线，交抛物线于另一点，交轴于点，已知点的横坐标为，在上任取一点，连结，作点关于直线的对称点，连结，求的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】连接OB，由题意易得抛物线的对称轴为直线，点，则根据抛物线的对称性可得，，然后根据轴对称的性质可知，由勾股定理可得，进而根据三角不等关系可得问题． 【详解】解：连接OB，如图所示： 由抛物线可知对称轴为直线，把点的横坐标代入抛物线解析式得：， ∴， ∵轴， ∴点A、B关于对称轴对称， ∴，， ∴，， ∴， 由轴对称的性质可知， ∵， ∴当点O、D、B三点共线时，有最小值，即为; 故答案为． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、轴对称的性质及三角不等关系，熟练掌握二次函数的图象与性质、轴对称的性质及三角不等关系是解题的关键． 28．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．若点D为抛物线上一点且横坐标为，点E为y轴上一点，点F在以点A为圆心，2为半径的圆上，则的最小值 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点、利用轴对称求最短路线、勾股定理．准确求出二次函数与轴的交点坐标，确定当最小时，点和点的位置是解题的关键． 先求出点坐标与点坐标，作点关于轴对称的点，连接交轴于点，交于，过点作轴，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得即可解答． 【详解】解：对于，当时，， 解得：，， 点的坐标为， 对于，当时，， 点的坐标为， 作点关于轴对称的点，则点， 连接交轴于点，交于，过点作轴，连接， 当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长． 理由：当点与点不重合，点与点不重合时，根据轴对称的性质可知：， ， 即：， ， ， 即：， 当点与点重合，点与点重合时，为最小， ，， ，，， ， 在中，，， 由勾股定理可得：， ． 即的最小值为：． 故答案为：． 29．如图，抛物线上的点A，C坐标分别为，，抛物线与x轴负半轴交于点B，点M为y轴负半轴上一点，且． 将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点，点C的对应点为点，在抛物线平移过程中，当的值最小时，新抛物线的顶点坐标为 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与几何变换综合，最短路径问题，设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线，将点右平移个单位长度得到点，由平移的性质可知，，，的值最小就是最小值，作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度，利用两点间的距离公式求这个长度，用待定系数法求出直线的解析式，从而确定的坐标，继而确定平移距离，将原抛物线的解析式化为顶点式，从而得到其顶点，继而确定新抛物线的顶点，作出辅助线，将点向反方向移动，从而将两个动点转化成一个动点来解决． 【详解】解：设抛物线沿轴的负方向平移个单位长度得到新抛物线， 将点向右平移个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， 的值最小就是最小值， 显然点在直线上运动， 作出点关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，则此时取得最小值，即为的长度， 点关于直线对称的对称的点是点，， ， ， 设直线的解析式是：， 由，的坐标得，直线的解析式是：， 令，解得：， ， 平移的距离是， 又， 平移前的抛物线的顶点坐标是， 新抛物线的顶点坐标为，， 故答案为：，． 30．二次函数 的图象如图所示，其对称轴 ，且与x轴交于，点，点P为x轴上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线，转化线段是解题的关键．过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H，先用待定系数法求二次函数的解析式，再证明，然后将转化为，当D，P，F三点共线时，取最小值，再求出的长，即得答案． 【详解】解：如图，过点C作交y轴于点E，过点P作于点F，过点D作于点H， 由题意得， 解得， 所以二次函数的解析式为， 令，则， ， 令，则， 解得，， ， ， ， ， ， ， ， ， 当D，P，F三点共线时，取最小值， ，， ， ， ， ， 而在中，， ， 即取最小值为， 的最小值为． 故答案为：4． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $