精品解析：四川省南充市西充中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

四川省西充中学2025-2026学年度上学期期中考试 高2024级数学试题 一、单选题 1. 已知点，，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角. 【详解】点，，则直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：B. 2. 直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】法一，联立直线方程可得交点坐标，然后结合直线过点可得直线方程；法2，设直线的方程为，代入，可得直线方程. 【详解】法1，，则两直线交点为，直线过点， 又经过点，则直线斜率为， 直线方程为； 法2，设直线的方程为， 因经过点，代入所设方程，则， 则直线的方程为. 故选：B 3. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（ ） A. 210石 B. 220石 C. 230石 D. 240石 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，可计算出夹谷的频率，从而得解． 【详解】设这批米内夹谷约为石，根据样本的性质可得，求得， 即这批米内夹谷约为230石， 故选：C. 4. 下列命题中是假命题的是（    ） A. 一组数据的平均数、众数、中位数相同 B. 有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算A选项中这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断A选项；由分层抽样公式求样本容量判断B选项；计算乙组数据平均数，然后计算方差并与甲组数据比较得到结论判断C选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断D选项. 【详解】对于A：平均数为，众数为3，中位数为，故A为真命题； 对于B：设样本容量为，则，解得，故B为真命题； 对于C：乙组数据平均数为，其方差为，则这两组数据中较稳定的是乙，故C为假命题； 对于D：，则，故数据的标准差为16，故D为真命题； 故选：C. 5. 在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】观察图象判断直线的斜率、截距及其符号，结合不等式性质判断正误. 【详解】观察各选项知a，b均不为0，两直线的斜率分别为，且符号相同， A：两直线在轴上的截距异号，得，所以，得，则两直线的斜率均大于0，故A正确； B，C，D：由两直线在轴上的截距同号，得，所以，得，则两直线的斜率均小于0，故B，C正确，D错误． 故选：D 6. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出5个球中随机摸出2个球的所有可能性，在选出两个球的数字之和是奇数的情况，代入古典概型公式，即可得答案. 【详解】5个球中随机摸出2个球，共有： 共10种情况， 两个球的数字之和是奇数有共6种情况， 所以两个球的数字之和是奇数的概率是. 故选：D 7. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量可求得异面直线与所成角，即可得答案 【详解】设正方体的棱长为，以为原点,所在直线分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则, 所以, 所以, 所以, 异面直线与所成角为90°，其余弦值为0. 故选：C. 8. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 【答案】C 【解析】 【分析】求得正方体外接球的半径，根据空间向量的数量积运算求得的表达式，确定的最小值，即得答案. 【详解】如图， 是棱长为6的正方体的一条体对角线，则也是正方体外接球的一条直径，由正方体的特征可得其外接球半径为，设外接球球心为，则， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，故的最小值为球心与正方体面的中心连线的长， 即为正方体棱长的一半，为，所以的最小值为. 故选：C 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解概率判断A和 C；根据互斥事件的定义判断B；根据古典概型概率公式求解概率判断D. 【详解】对于A，因为题没被解出的概率为，故题被解出的概率为，故A正确； 对于B，由互斥事件的定义知，而仅在A，B独立时成立， 互斥与独立没有必然联系，故B错误； 对于C，由题意，，，因， 则事件，B相互独立，从而A，B相互独立，故C正确； 对于D，设男生为甲，女生为乙和丙，则将这3人排成一排， 有（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，甲，丙），（乙，丙，甲），（丙，甲，乙）， （丙，乙，甲），共有6种排法， 其中女生相邻有：（甲，乙，丙），（甲，丙，乙），（乙，丙，甲），（丙，乙，甲） 共有4种排法， 由古典概型，可得两位女生相邻的概率为，故D错误. 故选：AC. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可判断A选项；利用空间向量共线的坐标表示可判断B选项；利用空间向量垂直的坐标表示可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，若、、、四点共面，则存在、，使得， 即， 所以，，且， 因为对空间中任意一点，有，且， 故、、、四点不共面，A错； 对于B选项，，，且，， 设，即，则，解得，故，B对； 对于C选项，若，且，，则，C对； 对于D选项，若，，则在上的投影向量为 ，D错. 故选：BC 11. 已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】直线方程整理得，然后求定点即可判断A；由直线不经过第四象限，则斜率和在轴上的截距都大于等于零，列出不等式求解即可判断B；由截距可求得得到C；设，利用三点共线可得，再表示出，根据基本不等式即可求得最小值，根据取最值的条件即可求出直线方程判断D. 【详解】对于A，直线，即， 令，解得，故直线过定点，故A正确； 对于B，直线，即， 直线不经过第四象限，，解得， 故的取值范围是，故B错误； 对于C，易知时，直线在轴上的截距存在， 依题意，令，得直线在轴上的截距为，解得． 对于D，设三点共线， ，整理得 ， 当且仅当，即时等号成立， 当取得最小值时，直线的方程为，即． 故选：ACD. 三、填空题 12. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合空间向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】在平行六面体中，，，，，， ∵， ∴ ， ∴. 故答案为：. 13. 已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线所过定点和，再数形结合即可求解. 【详解】直线过定点， 则，如图， 则由图可知当直线与线段相交时或. 故直线与线段不相交时，斜率的取值范围为. 故答案为：. 14. 在正三棱锥中，，，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，由空间向量法求点到平面的距离． 【详解】如图，以S为原点，分别以，，为x轴、y轴、z轴的正方向， 建立空间直角坐标系， 则，，，． 所以，，． 设是平面ABC的法向量， 则，取，得，， 则是平面ABC的一个法向量． 因此，点S到底面ABC的距离． 故答案为： 四、解答题 15. 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 【答案】（1）：，：； （2） 【解析】 【分析】（1）由两点式即可写出答案； （2）先求出的中点坐标与斜率，则可得所求直线的斜率，再由点斜式写出答案. 【小问1详解】 由两点式可得直线：，化简得：， 直线：，化简得：， 所以：，：； 【小问2详解】 记的中点为，则， ， 所以与垂直的直线的斜率， 所以边上的垂直平分线为： ， 化简得： , 所以边上的垂直平分线所在直线的一般方程为：. 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： （1）； （2）平面． 【答案】（1） ∵，，∴． 由底面，得． 以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 又 ，M为棱的中点． 则，，，，，． ∵，， ∴， ∴，则． （2） ∵，，∴． 由底面，得． 又，∴平面， 则向量是平面的一个法向量． ∵，且平面， ∴平面． 【解析】 【分析】以A为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系．写出各点的坐标． （1）由即可证明； （2）求出平面的法向量，由法向量与数量积为零即可证明平面． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】（1）； （2）众数为75，中位数为75，平均数为74； （3）平均数为62，方差为37. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求得； （2）根据直方图，及众数、中位数、平均数求法求值； （3）根据已知求样本总均值，再由总方差公式求样本总方差. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1，得，解得； 【小问2详解】 由，得样本成绩的众数为75， 成绩落在内的频率为， 成绩落在内的频率为， 故中位数在内，由，得样本成绩的中位数为75， 由， 得样本成绩的平均数为74； 【小问3详解】 由频率分布直方图知，成绩在的样本数为， 成绩在的样本数为， 所以， 总方差为. 18. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． （1）求部件正常工作的概率； （2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 【答案】（1） （2）选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 【解析】 【分析】（1）利用事件的基本关系与相互独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用和事件与积事件的关系结合对立事件的乘法公式计算两方案的概率，作差比较大小即可. 【小问1详解】 记事件分别表示元件正常工作，则， 事件表示正常工作， 由元件工作是相互独立的，则． 【小问2详解】 设方案一、二正常工作的概率分别为，设新增的两个元件为， 记事件分别表示新增的两个元件正常工作，则． 事件分别表示元件不正常工作，由于四个元件工作相互独立， 则 ． 所以； 所以， 所以选择方案二可以使部件正常工作的概率最大． 19. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，从而利用线面垂直性质定理得到线线垂直； （2）先通过面积取得最大值，得到两平面垂直，再建立空间直角坐标系，并求出两平面的法向量，从而得到两平面夹角的余弦值； （3）先建立空间直角坐标系，并设出点和的坐标，通过垂直得出关系，求出平面的法向量，代入线面角的向量公式得，从而利用对勾函数单调性和正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 在中，，，所以， 所以在四棱锥中，，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 当四棱锥的体积取得最大值时，平面平面. 又平面平面，，平面， 所以平面， 故以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 如图所示， 则，，，，，所以. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以，令，解得，， 所以平面的一个法向量. 设平面的一个法向量为， 又，， 所以， 令，解得，所以平面的一个法向量. 设平面与平面的夹角为， 所以， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【小问3详解】 以为坐标原点，直线和分别为，轴，过作平面的垂线为轴， 建立空间直角坐标系，如图所示，设，，，，， ，， 又，所以，解得， 则，则， 又，所以， 整理得，且，，得. 易得平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， ， 则， 令，函数在上单调递减，， 因此，则，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省西充中学2025-2026学年度上学期期中考试 高2024级数学试题 一、单选题 1. 已知点，，直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 直线经过和的交点，且经过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（ ） A. 210石 B. 220石 C. 230石 D. 240石 4. 下列命题中是假命题的是（    ） A. 一组数据的平均数、众数、中位数相同 B. 有三种个体按的比例分层抽样调查，如果抽取的个体数为9，则样本容量为18 C. 若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲 D. 若样本数据的标准差为8，则数据的标准差为16 5. 在同一坐标系中画直线与，不可能是下列选项中的（ ） A. B. C. D. 6. 不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是奇数的概率是（ ）． A. B. C. D. 7. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 已知是棱长为6的正方体的一条体对角线，点在正方体表面上运动，则的最小值为（ ） A. 0 B. -9 C. -18 D. -36 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，则题被解出的概率是 B. 若A，B是互斥事件，则 C. 已知事件A，B发生的概率分别为，且，则事件A，B相互独立 D. 一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若对空间中任意一点，有，则、、、四点共面 B. 已知两个向量，，且，则 C. 若，且，，则 D. ，，则在上的投影向量为 11. 已知直线过定点，则下列说法正确的是（ ） A. 直线过定点 B. 若直线不经过第四象限，则的取值范围为 C. 若直线在轴上的截距为－3，则 D. 若直线分别交x，y轴正半轴于A，B，则当取得最小值时，直线的方程为 三、填空题 12. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为__________. 13. 已知直线与线段不相交，其中，，则直线斜率的取值范围为_______． 14. 在正三棱锥中，，，则点到平面的距离为________. 四、解答题 15. 的三个顶点分别为 . （1）求边和所在直线的一般方程 （2）求边上的垂直平分线所在直线的一般方程． 16. 如图，在四棱锥中，底面，，，，M为棱的中点．用向量方法证明： （1）； （2）平面． 17. 文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的众数，中位数和平均数； （3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 18. 某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件由2个电子元件组成．如图所示，部件是由元件与元件组成的串联电路，已知元件，正常工作的概率都为，且元件工作是相互独立的． （1）求部件正常工作的概率； （2）为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案： 方案一：新增两个元件都和元件并联后，再与串联； 方案二：新增两个元件，其中一个和元件并联，另一个和元件并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件正常工作的概率达到最大？ 19. 如图1，在中，，，，分别是，边上的动点（不同于端点），且，将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2所示，点是线段的中点. （1）求证：； （2）若，当四棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的余弦值； （3）若，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $