精品解析：湖北省武汉市武珞路中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度八年级上学期期中素养调研 数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 欣赏下列图形，感受数学几何图形的对称美，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题关键是掌握轴对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，对四个图形逐一分析，再作判断． 【详解】解：是轴对称图形，故A不符合题意； 是轴对称图形，故B不符合题意； 不是轴对称图形，故C符合题意； 是轴对称图形，故D不符合题意； 故选：C． 2. 如图，照相机三角支架的设计所利用的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形的稳定性，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性及其应用是解题的关键． 照相机三角支架是利用了三角形的稳定性防止抖动． 【详解】解：照相机三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性， 故选：B． 3. 具备下列条件的三角形，是直角三角形的是（ ） A. B. C. ， D. 、是锐角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形的分类，根据三角形的内角和定理以及有一个角是直角的三角形是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：A、任意三角形的内角和均为180度，不符合题意； B、，故，三角形为等边三角形，不符合题意； C、由，，可得，故三角形是直角三角形，符合题意； D、、是锐角，可能是锐角，直角或钝角，三角形不一定是直角三角形，不符合题意； 故选：C． 4. 如图，已知≌，点和点是对应顶点．若，则的度数为（　　） A. 6 B. 5 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用得到进一步得到，然后利用已知角求得答案即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应边、对应角，难度较小． 5. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，那么理由是（ ） A. 边角边 B. 斜边、直角边 C. 角角边 D. 边边边 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定()，解题关键是掌握上述知识点． 根据求解即可． 【详解】解：在与中， ， ， ， 故选：A． 6. 如图，在中，，，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 故选：C. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，其中，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据垂直平分线的意义、性质，得出，，再求出的周长． 【详解】解：∵的垂直平分线交于E，交于D， ∴，， ∵，的周长为， ∴的周长是 ()， 故选：B． 8. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．连接，根据题意可得，根据等边三角形的判定和性质得出，根据全等三角形的判定和性质得出，，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， 由作图可得， ∴为等边三角形， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴，， ∴ ， 故选：C． 9. 已知，点P是等边所在平面内的一个点，满足、、均为等腰三角形，这样的点P有（ ）个 A. 12 B. 10 C. 9 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的性质．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．①当点P在三角形的内部时，点P到的三个顶点的距离相等，此时点P就是三角形的外心．②当P在三角形的外部时，每条边的垂直平分线上的点只要能够使顶点这条边的两端点连接而成的三角形是等腰三角形即可． 【详解】①当点P在三角形的内部时，点P是边AB、BC、AC的垂直平分线的交点，是三角形的外心，如图点． ②当P在三角形的外部时，分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，与垂直平分线的交点有9个，如图，点，共9个． 综上具有这样性质的点P共有10个． 故选：B． 10. 如图，，B，C分别是射线，上的点，连接，，，，两外角的角平分线、交于点O，连接，分别过O作于D，于F，于E，下列结论正确的有（ ）个． ①②③④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质和角平分线的性质是解题的关键，根据题意易得到四边形为正方形，从而得到，设，可得，由角平分线的性质可得，，利用角度之间的计算可判断①正确；由题可知，故②错误；设，列出式子解得，所以，故④正确；则代入即可得到答案． 【详解】解：∵，, ∴ ∵，，， ∴， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， 设， ∴， ∴， ∵、是两外角的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故①正确； 由图可知：， ∴， 故②错误； 设， ∴ 解得：， ∴， 故④正确； ∴， 故③错误， 综上所述：正确的个数有2个， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据关于对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数解答即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 如图，，添加一个条件________，使得（填写一个条件即可）． 【答案】或（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记相关定理内容是解题关键． 根据题意，运用边角边或边边边的判定方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴当时，可根据推出； 当时，可根据推出； 故答案为：或（答案不唯一）． 13. 三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：，即：． 故答案为：． 14. 如图，，________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角的定义及性质，根据，即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 15. 如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质，含的直角三角形性质．分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得长． 【详解】解：，，，， ， 由折叠知，，， 当时，， ， 是等边三角形， ， ； 当时，， 在中， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 故答案为：或． 16. 如图，是钝角三角形（），将绕点A顺时针旋转至，连接、，取的中点F，连接并延长交于点G，其中，，，则________（用含m、n的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，根据旋转的性质得到，且，进而证得和，根据全等三角形的性质，设，，再次证得，进而证得，求解计算即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，在上截取点，使，连接，如图所示： 由题意可知，，且 ， 为的中点 在和中， 、 在和中， ,, 设， 在中， 在和中， ， ，即 ， ， ，即 ． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）已知等腰三角形的一个角是，它的另外两个角分别是________． （2）已知等腰三角形的一条边长是，周长是，求它的另外两边长． 【答案】（1）和；（2）另外两边长分别为， 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是分类讨论． （1）由已知角的范围确定顶角，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，计算即可． （2）分类讨论，根据等腰三角形的性质和三角形的周长，计算另外两条边，用三角形三边之间的关系检验即可． 【详解】解：（1）∵， ∴该等腰三角形的顶角是， ∵等腰三角形的两个底角相等，且三角形的内角和为， ∴两个底角的度数为， 即它的另外两个角是和． 故答案为：和； （2）①为腰长． 不成立 ②为底边长． ． 故另外两边长分别为，． 18. 如图，、、、四点在一条直线上，，，， 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，同时还考查了平行线的判定，内错角相等，两直线平行，掌握全等三角形的判定方法和平行线的判定定理是解题的关键． 本题中，先利用和对应的三条边相等，证得两三角形全等，得到对应角，进而得到． 【详解】证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 19. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 【答案】 证明：，， 在和中 ， ∴， ， ，， ， 是的角平分线． 【解析】 【分析】此题主要考查了角平分线定理的逆定理，直角三角形全等的判定，掌握相关知识是解决本题的关键．首先可证明，可得，又因为，根据角平分线定理的逆定理即可证明是角平分线． 【详解】略 20. 如图，在四边形中，，于点． （1）求证：； （2）如果，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边对等角等知识点，熟记相关结论即可； （1）由题意得，推出，进而得，即可求解； （2）分别过、作于点，于点，证得，即可求解； 【小问1详解】 证： 【小问2详解】 解：分别过、作于点，于点， ， ，． 在和中 21. 下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． （1）如图1，画的中线； （2）如图1，在上画一点，使得； （3）如图2，已知，画的角平分线； （4）如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 （4）见解析 【解析】 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，找到的中点，连接即可； （2）观察图形发现，根据等腰直角三角形的性质，过点作，连接交于点即可； （3）将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点即可； （4）作点关于线段的对角线，连接，线段于的交点为所求的点． 【小问1详解】 解：观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，连接中点所在的由两个小正方形构成的的长方形的对角线，该对角线与的交点即为所求的点，连接，如图： 【小问2详解】 解：观察图形发现，过点作，连接交于点，如图： 【小问3详解】 解：将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点，即为的角平分线，如图： 【小问4详解】 解：作点关于线段的对角线，连接，线段与的交点为所求的点，如图： 22. 如图，是等边三角形 （1）如图1，是内一点，连接，以为边，在右侧作等边，连接、，两线延长交于点，求的度数． （2）如图2，、分别是、上的点，连接，以为边，在右侧作等边，连接，求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）设，交于点，得，，，证，即可求解； （2）在上取点，令，连接，得，，，则可证明，即可证明． 【小问1详解】 解：设，交于点． 、为等边三角形 ，， 在和中 ） ． 又 ． 【小问2详解】 证明：在上取点，令，连接 ， 为等边三角形 ， 又为等边三角形 ， ． 在和中 . 【点睛】本题考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性质，等边三角形性质等知识点；两者综合运用，促进角与角相互转换，将未知角转化为已知角是关键． 23. 如图，（其中和是一组对应点） （1）如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________； （2）如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：； （3）如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值． 【答案】（1），， （2）见解析 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据全等对应边，对应用角即可求解； （2）过、分别作于点，于点，得，再证，即可求证； （3）在延长线上取点．令，连，证得，再证，即可求解. 【小问1详解】 解：∵（其中和是一组对应点） ∴的对应点是：；的对应边是：；的对应角是： 故答案为：，，； 【小问2详解】 证明：如图：过、分别作于点，于点 ， 为中点 在和中 在和中 【小问3详解】 解：在延长线上取点．令，连． 、为、中点． ，． ， ． 在和中 ， ， 在和中 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质等相关知识点，解题关键在于熟悉各个知识点应用和理解. 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． （1）点的坐标为________；点的坐标为________； （2）如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； （3）如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 【答案】（1）； （2） （3）或，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线，运用分类讨论思想． （1）根据非负性求解即可； （2）根据互余证明，根据等腰三角形的性质可得，再证明，可得，再证明，即可得解； （3）当N在线段上时，过点作，延长交于点．先证明，可得，再证明，可得，即可得解；当N在的延长线上时，同理证明即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：，， ， ， ， ， 又在中，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：或， 当N在线段上时，过点作，延长交于点，设于P．如图， ，， ， ，， 又， ． ， ． 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 当N在的延长线上时，如图， 同理可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度八年级上学期期中素养调研 数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 欣赏下列图形，感受数学几何图形的对称美，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，照相机三角支架的设计所利用的数学原理是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 三角形具有稳定性 C. 两点之间，线段最短 D. 垂线段最短 3. 具备下列条件的三角形，是直角三角形的是（ ） A. B. C. ， D. 、是锐角 4. 如图，已知≌，点和点是对应顶点．若，则的度数为（　　） A. 6 B. 5 C. 5 D. 4 5. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接，那么量出的长就是A、B的距离，那么理由是（ ） A. 边角边 B. 斜边、直角边 C. 角角边 D. 边边边 6. 如图，在中，，，，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线交于E，交于D，其中，的周长为，则的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，点A在射线上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A、B为圆心，的长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，点P是等边所在平面内的一个点，满足、、均为等腰三角形，这样的点P有（ ）个 A. 12 B. 10 C. 9 D. 4 10. 如图，，B，C分别是射线，上的点，连接，，，，两外角的角平分线、交于点O，连接，分别过O作于D，于F，于E，下列结论正确的有（ ）个． ①②③④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 点关于轴对称的点的坐标是______． 12. 如图，，添加一个条件________，使得（填写一个条件即可）． 13. 三角形的三边长分别为3、5、x，则x的取值范围是________． 14. 如图，，________． 15. 如图，在中，，，，，点D是上一动点，连接，将沿折叠，得到，其中，点A落在点E处，交于点F，当为直角三角形时，的长度是________． 16. 如图，是钝角三角形（），将绕点A顺时针旋转至，连接、，取的中点F，连接并延长交于点G，其中，，，则________（用含m、n的式子表示） 三、解答题（共8小题，共72分） 17. （1）已知等腰三角形的一个角是，它的另外两个角分别是________． （2）已知等腰三角形的一条边长是，周长是，求它的另外两边长． 18. 如图，、、、四点在一条直线上，，，， 求证：． 19. 如图，在中，D是的中点，，垂足分别为E，F，．求证：是的角平分线． 20. 如图，在四边形中，，于点． （1）求证：； （2）如果，求的面积． 21. 下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． （1）如图1，画的中线； （2）如图1，在上画一点，使得； （3）如图2，已知，画的角平分线； （4）如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 22. 如图，是等边三角形 （1）如图1，是内一点，连接，以为边，在右侧作等边，连接、，两线延长交于点，求的度数． （2）如图2，、分别是、上的点，连接，以为边，在右侧作等边，连接，求证：． 23. 如图，（其中和是一组对应点） （1）如图1，的对应点是________，的对应边是________，的对应角是________； （2）如图2，是的中点，连接并延长，恰好经过点，求证：； （3）如图3，、分别是、的中点，连接、、、，其中与交于点，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，且，满足． （1）点的坐标为________；点的坐标为________； （2）如图1，，连接，于，交于点，交的延长线于点，在轴的负半轴上有一点，连接，满足，求点坐标； （3）如图2，是射线上一点（不与、、的中点重合），连接，过点作交于，在的上方作，交轴于点，与直线交于点，探究、、三条线段之间的数量关系，并证明（写出一种结论的证明过程即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $