第3章一次方程（组） 单元综合练习题 2025-2026学年湘教版七年级数学上册

2025-2026学年湘教版七年级数学上册《第3章一次方程（组）》单元综合练习题（附答案） 一、单选题 1．下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 2．解方程，去分母后得到的方程正确的是（    ） A． B． C． D． 3．解方程组时，由得（   ） A． B． C． D． 4．若实数x，y，z满足则的值为（    ） A． B．0 C．3 D． 5．《孙子算经》中有这样一个问题，其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，问共有多少个人？多少辆车？若设共有辆车，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 7．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天4名一级技工去粉刷10个房间，结果其中有墙面未来得及粉刷；同样时间内7名二级技工粉刷了15个房间之外，还多粉刷了另外的墙面．每名一级技工比二级技工一天多粉刷墙面，设每个房间需要粉刷的墙面面积为平方米，一级技工每天粉刷平方米，下列方程正确的有几个（　　  ） ①                          ② ③                  ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 8．已知是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为 ． 9．已知二元一次方程，用含的代数式表示为 ． 10．关于x的方程的解与方程的解相同，那么a的值是 ． 11．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 12．若方程组和方程组有相同的解，则的值为 ． 13．小明只带2元和5元面值的人民币若干张，他要买一件29元的商品，若商店没有零钱找，那他付款时这两种面值的人民币共有 种不同的组合方式． 14．李叔叔通过网络召集了一批户外爱好者包车前往郊区爬山，租车费用由大家平摊．后来有6人因加班不能前往，于是去的每人要多出5元；临出发，又来了1人搭车，结果每人比原计划只多出4元，租车费用是( )元． 三、解答题 15．（1）若，则_________． 这是根据等式基本性质_________，等式的两边________． （2）若，则________． 这是根据等式基本性质__________，等式的两边_________． （3）若，则_______． 这是根据等式基本性质________，等式的两边_________． 16．解方程（组）： (1) (2) (3) (4) 17．工业园区某机械厂的一个车间主要负责生产大小齿轮，该车间有工人85人，其中女生人数比男生人数的2倍少8人，每个工人平均每天可以生产大齿轮16个或者小齿轮10个． (1)请问该车间有男生、女生各多少人？ (2)已知2个大齿轮与3个小齿轮配套，为使每天生产的大小齿轮恰好配套，应该分配多少工人负责生产大齿轮，多少工人负责生产小齿轮？ 18．已知关于x，y的二元一次方程组． (1)若方程组的解满足，求m的值； (2)无论数m取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解． 19．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程互为“唯美方程”．如方程和互为“唯美方程”． (1)若关于x的方程与方程互为“唯美方程”，求m的值； (2)若两个方程互为“唯美方程”，它们的解的差为7，其中一个方程的解为n，求n的值； (3)若关于x的一元二次方程和互为“唯美方程”，求关于y的一元一次方程的解． 20．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 参考答案 1．D 【分析】本题考查方程的解，根据方程的解是使方程成立的未知数的值，把代入各个方程进行验证即可． 【详解】解：A、，，故不是方程的解，不符合题意； B、，，故不是方程的解，不符合题意； C、，故不是方程的解，不符合题意； D、，故是方程的解，符合题意； 故选D． 2．C 【分析】本题考查解一元一次方程，根据解一元一次方程步骤求解，即可解题． 【详解】解： 等式两边同乘，得， 去括号，得， 故选：C． 3．A 【分析】本题考查了加减消元法求解二元一次方程组，利用加减消元法进行求解即可． 【详解】解：， 得， 故选：A． 4．A 【分析】本题考查三元一次方程组的化简与计算，掌握通过消元法将三元转化为二元，求出变量间的关系，再计算目标式的值是解题的关键． 通过对给定的方程组进行消元，求出与的关系，再代入求出与的关系，最后计算的值． 【详解】解： 用(1)式减去(2)式：， 即， ， 把代入(1)式： ， ， ， ． 故选：A． 5．B 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出两种乘车方式中人数的等量关系，并将其用含未知数的式子表示出来．设共有辆车，根据每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一辆车，最终剩余9人没有车可乘，列方程即可． 【详解】解：设共有辆车， 依题意，得：． 故选：B． 6．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 7．B 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积为x平方米，一级技工每天粉刷y平方米，根据题意可得： ①） ，15x﹣4错误，10x+32错误，应为15x+4，10x﹣32，故此选项错误； ②15（4y+32）=70（y﹣10）﹣40，利用粉刷的速度得出等式，正确； ③） ，利用粉刷的速度得出等式，正确； ④，正确； 故选B． 点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键． 8．6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，理解方程的解的定义是解题的关键．把代入方程求解即可． 【详解】解： 是关于x，y的二元一次方程的解， ， ， 故答案为：6． 9． 【分析】本题主要考查了二元一次方程的变形求解，熟练掌握等式的基本性质以及移项、合并同类项等运算规则是解题的关键． 将方程中的看作已知数，通过移项、去分母、合并同类项等操作，将方程变形为用含的代数式表示的形式． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．2 【分析】本题考查了一元一次方程的解，准确的计算是解决本题的关键． 先解出两个方程的解，再根据两个方程的解相同进行求解即可． 【详解】解： 解得， 解得， ∵两个方程的解相同， ∴ 解得． 故答案为：2． 11． 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键是掌握解二元一次方程组的特殊解法． 根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， 故答案为：． 12． 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．解方程组得出x，y的值，然后得到，求出a与b的值，最后求出结果即可． 【详解】解：将和组成方程组得， 解得，， 将分别代入和得， 整理得：， 解得， ∴． 故答案为：． 13．3 【分析】本题考查二元一次方程的解，求出满足条件的整数解是关键． 设元的人民币张，元的人民币张，列出二元一次方程，求出符合条件的解； 【详解】解：设元的人民币张，元的人民币张， 根据题意得：， ∵，都是正整数， ∴或，或，， 则他的付款方式有3种， 故答案为：3． 14．600 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用． 根据题意利用原计划每人出的车费为等量关系，列方程即可． 【详解】解：设原计划租车人数是人， 少6人时，则其余人一共多出元，则原计划每人出元，同理少5人时可表示为，则可列方程： ， 解得， 则租车费用为：元， 故答案为：600． 15．解：（1）若，则， 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上5， 故答案为：5，1，同时加上5； （2）若，则． 这是根据等式基本性质1，等式的两边同时加上， 故答案为：，1，同时加上． （3）若，则． 这是根据等式基本性质2，等式的两边同时乘以3； 故答案为：3，2，同时乘以3． 16．（1）解： ； （2）解： ． （3）解：， ，得③ 得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴方程组的解为； （4）解：， 得， 解得：， 把代入，得 解得：， ∴方程组的解为． 17．解：（1）设该车间有男生x人，则女生人数是人，则 ， 解得， 则， 答：该车间有男生31人，女生人数是54人． （2）设应分配y名工人生产大齿轮，名工人生产小齿轮， 由题意得： 解得：， 答：应该分配25名工人生产大齿轮，60名工人生产小齿轮． 18．（1）解：， ， 把代入得： ， 解得：， ， 把代入得： ， 解得： （2）解：， , 无论数m取何值，方程总有一个固定的解， ，解得： 固定解为：． 19．（1）解：解得：， 解得：， 方程与方程互为“唯美方程”， 解得：； （2）解：由题意得，当，即时， ，解得， 当，即时， ，解得， 综上所述：或； （3）解：由得 ， 所以的解是， 将整理得 ， 所以， ． 20．（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆. （3）解：方案一获得利润：（万元； 方案二获得利润：（万元； 方案三获得利润：（万元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元． 学科网（北京）股份有限公司 $