专题13.1勾股定理及其逆定理（知识点总结+12大题型 练习）易错重难点培优同步讲义2025-2026学年华东师大版数学八年级上册

13.1勾股定理及其逆定理 【题型1】利用勾股定理求直角三角形边长 1.核心知识点总结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（，为斜边）。 变形公式：，，。 2.高频考点梳理 已知两条直角边求斜边（直接代入公式）。 已知斜边和一条直角边求另一条直角边（变形公式应用）。 含特殊角（30°、45°）的直角三角形边长计算（结合特殊角性质）。 3.易错点警示 未明确斜边时忽略分类讨论（如已知两边为3和4，斜边可能是4或5）。 单位不统一直接计算（需先统一单位再代入公式）。 4.解题技巧拆解 第一步：确定直角三角形的直角边和斜边（可通过角的符号或题意判断）。 第二步：若斜边不确定，分“已知边为斜边”和“已知边为直角边”两类计算。 第三步：代入公式求解，结果需化简二次根式。 【例题1】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长，底边上的高，则底边 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理；利用等腰三角形“三线合一”（底边上的高也是底边的中线）将底边分成两段相等的线段，再通过勾股定理求出其中一段的长度，进而得到底边总长． 【详解】解：，是的高，且， ， 在中，． 故答案为： 【变式题1-1】．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，垂直平分线性质，解题的关键是先证明直角，再根据垂直平分线性质转换线段，根据勾股定理列方程求解． （1）根据勾股定理逆定理即可证明； （2）连接，根据是的垂直平分线，得到，设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ∴ ∴是直角三角形； （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，平分，交于点，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，先求出，由及的长利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，，，， 根据勾股定理得：， 故． 【变式题1-3】．（浙江省温州新质教育联盟2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）如图，在中，的中垂线分别交于点D，E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用和线段垂直平分线的性质，熟练运用勾股定理是解决本题的关键． 设，根据线段垂直平分线的性质可得，在中运用勾股定理即可求解． 【详解】解：设， ∵，是的中垂线， ∴， ∴在中，， ∴ 解得， ∴的长是， 故选D． 【题型2】判断三角形是否为直角三角形 1.核心知识点总结 勾股定理逆定理：若三角形三边长、、（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形。 拓展：为锐角三角形；为钝角三角形。 2.高频考点梳理 已知三边长度直接判断（先找最长边再验证平方关系）。 已知三边比例判断（如3:4:5、5:12:13，可设份数验证）。 结合代数条件判断（如，先求边长再判断）。 3.易错点警示 未找对最长边直接验证（导致判断错误）。 忽略“三边长为正整数”的勾股数前提（非正整数满足平方关系也不是勾股数）。 4.解题技巧拆解 步骤1：排序三边，确定最长边。 步骤2：计算和的值。 步骤3：比较两者大小，根据逆定理判断三角形形状。 【例题2】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理．通过计算各选项是否满足勾股定理或角为90°来判断． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴这不能构成三角形． B、∵， ∴设，，（）， ∴， ， ∴， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）． C、∵， ∴设，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴不是直角三角形． D、∵，且， ∴， ∴， ∴ 无法确定另外两个角中是否有直角，故该条件不能判定为直角三角形， ∴不是直角三角形． 故选：B． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·重庆·期中）下列长度的三条线段中，不可以构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．8，15，17 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理，判断各组线段中两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则可构成直角三角形，否则不能． 【详解】解：A：∵，，， ∴ 不能构成直角三角形，符合题意； B：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； C：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； D：∵， ∴ 能构成直角三角形，不符合题意； 故选：A． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·四川·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（） A．6，8，10 B．5，4，3 C．2，3，4 D．17，8，15 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、，∴，能作为直角三角形三边长，故此选项不符合题意； B、，∴，能作为直角三角形三边长，故此选项不符合题意； C、，∴，不能作为直角三角形三边长，故此选项符合题意； D、，∴，能作为直角三角形三边长，故此选项不符合题意； ∴不能作为直角三角形三边长的是C． 故选：C． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟知勾股定理的逆定理及三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理依次判断出四个选项中三角形的形状即可． 【详解】A．当时， ， ． 是直角三角形，故A选项符合题意； B． ， 围不成三角形，故B选项不符合题意； C． ， ∴设，， ∴， 围不成三角形，故C选项不符合题意； D． ， ． 又 ， ， 则， 是钝角三角形．故D选项不符合题意； 故选：A． 【题型3】勾股数的识别与构造 1.核心知识点总结 定义：能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数。 性质：若、、是勾股数，则、、(为正整数)也是勾股数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等。 2.高频考点梳理 识别给定数组是否为勾股数(双重条件：正整数+平方关系)。 构造勾股数(利用公式、、，的正整数)。 3.易错点警示 把非正整数(如0.6,0.8,1)当成勾股数。 构造勾股数时忽略公式适用条件(需为大于1的正整数)。 4.解题技巧拆解 识别技巧：先判断是否为正整数，再验证最长边的平方是否等于另外两边平方和。 构造技巧： 构造公式 示例() 示例() 3 8 4 6 5 10 【例题3】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（    ） A．5，7，10 B．5，12，13 C．，， D．，6， 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键．根据勾股数的定义进行判断即可． 【详解】解：A、，故选项A不符合题意； B、，且都是正整数，故选项B符合题意； C、都不是正整数，故选项C不符合题意； D、都不是正整数，故选项D不符合题意； 故选：B． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ． 【答案】5，12，13（答案不唯一） 【分析】本题主要考查勾股数和公约数，填写满足最大公约数为1的勾股数即可． 【详解】解：常见的勾股数如满足，且最大公约数为1． 故答案为：（不唯一）． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．下列表格所给出的三个正整数，，为直角三角形的三条边长，且． 序号 列举 猜想 ，， ，， ，， ，， (1)若“勾”为，则“股” ，“弦” ． (2)表格中的 ， ， ．(用含的式子表示) (3)若小逸同学不小心将表格中的一组勾股数滴上了墨水，只知道最大的数是，请你帮他求出这组勾股数． 【答案】(1)40，41 (2)，， (3)17，144，145 【分析】此题主要考查了勾股数的定义、规律型：数字的变化类，解题时要熟练掌握并能灵活运用勾股定理是关键． （1）依据题意，根据所给材料及表格发现规律表示出即可； （2）依据题意，根据所给材料及表格发现规律，a为大于1的奇数，即，再根据b，c与a的关系，表示出b，c即可； （3）依据题意，由（2）中的结论知道，进而知道，最后根据b，c与a的关系反推出a的值． 【详解】（1）解：“股”，“弦”， 故答案为：40，41； （2）解：通过表格可发现规律，，， ， 故答案为：，，； （3）解：根据（2）中的结论得：， ∴， ∴， ∴， ∴这组勾股数为17，144，145． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【答案】(1)，，， (2)见解析 【分析】本题考查勾股数，完全平方公式，数字的规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据所提供的几组勾股数的规律发现，当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数；当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数，据此列方程求解即可； （2）根据勾股数的定义，证明即可． 【详解】（1）解：根据所提供的几组勾股数的规律发现， 当a为奇数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续整数， 设两个连续整数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 当a为偶数时，勾股数组中较大两数是相邻的两个连续偶数或奇数， 设两个连续偶数或奇数中较小数为x， 则， ， ， ∴两数为； 故答案为：和； （2）证明：， ， ， ， ， ∴不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【题型4】勾股定理与数轴表示无理数 1.核心知识点总结 原理：利用勾股定理构造直角三角形，斜边长度即为无理数。 步骤：先确定无理数的平方(如的平方为)，再构造对应直角三角形。 本质：将“数”转化为“形”，实现无理数的几何表示。 2.高频考点梳理 在数轴上画出表示、、等无理数的点(教材同步必学)。 结合数轴与勾股定理，比较无理数与有理数的大小。 多个无理数在数轴上的定位排序。 3.易错点警示 构造直角三角形时，直角边长度选择错误(如表示时用2和3，平方和为)。 数轴上截取斜边长度时，未用圆规导致误差。 混淆无理数的平方与直角边平方和的关系。 4.解题技巧拆解 步骤：①将无理数平方，分解为两个正整数平方和；②在数轴上构造对应直角三角形；③以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴于目标点。 常见分解：，，。 【例题4】．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点（交点在原点右侧），则这个点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，以及勾股定理，根据勾股定理，可得的长，进而得到交点坐标． 【详解】解：由勾股定理，得． 又因为交点在原点的右侧时，则这个交点表示的实数是， 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点与原点重合，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴．根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴这个点表示的实数是． 故答案为：． 【变式题4-2】．（江苏省无锡市经开区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理．先利用勾股定理求出的长，再由已知条件得到的长，据此求出答案即可． 【详解】解：由题意可知：， ， 点E表示的数为． 故选：C． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点A、B表示的数分别为1、2，以为边向上作正方形，以点B为圆心，正方形对角线长为半径画圆弧，交数轴上点B的右侧于点C，则点C表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，掌握直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和是解题关键．由勾股定理可得，正方形的对角线长为，即可求解． 【详解】解：由勾股定理可得，正方形的对角线长为， 则点C表示的数为， 故答案为：． 【题型5】勾股定理与折叠问题(提升) 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等(即全等关系)。 折叠后形成新的直角三角形，可利用勾股定理列方程求解。 2.高频考点梳理 长方形折叠(折叠顶点到对边或对角线，求折痕长度或线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，求重叠部分边长)。 3.易错点警示 找不到折叠后的对应边，导致无法构建直角三角形。 设未知数后未明确等量关系，列方程错误。 4.解题技巧拆解 第一步：画折叠示意图，标注对应边、对应角(用相同符号表示相等线段)。 第二步：设未知线段长度为，用含的式子表示其他相关线段。 第三步：在折叠后形成的直角三角形中，代入勾股定理列方程求解。 【例题5】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，再解方程求得x，进而求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 【变式题5-1】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．设，利用折叠的性质和勾股定理列方程求解，求出，再证明，得到，求出． 【详解】解：由折叠的性质可知，，，，， 设，则， 在中，， ， 解得：，即， ， ，即， ， ， 又， ， ， ， 故答案为：，． 【变式题5-2】．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得，的长，从而利用勾股定理可求得的长． 本题考查了折叠的性质、利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得：， ， 设，则在中，， ． 故选：A． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由正方形可得，再由折叠可得，，，，利用勾股定理可求的长，进而得到，在中，利用勾股定理构造方程，即可求得的长． 【详解】解：由题意得，， 由折叠的性质可得，，， ，， ； ∵， ∴， ； 设，则， 在中，由勾股定理得 ， 解得 故答案为：． 【题型6】勾股定理与网格问题(提升) 1.核心知识点总结 网格中边长计算：水平方向或垂直方向边长为格点数差，斜向边长用“”的算术平方根(勾股定理)。 网格中直角三角形判断：通过计算三边平方关系验证。 2.高频考点梳理 求网格中两点间距离(直接用勾股定理)。 判断网格中三角形是否为直角三角形(计算三边平方和)。 网格中画直角三角形(给定斜边或直角边)。 3.易错点警示 数错网格边长(如斜向边长直接数格点数，忽略勾股定理应用)。 计算水平差或垂直差时符号错误(平方后不影响结果，但需规范步骤)。 4.解题技巧拆解 两点间距离公式：若点、，则。 直角判断技巧：先计算各边平方，再验证是否满足“两短边平方和=最长边平方”。 【例题6】．（河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 【变式题6-1】．（25-26八年级上·浙江·期中）如图为边长是1的正方形构成的网格，点A、B、C、D均在格点上． (1)直接写出下列线段的长度：__________，__________； (2)连接BD，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)； (2)为等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理和等腰三角形的判定，解决本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理． （1）由勾股定理直接可求，的长； （2）根据勾股定理求出和的值，再运用勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，； ， 故答案为：，； （2）解：为等腰直角三角形，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，且， ∴， ， 为等腰直角三角形． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，若三角形的顶点均在格点上，则称之为“格点三角形”，点，均在格点上；只用无刻度的直尺、在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，（铅笔画图确认无误后，用中性笔描黑） (1)作格点，使为等腰直角三角形且； (2)作格点，使为等腰钝角三角形且； (3)在直线上找一点，连结，使平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-应用设计作图，勾股定理，勾股定理逆定理等，熟记等腰三角形性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形定义结合网格特点作图即可； （2）根据等腰三角形及钝角三角形结合网格作图即可； （3）根据等腰三角形三线合一性质作图即可． 【详解】（1）解：根据网格对角线可得，即为所求，如下图所示： ∵，， ∵， ∴，即为等腰直角三角形； （2）解：如下图所示，格点即为所求： （3）解：连接，即等腰三角形底边上的中线，则平分，如下图所示：点即为所求； 【变式题6-3】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请判断图1中的形状，并说明理由； (2)从数据中选三个数据作为三角形的三边长，在图2中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上，并求此三角形的面积． 【答案】(1)为等腰直角三角形，理由见解析 (2)选择，画图见解析，面积为 【分析】本题考查的知识点是勾股定理及其逆定理、格点三角形的形状判断与面积计算，解题的关键是利用勾股定理计算边长，再通过逆定理判断三角形形状，以及利用公式计算格点三角形的面积． （1）利用勾股定理计算三边的长度，再根据勾股定理的逆定理判断其形状； （2）选择合适的三个数据，在格点中确定顶点位置画出三角形，计算其面积． 【详解】（1）为等腰直角三角形，理由如下： ， 且． 为等腰直角三角形． （2）选择， 如图，为所求； ， 为直角三角形 ． 【题型7】分类讨论求直角三角形第三边(提升) 1.核心知识点总结 分类依据：已知的两边可能都是直角边，也可能一边是直角边、一边是斜边。 适用情况：题目未明确说明“斜边”或“直角边”时，需分情况讨论。 结论：此类问题通常有两个解(特殊情况除外)。 2.高频考点梳理 已知直角三角形两边长为3和4，求第三边(经典易错题)。 已知直角三角形两边长为5和12，求第三边的平方。 以含字母的边长(如、、)为三边，求的值。 3.易错点警示 漏解其中一种情况(如只考虑3和4为直角边，忽略4为斜边的情况)。 字母边长讨论时，未验证三边能否构成三角形(如出现负边长)。 计算平方差时出错(如未正确运用)。 4.解题技巧拆解 第一步：判断已知两边的大小关系，设较长边为。 第二步：分情况：①若为斜边，则第三边；②若为直角边，则第三边。 第三步：验证所有解是否为正数，且满足三角形三边关系。 【例题7】．（25-26八年级上·全国·期中）已知的两条边，的长分别为、，则边的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理，分类讨论，根据勾股定理直接求解． 【详解】解：当边，C为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故答案为：或． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边长的平方．解题的关键是要注意分类讨论，有两种情况不要漏解．由于直角三角形的斜边不能确定，故应分为：为斜边与4为斜边两种情况，再根据勾股定理求解． 【详解】解：当为斜边时，， 解得，（舍去）， 当4为斜边时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值是5或． 故选：C． 【变式题7-2】．（河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）已知直角三角形两边的长分别为5和12，则此三角形的周长为（   ） A．30 B． C．30或 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的灵活运用及分类的思想方法是解题关键． 首先根据勾股定理求出第三边的长，再求出三角形的周长． 【详解】解：①当5和12是直角边，则根据勾股定理可得： 第三边长度为 ∴三角形周长为； ②当12是斜边，5是一条直角边，则根据勾股定理可得： 第三边长度为 ， ∴三角形周长为， 故选：C． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（   ） A．1 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，分类讨论是解题的关键．分两种情况讨论，然后运用勾股定理即可求出边的长． 【详解】解：的两条边的长分别为2、3， 当边为直角边时，则； 当边为斜边时，则； 故选：D． 【题型8】勾股定理与方程思想(提升) 1.核心知识点总结 通过设未知数表示未知线段，利用勾股定理建立方程，求解线段长度。 常用场景：含公共边的多个直角三角形、线段比例关系、折叠问题等。 2.高频考点梳理 公共边问题(如两个直角三角形共享一条直角边，列方程求解)。 线段比例问题(如直角边比为3:4，斜边为10，设份数列方程)。 复杂图形拆分(将多边形拆分为多个直角三角形，利用方程关联边长)。 3.易错点警示 设未知数后未明确变量范围(导致解为负数，需舍去)。 多个直角三角形关联时，等量关系找错(需聚焦公共边或相等边)。 4.解题技巧拆解 设元技巧：优先设较短的直角边或公共边为，简化计算。 方程建立：在每个直角三角形中应用勾股定理，通过公共边建立方程关联。 求解后验证：确保解为正数且符合实际场景(如边长为正)。 【例题8】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 【答案】150 【分析】本题考查的是勾股定理，由斜边与一条直角边比是，设斜边是，直角边是，根据勾股定理，得另一条直角边是，根据周长列方程，求得两直角边的长，进而得出三角形面积即可． 【详解】解：设斜边是，直角边是， 根据勾股定理，得另一条直角边是， ∵周长为60， ∴， 解得：， ∴三角形的直角边边长分别是15，20， ∴三角形的面积， 故答案为：150． 【变式题8-1】．（24-25九年级下·安徽·开学考试）等腰三角形腰上的高与腰的比为，则顶角为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是根据题意得出高所对的角等于．根据等腰三角形腰上的高与腰的比为，可得高所对的角等于，然后分①高在三角形内部，②高在三角形外部两种情况进行讨论求解． 【详解】解：在中，，是高线，， ①当高在三角形内部时， 如图，∵是高线， ， 又，令, ，即 ； ②在三角形外部时，如图 由①可知， 综上所述，顶角为或． 故选：． 【变式题8-2】．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理即可解答； （2）设米，则 米，由线段垂直平分线的性质得到米，在中，根据勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴； （2）解：设米，则 米， ∵点恰好在边的垂直平分线上， ∴米， 在中，由勾股定理得， ， 解得 答：这架无人机向下飞行的距离为米． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． (2)当为直角三角形时，求出t的值． 【答案】(1) (2)8或 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边的平方，以及正确作出辅助线，构造直角三角形． （1）连接，设的长为，则，，根据勾股定理可得，列出方程，求出的值，即可得出； （2）根据题意进行分类讨论：①当时，②当时，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接． 因为点P在的垂直平分线上， 所以． 设的长为，则，． 在中，根据勾股定理可得，即， 解得， 所以的长为； （2）解：当时，点P和点C重合，； 如图，当时，，， ∴， 在中，根据勾股定理得， 即①． 在中，根据勾股定理得，， 即②． 结合①和②得， 解得． 综上所述，当为直角三角形时，t的值为8或． 【题型9】勾股定理逆定理的综合应用(提升) 1.核心知识点总结 逆定理与全等、旋转、等腰三角形的结合应用。 利用逆定理证明线段垂直（即证明构成的三角形为直角三角形）。 2.高频考点梳理 证明线段垂直（如四边形对角线相交，验证三边平方关系证明垂直）。 旋转图形后判断直角（如将旋转得到，验证为直角三角形）。 等腰三角形中证明直角（如等腰中，，验证证明)。 3.易错点警示 旋转后对应边、对应角识别错误，导致无法构建直角三角形。 综合题中忽略逆定理的应用条件(需先确定三边长度或平方关系)。 4.解题技巧拆解 构造辅助线：通过旋转、平移等方式构造能应用逆定理的三角形。 步骤：先计算相关线段的平方，再验证是否满足“两短边平方和=最长边平方”，即若线段、、(为最长边)满足，最后得出直角结论。 【例题9】．（21-22八年级下·湖南张家界·期中）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要300元，问要多少投入？    【答案】10800元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用， 连接，先根据勾股定理求出，再说明是直角三角形，然后根据求出面积，进而得出答案. 【详解】解：连接， 在中，， ∴， 解得. 在中，， ∴是直角三角形， ∴， 则（元）. 所以要投入10800元.    【变式题9-1】．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，运用等积法求垂线段的长是常用方法． （1）首先利用勾股定理逆定理得出，再用勾股定理求出的长； （2）利用等积法求，根据铺设小路、每米元，列式计算即可解答． 【详解】（1）解∶ 米，米，米， ．． 是以为直角的直角三角形． ． 在中，由勾股定理得∶ (米) 答：的长是9米． （2）解∶， ． 即 (米)． 需花费 (元) 答∶需花费元． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      【答案】符合安全标准，理由见解析 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、勾股定理，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到，证明结论． 【详解】解：符合安全标准， 理由：在中，， ， 在中，， ， 是直角三角形，且， ． 该婴儿车符合安全标准 【题型10】勾股树与弦图问题(培优) 1.核心知识点总结 勾股树性质：所有正方形面积和等于最大正方形面积(即)。 赵爽弦图：由4个全等直角三角形和1个小正方形组成，大正方形面积(验证勾股定理)。 2.高频考点梳理 勾股树中正方形面积计算(利用面积和关系)。 弦图中边长或面积计算(已知直角边求小正方形边长，或反之)。 弦图变形问题(如8个全等直角三角形拼接的“数学风车”，求周长或面积)。 3.易错点警示 勾股树中混淆“面积和”与“边长和”的关系。 弦图中未明确直角边与正方形边长的对应关系。 4.解题技巧拆解 勾股树：记住“以直角三角形三边为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积的2倍”(单层勾股树)。 弦图： 小正方形边长=长直角边-短直角边()。 大正方形边长=直角三角形斜边()。 面积关系：(直接应用勾股定理)。 【例题10】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意，得，，结合公式，求得，结合公式计算即可． 本题考查了弦图中公式变形计算，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握公式变形，弦图的几何意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故． 故①；②;③正确；④错误； 故选：B． 38．（25-26八年级上·福建漳州·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理计算即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得， ∴小正方形的边长为， 故选：B． 39．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了赵爽弦图，二元一次方程组，勾股定理，根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为，那么，然后解方程组，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为，长的直角边为， 那么， ， 正方形的边长为， 故选：B． 40．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，勾股定理和旋转的性质，熟知勾股定理是解题的关键． （1）大正方形的边长为c，其面积为，大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积，其面积为，据此可证明勾股定理； （2）设，则，根据周长计算公式可建立方程求出，则可利用勾股定理得到，解方程即可得到答案； （3）根据正方形面积计算公式可得，再由可得的值，进而可得答案． 【详解】（1）证明：图①中大正方形的边长为c，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为； 又∵大正方形面积等于四个全等的直角三角形面积加上中间小正方形的面积， ∴大正方形的面积为， ∴； （2）解：由题意得，， ， 设，则， ∵该八边形的周长为48， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得， ∴正方形的边长为； ∵正方形、正方形、正方形的面积分别为、、， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型11】动点问题中的勾股定理应用(培优) 1.核心知识点总结 动点运动过程中，直角三角形的存在性分析(分情况讨论直角顶点)。 动点运动轨迹：直线运动(如沿线段、射线运动)，需确定运动范围。 2.高频考点梳理 单动点问题(如ΔABC中，点P沿BC运动，求ΔAPB为直角三角形时的BP长度)。 双动点问题(如两点分别沿不同边运动，求构成直角三角形的时间)。 3.易错点警示 漏解直角顶点的情况(如ΔAPB为直角三角形，直角顶点可能是A、P、B)。 未考虑动点运动范围，导致解超出实际轨迹。 4.解题技巧拆解 步骤1：确定动点运动轨迹和速度，设运动时间为，表示相关线段长度。 步骤2：分情况讨论直角顶点(以每个顶点为直角顶点分别列方程)。 步骤3：代入勾股定理列方程，求解后验证解是否在运动范围内。 【例题11】．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，中，，若动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)当点P在边的垂直平分线上时，求t的值； (2)当点P在的平分线上时，求t的值． 【答案】(1)t的值为 (2)t的值为 【分析】本题以动点问题为背景，考查了线段垂直平分线的性质定理、角平分线的性质定理和勾股定理，解题的关键是熟知角平分线的性质定理和线段垂直平分线的性质定理得到相关线段的长度． （1）过点P作垂直平分于点D，连接，然后结合中垂线的性质定理求得，然后由题意得，进而得到与的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值； （2）过点P作，则，然后结合角平分线的性质定理求得，然后由题意得，进而得到与的长，再利用勾股定理列出方程求得t的值． 【详解】（1）解：如图1，①当点P在边的垂直平分线上时， 过点P作垂直平分于点D，连接，则， ∵， ∴由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴点P在边的垂直平分线上时，求t的值为． （2）解：当点P在上且在的角平分线上时， 如图2，过点P作， ∵平分，且， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴当点P在的平分线上时，t的值为． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒. (1)_____cm；（用含的式子表示） (2)当点在边上运动时，若是等腰三角形，则的值为多少？ (3)当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，则的值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)12或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理等知识，涉及方程思想及分类讨论思想等思想方法．用时间表示出相应线段的长，注意方程思想的应用． （1）根据题意即可用表示出； （2）结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和两种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【详解】（1）解：∵点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒， ∴，， ∵当点在上运动时，是等腰三角形， ∴， 则；解得：； ∴当秒时，是等腰三角形； （3）∵点在边上运动时， ∴， ∵是以为腰的等腰三角形， ①当，则，解得； ②当，中，， 则是斜边的中线， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴，解得， 综上所述，的值为12或11. 【变式题11-2】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在等腰直角，，． (1)如图1，，是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①求证：； ②当，时， ． (2)如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当，时，则 ． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，用勾股定理解三角形等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． （1）①先证，再利用全等三角形的判定定理即可求证； ②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，即可求解． 【详解】（1）①证明：如图1中，    由题意得，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ，， ， ， 在和中， ， ． ②解：如图1中，设，则． ∵，， ， ， ， ， ， ∴在中，，， ∴，解得， ∴． 故答案为：． （2）解：当点在线段上时，如图2中所示，连接：   ， ， ， ， ， ， ， ； 当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接：    同法可证是直角三角形， ， ， 故答案为：或． 【变式题11-3】．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【答案】[解决问题]①、；②；[应用拓展] 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． [解决问题]①根据题意，设，则．将和转化为、，即可求解； ②如图，作点关于的对称点，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； [应用拓展] 我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 ，同理求得的最小值． 【详解】[解决问题]①解：由题意得，， 故答案为：、；      ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为：；      [应用拓展] 如图，我们可以构造宽为，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则．则 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即和最小， 由题意得：，， 则， 即的最小值为． 【题型12】勾股定理新定义问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义类型：“垂美四边形”“类勾股三角形”“勾股分割点”等。 解题关键：将新定义转化为勾股定理或逆定理的应用条件。 2.高频考点梳理 垂美四边形：对角线垂直的四边形，满足(用勾股定理证明)。 类勾股三角形：如（结合勾股定理逆定理判断形状）。 3.易错点警示 不理解新定义的本质，无法转化为已知定理。 忽略新定义的限制条件（如“勾股分割点”需满足三段线段构成直角三角形）。 4.解题技巧拆解 步骤1：精读新定义，提取核心条件（如垂美四边形的“对角线垂直”）。 步骤2：将核心条件转化为勾股定理或逆定理的应用场景（如对角线垂直→构造直角三角形）。 步骤3：结合已知条件计算或证明，得出结论。 【例题12】．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则 °； (2)如图2，四边形中，，试说明四边形是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)45 (2)见解析 (3)画图见解析；或或 【分析】本题考查的是新定义的理解，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的应用，熟悉以上图形的性质是解题的关键. （1）由题意得：，再利用等边对等角结合三角形的内角和定理分别求解，从而可得答案； （2）如图，连接，先证明是等边三角形，可得，则有，再证明，从而根据新定义可得四边形是“等腰四边形”； （3）分三种情况讨论：如图，当，可得；如图，当时，证明为等边三角形，从而可得答案；如图，当时，过点作，过点作，交延长线于点，证明．延长至，使，连接，则，可得为等边三角形，再结合图形的性质可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故答案为： 45； （2）证明：如图，连接 是等边三角形 即 四边形ABCD是“等腰四边形”； （3）解：如图，当 如图，时 为等边三角形， 如图， 过点作，过点作，交延长线于点， ， ， ， 由平行线间距离处处相等可得： ， ， ， 延长至，使，连接， 则． 为等边三角形， ， 综上： 或 或。 【变式题12-1】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形． (1)如图1，在四边形ABCD中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点E，F，G均放在格点上，若点在格点上，且四边形是邻等四边形．请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，线段的长为1或或5． 【分析】本题考查邻等四边形的定义与性质，勾股定理等知识． （1）利用平行线的性质和角平分线的定义，证明，从而判定四边形为邻等四边形； （2）在方格纸中，根据邻等四边形的定义，找出符合条件的点，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ． ， ． 平分， ， ， ， 四边形为邻等四边形； （2）解：如图，点，，即为符合条件的点． ； ，； ，，； 综上，线段的长为1或或5． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在中，，则为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高 ●特例感知：（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ●深入探究：（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； ●推广应用：（3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1）是；（2），证明详见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据勾股高三角形的定义，即可求解； （2）根据勾股定理，以及勾股高三角形的定义，可得，即可求解； （3）过点A作于点G，根据勾股高三角形的定义，可得，再证明，可得，然后根据等腰三角形的判定和性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，是等腰直角三角形，，    ∵，且是边上的高， ∴等腰直角三角形是勾股高三角形； 故答案为：是； （2），证明如下： ∵为勾股高三角形，是边上的高，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （3）如图，过点A作于点G，    ∵为勾股高三角形，是边上的高，， ∴， 由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式题12-2】．（24-25八年级上·甘肃·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 【答案】(1)4 (2)证明见解析 (3)，． 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及其逆定理的应用，新定义“强勾股点”等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． （1）根据新定义“勾股点”和网格的特点作出直角，即可得出答案； （2）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，则可得出结论； （3）由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图， ，，，四点都分别能与，构成直角三角形， 图中，两点的勾股点的有4个， 故答案为：4； （2）证明： ． ， 在中，由勾股定理得：， ． 在中，由勾股定理得：， ． 在中，， 又， ， 由勾股定理逆定理得：是直角三角形， 点是，两点的强勾股点； （3）解：∵是的中点， ∴， ∴， 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ， ， ； 若点是，两个顶点的强勾股点时，如图， ，， ， 设， ， ， ， ； 综上所述，的长为，． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．3，4，5 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数．注意：三个数必须是正整数，利用勾股数定义进行判断即可． 【详解】解：A、，2，3，5不是勾股数，故不符合题意； B、，则7，8，9不是勾股数，故不符合题意； C、，则3，4，5是勾股数，故符合题意； D、，则5，12，11不是勾股数，故不符合题意； 故选：C． 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数的含义．勾股数需满足两个条件：一是三个正整数；二是满足勾股定理 （其中 为最大数），据此分析即可． 【详解】解：选项A：，三者均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项B：， 是整数，但 和 为无理数，不是正整数，不符合勾股数定义． 选项C：6，8，10，均为正整数，验证得 ，是勾股数． 选项D：4，5，6，均为正整数，但 ，不是勾股数． 故选： C． 3．（25-26八年级上·四川·期中）如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 【答案】B 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【详解】解：如图，一条直角边(即大树的长)长14尺， 另一条直角边长(尺， 因此葛藤长(尺． 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，勾股定理求出的长，夹逼法估算出范围即可． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴； 故选C． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质，关键是求出的值，然后根据圆的性质即可求解． 根据勾股定理求得的长，然后根据圆的性质即可求解，进而即可判断． 【详解】解：由已知得， ∵，且， ∴在中，， ∵以原点为圆心，为半径画弧，交数轴负半轴于点， ∴， ∴点所表示的数为； 故选D． 二、填空题 6．（10-11九年级下·北京昌平·月考）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据勾股定理的逆定理即可解答本题． 【详解】解：如图所示，作，连接，    则， 设每个小正方形的边长为， 则，，， ，， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，，，是的角平分线且，把绕点A逆时针旋转90°得到，点B的对应点是点E，则点B与点E之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，掌握知识点是解题的关键． 先利用等腰三角形的性质求解，继而求出，，再利用旋转的性质证明，，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：∵，，是的角平分线． ∴，， ∴， 连接， 由旋转的性质可得：，， ∴； 故答案为：． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）某直角三角形的面积为，斜边长为7，该直角三角形的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，设直角三角形的两条直角边为a、b，根据勾股定理和面积公式，得到，，利用完全平方公式求出，进而求得周长，即可作答． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边为a、b， ∵斜边为， 则， ∵某直角三角形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴（舍去负值） 即周长为． 故答案为：15 9．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠，解题的关键是熟练掌握折叠的不变性． 由折叠可得，，在中，由勾股定理求出，设，则，然后在中，运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， ∴ 设，则 ∴在中，由勾股定理得， 解得， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山东日照·期中）在等边中，为内的一点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是通过构造辅助线（旋转三角形）将分散的角和线段关系集中，利用等边三角形和直角三角形的性质建立等量关系求解． 将绕点顺时针旋转得到，连接，利用等边三角形的性质和旋转的性质得出相等的边和角，证明，得出相等的角和边，最后利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接， 则， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形，执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则6次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了图形规律，勾股定理．根据题意分别计算出图①、图②的面积，得出规律即可求解． 【详解】解：图①中， 由题意得，， ∴， ∴， ∴图①中两个小正方形的面积和为，大正方形的面积为， ∴图①中所有正方形面积和为， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 同理，得2次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ⋯； ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， ∴6次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：72． 三、解答题 12．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． 根据旋转可得，，，根据勾股定理求出，再求出即可． 【详解】解：根据旋转可得，，， ∵，，， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，点D在边上，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质可得出； （2）先证明，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴，． ∴． ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质等知识，利用旋转的性质和等腰直角三角形的性质是解本题的关键． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)小路的长度为 (2)改造这片空地共需花费11400元 【分析】本题考查勾股定理和勾股定理逆定理的实际应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理，是解题的关键． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形，分割法求出四边形的面积，再乘以每平方米的改造费用即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：小路的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴ ∴（元）. 答：改造这片空地共需花费11400元． 15．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理和等腰直角三角形的性质，解决此题的关键是注意分类讨论； （1）根据勾股定理的逆定理即可得到答案； （2）根据勾股勾股定理即可得到答案； （3）不知道哪个角是直角，所以要分情况讨论； 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ，， ∴， ， ∴， ∴ ∴是直角三角形且； （2）解：∵， ， ∴， 由（1）可知：； 又， 在中， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，\ 综上可知：当是直角三角形时，的长为或． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示线段和的长； (2)当时，求的长； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 【答案】(1)， (2)cm (3) 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，正确的列出代数式，熟练掌握勾股定理，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）利用勾股定理进行求解即可； （3）根据等腰三角形的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， ∴； （2）当时，，， ∵， ∴cm； （3）由题意，当为等腰直角三角形时，， ∴， 解得． 17．（25-26八年级上·重庆·期中）无理数的大小比较可以采用平方法，还可以采用“数形结合”的方法：在正方形网格纸（每个小正方形的边长为1）中，通过构造图形比较无理数大小． (1)如图1，正方形方格纸中，线段的长为2，线段的长度为．请结合．图形，直接比较大小：_____； (2)在图2中，请尝试构造图形，并比较与的大小 (3)已知两正数，，满足，则是否有最小值？如果有，请尝试在图3中构造图形，直接写出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)有，，图见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． （1）根据三角形的三边关系进行判断即可； （2）构建边长为，，的三角形即可判断； （3）将原式化简为 ，取线段，令，则，然后作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∵在中，，线段的长为2，线段的长度为， ∴， 故答案为：； （2）根据题意，画图如下： ，，， ∵在中，， ∴； （3）∵， ∴ ， 构造图形如下： 取线段，令，则， ∴， 当点E、G、F三点共线时，即点G在店处时， 取得最小值，即， ∴有最小值，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 13.1勾股定理及其逆定理 【题型1】利用勾股定理求直角三角形边长 1.核心知识点总结 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即（，为斜边）。 变形公式：，，。 2.高频考点梳理 已知两条直角边求斜边（直接代入公式）。 已知斜边和一条直角边求另一条直角边（变形公式应用）。 含特殊角（30°、45°）的直角三角形边长计算（结合特殊角性质）。 3.易错点警示 未明确斜边时忽略分类讨论（如已知两边为3和4，斜边可能是4或5）。 单位不统一直接计算（需先统一单位再代入公式）。 4.解题技巧拆解 第一步：确定直角三角形的直角边和斜边（可通过角的符号或题意判断）。 第二步：若斜边不确定，分“已知边为斜边”和“已知边为直角边”两类计算。 第三步：代入公式求解，结果需化简二次根式。 【例题1】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）如图，是一个可近似看作等腰三角形的衣架，其腰长，底边上的高，则底边 ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·河南郑州·月考）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交、于点E、D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，平分，交于点，若，，，求的长． 【变式题1-3】．（浙江省温州新质教育联盟2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）如图，在中，的中垂线分别交于点D，E，则的长是（   ） A． B． C． D． 【题型2】判断三角形是否为直角三角形 1.核心知识点总结 勾股定理逆定理：若三角形三边长、、（为最长边）满足，则该三角形为直角三角形。 拓展：为锐角三角形；为钝角三角形。 2.高频考点梳理 已知三边长度直接判断（先找最长边再验证平方关系）。 已知三边比例判断（如3:4:5、5:12:13，可设份数验证）。 结合代数条件判断（如，先求边长再判断）。 3.易错点警示 未找对最长边直接验证（导致判断错误）。 忽略“三边长为正整数”的勾股数前提（非正整数满足平方关系也不是勾股数）。 4.解题技巧拆解 步骤1：排序三边，确定最长边。 步骤2：计算和的值。 步骤3：比较两者大小，根据逆定理判断三角形形状。 【例题2】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）下列条件中，能判定为直角三角形的是（　　） A． B． C． D． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·重庆·期中）下列长度的三条线段中，不可以构成直角三角形的是（   ） A．2，3，4 B．3，4，5 C．6，8，10 D．8，15，17 【变式题2-2】．（25-26八年级上·四川·期中）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（） A．6，8，10 B．5，4，3 C．2，3，4 D．17，8，15 【变式2-3题】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，a，b，c分别是，，的对边，下列条件中能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【题型3】勾股数的识别与构造 1.核心知识点总结 定义：能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数。 性质：若、、是勾股数，则、、(为正整数)也是勾股数。 常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25；8,15,17等。 2.高频考点梳理 识别给定数组是否为勾股数(双重条件：正整数+平方关系)。 构造勾股数(利用公式、、，的正整数)。 3.易错点警示 把非正整数(如0.6,0.8,1)当成勾股数。 构造勾股数时忽略公式适用条件(需为大于1的正整数)。 4.解题技巧拆解 识别技巧：先判断是否为正整数，再验证最长边的平方是否等于另外两边平方和。 构造技巧： 构造公式 示例() 示例() 3 8 4 6 5 10 【例题3】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）下列各组数中，属于勾股数的是（    ） A．5，7，10 B．5，12，13 C．，， D．，6， 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）将勾股数3，4，5扩大为原来的2倍，3倍，4倍，…可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…则我们把3，4，5这样最大公约数是1的勾股数称为基本勾股数，请根据题意再写出一组基本勾股数 ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·陕西汉中·阶段练习）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”．下列表格所给出的三个正整数，，为直角三角形的三条边长，且． 序号 列举 猜想 ，， ，， ，， ，， (1)若“勾”为，则“股” ，“弦” ． (2)表格中的 ， ， ．(用含的式子表示) (3)若小逸同学不小心将表格中的一组勾股数滴上了墨水，只知道最大的数是，请你帮他求出这组勾股数． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·广东佛山·阶段练习）已知：满足的三个正整数a，b，c称为一组勾股数，很多勾股数组具有规律： (1)设，观察提供的4组勾股数的规律，完成第⑤组勾股数； 当a为奇数时，如①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，______，______；⑤11，60，61； 当a为偶数时，如①6，8，；②8，，；③，，；④，，，；⑤，______，______； (2)若，，，n为正整数，且，求证：不论n为何值，a，b，c都是勾股数组． 【题型4】勾股定理与数轴表示无理数 1.核心知识点总结 原理：利用勾股定理构造直角三角形，斜边长度即为无理数。 步骤：先确定无理数的平方(如的平方为)，再构造对应直角三角形。 本质：将“数”转化为“形”，实现无理数的几何表示。 2.高频考点梳理 在数轴上画出表示、、等无理数的点(教材同步必学)。 结合数轴与勾股定理，比较无理数与有理数的大小。 多个无理数在数轴上的定位排序。 3.易错点警示 构造直角三角形时，直角边长度选择错误(如表示时用2和3，平方和为)。 数轴上截取斜边长度时，未用圆规导致误差。 混淆无理数的平方与直角边平方和的关系。 4.解题技巧拆解 步骤：①将无理数平方，分解为两个正整数平方和；②在数轴上构造对应直角三角形；③以原点为圆心，斜边为半径画弧，交数轴正半轴于目标点。 常见分解：，，。 【例题4】．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）如图，矩形的边长为2，边长为1，在数轴上，以原点为圆心，对角线的长为半径画弧，交数轴于一点（交点在原点右侧），则这个点表示的实数是 ． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，在数轴上，点与原点重合，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴的正半轴于一点，则这个点表示的实数是 ． 【变式题4-2】．（江苏省无锡市经开区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷）如图所示，的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点C在原点．以点C为圆心，为半径作半圆，交点C右侧数轴于点E，则E所表示的数为（   ） A．1 B．1.4 C． D． 【变式题4-3】．（25-26七年级上·浙江温州·期中）如图，数轴上点A、B表示的数分别为1、2，以为边向上作正方形，以点B为圆心，正方形对角线长为半径画圆弧，交数轴上点B的右侧于点C，则点C表示的数为 ． 【题型5】勾股定理与折叠问题(提升) 1.核心知识点总结 折叠性质：折叠前后对应边相等、对应角相等(即全等关系)。 折叠后形成新的直角三角形，可利用勾股定理列方程求解。 2.高频考点梳理 长方形折叠(折叠顶点到对边或对角线，求折痕长度或线段长度)。 直角三角形折叠(折叠直角边或斜边，求重叠部分边长)。 3.易错点警示 找不到折叠后的对应边，导致无法构建直角三角形。 设未知数后未明确等量关系，列方程错误。 4.解题技巧拆解 第一步：画折叠示意图，标注对应边、对应角(用相同符号表示相等线段)。 第二步：设未知线段长度为，用含的式子表示其他相关线段。 第三步：在折叠后形成的直角三角形中，代入勾股定理列方程求解。 【例题5】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 【变式题5-1】．（25-26七年级上·浙江绍兴·期中）如图，已知长方形中，，，若把长方形沿折叠，使点落在点处，点落在点处，则 ，的面积 ． 【变式题5-2】．（24-25八年级下·青海海西·期中）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（     ） A． B． C． D． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·广东清远·阶段练习）如图，将一张正方形纸片对折，使与重合，得到折痕后展开，E为上一点，将沿所在的直线折叠，使得点C落在折痕上的点F处，连接，若，则的长度为 ． 【题型6】勾股定理与网格问题(提升) 1.核心知识点总结 网格中边长计算：水平方向或垂直方向边长为格点数差，斜向边长用“”的算术平方根(勾股定理)。 网格中直角三角形判断：通过计算三边平方关系验证。 2.高频考点梳理 求网格中两点间距离(直接用勾股定理)。 判断网格中三角形是否为直角三角形(计算三边平方和)。 网格中画直角三角形(给定斜边或直角边)。 3.易错点警示 数错网格边长(如斜向边长直接数格点数，忽略勾股定理应用)。 计算水平差或垂直差时符号错误(平方后不影响结果，但需规范步骤)。 4.解题技巧拆解 两点间距离公式：若点、，则。 直角判断技巧：先计算各边平方，再验证是否满足“两短边平方和=最长边平方”。 【例题6】．（河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【变式题6-1】．（25-26八年级上·浙江·期中）如图为边长是1的正方形构成的网格，点A、B、C、D均在格点上． (1)直接写出下列线段的长度：__________，__________； (2)连接BD，判断的形状，并说明理由． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．每个小正方形的顶点称为格点，若三角形的顶点均在格点上，则称之为“格点三角形”，点，均在格点上；只用无刻度的直尺、在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹，（铅笔画图确认无误后，用中性笔描黑） (1)作格点，使为等腰直角三角形且； (2)作格点，使为等腰钝角三角形且； (3)在直线上找一点，连结，使平分． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1． (1)请判断图1中的形状，并说明理由； (2)从数据中选三个数据作为三角形的三边长，在图2中画出此三角形，使三角形的顶点均在格点上，并求此三角形的面积． 【题型7】分类讨论求直角三角形第三边(提升) 1.核心知识点总结 分类依据：已知的两边可能都是直角边，也可能一边是直角边、一边是斜边。 适用情况：题目未明确说明“斜边”或“直角边”时，需分情况讨论。 结论：此类问题通常有两个解(特殊情况除外)。 2.高频考点梳理 已知直角三角形两边长为3和4，求第三边(经典易错题)。 已知直角三角形两边长为5和12，求第三边的平方。 以含字母的边长(如、、)为三边，求的值。 3.易错点警示 漏解其中一种情况(如只考虑3和4为直角边，忽略4为斜边的情况)。 字母边长讨论时，未验证三边能否构成三角形(如出现负边长)。 计算平方差时出错(如未正确运用)。 4.解题技巧拆解 第一步：判断已知两边的大小关系，设较长边为。 第二步：分情况：①若为斜边，则第三边；②若为直角边，则第三边。 第三步：验证所有解是否为正数，且满足三角形三边关系。 【例题7】．（25-26八年级上·全国·期中）已知的两条边，的长分别为、，则边的长为 ． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）一个直角三角形的三边长分别为3，4，，则的值是（    ） A．25 B．5 C．5或 D．5或7 【变式题7-2】．（河南省郑州市高新区第一中学等九校联考2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷）已知直角三角形两边的长分别为5和12，则此三角形的周长为（   ） A．30 B． C．30或 D．以上都不对 【变式题7-2】．（25-26八年级上·全国·单元测试）已知，的两条边的长分别为2、3，则边的长为（   ） A．1 B． C． D．或 【题型8】勾股定理与方程思想(提升) 1.核心知识点总结 通过设未知数表示未知线段，利用勾股定理建立方程，求解线段长度。 常用场景：含公共边的多个直角三角形、线段比例关系、折叠问题等。 2.高频考点梳理 公共边问题(如两个直角三角形共享一条直角边，列方程求解)。 线段比例问题(如直角边比为3:4，斜边为10，设份数列方程)。 复杂图形拆分(将多边形拆分为多个直角三角形，利用方程关联边长)。 3.易错点警示 设未知数后未明确变量范围(导致解为负数，需舍去)。 多个直角三角形关联时，等量关系找错(需聚焦公共边或相等边)。 4.解题技巧拆解 设元技巧：优先设较短的直角边或公共边为，简化计算。 方程建立：在每个直角三角形中应用勾股定理，通过公共边建立方程关联。 求解后验证：确保解为正数且符合实际场景(如边长为正)。 【例题8】．（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）在中，，周长为60，斜边与一条直角边之比为，则这个三角形的面积是 ． 【变式题8-1】．（24-25九年级下·安徽·开学考试）等腰三角形腰上的高与腰的比为，则顶角为（　　） A． B． C．或 D．或 【变式题8-2】．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）如图，一架无人机旋停在空中点处，点与地面上点之间的距离米，点与地面上点点，处于同一水平面上的距离米，且米． (1)求的度数； (2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点处，若点恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离的长． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·辽宁锦州·期中）如图，在中，，，，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设点P运动的时间为t秒． (1)当点P运动到线段的垂直平分线上时，求的长． (2)当为直角三角形时，求出t的值． 【题型9】勾股定理逆定理的综合应用(提升) 1.核心知识点总结 逆定理与全等、旋转、等腰三角形的结合应用。 利用逆定理证明线段垂直（即证明构成的三角形为直角三角形）。 2.高频考点梳理 证明线段垂直（如四边形对角线相交，验证三边平方关系证明垂直）。 旋转图形后判断直角（如将旋转得到，验证为直角三角形）。 等腰三角形中证明直角（如等腰中，，验证证明)。 3.易错点警示 旋转后对应边、对应角识别错误，导致无法构建直角三角形。 综合题中忽略逆定理的应用条件(需先确定三边长度或平方关系)。 4.解题技巧拆解 构造辅助线：通过旋转、平移等方式构造能应用逆定理的三角形。 步骤：先计算相关线段的平方，再验证是否满足“两短边平方和=最长边平方”，即若线段、、(为最长边)满足，最后得出直角结论。 【例题9】．（21-22八年级下·湖南张家界·期中）已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要300元，问要多少投入？    【变式题9-1】．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【变式题9-2】．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，某市为创建全国文明典范城市，计划将这块空地种上三个不同品种的花卉，中间用小路、隔开，且有．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)若铺设小路的费用为每米元，求铺设小路、的总费用． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性、便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．我校“数启星河”俱乐部的同学们帮助工作人员进行了测量，得到如下数据：，，，其中与之间由一个固定角为的零件连接（即）．根据安全标准需满足，请你通过计算说明该车是否符合安全标准．      【题型10】勾股树与弦图问题(培优) 1.核心知识点总结 勾股树性质：所有正方形面积和等于最大正方形面积(即)。 赵爽弦图：由4个全等直角三角形和1个小正方形组成，大正方形面积(验证勾股定理)。 2.高频考点梳理 勾股树中正方形面积计算(利用面积和关系)。 弦图中边长或面积计算(已知直角边求小正方形边长，或反之)。 弦图变形问题(如8个全等直角三角形拼接的“数学风车”，求周长或面积)。 3.易错点警示 勾股树中混淆“面积和”与“边长和”的关系。 弦图中未明确直角边与正方形边长的对应关系。 4.解题技巧拆解 勾股树：记住“以直角三角形三边为边的正方形面积和等于以斜边为边的正方形面积的2倍”(单层勾股树)。 弦图： 小正方形边长=长直角边-短直角边()。 大正方形边长=直角三角形斜边()。 面积关系：(直接应用勾股定理)。 【例题10】．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用x、y分别表示直角三角形的两直角边长（），则下列四个说法：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【变式题10-1】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾，弦，则小正方形的边长是（   ） A． B．1 C．2 D．4 【变式题10-2】．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形内部，其中点E，F，G，分别在长方形的边，，，上，若，，则小正方形的边长为（    ） A． B． C． D．3 【变式题10-3】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）用四个全等直角三角形拼成如图①所示的大正方形，中间也是一个正方形，它是美丽的弦图．其中每个直角三角形的直角边长分别为a、b（），斜边长为c． (1)请结合图①，证明勾股定理． (2)如图②，将这四个全等直角三角形无缝隙无重叠地拼接在一起，得到八边形，若该八边形的周长为48，，则该八边形的面积是_________． (3)如图③，将图①中的每个直角三角形绕着斜边的中点旋转得到新的直角三角形拼接成正方形，将图③中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则__________． 【题型11】动点问题中的勾股定理应用(培优) 1.核心知识点总结 动点运动过程中，直角三角形的存在性分析(分情况讨论直角顶点)。 动点运动轨迹：直线运动(如沿线段、射线运动)，需确定运动范围。 2.高频考点梳理 单动点问题(如ΔABC中，点P沿BC运动，求ΔAPB为直角三角形时的BP长度)。 双动点问题(如两点分别沿不同边运动，求构成直角三角形的时间)。 3.易错点警示 漏解直角顶点的情况(如ΔAPB为直角三角形，直角顶点可能是A、P、B)。 未考虑动点运动范围，导致解超出实际轨迹。 4.解题技巧拆解 步骤1：确定动点运动轨迹和速度，设运动时间为，表示相关线段长度。 步骤2：分情况讨论直角顶点(以每个顶点为直角顶点分别列方程)。 步骤3：代入勾股定理列方程，求解后验证解是否在运动范围内。 【例题11】．（25-26八年级上·山东枣庄·期中）如图，中，，若动点P从点A出发，以每秒的速度沿折线运动，设运动时间为t秒． (1)当点P在边的垂直平分线上时，求t的值； (2)当点P在的平分线上时，求t的值． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒. (1)_____cm；（用含的式子表示） (2)当点在边上运动时，若是等腰三角形，则的值为多少？ (3)当点在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，则的值为多少？ 【变式题11-2】．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）在等腰直角，，． (1)如图1，，是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接，． ①求证：； ②当，时， ． (2)如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当，时，则 ． 【变式题11-3】．（23-24八年级上·山东枣庄·月考）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则线段_____+线段_____； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】（2）应用数形结合思想，已知，求的最小值． 【题型12】勾股定理新定义问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义类型：“垂美四边形”“类勾股三角形”“勾股分割点”等。 解题关键：将新定义转化为勾股定理或逆定理的应用条件。 2.高频考点梳理 垂美四边形：对角线垂直的四边形，满足(用勾股定理证明)。 类勾股三角形：如（结合勾股定理逆定理判断形状）。 3.易错点警示 不理解新定义的本质，无法转化为已知定理。 忽略新定义的限制条件（如“勾股分割点”需满足三段线段构成直角三角形）。 4.解题技巧拆解 步骤1：精读新定义，提取核心条件（如垂美四边形的“对角线垂直”）。 步骤2：将核心条件转化为勾股定理或逆定理的应用场景（如对角线垂直→构造直角三角形）。 步骤3：结合已知条件计算或证明，得出结论。 【例题12】．（25-26八年级上·江苏·阶段练习）新定义：若一个凸四边形的一条对角线把该四边形分成两个等腰三角形，那么称这个凸四边形为“等腰四边形”，这条对角线称为“界线”． (1)如图1，四边形是“等腰四边形”，为“界线”，若，，则 °； (2)如图2，四边形中，，试说明四边形是“等腰四边形”； (3)若在“等腰四边形”中，，且为“界线”，请你画出满足条件的图形，并直接写出的度数． 【变式题12-1】．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形． (1)如图1，在四边形ABCD中，，对角线平分．求证：四边形为邻等四边形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点E，F，G均放在格点上，若点在格点上，且四边形是邻等四边形．请直接写出所有满足要求的线段的长． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形，现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如：图1，在中，，则为勾股高三角形，其中为勾股顶点，是边上的高 ●特例感知：（1）等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）； ●深入探究：（2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； ●推广应用：（3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【变式题12-3】．（24-25八年级上·甘肃·期中）【概念认识】定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，那么称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点． 如图①，在中，，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，是，两点的勾股点，也是强勾股点． (1)【概念运用】如图②，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，A、B两点均在格点上，线段CD上的8个格点中，是A、B两点的勾股点的有 个． (2)如图③，在中，，垂足为，若，，．求证：是，两点的强勾股点． (3)【拓展提升】如图④，在中，，，，是的中点，是射线上一个动点，当点P运动到成为B、C及A、B的强勾股点时，直接写出的长． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组是“勾股数”的是（   ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．3，4，5 D．5，12，11 2．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）下列各组数为勾股数的是（   ） A．，， B．，， C．6，8，10 D．4，5，6 3．（25-26八年级上·四川·期中）如图，《九章算术》卷九勾股第五题原文“今有木长一丈四尺，围之二尺．葛生其下，缠木七周，上与木齐．问葛几何？”题目大意为：现有一棵大树(将树看成一个圆柱)，高1丈4尺，底面周长为2尺，一条生长在树下的藤从树底部开始均匀缠绕树7圈，上端刚好与树顶端齐平，这条藤的长度是（    ）尺 A．14 B． C． D．16 4．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，数轴上点A所表示的数是2，，且．以原点O为圆心，为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C表示（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．（10-11九年级下·北京昌平·月考）如图，在的正方形网格中标出了和，则 ． 7．（25-26九年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，，，是的角平分线且，把绕点A逆时针旋转90°得到，点B的对应点是点E，则点B与点E之间的距离是 ． 8．（25-26八年级上·四川成都·期中）某直角三角形的面积为，斜边长为7，该直角三角形的周长为 ． 9．（25-26八年级上·浙江舟山·期中）如图，在长方形中，，，沿过点A的折痕折叠长方形，使点D落在边上，折痕与边交于点E，则的长为 ． 10．（25-26九年级上·山东日照·期中）在等边中，为内的一点，，，，则的长为 ． 11．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形，执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形，图②是1次操作后的图形，图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为3，则6次操作后图形中所有正方形的面积和为 ． 三、解答题 12．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，若，，求线段的长． 13．（25-26九年级上·北京·期中）如图，在中，，，点D在边上，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)若，，直接写出线段的长． 14．（25-26八年级上·广东深圳·期中）党的二十大以来，各地更加积极推动城市绿化工作，大力拓展城市生态空间，让许多城市再现绿水青山，某小区物业在小区拐角清理出一块空地进行绿化改造，如图，，，，，． (1)为了方便居民的生活，在绿化时将修一条从点直通点的小路，求小路的长度； (2)若该空地的改造费用为每平方米100元，试计算改造这片空地共需花费多少元？ 15．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在中，，为边上一点，且，，，点是边上的动点，连接． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长； (3)当是直角三角形时，求的长． 16．（25-26八年级上·山东青岛·期中）在中，，，．点从点出发沿方向匀速运动，速度为；点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示线段和的长； (2)当时，求的长； (3)当为等腰直角三角形时，求的值． 17．（25-26八年级上·重庆·期中）无理数的大小比较可以采用平方法，还可以采用“数形结合”的方法：在正方形网格纸（每个小正方形的边长为1）中，通过构造图形比较无理数大小． (1)如图1，正方形方格纸中，线段的长为2，线段的长度为．请结合．图形，直接比较大小：_____； (2)在图2中，请尝试构造图形，并比较与的大小 (3)已知两正数，，满足，则是否有最小值？如果有，请尝试在图3中构造图形，直接写出这个最小值，如果没有，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $