3.1 探索勾股定理 课件 2025-2026学年 鲁教版（五四制）七年级数学上册

3.1 探索勾股定理 ` 勾股定理 文字语言 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 符号表示 如果用a，b表示直角边，c表示斜边，那么a2＋b2＝c2 常见变式 除掌握a2＋b2＝c2的形式外，还应掌握a2＝c2-b2和b2＝ c2-a2的形式 图示   应用 ①已知直角三角形的任意两条边，求第三条边； ②已知直角三角形的一边，求另两边之间的关系； ③用于说明线段平方之间的关系. 知识点一 勾股定理 温馨提示 （1）勾股定理表示了直角三角形中三边之间的关系.我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦，故此定理在我国叫做勾股定理. （2）勾股定理体现了数形结合的思想，即勾股定理把直角三角形中各边之间“形”的关系，转化为各边之间“数”的关系. （3）在应用勾股定理时，容易出现的错误是把勾股定理记为a2＋b2＝c2.实际上，a2＋b2＝c2只适用于当边c所对的角是直角时的情况.   知识点二 勾股定理的验证 勾股定理的验证方法有很多，可以通过测量计算验证，可以用代数式的变形验证，也可以拼图验证，其中拼图验证是最常见的一种方法. 勾股定理的验证方法有很多，可以通过测量计算验证，可以用代数式的变形验证，也可以拼图验证，其中拼图验证是最常见的一种方法. 知识点二 勾股定理的验证 例2 如图所示，在边长为c的正方形中，有四个斜边长为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b（a＞b），利用这个图试说明勾股定理.   知识点三 勾股定理的简单应用 已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度. 知识点三 勾股定理的简单应用 已知直角三角形任意两边的长度，利用勾股定理可以求出第三边的长度. 应用勾股定理应注意三个问题: （1）勾股定理是直角三角形所特有的重要定理之，即应用勾股定理的前提条件是“在直角三角形中”. （2）应用勾股定理时，要注意分清斜边和直角边，没有明确指明的应进行分类讨论. （3）不能直接用勾股定理解决问题时，可以添加辅助线构造直角三角形，再根据勾股定理解决. 例3 如图所示，长方形ABCD为一个花园，其中AB＝15米，BC＝8米，在花园内修一条长13米的笔直小路EF，小路出口一端E选在AD边上距D点3米处，另一端出口F应选在AB边上距B点多少米处？ 例3 如图所示，长方形ABCD为一个花园，其中AB＝15米，BC＝8米，在花园内修一条长13米的笔直小路EF，小路出口一端E选在AD边上距D点3米处，另一端出口F应选在AB边上距B点多少米处？ 解析 由题意知EF＝13米，EA＝5米. 在Rt△EAF中，由勾股定理，得AF2＝EF2-EA2， 即AF2＝132-52＝144，则AF＝12（米）. 所以FB＝15-12＝3（米）， 即另一端出口F应选在AB边上距B点3米处. 经典例题 01 例1 已知:如图所示，分别以Rt△ABC的三边为斜边向外作等腰直角三角形.若AB＝3，则图中阴影部分的面积为____________. 题型一 利用勾股定理求图形的面积   拓展延伸 如图①②③，用直角三角形ABC的三条边构造的几种图形（正方形、等边三角形、半圆），均有S1＋S2＝S3. 例2 如图所示，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为7和9，则b的面积为__________. 题型二 勾股定理在求图形面积中的应用   题型二 勾股定理在求图形面积中的应用 易错易混 02 易错点一 没有明确哪条边是直角边，哪条边是斜边，盲目求解致错 在应用勾股定理时，若题目没有明确指出哪条边是斜边，哪条边是直角边，则应分情况讨论求解. 例1 若直角三角形的三边长分别为x，8，10，则x2＝_________. 例1 若直角三角形的三边长分别为x，8，10，则x2＝_________. 解析 分两种情况:①两直角边长分别为8，10，由勾股定理得x2＝82＋102＝164，②一直角边长为8，斜边长为10，由勾股定理得x2＝102-82＝36. 例1 若直角三角形的三边长分别为x，8，10，则x2＝___36____. 解析 分两种情况:①两直角边长分别为8，10，由勾股定理得x2＝82＋102＝164，②一直角边长为8，斜边长为10，由勾股定理得x2＝102-82＝36. 例1 若直角三角形的三边长分别为x，8，10，则x2＝__ 36 _____. 解析 分两种情况:①两直角边长分别为8，10，由勾股定理得x2＝82＋102＝164，②一直角边长为8，斜边长为10，由勾股定理得x2＝102-82＝36. 易错分析 因为没有明确指出10是直角边长还是斜边长，所以要分类讨论此题易误认为10为斜边长，从而漏解. 易错点二 误把一般三角形当作直角三角形 例2 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，b＜c，且c为整数，求c的值. 易错点二 误把一般三角形当作直角三角形 例2 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，b＜c，且c为整数，求c的值. 解析 因为4-3＜c＜4＋3，即1＜c＜7，又因为c＞b，且c为整数，所以c为5或6. 易错点二 误把一般三角形当作直角三角形 例2 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，a＝3，b＝4，b＜c，且c为整数，求c的值. 解析 因为4-3＜c＜4＋3，即1＜c＜7，又因为c＞b，且c为整数，所以c为5或6. 易错分析 本题容易思维定式，误以为在直角三角形中，3为勾，4为股，来求斜边长，直接利用“勾三股四弦五”进行求解，从而致错这里题目没有说三角形是直角三角形，所以第三边长无法确定，只能用三边关系结合已知条件求解. $