精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题

内江一中初2026届初三（上）数学半期考试题 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中， 最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】A．，故不是最简二次根式，不符合题意； B．，故不是最简二次根式，不符合题意； C．，故不是最简二次根式，不符合题意； D．是最简二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查了最简二次根式的知识，如果二次根式的被开方式中都不含分母，并且也都不含有能开的尽方的因式，象这样的二次根式叫做最简二次根式． 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，二次根式的加法法则，二次根式的减法法则，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可；本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 详解】A．，故本选项不符合题意 B．，故本选项不符合题意 C．，故本选项不符合题意 D．，故本选项符合题意 故选：D． 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 设, （），代入运算即可． 【详解】解：∵ = ， ∴ 设, （）， ∴， 故选：C 4. 关于x的方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【详解】分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式的值的符号就可以了． 详解： 方程有两个不相等的实数根. 故选A. 点睛：考查一元二次方程根的判别式, ，方程有两个不相等的实数根. ，方程有两个相等的实数根. ，方程无实数根. 5. 当a<3时，化简的结果是（ ） A. 1 B. 1 C. 72a D. 2a7 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得a－3＜0，4－a＞0，然后根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：∵a<3 ∴a－3＜0，4－a＞0 ∴ = = = 故选C． 【点睛】此题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，掌握二次根式的性质和绝对值的性质是解题关键． 6. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．因此， ∵，即，∴楼高=10米．故选A． 7. 某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ） A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 【答案】B 【解析】 【分析】根据赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数为，由此列出方程即可得． 【详解】解：由题意，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛， 则可列方程为， 故选：B． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 8. 如图，在中，点，分别在，上，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】证明即可得解； 【详解】∵，， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，准确分析证明是解题的关键． 9. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 9或1 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法解一元二次方程求出，然后可得的值． 【详解】解：令，则可得， 配方得：，即， 开方得：， 解得：，（舍）， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了换元法解一元二次方程，整体求出的值是解题的关键． 10. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可完成． 【详解】∵ ∴ ∴BC=3CE ∵BC+CE=10 ∴3CE+CE=10 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握此定理是关键． 11. 若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 分析】令可将方程化成可得或，由此即可得． 【详解】解：令， 则方程可化成为方程， ∵方程的两个实数根为1和， 方程的两个实数根为1和， 或， 解得或， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键． 12. 如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去…，经过第2023次操作后得，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查是三角形中位线定理，勾股定理，三角形面积的计算．先根据三角形中位线定理计算，再总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：过点A作于点D，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵点、分别是的中点， ∴点是的中位线， ∴， 同理可得：， ……， 则， ∴一条边上的高为：， ∴． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 函数的自变量的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0和分式有意义的条件：分母不为0列出不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得，2x-1≥0且x+3≠0， 解得：x≥， 故答案为x≥． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式和二次根式有意义的条件是解题的关键． 14. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的概念，理解二次根式被开方数大于或等于零是解决问题的关键．和被开方数互为相反数，且必须大于或等于零，所以，由此可以求得、的值． 【详解】解： 和有意义， ， ，． ． 故答案为：． 15. 如图，点、、分别位于的三边上，满足，，如果，那么=_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用平行线分线段成比例的性质解答． 根据平行线分线段成比例和三角形相似的相关知识以及平行四边形的性质，通过转化的思想可以解答本题． 【详解】∵ ∵，， 四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 16. 如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为________． 【答案】24 【解析】 【分析】根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即，根据相似三角形相似比等于对应高的比列式，可解答． 【详解】解：设正方形零件的边长为a cm，如下图． ∵四边形EFGH是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∴. ∵AD是高， ∴， ∴， 即正方形的边长为24cm． 故答案为：24． 【点睛】本题考查综合考查相似三角形判定，性质的应用，正方形的有关性质，解题的关键是根据正方形的性质得到相似三角形． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）先进行零指数幂，负整数指数幂，去绝对值和通过二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （）根据完全平方公式，平方差公式进行运算，然后进行加减运算即可． 小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：原方程化为， 则， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：原方程化为， 则，，， ∴， ∴， ∴，． 19. 如图，已知平行四边形ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G． （1）若AB=3，BC=4，CE=2，求CG的长； （2）证明：AF2=FG·FE． 【答案】（1）CG=1 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到ABCD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可； （2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明． 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD， ∴△EGC∽△EAB， ∴ ，即， 解得，CG=1； 【小问2详解】 证明：∵ABCD， ∴△DFG∽△BFA， ∴， ∵ADCB， ∴△AFD∽△EFB， ∴， ∴， 即AF2=FG·FE． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得： 解得； 【小问2详解】 由根与系数的关系可得：， 由可得 即，化简可得： 解得， 又∵ ∴ 【点睛】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，根与系数的关系，因式分解法求解一元二次方程，解题的关键是熟练一元二次方程的基础知识． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】（1）10%；（2）每千克水果应涨价5元 【解析】 【分析】(1) 设这个降价率为，根据每千克40元经两次调价后调至每千克32．4，列出方程求解即可；  (2)根据商场要保证每天盈利6000元，列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值． 【详解】解：（1）设这个降价率为，由题意得 ； 解得：，（舍去） 答：这个降价率为10% （2）设每千克水果应涨价元， 依题意得方程：， 整理，得， 解这个方程，得，． 要使顾客得到实惠，应取． 答：每千克水果应涨价5元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到蕴含的相等关系，列出方程． B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，已知式子的值求代数式的值，根据题意得，再代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 已知满足，则____． 【答案】2023 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 24. 已知：如图，，与交于点，，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，，同理可得，得到，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：， ∴， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 25. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键． 分两种情况分别计算，①设经过x秒后，得，②设经过秒x后，得，代入用x表示的线段计算即可． 【详解】解：∵点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，cm，cm． ∴，， ①设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ②设经过x秒后， ∴， ∴， 解得； ∴经过秒或秒，与相似． 故答案为：或． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）直接写出化简结果：① ，② ； （2）化简：； （3）已知有理数、满足，求、的值． 【答案】（1），； （2）； （3） 【解析】 【分析】此题考查了分母有理化计算，正确掌握各式子的有理化因式是解题的关键． （1）①分子、分母都乘以；②分子、分母都乘以． （2）将式子变形成…… 然后再分母有理化，最后再计算即可； （3）将等式左边分母有理化，得到，根据a、b都是有理数，即可求解． 【小问1详解】 解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：； 【小问2详解】 解： …… …… ． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵a、b都是有理数， ∴，， 解得，． 27. 综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的值． 【答案】（1），3；（2）或；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的定义，构成三角形的条件，一元二次方程解的定义，勾股定理等知识， （1）利用配方法得到，据此可得答案； （2）利用完全平方公式把已知条件式变形为，再根据非负数的性质得到，，据此分腰长为4和腰长为5，根据构成三角形的条件和勾股定理求出底边上的高，最后根据三角形面积公式求解即可； （3）利用配方法得到求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，进而可得的值． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，3； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当腰长为4时，则底边长为5， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 当腰长为5时，则底边长为4， ∵， ∴此时能构成三角形， 如图所示，在中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或； （3） ， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∵代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， 是的一个根， ， ， 四边形的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 28. 如图，已知边长为10的正方形，点E是边上一动点（与点不重合），连结，点G是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）求当为何值时，面积最大，最大为多少． 【答案】（1）见解析； （2）8； （3）当时，的面积最大，最大为 【解析】 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出是解本题的关键． （1）利用同角的余角相等，判断出，进而得出，即可得出结论； （2）先求出，进而表示出，由，得出，求出，最后用三角形面积公式即可得出结论； （3）同（2）的方法，即可得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：四边形是正方形，， ， ，， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：设，则， ， 由（1）知，， ， ， ， ， 当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中初2026届初三（上）数学半期考试题 A卷（共100分） 一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 下列二次根式中， 最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 2. 下列计算，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x方程x2﹣mx﹣2=0根的情况是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 当a<3时，化简结果是（ ） A. 1 B. 1 C. 72a D. 2a7 6. 小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为 A. 10米 B. 12米 C. 15米 D. 22.5米 7. 某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都要赛一场），计划安排21场比赛，设参赛队数为x，列方程为（ ） A. x（x﹣1）＝21 B. x（x﹣1）＝21 C. 2x（x﹣1）＝21 D. x（x＋1）＝21 8. 如图，在中，点，分别在，上，，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则的值为（ ） A. 1 B. 9 C. 9或1 D. 无法确定 10. 如图，已知，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（　　） A. B. C. D. 11. 若的两个实数根为1和，那么关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 如图，在边长为的等边中，分别取三边的中点，，，得；再分别取三边的中点，，，得；这样依次下去…，经过第2023次操作后得，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 函数的自变量的取值范围是_______________. 14. 已知，则的值为________． 15. 如图，点、、分别位于的三边上，满足，，如果，那么=_________． 16. 如图，一块三角形余料，它的边，高．现在要把它加工成如图所示的两个大小相同的正方形零件和，则正方形的边长为________． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2） 19. 如图，已知平行四边形ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G． （1）若AB=3，BC=4，CE=2，求CG的长； （2）证明：AF2=FG·FE． 20. 已知，是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值． 21. 某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的每千克40元经两次调价后调至每千克32.4元． （1）若该商场两次调次的降价率相同，求这个降价率； （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ B卷（共60分） 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 22. 已知是方程的一个根，则代数式的值为___________． 23. 已知满足，则____． 24. 已知：如图，，与交于点，，，那么______． 25. 如图，在△中，°，cm，cm．点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动．当其中一个点到终点停止运动时，另一个点随之停止运动．经过__________s后，以为顶点的三角形与以为顶点的三角形相似． 五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 26. 像、、…两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题： （1）直接写出化简结果：① ，② ； （2）化简：； （3）已知有理数、满足，求、的值． 27 综合与实践 【方法研究】配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求代数式的最值等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合完全平方的非负性解决某些问题． 例：求代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【探索探究】 （1）若k，h满足，则__________，__________． （2）若等腰的三边长a，b，c均为整数，且满足，求的面积． 【拓展应用】 （3）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c是和的三边长．根据勾股定理，可得，我们把关于x的一元二次方程，称为“勾系一元二次方程”，已知代数式的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的值． 28. 如图，已知边长为10的正方形，点E是边上一动点（与点不重合），连结，点G是延长线上的点，过点作的垂线交的角平分线于点，若． （1）求证：； （2）若，求的面积； （3）求当为何值时，面积最大，最大为多少． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $