精品解析：辽宁省大连市名校联盟2025—2026学年九年级上学期期中考试数学试题

2025-2026学年九年级上学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．答案写在试卷上无效． 3．测试范围：21，22，23，26，27章结束． 4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点为． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 若是反比例函数，则k的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 5. 如图，，，，，则长为（   ）. A 5 B. 7 C. 10 D. 无法确定 6. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 8. 天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ） A. B. C. D. 9. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，是方程的实数根，则________． 12. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 13. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为______． 14. 函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是______． 15. 如图，直线从左至右交抛物线于点．且两条抛物线的顶点都在直线上，均平行于轴．已知，则___________． 三、解答题：本题共8小题，共85分．16-21题每题8分，22题12分，23题13分． 16 解下列方程： （1）； （2）． 17. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 18. 如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，求的值． 19. 如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． （1）能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由； （2）的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 20. 如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 21. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． （1）求过点的直线的函数表达式； （2）过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 22. 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为 ； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数的顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期期中考试 数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．答案写在试卷上无效． 3．测试范围：21，22，23，26，27章结束． 4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 参考公式：抛物线的顶点为． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合，根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A．该选项中图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．该选项中图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．该选项中图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．该选项中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的两个点的横、纵坐标都互为相反数是解题的关键．根据关于原点对称的点的特征即可求解． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故选：A． 3. 将抛物线向左平移2个单位长度，所得到的新抛物线过点，则原抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移．熟练掌握平移法则是关键． 根据题意求将抛物线向左平移2个单位长度得到新解析式，再将点代入即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度可得， 把点代入， 可得， 则原抛物线的解析式为， 故选：B． 4. 若是反比例函数，则k的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数定义．由反比例函数的定义可得，自变量的系数不能为，次数为，据此列出方程求出的值． 【详解】解： 根据反比例函数的定义可得：， 解得：， 故选；D． 5. 如图，，，，，则的长为（   ）. A. 5 B. 7 C. 10 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，然后代入相关数据计算即可解答． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 故选B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点．若的面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质以及三角形面积的计算，设的坐标表示相关长度，利用三角形面积公式建立方程，结合反比例函数关系求出． 【详解】解：轴 设的坐标为 的面积为 点在第二象限 点是反比例函数图象上的一点 故选：A． 7. 若二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象、一次函数图象和反比例函数的图象综合判断，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置判断a，b，c的符号，从而可得直线与反比例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴， ∴直线经过第一，二、三象限，反比例函数图象分布在第二、四象限， 故选：B． 8. 天天奶茶店销售一种奶茶，若每瓶盈利4元，每天可售出160瓶，经市场调查发现，若每瓶涨价1元，每天销售量就减少10瓶，现商店想每天盈利840元，且要让顾客得到实惠，设每瓶应涨价x元，那么可列出的方程应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得每瓶盈利元，销售量为瓶，再根据总盈利等于每瓶的盈利乘以销售量列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 9. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系，由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入，得：， 将代入，得：， 设，如图： 联立， 整理得：， 当时，抛物线与直线有两个交点，即， 解得：， 当直线和直线与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得：， 把代入，得：， ， 解得：， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线交于点，交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，勾股定理，平行线等分线段定理，由线段垂直平分线的性质可得，进而得到，，再根据平行线等分线段定理求出即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，是方程的实数根，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．利用韦达定理即可求解． 【详解】解：由题可知， ∴， 故答案为：5． 12. 如图，P是正方形内一点，将绕点B顺时针方向旋转，能与重合，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，图形的旋转问题，勾股定理．根据正方形的性质以及旋转的性质可得，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴． 故答案为： 13. 如图，与是以原点O为位似中心的位似图形，且面积比为，若点A的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查位似，熟练掌握位似的性质是解题的关键；由题意易得，则有它们的相似比为，然后分类进行求解即可． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵它们的面积比为， ∴它们的相似比为， ∵， 当点在y轴的右侧时， ∴，即； 当点在y轴的左侧时， ∴，即； 故答案为或． 14. 函数与的图象如图所示，当，均随着x的增大而减小时，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象与性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据二次函数和反比例函数图象的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：根据二次函数图象当时，随着x的增大而减小，当或时，反比例函数随着x的增大而减小， ∴当时，，均随着的增大而减小， 故答案为：． 15. 如图，直线从左至右交抛物线于点．且两条抛物线的顶点都在直线上，均平行于轴．已知，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握该知识点是关键． 根据题意得出，，，再结合抛物线的对称性得到，计算即可求出． 详解】解：由图可知，，， ． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共85分．16-21题每题8分，22题12分，23题13分． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟记因式分解法、配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． （1）由因式分解法解一元二次方程即可得到答案； （2）由配方法解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 则， 解得，． 17. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． （1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ （2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】（1）人 （2）人 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【小问1详解】 设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； 【小问2详解】 第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 18. 如图，和为等腰直角三角形，，、分别交边于点、，若，5，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解答本题的关键．证明得，代入数据即可求解． 【详解】解：∵和为等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，5， ∴， ∴． 19. 如图，为加强新时代中学生的劳动教育，培养学生的动手实践能力，某学校生物兴趣小组用长为48m的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度a为），围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园． （1）能围成一个面积为的矩形菜园吗？请说明理由； （2）的长度为多少时，围成的菜园面积最大？并求出此时菜园面积的最大值． 【答案】（1）能，理由见解析 （2）AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 【解析】 【分析】先设，则，然后根据矩形的面积=长宽，列出相应的方程，然后求解即可； 根据题意可以得到面积关于长度的函数分析式，然后根据二次函数的性质即可求得的长度为多少时，围成的菜园面积最大，并求出此时菜园面积的最大值． 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数分析式，利用二次函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：能围成一个面积为的矩形菜园． 理由：设，则， 根据题意，得， 解得，， 墙的最大长度a为， ， 解得， ， 能围成一个面积为的矩形菜园． 【小问2详解】 解：设，菜园的面积为， 由题意可得，， 由知：， 当时，该函数取得最大值，此时， 即AB的长度为时，围成的菜园面积最大，此时菜园面积的最大值为 20. 如图，直线与反比例函数图象的交点分别为，且点的坐标为，过点作轴，垂足为．直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求的值； （2）若点是反比例函数图象上的一点，且在点的右侧，连接，若，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，反比例函数的几何意义，解决问题的关键是熟练利用反比例函数的几何意义． （1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案． 【小问1详解】 解：直线与反比例函数图象的交点分别为，，且点的坐标为，将点的坐标代入得： ， 解得：， ， 将点坐标代入反比例函数得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：过点作轴，如图， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点、在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点在点右侧， ， ． 21. 如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，点的坐标分别为． （1）求过点的直线的函数表达式； （2）过点作直线，使，与轴相交于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果点、分别是线段和上的动点，连接，设，问是否存在这样的使得与相似，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式等知识． （1）待定系数法求一次函数解析式即可． （2）过点作交轴于，则，再证明，由相似三角形的性质得出，进而求出的值，再根据数轴求出，进而可求出点D的坐标． （3）根据相似三角形的性质，分两种情况求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：过点作交轴于， ， ∵， ∴， ∴， 即． ∵，， ， ． 点的坐标为 【小问3详解】 解：， ． 1．若，如下图： 则 解得： 2 ．若，如下图： 则 解得： 综上所述：符合要求的的值为或． 22. 在平行四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接；延长交于点， 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当时中点时，_____度； 【深入研究】 （2）如图2，若四边形是菱形，，当为中点时，求的长； 【拓展提升】 （3）如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上且满足，当是直角三角形时，请求出的长． 【答案】[特例感知]（1）①证明过程见详解；②；[深入研究]（2）的长为;[拓展提示]（3）的长为或或． 【解析】 【分析】[特例感知]（1）①根据正方形的性质可证，得，结合对顶角相等即可求证；②如图所示，连接，根据正方形的性质可得，根据①中三角形全等，时中点，可得是的垂直平分线，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解； [深入研究]（2）如图所示，过点作，交于点，且当为中点，可证，得是中位线，再正，根据相似三角形的性质即可求解； [拓展提升]（3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，当，是直角三角形，设，则，运用勾股定理可得的值，再证，根据相似三角形的性质列式求解；第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点，可得是等腰直角三角形，可得，再证，根据，可求出的值，由此可得的值，由此即可求解． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ①证明：∵，延长至点， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图所示，连接， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∵，，， ∴，则，即， ∵点是的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形， ∴平分，即， 中，， 故答案为：； （2）∵四边形是菱形， ∴， 如图所示，过点作，交于点，且当为中点， ∵， ∴， ∴， ∴点是中点，则， ∴是的中位线， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴的长为； （3）∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 第一种情况，如图所示，当，是直角三角形， 设，则， 在中，， ∵， ∴，则， ∵， ∴，且， ∴， ∴，即，整理得，， 解得，， ∴或； 第二种情况，如图所示，，是直角三角形，过点作延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查正方形，菱形，矩形的性质，勾股定理，中位线的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用，掌握特殊四边形的性质，相似三角形的判定和性质，图形结合分类讨论思想是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A 的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 例如： 点在函数图象上，点A的“纵横值”为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 当时，的最大值为，所以函数（）的“最优纵横值”为7． 根据定义，解答下列问题： （1）点的“纵横值”为 ； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数顶点在直线上，当时，二次函数的最优纵横值为7，求h的值． 【答案】（1）8 （2）c的值是4 （3）h的值为或6 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上知识点，读懂题意． （1）根据“纵横值”的定义求解即可； （2）根据题意，先求出，再将函数图象上所有点的“纵横值”表示为，即可列方程求解； （3）现将二次函数的解析式化为，然后将函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，令， 则，再根据对称轴的三种不同位置，分别列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点的“纵横值”为． 故答案为：8． 【小问2详解】 解：由已知得，， 解得， 二次函数的解析式为， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 最优纵横值为5， ， ； 【小问3详解】 解：二次函数的顶点在直线上， ， ， 函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为， 令， 则， 其对称轴为， 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）， 当时，即， ， 此时“最优纵横值”不为7，不合题意，舍去； 当时，即， 在时，， ， 解得，或（不合题意，舍去）； 综上所述，h的值为或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $