精品解析：浙江省温州十校联合体2025-2026学年高二上学期11月期中联考数学试题

2025学年第一学期温州十校联合体期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：塘下中学 黄相红 审题学校：虹桥中学 缪秀玲 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可得到答案. 【详解】的斜率为，设其倾斜角为，， 则，则. 故选：A. 2. 双曲线的焦距为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线方程得出，求出，即可得焦距. 【详解】由双曲线可得，则，， 则焦距， 故选：B. 3. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量法来求点到面的距离即可. 【详解】由题意得，平面的一个法向量， 则点到平面的距离为， 故选：C. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】A 【解析】 【分析】由一般方程得标准方程，得出圆心、半径，求出圆心距，判断与的关系即可得两圆的位置关系. 【详解】圆即，圆心，半径； 圆即，圆心，半径； ，则两圆外离， 故选：A 5. 过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】圆的圆心，故以为直径的圆就是的外接圆，即为所求半径． 【详解】圆的圆心，半径， 因为是圆的切线，所以，， ∴以为直径的圆就是的外接圆， ∵， ∴的外接圆的半径为. 故选：C. 6. 椭圆的离心率可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】写出离心率表达式，再结合范围即可得到答案. 【详解】. 恒成立， 则椭圆的焦点在轴上，则离心率， 因为，则， 所以，对照选项可知D正确. 故选：D. 7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，利用椭圆的焦半径公式求出的取值范围，再结合圆的几何性质可求得的取值范围. 【详解】在椭圆中，，，则，即， 设点，则，且，可得， 所以， 所以， 当且仅当为椭圆的左端点，且为射线与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， ， 当且仅当为椭圆的右端点，且为线段与圆的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 综上所述，的取值范围是. 故选：A. 8. 已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足面，则的最大值为（ ） A B. 2 C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，证得平面平面，得到点在平面与球的截面圆上，求得正的边长为，得到，圆的方程为，结合圆的性质，即可求解. 【详解】如图所示，在正方体中，可得， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 要使得平面，且点球表面上一动点， 所以点在平面与球的截面圆上，且截面圆恰为的内切圆， 因为正方体的棱长为，可得正的边长为，其内切圆的半径为， 以所在直线为轴，以的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 可得，内切圆的方程为， 设，则， ， 因为表示内切圆上点到原点的距离， 可得内切圆与轴的交点为时，距离最大，最大距离为， 所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在上的投影向量的模长为 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用空间向量共线求参数，由于无解可判断A，利用空间向量积为0可判断B，利用投影向量的坐标运算可判断C，利用空间向量模的坐标运算可判断D． 详解】对于A，空间向量，，由，可得， 即，显然和无解，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，向量在上的投影向量的模长是，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：BCD 10. 已知直线，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线平行，则 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 原点到直线的距离可能为2 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，将直线整理成，则有， 解出这个方程组的解就是直线恒过的定点；选项B，求出直线的斜率为，直线的斜率为，由这两条直线平行得到，代入和计算得解；选项C，第一种情况：当直线存在斜率时，求出直线的斜率为和在轴上的截距，由不过第二象限，得到且在轴上的截距小于等于0，计算得到的范围；第二种情况：当直线不存在斜率时，，，不经过第二象限，符合题意，这两种情况求并集得到的范围；选项D，利用点到直线的距离求出原点到直线的距离，这个距离等于2，得到的一元二次方程，利用判别式与0的大小关系判断这个一元二次方程是否有解，得到判断. 【详解】选项A，， ，， ，直线恒过定点，故选项A正确； 选项B，的斜率为， 直线的斜率为，这两条直线平行， ，，，故选项B正确； 选项C，第一种情况：当直线存在斜率时， ，当时，， 在轴上的截距为， 不过第二象限， ，，， 第二种情况：当直线不存在斜率时， ， ，，不经过第二象限，符合题意， 综上，若直线不经过第二象限，则，故选项C错误； 选项D，， 原点到直线的距离为 ，，， 有根，原点到直线的距离可能为2，故选项D正确. 故选：ABD. 11. 在长方体中，，，点在底面四边形内（含边界）运动，且满足，点是线段的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. 点的轨迹是线段，其长度为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为1 D. 存在点，使得到的距离为 【答案】AB 【解析】 【分析】利用空间向量坐标运算来确定交线，再用坐标运算可求解线段长来判断A，线面是否存在垂直来判断C，求点到线的距离来判断D，利用体积变换来判断B. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，根据，， 可得：，设点， 则 因为，所以， 化简得：，令得，令得， 由此可得点在以点，点为端点的线段上， 此时，故点的轨迹是线段，其长度为，故A正确； 因为点是线段的中点，点在底面四边形内（含边界）运动， 所以三棱锥的体积，故B正确； 由， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 要想使得直线与平面所成角的正弦值的最大值为， 则需要满足平面，此时， 即存在使得，解得，此时不满足，故C错误； 由， 则点到的距离为：， 此时取等号条件为，显然，所以等号不成立，故D错误； 故选：AB. 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可． 【详解】点关于平面对称的点的坐标为. 故答案为： 13. 已知直线与圆相交于，两点，若弦的长度为4，则实数的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而可得答案. 【详解】圆  的方程为：， 化为标准式得：， 因此，圆 的圆心为 ，半径为 2， 弦长公式为：，为圆心到直线的距离， 把代入得： ， 解得：. 因此，直线通过圆心  即： 解得：. 故答案为：1 14. 已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则此直线一定存在斜率，利用直线的点斜式设出过点的直线的方程，将直线的方程代入双曲线，消去，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到，又为弦中点，利用中点坐标公式建立的等式，利用判别式大于0建立的不等式，要求正整数的最小值，则对从1开始取值，代入的不等式中求出正整数的最小值. 【详解】设，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点， 则此直线一定存在斜率，设过点的直线的方程为， 整理得到，代入双曲线得到， 整理得， 则有，为弦中点， ，，， 又， ，，， 当时，不成立； 当时，不成立； 当时，成立； 正整数的最小值为3. 故答案为：3. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由向量的线性表示即可求解； （2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 法1：连接， 易知，， 故，得、、、四点共面； 法2：； 故，得、、、四点共面； 法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得，，，， 得，， 故有，， 得、、、四点共面． 16. 已知，，动点满足 （1）指出动点的轨迹是什么曲线，并写出它的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，在轴上方，直线的斜率为，求经过，且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由. 【答案】（1）椭圆， （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1） 利用椭圆的定义可求得椭圆标准方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组可求得交点坐标，再由双曲线经过这两个交点，利用待定系数法求解，最终因无解说明不存在. 【小问1详解】 由题意得：， 所以动点轨迹是焦点为，长轴长等于10的椭圆， 则， 即点的轨迹方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为, 联立方程，化简得， 即，得到，，，， 由点在轴上，可知顶点在轴上， 设双曲线标准方程为：，将两点代入， 该方程组无解，所以不存在所要求的双曲线. 17. 四棱锥中，平面，，均为等腰直角三角形，斜边分别为，，且，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据四棱锥的性质，结合已知条件推出线、线平行，进而推出线面平行； （2）先建立空间直角坐标系，求出相关点坐标和向量坐标，再分别求出两平米的法向量，最后利用向量夹角余弦公式求出向量夹角余弦值，进而得出平面与平面的夹角的余弦值． 【小问1详解】 ，均为等腰直角三角形，斜边分别为，， ， 又，，，， 取的中点，连接，， ，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面． 【小问2详解】 以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 记面和面的法向量分别为，， 平面，， 设， 则，令，则， ， 平面与平面的夹角余弦值为． 18. 已知抛物线与直线相交于，两点（在左侧），给定点、在抛物线上． （1）用表示； （2）若，，，四点共圆，求实数的值； （3）在（2）的条件下，求过，，，四点的圆的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立抛物线和直线方程，根据韦达定理列出关系式； （2）根据四点共圆的性质，结合韦达定理分析四点共圆的成立条件求出的值； （3）先求出四点坐标，代入圆的一般方程求解． 【小问1详解】 抛物线与直线相交于，两点， 联立方程得，移项得， 由已知、为方程的两个根，由韦达定理得：． 【小问2详解】 方法一：（代数法） 设圆的方程为：， 代入点得①， 代入点得②， 由①②式，消去，得， 代入①式得， 点在圆上，代入圆的方程， 同理对成立，，是方程的两根， 但，也是的两根，两方程系数成比例， 又得：， ③， 将，代入③得， 化简得， 检验：当时，直线为，与抛物线交点：，解得或， 即，，此时四点共圆，但，与，重合，舍去； 当时，直线为，与抛物线交点：，解得或， 即，，与，不同，四点共圆成立． ． 方法二：（几何法） 设直线与直线相交于点， 由圆幂定理知：若，，，共圆，则， 直线过，，斜率，直线方程为：， 直线方程， 两直线联立求交点， ，则，，即， ，， ， 设，横坐标为，，则， 同理， ， 抛物线与直线相交于，两点，联立方程得， 由韦达定理得：，， ， 由圆幂定理得：，解得，舍去（重合情况），得． 方法三： 设圆的方程为：，，横坐标为，， 联立圆方程与抛物线方程得： ，，，，是该方程四个根， ， 展开得： ，即， 抛物线与直线相交于，两点，联立方程得， ，即，解得． 方法四： 直线过、，斜率，直线方程为：， 直线，两直线相交于点， 抛物线关于轴对称，如果两直线也是关于轴对称，则四点共圆， ． 【小问3详解】 当时，，，，， 设圆方程为：， 代入点得， 代入点得， 代入点得， 解得，，， 圆方程为：，标准方程为：． 19. 在平面直角坐标系中，若一条直线与一条圆锥曲线相交于，两点，且满足，其中为坐标原点，则称该圆锥曲线关于此直线是“和谐”的，该直线称为圆锥曲线的“和谐线”.已知椭圆和直线（其中），直线与椭圆相交于，两点. （1）当时，求直线被椭圆截得的弦长（用表示）； （2）若直线是椭圆的“和谐线”，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立与椭圆方程，求出点，的坐标，即可表示弦长； （2）联立直线与椭圆方程，由可得，，代入韦达定理化简整理即可得与的关系式； （3）由的表达式，代入韦达定理以及（2）的结论，构造函数结合基本不等式求出范围即可. 【小问1详解】 当时，直线的方程为， 将代入椭圆方程得： ，， 所以，对应的. 因此，点，的坐标分别为和. 弦长. 【小问2详解】 设，，则，. 将代入椭圆方程得：， 即， ， 由韦达定理得：，， 由，所以， 则，即，所以. 又， 则， 将韦达定理的结果代入：， 即， 展开并整理：， 即， 即，即， . 【小问3详解】 由（2）知， 三角形的面积，又， 由（2）有：，， 代入得： , 将代入：， 又， 所以，， 由已知，令，则， 设，则. 设， 当时取到最大为，取到最大值为1， 当时，，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第一学期温州十校联合体期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：塘下中学 黄相红 审题学校：虹桥中学 缪秀玲 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 双曲线的焦距为（ ） A B. C. 4 D. 3. 已知平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 4. 圆与圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 过圆外一点作圆的两条切线，切点为、，则的外接圆半径是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 椭圆离心率可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在椭圆上运动，圆的圆心为椭圆的右焦点，半径，点在圆上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知球是棱长为的正方体的内切球，点为球表面上一动点，且满足面，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. 6 D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知空间向量，，，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 向量在上的投影向量的模长为 D. 若，则 10. 已知直线，则下列选项中正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线与直线平行，则 C. 若直线不经过第二象限，则 D. 原点到直线的距离可能为2 11. 在长方体中，，，点在底面四边形内（含边界）运动，且满足，点是线段的中点，则下列选项中正确的是（ ） A. 点轨迹是线段，其长度为 B. 三棱锥的体积为定值 C. 直线与平面所成角正弦值的最大值为1 D. 存在点，使得到的距离为 非选择题部分 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为__________. 13. 已知直线与圆相交于，两点，若弦的长度为4，则实数的值为__________. 14. 已知双曲线，过点的直线与双曲线相交于，两点，为弦中点，则正整数的最小值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 16. 已知，，动点满足 （1）指出动点轨迹是什么曲线，并写出它的方程； （2）过作直线与曲线交于，两点，在轴上方，直线的斜率为，求经过，且以坐标轴为对称轴的双曲线的标准方程，若不存在，说明理由. 17. 四棱锥中，平面，，均为等腰直角三角形，斜边分别为，，且，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知抛物线与直线相交于，两点（在左侧），给定点、在抛物线上． （1）用表示； （2）若，，，四点共圆，求实数的值； （3）在（2）的条件下，求过，，，四点的圆的方程． 19. 在平面直角坐标系中，若一条直线与一条圆锥曲线相交于，两点，且满足，其中为坐标原点，则称该圆锥曲线关于此直线是“和谐”的，该直线称为圆锥曲线的“和谐线”.已知椭圆和直线（其中），直线与椭圆相交于，两点. （1）当时，求直线被椭圆截得的弦长（用表示）； （2）若直线是椭圆的“和谐线”，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $