精品解析：安徽省淮南市实验中学等学校2025-2026学年九年级上学期11月期中联考数学试题

九年级数学学情调研 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转图形的识别，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据旋转图形的定义和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形可由平移得到，不能用旋转得到，不符合题意； B. 该图形可由轴对称得到，不能用旋转得到，不符合题意； C. 该图形可由旋转得到，符合题意； D. 该图形不能用旋转得到，不符合题意； 故选：C． 2. 画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（　　） A. 直径 B. 半径 C. 周长 D. 面积 【答案】B 【解析】 【详解】解：画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的半径． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的半径的定义，理解半径的定义是解本题的关键． 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法，将一元二次方程常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 一元二次方程， ， ， ， ， ， ， 故选： ． 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图像的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数顶点为， 开口向下即可判断． 【详解】解：函数开口向下，顶点为． 故选：B． 5. 下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据半圆的定义即可判断． 【详解】半圆是直径所对的弧，但是不含直径， 故选B． 【点睛】此题主要考查圆的基本性质，解题的根据熟知半圆的定义． 6. 如图，点A的坐标是，将线段 绕点O顺时针旋转 ，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点 作 轴的垂线，垂足分别为 和 ， 由旋转可知， ， ， ， ． 在 和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点 的坐标为． 故选：B． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 方程是关于x的一元二次方程 B. 方程的常数项是4 C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的有关概念，解题的关键是理解一元二次方程的有关概念．根据一元二次方程的有关概念进行分析即可． 【详解】解：A．对于方程，若，则该方程不是关于 的一元二次方程，故说法错误； B．方程整理为一般形式为，其常数项是，故说法错误； C．当一次项系数为0时，该方程不一定有解，故说法错误； D．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根，说法正确． 故选：D． 8. 抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（ ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的性质得到两个抛物线的顶点坐标，即可得到平移的规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线是由抛物线向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度得到的， 故选：D． 【点睛】此题考查了抛物线的平移，二次函数的图象及性质，正确确定抛物线的顶点坐标理解平移是解题的关键． 9. 如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB=10，BC=6．则线段BE的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可得AC=8，由旋转的性质可得CE=AC=8，即可求解． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=10，BC=6， ∴ ， ∵Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC， ∴CE=AC=8， ∴BE=BC+CE=14， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是明确旋转前后对应边相等． 10. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解， ∴二次函数与直线在的范围内有交点， ∵二次函数的对称轴为直线且开口向下， ∴离对称轴越远函数值越小， 当时，， 当时，， 当 时，， ∴当时，， ∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是____． 【答案】(1，﹣3)． 【解析】 【分析】根据抛物线y=a（x-h）2+k的顶点坐标是（h，k）直接写出即可． 【详解】抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是(1，﹣3)． 故答案为：(1，﹣3)． 【点睛】此题考查二次函数的性质，解题关键在于掌握抛物线的顶点求解方法，既会运用顶点式，又要会用公式法． 12. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 【答案】点 【解析】 【分析】本题考查了旋转的定义和旋转中心的判定，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键． 观察图形，由旋转的性质即可得到答案． 【详解】解：根据旋转的定义，结合图形上的对应点到点的距离相等， ∴旋转中心为点， 故答案为：点． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2CD，求出圆的半径的长，再利用勾股定理列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图， ∵∠C=90°，点D为AB的中点， ∴AB=2CD=10， ∴CD=5， ∴BC=CD=5， 在Rt△ABC中，AC===5． 故答案为5． 【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，求出圆的半径的长是解题的关键． 14. 如图，在 中， ，，，，点，分别在边 ，上，，连接 ，点 ， ， 分别为， ，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质； （1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可； （2）要使面积最大， 值则要最大，则的值要最大，故当时最大，求出面积即可． 【详解】解：（1）点P，N是， 的中点， ， 点P，M是 ，的中点， ， ∵， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， 故， 故答案为：； （2）由（1）可知为等腰直角三角形， 则， 最大时，面积最大，即最大时，面积最大， 点在 的延长线上， ， ， ∴面积的最大值； 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 【答案】2米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出方程成为解题的关键． 设道路的宽度为x米，根据题意列出一元二次方程求解并检验即可． 【详解】解：设道路的宽度为 米． 由题意得． 解得：（不符合题意，舍去）， 道路的宽度为2米． 16. 如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据圆的定义进行判断即可，圆的定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆. 连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，利用直角三角形斜边上的中线可得OB=OA=OC=OD，即可推出A、B、C、D四点在同一个圆上． 【详解】证明：连AC，取AC的中点O，连接OB、OD， ∵∠B=∠D=90°， ∴OB=AC，OD=AC．即OB=OA=OC=OD， ∴ A、B、C、D四点在同一圆上． 【点睛】本题考查圆的定义，直角三角形斜边上的中线，解题的关键是连AC，取AC的中点O，连接OB、OD，构造直角三角形. 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则或 ， 解得 ，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】 两位同学的解法都错误， 小敏： 两边同除以，得 ， 则 ． （×） 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则或 ， 解得 ，． （×） 正确解答： 移项，得 ， 提取公因式，得 ， 去括号，得 ， 则或 ， 解得 ， ． 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程 【详解】略 【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键． 18. 【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】尝试应用：作图见解析 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，掌握其概念是解题关键．由平行四边形的性质可知，对角线的交点为平行四边形的中心，的中心为圆心，结合中心对称的知识，不难发现过中心的直线将图形分割成面积相等的部分． 【详解】解：如图所示： 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 【答案】（1） （2）在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥 【解析】 【详解】解：（1）设抛物线解析式为 设点，点 由题意： 解得 ∴ （2）方法一： 当时， ∵.6 ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 方法二： 当时， ∴ ∵ ∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥． 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的 A1B1C1，请画出平移后的 A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的 A2B2C2，请画出旋转后的 A2B2C2； （3）观察图形可知， A1B1C1与 A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1） A1B1C1即为所求； （2） A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得， A1B1C1与 A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 六、（本大题满分12分） 21. 将二次函数的图象在 轴上方的部分沿 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，求的值． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情形：如图，当直线过点 时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为 ， ∴抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， ∴抛物线与 轴的交点为，， 把抛物线图象在 轴上方的部分沿 轴翻折到 轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ∴，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ∴， 解得， ∴的值为或． 【点睛】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 七、（本大题满分12分） 22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，，点D是AB上一点（点D与A，B不重合），连接CD． （1）用尺规作图，线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数． （3）求证：AD2+BD2＝2CD2． 【答案】（1）如图，见解析；CE、BE为所作；（2）∠BEF＝67.5°；（3）见解析. 【解析】 【分析】(1)延长线段DC，以C为圆心,以适当的长为半径画弧交CD于两点M、N.2)分别以两点为圆心,以大于二分之一MN同样长为半径画弧,两弧交于P,作射线CP，以C为圆心，以CD长为半径作弧，交射线CP与点E，连接BE即可. （2）根据圆中，直径对直角推导出，△ACB为等腰直角三角形，根据旋转的性质得到，CD＝CE，∠ACD＝∠BCE，由此判断呢△ACD≌△BCE，得到∠CBE＝∠A＝45°，再根据AD=BF推出∠BEF＝∠BFE，最后计算∠BEF的度数即可. （3）根据勾股定理可得BE2+DB2＝DE2，根据题意和直角三角形的边角关系可得BE＝AD，DE＝CD，然后换算解决即可. 【详解】（1）解：如图，CE、BE为所作； （2）解：∵AB为直径， ∴∠ACB＝90°， ∵， ∴AC＝BC， ∴△ACB为等腰直角三角形， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∵线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE， ∴∠DCE＝90°，CD＝CE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中 ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°， ∵AD＝BF， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴∠BEF＝（180°﹣45°）＝67.5°； （3）证明：∵∠ABC＝45°，∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝90°， ∴BE2+DB2＝DE2， ∵BE＝AD，DE＝CD， ∴AD2+BD2＝2CD2． 【点睛】本题考查了垂线的画法，旋转的性质，勾股定理及三角形全等判定，解决本题的关键是①熟练掌握旋转的性质；②熟练掌握三角形全等的判定③正确理解掌握勾股定理的形式. 八、（本大题满分14分） 23. 如图，在△ABC中， ，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且 ，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 【答案】（1）DM=ME，见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM． （2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到． 【详解】（1）补全图形如下图， DM与ME之间的数量关系为DM=ME． 证明：连接AE，AD， ∵ ∠BAC=90°，AB=AC， ∴ ∠ABC=∠ACB=45°． ∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°． ∵ 由旋转，∠BCD=90°， ∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°． ∴ ∠ABE=∠ACD． ∵ AB=AC，BE=CD， ∴ △ABE ≌ △ACD． ∴ AE=AD． ∵ AM⊥DE于M， ∴ DM=EM． （2） 证明：连接AD，AE，BM． ∵ AB=AC=1，∠BAC=90°， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ 由（1）得DM=EM， ∴ BM是△CDE的中位线． ∴ ，BM∥CD． ∴ ∠EBM=∠ECD=90°． ∵ ∠ABE=135°， ∴ ∠ABM=135°=∠ABE． ∵ N为BE中点， ∴ ． ∴ BM=BN． ∵ AB=AB， ∴ △ABN ≌ △ABM． ∴ AN=AM． ∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD， ∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE． ∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°， ∴ ∠EAD=90°． ∵ DM=EM， ∴ ． ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情调研 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 在学校运动场围墙上设计了四幅图案，其中用到旋转变换方式的是（ ） A. B. C. D. 2. 画圆时，圆规两脚间可叉开的距离是圆的（　　） A. 直径 B. 半径 C. 周长 D. 面积 3. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 下列由实线组成的图形中，为半圆的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A的坐标是，将线段 绕点O顺时针旋转 ，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 方程是关于x的一元二次方程 B. 方程的常数项是4 C. 当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解 D. 若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根 8. 抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的（ ） A. 向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B. 向左平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 C. 向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 D. 向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度 9. 如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB=10，BC=6．则线段BE的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 10. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 抛物线y=(x﹣1)2﹣3的顶点坐标是____． 12. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是________． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，若以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于_____． 14. 如图，在中， ，，，，点，分别在边 ，上，，连接 ，点 ， ， 分别为， ，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 张叔叔家的后院是一个长20米，宽12米的矩形．他打算把它划分成如图中阴影部分所示的4个小矩形分别布置不同的景观，空白部分留成宽度相同的道路．已知布置景观的4个小矩形的面积总和为180平方米，求道路的宽度． 16. 如图所示，在四边形ABCD ，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点在同一个圆上． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 小敏： 两边同除以，得 ， 则 ． 小霞： 移项，得 ， 提取公因式，得 ． 则或 ， 解得 ，． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 18. 【阅读材料】对于中心对称图形，过对称中心的任意一条直线都把这个图形的面积分成相等的两部分，如图1所示． 【尝试应用】将图2，图3分成面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD的宽是10米． （1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； （2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物（货物与货船同宽）．问：此船能否顺利通过这座拱桥？ 20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的 A1B1C1，请画出平移后的 A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的 A2B2C2，请画出旋转后的 A2B2C2； （3）观察图形可知， A1B1C1与 A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 六、（本大题满分12分） 21. 将二次函数的图象在 轴上方的部分沿 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，求的值． 七、（本大题满分12分） 22. 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，，点D是AB上一点（点D与A，B不重合），连接CD． （1）用尺规作图，线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE；（保留作图痕迹，不写作法．） （2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数． （3）求证：AD2+BD2＝2CD2． 八、（本大题满分14分） 23. 如图，在△ABC中， ，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且 ，连接DE，过点A作于M． （1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明； （2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $