热学篇 专题02 分子动理论（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

热学篇 专题02 分子动理论 1．1mol氧气储存于一氧气瓶中，温度为27℃，氧气分子的平均平动动能为 ；分子平均总动能为 ；这瓶氧气的内能为 。 【答案】 【详解】[1]氧气分子的平均平动动能为 [2]分子平均总动能为 [3]这瓶氧气的内能为 2．一容器内盛有密度为的单原子理想气体，其压强为p，则此气体分子的方均根速率为 ；单位体积内气体的内能是 。 【答案】 【详解】[1]根据 ， 玻尔兹曼常数，则 即 因此气体分方均根速率 [2]单原子分子的平均动能 单位体积内气体的内能 3．设某种气体的分子总数为N，分子速率分布函数为f（v），则表达式的含义是（　　） A．速率在v1～v2之间的分子数占总分子数的比例 B．任一分子的速率出现在v1～v2之间的概率 C．速率在v1～v2之间的分子数为N的概率 D．速率在v1～v2之间的分子数目 【答案】D 【详解】因为 表示的物理意义为速率在v1～v2之间的分子数目。 故选D。 4．在相同条件下，氧原子的平均动能是氧分子平均动能的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】B 【详解】根据能量按自由度均分定理：在温度为的平衡状态下，物质（气体、液体或固体）分子的每一个自由度都具有相同的平均动能，其大小都等于。在热平衡状态下，单原子分子只有3个平动自由度，故氧原子的平均动能为 双原子分子有3个平动自由度和2个转动自由度，故氧分子平均动能为 氧原子的平均动能与氧分子的平均动能比值为 故选B。 5．一个密闭容器内盛有水（未满），处于热平衡状态，已知水在时的饱和蒸气压为汞高，设水蒸气分子碰到水面时都变成水，气体分子的平均速率与气体的热力学温度的平方根成正比，试近似计算在和时，单位时间内通过单位面积水面的蒸发变为水蒸气的分子数之比等于多少？ 【答案】56 【详解】因为处于热平衡状态，水面上的蒸汽是饱和汽，所以单位时间内由水变为水蒸气的分子数等于由水蒸气变为水的分子数.设用表示单位时间内碰到水面单位面积上的水蒸气分子数，表示单位体积内的水蒸气分子数，表示其平均速率，则有         ① 由于我们只要求取一位有效数字，所以水蒸气在平衡状态时各参量之间的关系可以近似地用理想气体状态方程来处理.因此，在热力学温度为和时，分别有和.式中为阿伏加德罗常数，为气体常量.可见         ② 将②式和题中已知的代入①式中可得         ③ 因而    ④ 因为汞高，且已知汞高，代入④式可得         ⑤ 此题属于分子热运动理论中的估算问题，可以考查学生根据有关原理进行估算的能力.解此题时必须明确：①水蒸气分子与水分子相互转化的关系，②分子运动中单位时间内碰到单位面积上的分子数与成正比，③由饱和蒸汽压及温度可以估算.这些都是在学习时可以而且应该注意到的. 6．由Ν个分子组成的理想气体，体积为V，处于平衡状态，求在给定的体积中有个分子的概率为多大？ 【答案】 【详解】处于平衡态的气体，其分子在整个空间是均匀分布的，所以，一个分子出现在小体积中的概率是 而不在中的概率为 ． 对于理想气体，每个分子处在中，或不在中是一个独立事件，与其他分子无关，按照独立事件发生的概率等于各独立事件概率的乘积的概率乘积定理，得n个分子处在体积中的概率为，而其余个分子不在中的概率为，因此，选定n个分子处在体积中，而其余个分子不在中的概率为 ． 由于Ν个分子是完全相同的，从Ν个全同的分子中任意取出n个放在体积中（注意这n个分子重新排列并不产生新的取法），而其余个分子放在中共有 种取法，最后得到在体积中有n个分子的概率为 ． 7．正确使用压力锅的方法是：将已盖好密封锅盖的压力锅（如图1）加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气已全部排除，然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度（即设计时希望达到的温度），现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为，某人在海拔的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水。已知：水的饱和蒸气压与温度的关系图线如图2所示，大气压强与高度的关系的简化图线如图3所示时；处 （1）若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？ （2）若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？ （3）若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀，此时水温为，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水。 【答案】（1）；（2）；（3）； 【详解】（1）已知在海平面处，大气压强。如图，在处，大气压强为（1） 此处水沸腾时的饱和蒸气压应等于此值．由图可知，对应的温度即沸点为 （2） 达到此温度时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故在高山上，若不加盖压力锅，锅内温度最高可达 （2）由图复可知，在时，水的饱和蒸气压，而在海平面处，大气压强．可见压力阀的附加压强为 （3） 在高山上，大气压强与压力阀的附加压强之和为 （4） 若在时阀被顶起，则此时的应等于，即 （5） 由图复解可知 （6） 此时锅内水开始沸腾，温度不再升高，故按正确方法使用此压力锅，在高山上锅内水的温度最高可达 （3）在未按正确方法使用压力锅时，锅内有空气，设加压力阀时，内部水蒸气已饱和，由图复解可知，在时，题中已给出水的饱和蒸气压 这时锅内空气的压强（用表示）为 （7） 当温度升高时，锅内空气的压强也随之升高，设在温度为时，锅内空气压强为， 则有 （8） 若在时压力阀刚好开始被顶起，则有 （9） 由此得 （10） 画出函数的图线， 取 由此二点便可在图上画出此直线，此直线与图复解18-2-2中的曲线的交点为即为所求的满足（10）式的点，由图可看出与点对应的温度为 （11） 即在压力阀刚开始被顶起时，锅内水的温度是，若继续加热，压力阀被顶起后，锅内空气随水蒸气一起被排出，最终空气排净，锅内水温仍可达 8．证明理想气体的压强，其中n为分子数密度，为气体分子平均动能． 【答案】证明见解析 【详解】证明:气体的压强即单位面积容器壁所承受的分子的撞击力，这里可以设理想气体被封闭在一个边长为a的立方体容器中，如图所示． 考查yOz平面的一个容器壁，① 设想在△t时间内，有个分子（设质量为m）沿χ方向以恒定的速率碰撞该容器壁，且碰后以原速率弹回，则根据动量定理，容器壁承受的压力为 ．② 在气体的实际状况中，考查某一个分子的运动，设它的速度为v，它沿x、y、z三个方向分解后，满足 ． 分子运动虽然是杂乱无章的，但仍具有“偶然无序和统计有序”的规律，即 ．③ 另外，从速度的分解不难理解，每一个分子碰撞3个容器壁的机会均等．设，则 ．④ 注意，这里的是指有6个容器壁需要碰撞，而它们被碰的概率是均等的． 结合①②③④式可得 ， 所以． 9．某理想气体在温度为T=273K时，压强为p=1.0×102atm，密度=1.24×102kg/m3，则该气体分子的方均根速率为 。（1atm=1.013×105Pa） 【答案】495m/s 【详解】设1mol该气体在p=1.0×102atm的压强下体积为，由波意尔定律可得 解得 则该气体在p=1.0×102atm的压强下的摩尔质量为 由方均根速率的公式可得 解得 10．导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动，设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为，概率分布为则，分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】由概率归一 解得 因此平均速率和方均根速率分别为 故选A。 11．南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市。有人设计了一个利用这座冰山来发电的方案，具体过程为：（）先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触容器内空气温度降至冰山温度；（）使容器脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冰空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温度；（）在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电。如此重复，直至整座冰山融化。已知环境温度，冰山的温度为冰的熔点，可利用的冰山的质量，为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用的数据如下： 1.空气可视为理想气体。 2．冰的熔解热；冰融化成温度为的水之后即不再利用。 3．压强为、体积为的空气内能。 4．容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变。 5．喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是，且远小于容器的体积。在每个小过程中，喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能，从喷嘴喷出。不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀的，外压强的大气压。 6．假设可能获得的电能是总和的。 7．当时，。 试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能。 【答案】 【详解】以表示环境中大气的压强，则初始时装入容器的空气的压强为，温度为，以表示其体积。当容器与冰山接触，达到平衡时，容器中空气的温度为，体积减小为，根据题意，空气经历的过程为等压过程，故有 （1） 在这一过程中，容器中空气内能的增加量为 ，（2） 大气所考查空气做功为 （3） 若以表示此过程中冰山传给容器中空气的热量，根据热力第一定律有 。（4） 由以上四式得 （5） （5）式给出的是负的，表示在这一过程中，实际上是容器中的空气把热量传给冰山。容器中空气的温度降至冰山温度后，又经一过等容升温过程，即保持体积不变，温度从升至环境温度，并从周围环境吸热。若以表示所考虑空气的压强，则有 （6） 设喷管的体积为，当喷管中的气体第一次被喷出时，容器中空气的压强由降到；根据题目给出的条件，有 ，（7） 即（8） 喷出气体获得的动能 。（9） 当喷管中的空气第二次喷出后，容器中空气压强由降到，根据题给出的条件可得 （10） 喷出气体获得的动能 。（11） 当喷管中的空气第次被喷出后，容器内空气的压强由降到，根据题给出的条件可得 （12） 喷出气体获得的动能 。（13） 如果经过次喷射后，容器中空气的压强降到周围大气的压强，即 ，（14） 这时喷气过程终止，在整过喷气过程中，喷出气体的总动能。 （15） 利用（8）到（13）式，（15）式可化成 ，（16） （16）式等号右边第1项方括号内是项的等比级数，故有 。（17） 又，根据（8）、（10）、（12）、（14）各式可得 ，（18） 对（18）式等式两边取自然对数得 。（19） 因，可利用近似公式把（19）进一步化简，即 （20） 进而由（17）、（18）、（20）三式得 （21） 将（1）、（6）代入（21）式，可得 。（22） 根据题意，这些动能可转化成的电能为 。（23） 以上讨论表明，要获得电能，冰山必须吸收的热量，整座冰山化掉可吸收的总热量 。（24） 因此可产生的总电量为 。（25） 将（5）和（23）带入（25）式，得 ，（26） 代入数据后有 12．有刚性双原子分子理想气体，其内能为。 （1）求气体的压强； （2）设气体分子总数为个，求分子的平均动能和气体的温度。 【答案】（1）；（2），362K 【详解】（1）设分子总数为N，由 及 得 p= （2）分子的平均动能 气体的温度 13．一定量理想气体经等容过程温度升高为原来的4倍，则其分子平均碰撞频率变为原来的 倍。若该气体经等温过程体积膨胀为原来的2倍，则其分子平均自由程变为原来的 倍。 【答案】 2 2 【详解】[1][2]分子平均碰撞频率正比于分子平均速度，正比于T的平方根，正比于单位体积内的分子数，所以则其分子平均碰撞频率变为原来的2倍。根据 v= 若该气体经等温过程体积膨胀为原来的2倍，则其分子平均自由程变为原来的2倍。 14．储存有CH4的钢瓶以80m/s的速度作定向运动，假设该钢瓶突然停止，全部定向运动的机械能都转变为气体的内能，此时容器温度升高了 K，钢瓶内气体分子的平均动能增加了 J。（，） 【答案】 2.05 【详解】[1]宏观平动动能全部转化为分子内能，即 可得 其中 代入数据解得 [2]气体分子的平均动能增加 代入数据可得 15．在一定速率v附近，麦克斯韦速率分布函数 f （v） 的物理意义是：一定量的理想气体在给定温度下处于平衡态时的（　　） A．速率为v的分子数 B．速率在v ~ v + dv区间的分子数 C．速率为v的分子数占总分子数的比例 D．速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比例 【答案】D 【详解】在一定速率v附近，麦克斯韦速率分布函数 f （v） 的物理意义是：一定量的理想气体在给定温度下处于平衡态时的速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比例。 故选D。 16．现有以下信息： （1）通过对悬浮在某种气体中的烟粒的布朗运动的观察和测量，得到以下数据：在，观测得直径为、质量为的烟粒的平均速率为．假定烟粒的平均动能可用其质量与平均速率的平方来表示，则在~之间，烟粒的平均动能与温度t的关系为一直线，此直线向低温的延长线与t轴交于处．如图所示． （2）由于气体分子间的碰撞、气体分子与烟粒间的碰撞，在相同温度下烟粒的平均动能与气体分子的平均动能相等． （3）该气体的温度升高所吸收的热量，即该气体的比热．该气体液化成液体的体积为． 请回答下列问题： （1）假定你对分子的特性了解甚少，根据且仅根据以上信息，你对看不见、摸不着的上述气体分子的重要性质可获得哪些初步认识？ （2）在应用以上信息得出气体分子有关特性的过程中，你认为有哪些地方欠严格？有什么问题应进一步研究或探讨？请把它们一一列出． 【答案】（1）由以上信息，可获得关于分子的以下特性：①分子平均动能，②分子质量③分子半径④室温下分子的平均速率⑤分子平均速率与绝对温度的关系 （2）见解析 【详解】（1）根据烟粒的平均动能与温度的关系，可将烟粒的平均动能与温度的关系用下面的数学公式来表示： .                            ① 引入绝对温度T，有 .                                ② 可得烟粒的平均动能与绝对温度的关系为 .                                ③ 是待定系数，它表示温度升高烟粒所增加的平均动能． 以m和v表示直径为的烟粒的质量和平均速率，则该烟粒在时的平均动能，代入数值，可得即时烟粒的平均动能为 ．                            ④ 把④式代入③式得．                ⑤ 因为烟粒的平均动能与气体分子的平均动能相等，故温度升高，分子平均动能的增加量也是，设该气体中有N个分子，若温度升高，气体中所有分子增加的平均动能为 .                                ⑥ 根据现有的信息，只能粗略地认为气体温度升高所吸收的热量全部用于增加气体分子的平均动能，则有．                                ⑦ 由此可求得气体中的分子数为 ．                        ⑧ 设气体分子的质量为，则有.            ⑨ 设温度为T时，分子的平均动能为，分子的平均速率为，则有 ． 由此得 ．                        ⑩ 即分子的平均速率与绝对温度的平方根成正比，代入有关数据，得 .                                 当时，分子的平均速率为 ，                                 比烟粒的平均速率大得多． 设气体分子都是半径为的小球．当气体变成液体时，小球一个紧挨一个排列．气体中有N个分子，当这些气体都变成液体时，其体积为 ． 故有，由此得 .                         结论：由以上信息，可获得关于分子的以下特性： ①分子平均动能，； ②分子质量； ③分子半径； ④室温下分子的平均速率； ⑤分子平均速率与绝对温度的关系为． （2）有以下问题可以进一步研究或探讨： ①给出的信息中假定了烟粒的平均动能与其平均速率成正比，然而，平均动能是动能的平均值，它对应于速率的平方的平均值，速率的平均值与速率平方的平均值是否相等，有多大差别是一个问题． ②分子运动的动能可能仅是气体内能的一部分，气体的内能还可能包括气体分子间的相互作用势能．传给物体的热量可以改变物体的内能，但内能的改变包括分子动能的改变和分子间相互作用势能的改变，只有在分子间相互作用势能不改变的条件下，气体内能的改变才与分子平均动能的改变一致．气体内能改变中是否应计及分子间相互作用势能的改变是第二个问题． ③对物体传热可改变物体的内能，做功也能改变物体的内能．故传给物体的热量的总和不见得等于内能的增加，即使内能的改变就等于分子平均动能改变的总和，也不一定等于传给物体的热量．因为在内能改变的过程中可能对外做功，或外界对物体做功．在利用提供的信息求得质量的气体中会有多少个分子时，假定了传给气体的热量全部用于增加不规则运动的动能是一种不够严格的处理，这样的处理对所得结论可能造成什么影响，是应研究的第三个问题．如果能提供气体在体积不变的条件下温度升高所吸收的热量，此热量必等于气体内能的增加．因为体积不变时，与外界没有以做功方式交换． 本题是信息给予题． 本题的命题看似具有探究性，实际上因为我们已知了分子的各种性状，所以，答题时，我们更多的是根据题目所给的信息，将其与已知的气体分子的信息进行类比，模仿其处理方式，进而得到相关的结论． 物理试题中很多看似探究的问题，在超前学习的竞赛学生面前，实则是类比与迁移，但要求答题者能系统地给出相关的结论，如没有对需要“探究”的问题有全面而深刻的认识，要完成这种类比与迁移也是很困难的． 本题的问题（2）完全是开放式的问题，答案也不完全是归一的，但若没有深层次的认识，要得到令人满意的回答，也是很困难的． 17．为模拟汽缸中活塞压缩气体的热运动的机制，可将汽缸中某一气体分子简化成质量为m，并在缸底与活塞之间频繁地来回弹跳的弹性小球．若活塞以恒定速度v移向缸底，如图所示，设分子与活塞和缸底间的碰撞均为弹性碰撞，且分子所受重力可忽略不计．回答下列问题． (1)开始时分子以速率（）与活塞正碰，求该分子与活塞经过k次碰撞后的速率． (2)设开始时活塞与缸底相距为l，当活塞移至与缸底相距为x时，分子速率为求此时分子对活塞的平均冲力． (3)当活塞位置移动时，分子速率也随之变化，求活塞位置χ与分子速率v之间的关系． (4)活塞位置由l移至x的过程中，外力做功多少？ 【答案】(1) (2)   (3)   (4) 【详解】(1)由于分子质量比活塞质量小很多，且各次碰撞均为弹性正碰，故知分子每次与缸底相碰后将以原速率返回，而每次与活塞相碰，若其碰前速率为，则其碰后速率为（），即分子每与活塞碰撞一次，其速率就增加2υ．故得分子与活塞经过k次碰撞后的速率为 (2)分子速度为u时，它与活塞碰撞一次动量的变化量约为 ． 此时分子连续两次与活塞相碰的时间间隔约为， 故得此时分子受到的平均作用力为 (3)设活塞移至位置x时，分子已与活塞发生过k次碰撞，取（）为此过程中分子一次往返所通过的路程的平均长度，则此过程中分子经过的总路程约为． 又取此过程中分子运动的速率的平均值约为， 则分子运动的总时间为． 由于活塞以v做匀速运动，故应有． 解上式得． (4)活塞由位置l移至位置x的过程中，活塞自身速度不变，即其动能不变，则外力所做的功全部转化为汽缸内分子运动动能的增加量，故有 ． 【点睛】将适用于微观分子的规律与研究方法迁移到研究大量做宏观运动的颗粒上来，这看上去有点不适应，但只要注意到它们的运动都服从统计规律，一切都容易理解了．宏观颗粒的模型有很多，大家不妨收集来作一比较． 18．一种理想气体装在半径为R的球形容器内，温度为T气体分子的质量为m，分子数密度为n，设气体分子与容器壁弹性碰撞，求气体对器壁产生的压强p与气体分子的平均动能密度u之间的关系. 【答案】 ； 【详解】球形容器的半径为R，因而其面积，体积，任取一个分子，其速度大小为，速度方向与器壁上的即将被碰撞之处的法线成角，，由于是弹性碰撞，碰撞不改变分子速度的大小，也不改变，反射角与入射角相等，即，如图所示. 分子在与器壁连续两次碰撞间所飞的路程为，这样，该分子与器壁在单位时间内的碰撞次数为. 在每次碰撞中，分子动量的改变量总是指向球心，其大小总是.因而，在每次碰撞中，器壁所得到 的动量总是与器壁在碰撞处的法线平行，并指向器壁，其大小也总是.由于气体分子空间分布均匀，运动各向同性，因而平均来说，在单位时间内，器壁的每一个单位面积上所受到的碰撞彼此相同，所得到的动量彼此相同，换句话说，球形器壁每处所受到的压强相同，其大小为 气体分子的平均动能为. 气体分子数密度，气体分子的平均动能密度.这样，由上述式子可得，理想气体在球形器壁上产生的压强与气体分子的平均动能密度的关系为. 这与气体在平面器壁上产生的压强和气体分子的平均动能密度间的关系相同.经典理想气体的状态方程为 . 由此，我们可得气体分子的平均动能为. 气体分子的平均动能密度为. 气体的宏观现象如从微观的角度看，一切皆是大量的分子做规则运动的平均结果，即通常所说的统计平均.因而，对分子运动产生效果的研究，基本上都是从单个分子的作用特性出发，然后延伸到大量分子后，再求其平均值. 在热学内容中，从分子运动的角度推导气体宏观结论的模型有很多，也都比较抽象，都有一定的思维难度，特别是在平均值的处理上，除了需要较强的数学理解能力外，其运算能力的要求也很高.对这一领域的模型，建议学习者进行归类训练. 19．在一柱形容器内，有大量相同的小球沿着容器的长度方向往返运动.小球可视为质点，小球之间以及小球与容器端面（与其长度方向垂直）之间做弹性碰撞，小球的速率以及向前还是向后运动都是无规则的.可引入“温度”的概念，它是由小球的平均动能定义的，式中是玻尔兹曼常数，今在容器的一端安装平面弹性活塞，并使活塞缓慢地沿容器长度方向向内推进，运动的小球因与活塞做弹性正碰撞增加了动能，从而使系统的“温度”升高. 上述模型实际上就是单原子分子理想气体一维热运动绝热压缩的微观模型. 试导出在活塞缓慢推进过程中，“温度”与体积的关系式（此即单原子分子理想气体的一维绝热过程方程）.设重力、引力、各种阻力和摩擦力均可忽略. 【答案】 【详解】容器中的小球相当 于气体分子，其间除弹性正碰撞外，并无相互作用，且是无规则的，这正是理想气体分子的行为，小球看作质点，无内部结构,表明小球“分子”是单原子分子.因此，完全可以仿照气体分子运动论做法，引入表征大量小球系统平均运动激烈程度的“温度”概念.随着活塞的缓慢推进，外界所做的功增大了与活塞碰撞的小球的动能，再通过小球之间的碰撞使系统的动能即温度增长，同时体积减小，这相当于绝热压缩. 由于小球均相同，其间的碰撞是弹性正碰撞，故碰后两球交换速度.即速度为的小球与另一小球碰撞后，将把速度传递给后者，下文速度为的小球实际上指的是“速度的携带者”，由于小球是质点，碰后，速度携带者的位置并无变化. 沿容器长度方向取轴，设容器长度为，活塞推进速度为（因缓慢推进，故）. 由此速度为可的小球经的时间与活塞相碰一次.碰后，小球相对活塞的速度从变为，在地面参考系中小球的速度则从变为.因此，由于活塞移动而引起的小球速度变化率为 随着活塞的推进，在时间内，容器缩短了，即，， 于是有. 这就是在活塞推进过程中，小球的速度、动能的变化与容器长度变化变化之间的关系. 把上式对具有各种速度、动能的小球做平均，得. 对于大量小球的系统，可用平均动能定义系统的“温度”，即. 代入得. 设容器底面积为，则容器体积，上式可改写为， 积分，得， 式中：和分别是小球系统初态的温度和体积.即常量. 这就是活塞缓慢推进过程中，小球系统的温度与体积的关系，亦即单原子分子理想气体的一维绝热方程. 下面讨论理想气体绝热过程方程在一维运动情形的结果，它应与上式相符. 理想气体的绝热过程方程为常量， 式中：绝热指数， 式中：和分别是理想气体定压摩尔热容量和定容摩尔热容量，对于做一维运动的单原子分子，有，，即. 所以，常量. 这就是用关系表示的单原子分子理想气体的一维绝热方程. 对于分子表现在微观方面的无规则运动的特性，我们所采用的研究方法基本上是统计与平均，而这一研究方法也被我们迁移到了宏观状态下小的颗粒做无规则运动的研究上. 本题中的小球在容器中的运动亦是无序的，其小球和小球之间、小球和器壁之间的碰撞特性与分子间的作用情况类似，于是，可将对气体的研究方法及规律的应用迁移到这一情景中来，但应该注意到气体分子间的碰撞是三维的，而本题对小球的碰撞约束在一维状态下，从本题的解答看，这种迁移也为我们带来了意想不到的结果. 另外，我们还应注意到，处理这类问题的过程中，微分的运算对模型的简化起着至关重要的作用，稍有不慎，便会前功尽弃. 20．容器里盛有温度为的气体.问：下面哪一种情况下，气体对器壁产生的压强大：器壁的温度比气体的温度低和器壁的温度比气体高？ 【答案】当器壁比气体热时，气体对器壁的压强大. 【详解】如果 器壁温度与气体温度相同，那么分子碰撞后，动量的垂直分量变为，故动量的总变化量等于，当器壁的温度时，气体被加热，这意味着气体分子离开壁时速度比飞来时大，因而动量也变大，结果动量变化大于，如图（a）所示. 如果，那么气体被冷却，即气体分子离开壁时的速度比飞来时小，显然，在这种情况下，动量变化小于，如图（b）所示. 根据牛顿第二定律，动量变化与平均作用力成正比，所以，当器壁比气体热时，气体对器壁的压强大. 本题虽然只是一道定性的分析试题，但命题角度新颖，且有一定的思维难度. 我们应该清楚，解答习题既是练习巩固知识的过程，同时，习题本身也是课本知识的补充与提升.如本题实际上也告诉我们，从微观方面看，固体与气体间的热传递是如何进行的．这就是对我们知识的一种补充. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 热学篇 专题02 分子动理论 1．1mol氧气储存于一氧气瓶中，温度为27℃，氧气分子的平均平动动能为 ；分子平均总动能为 ；这瓶氧气的内能为 。 2．一容器内盛有密度为的单原子理想气体，其压强为p，则此气体分子的方均根速率为 ；单位体积内气体的内能是 。 3．设某种气体的分子总数为N，分子速率分布函数为f（v），则表达式的含义是（　　） A．速率在v1～v2之间的分子数占总分子数的比例 B．任一分子的速率出现在v1～v2之间的概率 C．速率在v1～v2之间的分子数为N的概率 D．速率在v1～v2之间的分子数目 4．在相同条件下，氧原子的平均动能是氧分子平均动能的（　　） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．一个密闭容器内盛有水（未满），处于热平衡状态，已知水在时的饱和蒸气压为汞高，设水蒸气分子碰到水面时都变成水，气体分子的平均速率与气体的热力学温度的平方根成正比，试近似计算在和时，单位时间内通过单位面积水面的蒸发变为水蒸气的分子数之比等于多少？ 6．由Ν个分子组成的理想气体，体积为V，处于平衡状态，求在给定的体积中有个分子的概率为多大？ 7．正确使用压力锅的方法是：将已盖好密封锅盖的压力锅（如图1）加热，当锅内水沸腾时再加盖压力阀，此时可以认为锅内只有水的饱和蒸气，空气已全部排除，然后继续加热，直到压力阀被锅内的水蒸气顶起时，锅内即已达到预期温度（即设计时希望达到的温度），现有一压力锅，在海平面处加热能达到的预期温度为，某人在海拔的高山上使用此压力锅，锅内有足量的水。已知：水的饱和蒸气压与温度的关系图线如图2所示，大气压强与高度的关系的简化图线如图3所示时；处 （1）若不加盖压力阀，锅内水的温度最高可达多少？ （2）若按正确方法使用压力锅，锅内水的温度最高可达多少？ （3）若未按正确方法使用压力锅，即盖好密封锅盖一段时间后，在点火前就加上压力阀，此时水温为，那么加热到压力阀刚被顶起时，锅内水的温度是多少？若继续加热，锅内水的温度最高可达多少？假设空气不溶于水。 8．证明理想气体的压强，其中n为分子数密度，为气体分子平均动能． 9．某理想气体在温度为T=273K时，压强为p=1.0×102atm，密度=1.24×102kg/m3，则该气体分子的方均根速率为 。（1atm=1.013×105Pa） 10．导体中自由电子的运动可看作类似于气体分子的运动，设导体中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为，概率分布为则，分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 11．南极冰架崩裂形成一座巨型冰山，随洋流漂近一个城市。有人设计了一个利用这座冰山来发电的方案，具体过程为：（）先将环境中一定量的空气装入体积可变的容器，在保持压强不变的条件下通过与冰山接触容器内空气温度降至冰山温度；（）使容器脱离冰山，保持其体积不变，让容器中的冰空气从环境中吸收热量，使其温度升至环境温度；（）在保持容器体积不变的情况下让空气从容器中喷出，带动发电装置发电。如此重复，直至整座冰山融化。已知环境温度，冰山的温度为冰的熔点，可利用的冰山的质量，为了估算可能获得的电能，设计者做出的假设和利用的数据如下： 1.空气可视为理想气体。 2．冰的熔解热；冰融化成温度为的水之后即不再利用。 3．压强为、体积为的空气内能。 4．容器与环境之间的热传导良好，可以保证喷气过程中容器中空气温度不变。 5．喷气过程可分解为一连串小过程，每次喷出的气体的体积都是，且远小于容器的体积。在每个小过程中，喷管中的气体在内外压强差的作用下加速，从而获得一定动能，从喷嘴喷出。不考虑喷出气体在加速过程中体积的改变，并认为在喷气过程中容器内的气体压强仍是均匀的，外压强的大气压。 6．假设可能获得的电能是总和的。 7．当时，。 试根据设计者的假设，计算利用这座冰山可以获得的电能。 12．有刚性双原子分子理想气体，其内能为。 （1）求气体的压强； （2）设气体分子总数为个，求分子的平均动能和气体的温度。 13．一定量理想气体经等容过程温度升高为原来的4倍，则其分子平均碰撞频率变为原来的 倍。若该气体经等温过程体积膨胀为原来的2倍，则其分子平均自由程变为原来的 倍。 14．储存有CH4的钢瓶以80m/s的速度作定向运动，假设该钢瓶突然停止，全部定向运动的机械能都转变为气体的内能，此时容器温度升高了 K，钢瓶内气体分子的平均动能增加了 J。（，） 15．在一定速率v附近，麦克斯韦速率分布函数 f （v） 的物理意义是：一定量的理想气体在给定温度下处于平衡态时的（　　） A．速率为v的分子数 B．速率在v ~ v + dv区间的分子数 C．速率为v的分子数占总分子数的比例 D．速率在v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比例 16．现有以下信息： （1）通过对悬浮在某种气体中的烟粒的布朗运动的观察和测量，得到以下数据：在，观测得直径为、质量为的烟粒的平均速率为．假定烟粒的平均动能可用其质量与平均速率的平方来表示，则在~之间，烟粒的平均动能与温度t的关系为一直线，此直线向低温的延长线与t轴交于处．如图所示． （2）由于气体分子间的碰撞、气体分子与烟粒间的碰撞，在相同温度下烟粒的平均动能与气体分子的平均动能相等． （3）该气体的温度升高所吸收的热量，即该气体的比热．该气体液化成液体的体积为． 请回答下列问题： （1）假定你对分子的特性了解甚少，根据且仅根据以上信息，你对看不见、摸不着的上述气体分子的重要性质可获得哪些初步认识？ （2）在应用以上信息得出气体分子有关特性的过程中，你认为有哪些地方欠严格？有什么问题应进一步研究或探讨？请把它们一一列出． 17．为模拟汽缸中活塞压缩气体的热运动的机制，可将汽缸中某一气体分子简化成质量为m，并在缸底与活塞之间频繁地来回弹跳的弹性小球．若活塞以恒定速度v移向缸底，如图所示，设分子与活塞和缸底间的碰撞均为弹性碰撞，且分子所受重力可忽略不计．回答下列问题． (1)开始时分子以速率（）与活塞正碰，求该分子与活塞经过k次碰撞后的速率． (2)设开始时活塞与缸底相距为l，当活塞移至与缸底相距为x时，分子速率为求此时分子对活塞的平均冲力． (3)当活塞位置移动时，分子速率也随之变化，求活塞位置χ与分子速率v之间的关系． (4)活塞位置由l移至x的过程中，外力做功多少？ 18．一种理想气体装在半径为R的球形容器内，温度为T气体分子的质量为m，分子数密度为n，设气体分子与容器壁弹性碰撞，求气体对器壁产生的压强p与气体分子的平均动能密度u之间的关系. 19．在一柱形容器内，有大量相同的小球沿着容器的长度方向往返运动.小球可视为质点，小球之间以及小球与容器端面（与其长度方向垂直）之间做弹性碰撞，小球的速率以及向前还是向后运动都是无规则的.可引入“温度”的概念，它是由小球的平均动能定义的，式中是玻尔兹曼常数，今在容器的一端安装平面弹性活塞，并使活塞缓慢地沿容器长度方向向内推进，运动的小球因与活塞做弹性正碰撞增加了动能，从而使系统的“温度”升高. 上述模型实际上就是单原子分子理想气体一维热运动绝热压缩的微观模型. 试导出在活塞缓慢推进过程中，“温度”与体积的关系式（此即单原子分子理想气体的一维绝热过程方程）.设重力、引力、各种阻力和摩擦力均可忽略. 20．容器里盛有温度为的气体.问：下面哪一种情况下，气体对器壁产生的压强大：器壁的温度比气体的温度低和器壁的温度比气体高？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $