力学篇 专题01 物体的运动（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

力学篇 专题01 物体的运动 全国高中物理竞赛、强基计划专项训练 1．一带正电荷的粒子以某一初速度进入匀强电场中。忽略重力影响，为了使粒子的速度方向在最短的时间内发生的偏转，则电场方向与粒子的初速度方向之间的夹角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，电场方向与粒子的初速度方向之间的夹角为，电场力产生的加速度为，速度方向发生的偏转所需的时间为，根据矢量关系可得 令，可整理为 变形可得 分子分母同时乘以，可得 代入可得 要使得时间最短，即需要满足的取值最大，即 可得 解得 故选A。 2．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为 （其中a、b为常量）, 则该质点作（　　） A．匀速直线运动 B．变速直线运动 C．抛物线运动 D．一般曲线运动 【答案】B 【详解】速度 大小 方向与成角，则有 即速度大小随时间均匀增大，速度方向不变，故质点做变速直线运动。 故选B。 3．一质点沿x轴运动，其加速度为，已知时，质点位于处，初速度。试求其位置和时间的关系式。 【答案】 【详解】根据加速度的定义 则 则 故 同理 4．某质点的运动方程为（采用SI单位制），则t=1秒时该质点运动的切向加速度大小为（单位：米/秒2）（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】对运动方程求导，可得其速度方程 再对速度方程 当t=1秒时，其切向加速度为 大小为 故C正确。 故选C。 5．已知一质点作直线运动，其加速度。开始运动时，x＝5m，v＝0，求该质点在t＝10s时的速度和位置。 【答案】见解析 【详解】根据加速度定义式 分离变量，得 积分，得 由题知，，，则有 故 又因为 分离变量 积分得 由题知，，则有 故 所以时 6．均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是（　　） A．角速度从小到大，角加速度不变 B．角速度从小到大，角加速度从小到大 C．角速度从小到大，角加速度从大到小 D．角速度不变，角加速度为零 【答案】C 【详解】如图所示，在棒下落过程中，重力对轴之力矩是变化的，其大小与棒和水平面的夹角有关。当棒处于水平位置时，重力矩最大，当棒处于竖直位置时，重力矩为零。因此在棒下落过程中重力矩由大到小，由转动定律知，棒的角加速度由大到小，而棒的角速度却由小到大（由机械能守恒亦可判断角速度变化情况）。 故选C。 7．长为l、质量为m的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动，如果将细杆置于水平位置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设细杆的角加速度为，细杆的转动惯量为 在转动瞬间，只有重力力矩，有 整理有 故选A。 8．水杯绕其对称轴匀速旋转过程中，稳定情况下（　　） A．水会由于黏滞阻力而停下 B．水会随着水杯匀角速旋转 C．形成的水面形状为旋转抛物面 D．形成的水面形状为旋转双曲面 E．形成的水面形状为旋转半椭圆面 【答案】BC 【详解】由于黏滞阻力，水最终会随着水杯一起匀速旋转，相对于水杯静止后，水滴只受重力和其他水的支持力，液面截面为抛物面。 故选BC。 9．如图，由轻杆构成的等边三角形三个顶点上分别固定一个小球，使三个小球在同一水平面上运动。某时刻A球的速度恰好为，方向与杆垂直，B球的速度为，方向与杆垂直，则此时C球的速度大小为 ，方向与杆夹角为 。 【答案】 60o 【详解】[1][2]过A、B点分别作v1、v2的垂线，交点为O，该点为整个刚体的瞬心，如图所示 此时C球也绕O点转动，根据几何关系可知 此时C球的速度 方向与OC垂直，即与BC间的夹角为60o。 10．一个喷漆桶能够向外喷射不同速度的油漆雾滴，某同学要测量雾滴的喷射速率。他采用如图所示的装置，一个直径为d的纸带环，安放在一个可以按照不同转速转动的固定转台上，纸带环上刻有一条狭缝A，在狭缝A的正对面的纸带环的内侧画一条标志线。在转台开始转动达到稳定转速时，向侧面开有同样狭缝B的纸盒中喷射油漆雾滴，当狭缝A转至与狭缝B正对平行时，雾滴便通过狭缝A在纸带的内侧面留下痕迹。将纸带从转台上取下来，展开平放，并用毫米刻度尺进行测量，如图所示。 （1）简述侧面开有狭缝B的纸盒子的作用。 （2）如果转台转动的周期为T，写出这些雾滴喷射速率的范围。（用字母表示） 【答案】（1）起到“准直”作用；（2） 【详解】（1）使进入狭缝A的雾滴都能沿半径方向入射，起到“准直”作用。以减小由于速度方向不同对于速度大小测量带来的误差。 （2）雾滴在纸带环内运动的位移为d，设雾滴到标志线的距离为s，则雾滴在纸带环内运动的可能时间为 所以雾滴可能的速度为 因此雾滴可能的速度范围是 11．将从自来水管龙头流出的水调成很细的水流，你会发现，在靠近出水口处的水流是连续的且较粗，而在远离龙头出水口处水流会变得很细，甚至会发生间断的现象，这是为什么？ 【答案】见解析 【详解】水离开水龙头在空中做加速直线运动，因此在离出水口距离越大的位置，水的速度越大。 因单位时间内从水管中流出相同质量的水，所以水的流速越大的位置，水流的横截面积较小，因此水流会变得很细。 当在远离出水口的位置，水流变得很细时，由于水的表面张力作用将会把水流拉断，从而出现在远离出水口的位置水流间断的现象。 12．电脑中用的光盘驱动器，可使光盘以恒定角速度转动。光盘上凸凹不平的小坑就是存贮的数据信息记录。激光头发出激光在扫描这些凸凹不平的小坑的过程中，可读取相应的数据信息。要求激光头在读取数据过程中，每秒读取的数据量相同，那么光盘上凸凹不平的小坑的密集程度应为（　　） A．越靠近内圈越密集 B．越靠近外圈越密集 C．中间位置最密集 D．各处密集程度相同 【答案】A 【详解】同一张光盘，角速度相等，根据 所以内圈外圈的转动周期相同。每一圈的信息量等于周长与小坑数的乘积。每一圈的周长 半径越大，周长越长，由于每秒读取的数据量相同，所以越靠近内圈，周长越短，小坑越密集。 故选A。 13．一辆卡车如果在如图 所示凸凹不平的路面上以一定速率行驶，由于载重量过大，轮胎有可能发生爆胎现象。在这段路上最容易发生爆胎现象的地段应是（　　） A．a处 B．b处 C．c处 D．d处 【答案】D 【详解】根据牛顿第二定律，在a、c处 在b、d处 其中为路面对卡车的作用力，分析可得，相同速率下，轮胎在a、c处受到的路面作用力小于b、d处。且半径越小，作用力越大，所以d处路面对轮胎作用力最大，最易爆胎。 故选D。 14．一质点作匀角加速度圆周运动，，已知，，，求任一时刻t的质点运动的角速度和角位移的大小。 【答案】 ， 【详解】由题有 则 解得 由题有 则 15．某物体的运动规律为，式中的k为大于零的常数，当t=0时，初速为速度与时间的函数关系是怎样的? 【答案】 【详解】由加速度定义有                分离变量并取积分，有                即 由于t=0时，，因此 故当t=0时，初速为速度与时间的函数关系为 16．距离我们为处有一恒星，其质量为，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为，摆动范围的最大张角为。假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它做圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量所满足的方程。若光年，年，毫角秒，（为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径各为多少？分别用太阳质量和国际单位（平均日地距离）作为单位，只保留一位有效数字。已知1毫角秒角秒，1角秒度，，光速。 【答案】， 【详解】设该恒星中心到恒星一行星系统质心的距离为，根据题意有             （1） 将有关数据代入（1）式，得。又根据质心的定义有             （2） 式中为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离。根据万有引力定律有             （3） 由（2）、（3）两式得             （4） [若考生用表示行星到恒星  行星系统质心的距离，从而把（2）式写为，把（3）式写为，则同样可得到（4）式，这也是正确的。]利用（1）式，可得         （5） （5）式就是行星质量所满足的方程。可以把（5）试改写成下面的形式         （6） 因地球绕太阳做圆周运动，根据万有引力定律可得             （7） 注意到，由（6）和（7）式并代入有关数据得         （8） 由（8）式可知 由近似计算可得             （9） 由于小于1/1000，可近似使用开普勒第三定律，即             （10） 代入有关数据得             （11） 17．一质量为的人造卫星在离地面的高度为的高空绕地球做圆周运动，那里的重力加速度。由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降。已知物体在密度为的流体中以速度运动时受到的阻力可表示为，式中是物体的最大横截面积，是拖曳系数，与物体的形状有关，当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数，取卫星的最大横截面积。已知地球的半径为。试由以上数据估算卫星所在处的大气密度。 【答案】 【详解】参考解答： 设一年前、后卫星的速度分别为、，根据万有引力定律和牛顿定律有             （1）             （2） 式中为万有引力恒量，为地球的质量，和分别为一年前、后卫星轨道的半径，即             （3）             （4） 卫星在一年时间内动能的增量             （5） 由（1）、（2）、（5）三式得         （6） 由（3）、（4）、（6）式可知，，表示在这过程中卫星的动能是增加的。 在这过程中卫星引力势能的增量         （7） ，表示在这过程中卫星的引力势能是减少的。卫星机械能的增量             （8） 由（6）、（7）、（8）式得         （9） ，表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由（3）、（4）式可知，因、非常接近，利用             （10）             （11） （9）式可表示为             （12） 卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为的轨道运行一周过程中空气作用于卫星的阻力做的功         （13） 根据万有引力定律和牛顿定律有        （14） 由（13）、（14）式得             （15） （15）式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。卫星绕半径为的轨道运行一周经历的时间             （16） 由（14）、（16）式得             （17） 由于在一年时间内轨道半径变化不大，可以认为是恒量，且             （18） 以表示一年的时间，有         （19） 卫星在一年时间内做圆周运动的次数             （20） 在一年时间内卫星克服空气阻力作的功             （21） 由功能关系有             （22） 由（15）、（18）、（20）、（21）、（22）各式并利用得             （23） 代入有关数据得             （24） 18．超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪器。一种超声波流量计的原理示意如图所示。在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外表面上和处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器、和接收器、。位于处的超声波脉冲发射器向被测液体发射超声脉冲，当位于处的接收器接收到超声脉冲时，发射器立即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从传播到所经历的时间和超声脉冲从传播到所经历的时间，又知道了、两点的距离以及沿管道轴线的投影，管道中液体的流速便可求得。试求。 【答案】 【详解】参考解答： 解法一 声波的传播速度是声波相对媒质的速度。以表示由发射器向管道中液体发射的超声脉冲相对液体的速度，其大小为；表示液体的流速，方向沿管道向右；以表示超声脉冲相对管道的速度，其方向沿、的连线，由指向，如图1所示。根据速度叠加原理，有 （1） 以表示、的连线与管道轴线的夹角，根据（1）式和图1可得 （2） 即 （3） 解得 （4） 发射器向管道中液体发射的超声脉冲传播到接收器所需的时间 （5） 以表示由发射器向管道中液体发射的超声脉冲相对液体的速度，其大小为；以表示液体的流速，方向沿管道向右；以表示超声脉冲相对管道的速度，其方向沿、的连线，由指向，如图2所示。根据速度叠加原理，有 （6） 根据（6）式和图2可得 （7） 即 （8） 解（8）式得 （9） 发射器向管道中液体发射的超声脉冲传播到接收器所需的时间 （10） 由（5）、（10）式有 （11） 把（4）、（9）式代入（11）式，得 （12） 注意到 （13） 得 （14） 解法二 由于，可以近似求得超声波由到的传播时间和由到的传播时间分别为 （1） （2） 其中是、连线与管道轴线的夹角。由（1）、（2）两式得 （3） 注意到 （4） 得 （5） 19．有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞。以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机，用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用H表示）的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 【答案】见解析 【详解】解法一 小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间t变化的关系如图所示。设照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为hA，小球开始下落处到玻璃管底部的距离为H。 小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点。 现以表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的时间），表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也就是从A点上升至最高点所需的时间），表示小球从A点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升至A点所需的时间）。显然，。 根据题意，在时间间隔的起始时刻和终了时刻小球都在A点。用n表示时间间隔T内（包括起始时刻和终了时刻）小球位于A点的次数（n≥2）。下面分两种情况进行讨论： 1.A点不正好在最高点或最低点。 当n为奇数时有                       （1） 在（1）式中，根据题意可取中的任意值，而              （2） 当n为偶数时有                （3） 由（3）式得                                                                    （4） 由（1）、（3）、（4）式知，不论n是奇数还是偶数，都有                                                            （5） 因此可求得，开始下落处到玻璃管底部的距离的可能值为                                                   （6） 若用表示与n对应的H值，则与相应的A点到玻璃管底部的距离                                                （7） 当n为奇数时，可取中的任意值，故有                 n=3，5，7，· · ·      （8） 可见与相应的的可能值为0与之间的任意值。 当n为偶数时，，由（6）式、（7）式求得的可能值                n=2，4，6，· · ·            （9） 2.若A点正好在最高点或最低点。 无论n是奇数还是偶数都有                             n=2，3，4，· · ·    （10）                n=2，3，4，· · ·    （11）                   n=2，3，4，· · ·    （12） 或         （13） 解法二 因为照相机每经一时间间隔T拍摄一次时，小球都位于相片上同一位置，所以小球经过该位置的时刻具有周期性，而且T和这个周期的比值应该是一整数。下面我们就研究小球通过某个位置的周期性。 设小球从最高点（开始下落处）落下至管底所需时间为，从最高点下落至相片上小球所在点（A点）所需时间为，从A点下落至管底所需时间为，则         （1） （小球上升时通过相应路程段所需时间与下落时同一路程所需时间相同，也是、和） 从小球在下落过程中经过A点时刻开始，小球经过的时间后上升至A点，再经过时间后又落到A点，此过程所需总时间为。以后小球将重复这样的运动。小球周期性重复出现在A点的周期是多少？分两种情况讨论： （1）。，和都不是小球在A点重复出现的周期，周期是。 （2）。，小球经过时间回到A点，再经过时间又回到A点，所以小球重复出现在A点的周期为。 下面就分别讨论各种情况中的可能值和A点离管底的距离的可能值。（如果从小球在上升过程中经过A点的时刻开始计时，结果一样，只是和对调一下） 1.H的可能值     （1）。较普遍的情况，。与的比值应为一整数，的可能值应符合下式     ，       （2） 由自由落体公式可知，与此相应的的数值为              （3） （2）。。的可能值应符合下式                    （4） 故的可能值为            （5） 当为偶数时，即时，（5）式与（3）式完全相同。可见由（3）式求得的的可能值包含了的全部情况和的一部分情况。当为奇数时，即时，由（5）式得出的的可能值为              （6） 它们不在（3）式之内，故（3）式和（6）式得出的合在一起是的全部的可能值。 2.与各H值相应的的可能值 a。 与相应的的可能值 由于在求得（3）式时未限定A点的位置，故的数值可取0和之间的任意值，即                     （7） b。 与（为奇数）相应的的可能值 这些数值与A位于特定的位置，，相对应，所以对于每一个对应的是一个特定值，它们是                 （8） 20．一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道，其半径为R、此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属小珠P穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电荷Q，已知在轨道平面内A点（）放有一电荷q，若在连线上某一点放电荷，则给P一个初速度，它就沿轨道做匀速圆周运动。求点位置及电荷之值。 【答案】位于圆外距圆环的距离处； 【详解】因为P可沿圆轨道做匀速圆周运动，说明此圆轨道是一等势线，将此等势线看成一个球面镜的一部分。已知半径为R，所以此球面镜的焦距为。 由成像公式 若q为物点，为像点不成立，只能是为物点成虚像于q，所以有 即位于圆外距圆环的距离处 又∴ 解得 21．（1）一个半径为R的大圆盘以固定角速度绕过其圆心的竖直轴匀速转动，将另一个半径为r，质量为m的小圆盘放在大圆盘上，小圆盘圆心与大圆盘圆心距离为，施加外力使得小圆盘圆心不动（外力不提供力矩）。求出稳定状态下，小圆盘的转动角速度。两盘间摩擦系数为 （2）一个半径为R，质量为m的圆筒竖直放在水平桌面上，和桌面之间的摩擦系数为。圆筒由一根绳索牵引，绳索自由端速度为v。求出圆筒稳定运动时的质心速度和角速度。 【答案】（1）；（2）， 【详解】（1）小圆盘角速度为。在分析摩擦力作用时，选用大圆盘转动系。小圆盘在此系中做平面平行运动。 当时，很容易得到，瞬心和大圆圆心相距，小圆盘绕瞬心转动角速度为。 （2）小圆盘上每一点受到的摩擦力方向和相对运动方向相反。如图所示 我们考虑两条虚线夹出的小区域。整个条带受到的摩擦力方向都是相同的，但是，很显然，质量线密度从右到左递增。因此这个条带受到的摩擦力关于盘心的力矩非0。而对于圆盘切出的每个条带，都有一样的结论，因此最终圆盘受到的力矩一定非0，不平衡。 因此，只有可能。注意到此时小圆盘相对大圆盘平动，因此摩擦力力矩一定为0，平衡。 由绳索上的速度关联可得 由对称性，摩擦力在竖直方向上的分量为0。而水平方向上的分量应该和绳索的拉力等大反向。而摩擦力提供的力矩和绳索的拉力力矩平衡。如果直接使用积分试图得到摩擦力的合力与合力矩会非常麻烦。考虑到系统具有的对称性，我们可以用微元法进行一些简单的分析。 和上一题用同样的方法，考察圆筒运动的瞬心。 如图所示，考虑左右对称的两点处的质量微元。假设每个质元收到的摩擦力为，这两个质元受到的摩擦力合力为，这一部分被绳上拉力平衡，拉力对圆心的力矩贡献为。而摩擦力对圆心的力矩贡献为。这两个力矩抵消的条件是，根据几何关系，不难证明，当瞬心在圆周上时恒成立。而瞬心在圆周上要求，即 。 22．有一小虫子沿正方形盘上的一轨道运动，正方形盘放在一光滑水平面上，正方形盘和虫子的质量分别为，轨迹相对盘为，盘的边长为。如图建立坐标系，虫子从处出发，当然的，在以下的题目中，请把小虫子当做质点。同时有 （1）请写出正方形盘绕z轴的转动惯量。 （2）求出虫子运动到的时候正方形盘转过的角度。你可以保留定积分。 （3）请求出上一问积分的数值解。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由垂直轴定理 考虑体系动能 其中 （2）同时考虑到角动量守恒后 积分 （3）带入数值后得到 23．如图，长为L的轻细杆一端通过小铰链连在水平地面上，另一端固定一质量为m的小铁球，杆与地之间放有一质量为M的方形木块。忽略一切摩擦，开始时系统静止，杆与地面间的夹角为，释放后（　　） A．只要m足够大，球与木块就不可能相接触 B．只有M足够大，球与木块才有可能相接触 C．只要足够大，球与木块就不可能相接触 D．无论m、M、多大，球与木块都会相碰 【答案】D 【详解】释放后，木块会在水平面上滑动，杆会绕铰链转动，设当杆转至与水平面夹角为时木块的速度为，小球速度，木块边长为，杆与木块接触点为A，根据杆上A、B两点速率关系可知 在木块与杆的接触点A处，木块的速率和A的速率的关系 解得 所以无论m、M、多大，球与木块都会相碰。 故选D。 24．如图，一质量为M、长度为L的平板车紧靠水平台阶放置，小车上表面恰好与右台阶等高，一只质量为m的小青蛙蹲在车右端。青蛙奋力向左跳出时，最远只能跳到车的左端。已知重力加速度为g，平板车与地面间的摩擦可忽略。 （1）若青蛙竖直向上跳，求青蛙能到达的最大高度； （2）若青蛙奋力沿与地面成角的右上方方向跳出，求落地时刻青蛙在台阶上的落点与小车右端的距离； （3）若在右台阶上放置一个球体，为了让青蛙奋力跳出后，能从球体正上方一跃而过，求该球体半径R的最大值。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）青蛙奋力向左跳出，做斜抛运动，即竖直方向为竖直上抛运动，水平方向为匀速直线运动，设初速度与水平方向夹角为，则 ， 青蛙落回平板车，竖直位移为零，则 所以当时，水平位移最大为L，所以 若青蛙竖直向上跳，求青蛙能到达的最大高度 （2）设青蛙向右跳离时速度为，小车速度为，运动时间为，则 落地时刻青蛙在台阶上的落点与小车右端的距离 （3）设青蛙恰好能从球体正上方一跃而过时，青蛙向右跳离时速度为，与水平方向夹角为，小车速度为，轨迹与球体相切于B点，此时青蛙速度为，与水平方向夹角为 青蛙从B点运动到最高点C点的时间为，则根据能量守恒定律和动量守恒定律可得 联立解得 当时，该球体半径R为最大值 25．如图，将质量为m、半径为R的匀质实心球从倾角为的无限长固定斜面上发射，已知球心初速度垂直于斜面，大小为V，球初始的自转角速度为零。为方便描述实心球此后的运动，在斜面参考系中建立如图3a所示的平面直角坐标系，其中x轴沿斜面向下，y轴垂直于斜面向上。假设球与斜面的碰撞是弹性的，碰撞时间极短，且碰撞前、后的瞬间球垂直于斜面的速度大小不变。进一步假设斜面足够粗糙，以至于在球与斜面的碰撞过程中，其间摩擦力足够大、接触点无相对滑动。已知球绕其直径的转动惯量为，求 （1）第1次碰撞前的球心速度和球的自转角速度； （2）第1次碰撞后的球心速度和球的自转角速度； （3）第n次碰撞后球心沿着x轴方向的速度以及球的自转角速度； （4）前n次碰撞过程中斜面对球施加的总冲量。 【答案】（1）；零；（2） ；；（3）见解析所示；（4） 【详解】（1）设重力加速度大小为g。由质心运动定理得到 球从出射到落下期间做抛体运动，球心在时刻t的速度为（以球抛出瞬间为时间零点） 相对于其初始位置的位移为 设球从出射到再次落到斜面所需时间为T，有 由此得 再次落到斜面时球心的速度则为 即垂直于斜面的速度大小不变、方向相反，而沿着斜面的速度的增加为 球在空中运动时，只受重力作用，由于相对于球心的力矩为零，因而由质心系中以质心为参考点的角动量定理知，球在空中运动时角速度不变，仍为零。 （2）设球的角速度和球心在x方向的速度在某次碰撞前分别为和，碰撞后则分别变为了和，这里角速度均以顺时针转动为正。设碰撞过程中摩擦力沿着负x轴方向投影的时间平均值为。由动量定理 以及质心角动量定理 可得 由弹性碰撞过程中动能前后不变 可得 联立得 ， 因为碰撞过程中有静摩擦，故去掉了增根。根据（1）问结果，第1次碰撞前有 将其代入得，第1次碰撞后有 即第1次碰撞后，球心速度为 这里和分别表示沿x轴正向和y轴正向的单位矢量。 （3）设第n次碰后的角速度和球心在x方向的速度分别为和（略去下标f，下同），从第次碰撞后到第n次碰撞前，小球绕球心的角速度不变，为，沿着x方向的速度由增加为。应用于第n次碰撞得 【解法一】将乘某个常数再与相加得 选取满足 符合条件的有两个，分别为 分别将其代入，给出 由此解得 联立后可给出 由此得 ， 因此当n为偶数时 当n为奇数时 ， 【解法二】联立可得 此外，若 可得 考虑到 当n为偶数时 当n为奇数时 （4）第k次碰撞前后，球心在x方向的速度分别为和，因而前n次碰撞过程中斜面对球提供的x方向的总冲量为 求和利用了初始条件 此外每次碰撞过程中斜面给球的y方向的冲量相同，均为，故 因此总冲量为 和代入得 当n为偶数时 当n为奇数时 26．一质量为的封闭车厢在水平地面上运动。车厢内底面水平。车厢内一乘客试通过车厢内的实验来研究车厢在水平地面上的运动。他在车厢底面上建立与底面固连的平面直角坐标系（xOy系），并在坐标原点O放置一质量为的物块A。在时，A从静止开始运动。在时间段内，A在xOy系中x、y方向上的速度、与时间t的关系分别如图a、b所示。已知物块A与车厢内底面之间滑动摩擦系数为，重力加速度大小。 （1）求时，物块A在xOy系中的位置； （2）在地面上建立静止的坐标系，使轴、轴分别与系的x轴、y轴方向两两相同。求在坐标系中，车厢在方向所受到的合力在整个过程中的冲量。 【答案】（1）（，）；（2），方向沿轴负方向 【详解】（1）在系中，由图a、b所示速度图线，可知，在阶段Ⅰ（），物块A做匀加速直线运动，它在x、y方向的加速度分别为 在阶段Ⅱ，A做匀速直线运动。在阶段Ⅲ，A做类斜抛运动，它在y方向做匀速直线运动，在x方向做匀加速直线运动，加速度为 由速度图线，可知，在系中，物块A在内时间段沿x、y方向的位移分别为 在时，物块A在系中的位置为（，）。 （2）设车厢相对于水平地面在方向的加速度为。设在某一时刻物块A速度方向与y轴夹角为。物体A在系中x方向上受到摩擦力和惯性力的作用，由牛顿第二定律有 同理，在系中，车厢在方向所受到的合力满足 车厢在方向所受到的合力在整个过程中的冲量为 整理有 由加速度的定义有 在阶段Ⅰ、Ⅱ，物体A相对车厢做初速度为零的直线运动，因此角度保持不变，其值为 在阶段Ⅲ，在系中，有 考虑到，物块A在阶段Ⅲ做类斜抛运动，随时间改变，但在抛物线顶点两侧的对称点上恰好反号。于是有 这意味着在阶段Ⅲ滑动摩擦力在x方向上的冲量为零，实际上滑动摩擦力与物块速度方向相反；在阶段Ⅲ的前一半和后一半，物块在x方向上的速度方向相反，因此，作用在物块上的滑动摩擦力方向相反；再由运动轨迹的对称性可知，在阶段Ⅲ的前一半和后一半，滑动摩擦力在x方向上的冲量正好相互抵消。由上述各式得 解得 方向沿轴负方向。 27．三个质量皆为的小球a、b、c由三段长度皆为的不可伸长的轻细线、、相继连接，竖直悬挂，并处于静止状态，如图所示。在某一时刻，小球a、b受到水平方向的冲击，分别获得向右、向左的大小为的速度。此时，中间那段细线的张力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知球a  、b的加速度分别为 以b为参考系，对c分析 解得 以a为参考系，对b 分析 解得 故选D。 28．初始状态下，6只蚂蚁分别位于边长为的正六边形的六个顶点处。在某一时刻，它们开始以不变的速率相互追逐，速度方向始终指向前面的蚂蚁，最后在正六边形的中心相遇。则六只蚂蚁走过的总路程长度为 。 【答案】12L 【详解】由题意，因为每只蚂蚁的速度方向始终指向前面的蚂蚁，且最后在正六边形的中心相遇，所以在任意时刻六只蚂蚁所在位置均为正六边形的顶点，这个正六边形逐渐缩小，直至最后相遇时缩小为一点，根据几何关系可知u在指向正六边形中心方向的分量大小为 每只蚂蚁的运动时间为 六只蚂蚁走过的总路程长度为 29．如图所示，粗糙平面上有一个均匀圆柱形线轴，线轴内外半径之比为。下列说法正确的是（　　） A．可适当选取的大小方向使线轴滑动 B．可适当选取的大小方向使线轴静止 C．若，则线轴可能静止 D．若，则线轴可能滑动 E．若，则线轴可能纯滚 【答案】ABCE 【详解】ABCDEF．受力分析如图所示 判断线轴如何运动，应该以质心为参考点，考虑转动定理和水平方向牛顿第二定律 结合纯滚动条件 解得 这个结论说明，当时，无论多大，线轴都不会发生转动，显然不满足条件。故D错误 同时线轴是否发生滑动主要取决于摩擦因数是否足够大。故ABCEF都有可能。 故选ABCE。 30．如图所示，、、为三个质点，的质量远远大于、的质量，和的质量相等。已知、之间，、之间存在相互吸引力。、之间存在相互排斥力，三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动： 、、的相对位置固定，它们构成一个平面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点的质量远远大于、的质量，可认为该轴过质点且固定不动；连线与转轴的夹角与连线与转轴的夹角不相等，且，。若之间吸引力的大小，之间吸引力的大小为，其中、分别为、与、之间的距离，为比例系数，不计重力的影响。试问的值在什么范围内，上述运动才能实现？ 【答案】a<0，a>2 【详解】以表示质点的质点，表示连线与竖直方向的夹角，表示转动角速度，表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有 ，        （1） ，        （2） ，        （3） 。        （4） 由（1）、（3）两式并利用（2）、（4）两式可得 。        （5） 考虑到几何关系             （6） 并利用已知和的表示式。可由（5）得到             （7） 又，由（2）、（4）式可得。        （8） 带入已知的和的表达式可得 。            （9） 联立（7）、（9）从而有 。        （10） 如果，则意味着方程             （11） 在区间有两个不同的解，其中为某一合适的常数。这要求函数在区间不能是单调函数，也就是说和不能同时为单调增函数或单调减函数。因此当增大时，若增大，则应减小；反之，若减小，则应增大，故与同号。因此有             （12） 。            （13） 对，可知在及时均为零，因此在区间一定存在极值点，意味着方程（11）在合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对亦然。因此条件（12）、（13）是符合题意要求的充分必要条件。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $力学篇专题01物体的运动 全国高中物理竞赛、强基计划专项训练 1.一带正电荷的粒子以某一初速度进入匀强电场中。忽略重力影响，为了使粒子的速度方向在最短的时间 内发生”的偏转，则电场方向与粒子的初速度方向之间的夹角是() 6 A. 2元 B. 2 c D牙 2.一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表示式为下=ai+bt2)(其中a、b为常量)，则该质点作 () A,匀速直线运动 B.变速直线运动 C.抛物线运动 D.一般曲线运动 3.一质点沿x轴运动，其加速度为a=41(SI),己知t=0时，质点位于x。=10m处，初速度v。=0。试求其 位置和时间的关系式。 4.某质点的运动方程为)=t司+7+等家（采用S1单位制)，则1秒时该质点运动的切向加速度大 小为（单位：米/秒2）() A.0 B.√2 C.5 D.√5 5.已知一质点作直线运动，其加速度a=4十3tm·s2)。开始运动时，x=5m,v=0,求该质点在t=10s时 的速度和位置。 6.均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示，今使棒从水平位置由静 止开始自由下落，在棒摆到竖直位置的过程中，下述说法正确的是() A,角速度从小到大，角加速度不变 B.角速度从小到大，角加速度从小到大 试卷第1页，共3页 C.角速度从小到大，角加速度从大到小 D.角速度不变，角加速度为零 7.长为1、质量为m的匀质细杆，可绕过其端点的水平轴在竖直平面内自由转动，如果将细杆置于水平位 置，然后让其由静止开始自由下摆，则开始转动的瞬间，细杆的角加速度为() A等 B. 38 c D. g 8.水杯绕其对称轴匀速旋转过程中，稳定情况下() A.水会由于黏滞阻力而停下 B.水会随着水杯匀角速旋转 C.形成的水面形状为旋转抛物面 D.形成的水面形状为旋转双曲面 E.形成的水面形状为旋转半椭圆面 9.如图，由轻杆构成的等边三角形三个顶点上分别固定一个小球，使三个小球在同一水平面上运动。某时 刻A球的速度恰好为y=3m/s,方向与BC杆垂直，B球的速度为y2=3m/s,方向与AC杆垂直，则此时C 球的速度大小为 ,方向与BC杆夹角为 A C 10.一个喷漆桶能够向外喷射不同速度的油漆雾滴，某同学要测量雾滴的喷射速率。他采用如图所示的装 置，一个直径为的纸带环，安放在一个可以按照不同转速转动的固定转台上，纸带环上刻有一条狭缝A, 在狭缝A的正对面的纸带环的内侧画一条标志线。在转台开始转动达到稳定转速时，向侧面开有同样狭缝 B的纸盒中喷射油漆雾滴，当狭缝A转至与狭缝B正对平行时，雾滴便通过狭缝A在纸带的内侧面留下痕 迹。将纸带从转台上取下来，展开平放，并用毫米刻度尺进行测量，如图所示。 (1)简述侧面开有狭缝B的纸盒子的作用。 (2)如果转台转动的周期为T,写出这些雾滴喷射速率的范围。（用字母表示） 试卷第1页，共3页 标志线 狭缝B 喷 ∩狭缝A 纸带 转台 S2 陕缝A 雾滴痕迹藏 标志线 mm mnmmmmimni 0cm 2 11.将从自来水管龙头流出的水调成很细的水流，你会发现，在靠近出水口处的水流是连续的且较粗，而 在远离龙头出水口处水流会变得很细，甚至会发生间断的现象，这是为什么？ 12.电脑中用的光盘驱动器，可使光盘以恒定角速度转动。光盘上凸凹不平的小坑就是存贮的数据信息记 录。激光头发出激光在扫描这些凸凹不平的小坑的过程中，可读取相应的数据信息。要求激光头在读取数 据过程中，每秒读取的数据量相同，那么光盘上凸凹不平的小坑的密集程度应为() A.越靠近内圈越密集 B.越靠近外圈越密集 C.中间位置最密集 D.各处密集程度相同 13.一辆卡车如果在如图所示凸凹不平的路面上以一定速率行驶，由于载重量过大，轮胎有可能发生爆胎 现象。在这段路上最容易发生爆胎现象的地段应是() 。A b A.a处 B.b处 C.c处 D.d处 14.一质点作匀角加速度圆周运动，B=阝。，已知t=0,0=0。,o=0,求任一时刻t的质点运动的角速 度和角位移的大小。 15.某物体的运动规律为业=-kw,式中的k为大于零的常数，当1=0时，初速为%速度与时间的函数关 dt 系是怎样的？ 16.距离我们为L处有一恒星，其质量为M,观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T,摆动范围的最大 张角为△0。假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它做圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质 试卷第1页，共3页 量m所满足的方程。若L=10光年，T=10年，△0=3毫角秒，M=M、(Ms为太阳质量)，则此行星的质 量和它运动的轨道半径”各为多少？分别用太阳质量Ms和国际单位AU(平均日地距离)作为单位，只保 留一位有效数字。己知1毫角秒= ,L角秒，1角秒=，度，1AU=1.5×10km,光速c=3.0x10kmS。 1000 3600 17.一质量为m=3000kg的人造卫星在离地面的高度为H=180km的高空绕地球做圆周运动，那里的重力 加速度g=9.3ms2。由于受到空气阻力的作用，在一年时间内，人造卫星的高度要下降△H=0.50km。已 知物体在密度为P的流体中以速度运动时受到的阻力F可表示为F=了PAC,式中A是物体的最大横截 面积，C是拖曳系数，与物体的形状有关，当卫星在高空中运行时，可以认为卫星的拖曳系数C=1,取卫 星的最大横截面积A=6.0m2。已知地球的半径为R。=6400km。试由以上数据估算卫星所在处的大气密度。 18.超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪 器。一种超声波流量计的原理示意如图所示。在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外 表面上P和？处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器T、T和接收器R、R。位于P处 的超声波脉冲发射器T向被测液体发射超声脉冲，当位于P处的接收器飞接收到超声脉冲时，发射器T立 即向被测液体发射超声脉冲。如果知道了超声脉冲从P传播到所经历的时间和超声脉冲从传播到 所经历的时间t,,又知道了P、B两点的距离1以及I沿管道轴线的投影b,管道中液体的流速便可求得。 试求u。 PTR P2TR2 19.有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一小球自某处自由下落（初速度为零），落 到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞。以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动。现用支架固定一照相机， 用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一张照片，照相机的曝光时间极短，可 忽略不计。从所拍到的照片发现，每张照片上小球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离 (用H表示)的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。 20.一个由绝缘细线构成的刚性圆形轨道，其半径为R、此轨道水平放置，圆心在O点，一个金属小珠P 穿在此轨道上，可沿轨道无摩擦地滑动，小珠P带电荷Q,己知在轨道平面内A点(OA=r<R)放有一电 试卷第1页，共3页 荷9，若在OA连线上某一点放电荷A,则给P一个初速度，它就沿轨道做匀速圆周运动。求A点位置及 电荷9之值。 4 OR 21.(1)一个半径为R的大圆盘以固定角速度2绕过其圆心的竖直轴匀速转动，将另一个半径为”，质量为 m的小圆盘放在大圆盘上，小圆盘圆心与大圆盘圆心距离为d(d>,R>d+r),施加外力使得小圆盘圆心 不动（外力不提供力矩）。求出稳定状态下，小圆盘的转动角速度。两盘间摩擦系数为4 (2)一个半径为R,质量为m的圆筒竖直放在水平桌面上，和桌面之间的摩擦系数为μ。圆筒由一根绳索 牵引，绳索自由端速度为v。求出圆筒稳定运动时的质心速度和角速度。 22.有一小虫子沿正方形盘上的一轨道运动，正方形盘放在一光滑水平面上，正方形盘和虫子的质量分别 R盘的边长为2R。如图建立坐标系，虫子从x=y=0处出发，当 2πx】 为M,m,轨迹相对盘为y=bsin 然的，在以下的题目中，请把小虫子当做质点。同时有 ≤1 R (1)请写出正方形盘绕z轴的转动惯量。 (2)求出虫子运动到x=R的时候正方形盘转过的角度。你可以保留定积分。 (3)b=0.5,M=3请求出上一问积分的数值解。 R m 23.如图，长为L的轻细杆一瑞通过小较链连在水平地面上，另一端固定一质量为m的小铁球，杆与地之 间放有一质量为M的方形木块。忽略一切摩擦，开始时系统静止，杆与地面间的夹角为O,释放后() 试卷第1页，共3页 m M 77777777777777777777777777777 A.只要m足够大，球与木块就不可能相接触 B.只有M足够大，球与木块才有可能相接触 C.只要O足够大，球与木块就不可能相接触 D.无论m、M、O多大，球与木块都会相碰 24.如图，一质量为M、长度为L的平板车紧靠水平台阶放置，小车上表面恰好与右台阶等高，一只质量 为m的小青蛙蹲在车右端。青蛙奋力向左跳出时，最远只能跳到车的左端。已知重力加速度为g,平板车 与地面间的摩擦可忽略。 (1)若青蛙竖直向上跳，求青蛙能到达的最大高度； (2)若青蛙奋力沿与地面成0=45°角的右上方方向跳出，求落地时刻青蛙在台阶上的落点与小车右端的距 离 (3)若在右台阶上放置一个球体，为了让青蛙奋力跳出后，能从球体正上方一跃而过，求该球体半径R的 最大值。 m 11111111110 M 0m044040444444444444440 25.如图，将质量为m、半径为R的匀质实心球从倾角为Θ的无限长固定斜面上发射，已知球心初速度垂 直于斜面，大小为'，球初始的自转角速度为零。为方便描述实心球此后的运动，在斜面参考系中建立如图 3所示的平面直角坐标系，其中x轴沿斜面向下，y轴垂直于斜面向上。假设球与斜面的碰撞是弹性的，碰 撞时间极短，且碰撞前、后的瞬间球垂直于斜面的速度大小不变。进一步假设斜面足够粗糙，以至于在球 与斜面的碰撞过程中，其间摩擦力足够大、接触点无相对滑动。已知球绕其直径的转动惯量为1=m,求 5 (1)第1次碰撞前的球心速度和球的自转角速度： (2)第1次碰撞后的球心速度和球的自转角速度； (3)第n次碰撞后球心沿着x轴方向的速度以及球的自转角速度； 试卷第1页，共3页 (4)前n次碰撞过程中斜面对球施加的总冲量。 水平面 26.一质量为M=1000kg的封闭车厢在水平地面上运动。车厢内底面水平。车厢内一乘客试通过车厢内的 实验来研究车厢在水平地面上的运动。他在车厢底面上建立与底面固连的平面直角坐标系(xOy系)，并在 坐标原点O放置一质量为m=5.0kg的物块A。在t=0时，A从静止开始运动。在0≤t≤15s时间段内，A 在xOy系中x、y方向上的速度y.、y,与时间t的关系分别如图a、b所示。己知物块A与车厢内底面之间 滑动摩擦系数为μ=0.20，重力加速度大小g=10m/s2。 (1)求t=15s时，物块A在xOy系中的位置； (2)在地面上建立静止的坐标系x'Oy,使x'轴、y轴分别与x0y系的x轴、y轴方向两两相同。求在坐 标系x'Oy'中，车厢在x'方向所受到的合力在整个过程(0≤t≤15s)中的冲量。 个y,/cms 40 v/cm.s 15 0 20 10 t/s 0 10 15 -40 图a 图b 27.三个质量皆为m的小球α、b、c由三段长度皆为1的不可伸长的轻细线L、L2、L相继连接，竖直悬 挂，并处于静止状态，如图所示。在某一时刻，小球α、b受到水平方向的冲击，分别获得向右、向左的大 小为的速度。此时，中间那段细线L的张力大小为() v<b 试卷第1页，共3页 A.211g B.2mg+4mv C.2mg+5mv2 D.2mg+11mv2 28.初始状态下，6只蚂蚊分别位于边长为L的正六边形的六个顶点处。在某一时刻，它们开始以不变的速 率相互追逐，速度方向始终指向前面的蚂蚁，最后在正六边形的中心相遇。则六只蚂蚁走过的总路程长度 为 29.如图所示，粗糙平面上有一个均匀圆柱形线轴，线轴内外半径之比为环：大=3：4。下列说法正确的是 () A.可适当选取F的大小方向使线轴滑动 B,可适当选取F的大小方向使线轴静止 C.若0=30°，则线轴可能静止 D.若0=30°，则线轴可能滑动 E.若0=30°，则线轴可能纯滚 30.如图所示，A、B、C为三个质点，A的质量远远大于B、C的质量，B和C的质量相等。已知A、B 之间，A、C之间存在相互吸引力。B、C之间存在相互排斥力，三个把质点在相互间引力或斥力的作用 下运动，如果作用力合适，可以存在一种如下形式的运动：A、B、C的相对位置固定，它们构成一个平 面，三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动；因为质点A的质量远远大于B、C的质量，可认为 该维过质点A且西定不动：连线4B与转轴的夹角网与连线4C与转轴的夹角4不相等，且0<9，<行， 0<,<至.若AB之间吸引方的大小fu=AB,4C之间吸引为的大小为人=AC,其中4B、AC 分别为A、B与A、C之间的距离，k为比例系数，不计重力的影响。试问的值在什么范围内，上述运动 试卷第1页，共3页 才能实现？ ●B C 试卷第1页，共3页