热学篇 专题05 热力学定律（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

热学篇 专题05 热力学定律 1．1mol单原子理想气体经历的循环过程如图，其中V1，V2已知，ab为等温线，求循环的效率。 【答案】 【详解】由题知 为等压变化，则 为吸热过程 为吸热过程 为放热过程 循环的效率 2．如图所示，真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板A、B、C、D平行放置，表面涂黑（可看成黑体）。最外侧两块板的热力学温度各维持为和，且，当达到热稳定时，求B板的温度。 【答案】 【详解】热量从A向D流动的过程中，各个板的温度达到稳定状态，根据斯忒藩—玻尔兹曼定律 联立解得 3．如图，一端开口的玻璃管竖直放置，开口朝上，玻璃管总长为，截面积为，玻璃管内用水银封闭一段理想气体，水银和理想气体之间有一无限薄的无质量无摩擦活塞，气体长度与水银柱长度均为，假定大气压强为，气体初始温度，重力加速度为，水银密度，该理想气体摩尔等体热容，其中普适气体常量。 （1）过程一：对封闭气体缓慢加热，使得水银上液面恰好到达玻璃管开口处，求过程一封闭气体对外做功是多少？ （2）过程二：继续对封闭气体缓慢加热，直到水银恰好全部流出，通过计算说明过程二能否缓慢稳定发生？ （3）计算过程二封闭气体吸热是多少？ 注：封闭气体质量可忽略，计算结果保留两位有效数字。 【答案】（1）；（2）此过程对能缓慢稳定发生 ；（3） 【详解】（1）封闭气体压强 气体发生等压变化，对外做的功 （2）气体恰好将逸出时，温度为T1，该过程为等压过程 可得 设剩余水银柱的长度为x，根据理想气体状态方程 整理得 显然当x=0时，温度最高，因此温度逐渐升高的过程中，水银缓慢逸出，此过程对能缓慢稳定发生。 （3）水银全部逸出时，气体的温度 该过程中，气体对外做的功 根据 可知封闭气体的物质的量 气体内能的增量 根据热力学第一定律，可知该过程吸收的热量 4．一定量的单原子分子理想气体，从A态出发经等压过程膨胀到B态，又经绝热过程膨胀到C态，如图所示。试求这全过程中气体对外所作的功，内能的增量以及吸收的热量。 【答案】E=0，1.49×106 J，1.49×106 J 【详解】由图可看出 根据理想气体状态方程有 得到 故全过程中，始末状态温度相同，则 B→C过程是绝热过程，有 QBC = 0 A→B过程是等压过程，有 故全过程吸收的热量为 Q = QBC+QAB=1.49×106 J 根据热力学第一定律Q=W+E，得全过程气体对外所作的功为 W = Q-E=1.49×106J 5．一容器用绝热、无摩擦、不漏气的活塞分隔为左、右两室，其中各充有2mol双原子分子理想气体。开始时两室内体积、温度均为，，左室通过左侧导热壁与温度为的恒温热库相接触，右室与外界绝热，如图所示。今用外力将活塞缓慢推动直到左室体积减至，试求此过程中外力所做的功及气体从恒温热库中吸收的热量。（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】左室气体经过等温压缩过程，吸热为 右式气体为绝热膨胀，末态温度为 对活塞做功 因此外力做功为 故选C。 6．地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收。被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）。热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃—玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率与表面的热力学温度的四次方成正比，即，其中是一个常量。已知太阳表面温度，太阳半径，地球到太阳的平均距离。假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为。 （1）如果地球表面对太阳辐射的平均反射率，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？ （2）如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为，其余部分的反射率处。问冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为。 【答案】（1）；（2） 【详解】1。 根据题意，太阳辐射的总功率。太阳辐射各向同性地向外传播。设地球半径为，可以认为地球所在处的太阳辐射是均匀的，故地球接收太阳辐射的总功率为             （1） 地球表面反射太阳辐射的总功率为。设地球表面的温度为，则地球的热辐射总功率为             （2） 考虑到温室气体向地球表面释放的热辐射，则输入地球表面的总功率为。当达到热平衡时，输入的能量与输出的能量相等，有             （3） 由以上各式得         （4） 代入数值，有             （5） 2。 当地球表面一部分被冰雪覆盖后，以表示地球表面对太阳辐射的平均反射率，根据题意这时地球表面的平均温度为。利用（4）式，可求得             （6） 设冰雪覆盖的地表面积与总面积之比为，则             （7） 由（6）、（7）两式并代入数据得             （8） 7．火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度、压强的炽热高压气体在燃烧室内源源不断生成，并通过管道由狭窄的喷气口排入气压的环境。假设燃气可视为理想气体，其摩尔质量为，每摩尔燃气的内能为（是常量，T为燃气的绝对温度）。在快速流动过程中，对管道内任意处的两个非常靠近的横截面间的气体，可以认为它与周围没有热交换，但其内部则达到平衡状态，且有均匀的压强、温度T和密度，它们的数值（r+R随着流动而不断变化，并满足绝热方程（恒量），式中R为普适气体常量，求喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。 【答案】， 【详解】于火箭燃烧室出口处与喷气口各取截面与，它们的面积分别为和，由题意，，以其间管道内的气体为研究对象，如图所示。设经过很短时间，这部分气体流至截面与之间，间、间的微小体积分别为，两处气体密度为，流速为。气流达到稳恒时，内部一切物理量分布只依赖于位置，与时间无关。由此可知，尽管间气体更换，但总的质量与能量不变。 先按绝热近似求喷气口的气体温度。 质量守恒给出 （1） 即气体可视为由气体绝热移动所得。事实上，因气流稳恒，气体流出喷口时将再现气体状态。对质量的气体，利用理想气体的状态方程 （2） 和绝热过程方程 （3） 可得 （4） 再通过能量守恒求气体的喷射速率。由（1）式及，可得 （5） 再利用（1）、（3）式，知，因故 （6） 整个体系经时间的总能量（包括宏观流动机械能与微观热运动内能）增量为部分与部分的能量差。由于重力势能变化可忽略，在理想气体近似下并考虑到（6）式，有 （7） 体系移动过程中，外界做的总功为 （8） 根据能量守恒定律，绝热过程满足 （9） 得 （10） 其中利用了（2）、（4）两式。 8．如图所示为一放在支架上的直立汽缸，其上部圆筒的体积为，内有一质量为、截面积为的很薄的活塞，下部圆筒足够长，内有一质量为、截面积为的活塞，两圆筒由一细而短的管道连通.活塞均可在各自的圆筒内无摩擦地上下滑动，活塞的上方盛有的理想气体，活塞、之间盛有的同种理想气体，达到平衡时，上方气体的温度为，、之间的气体的体积大于，该理想气体每摩尔的内能可用来表示，为恒量，为热力学温度。设活塞、汽缸壁、管道都是不导热的，活塞处的大气压强为，今通过上圆筒顶部的电热丝对上方气体缓慢加热，若在整个加热过程中传递给上方气体的热量为，问 （1）在达到平衡时，上方气体的温度等于多少？ （2）在加热过程中，活塞对大气所做的功等于多少？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）活塞的位置与上方的气体的温度有关，只要活塞不达到上部圆筒的底部，上方气体和下方气体所进行的过程都是等压过程，用和分别表示上、下气体的压强，有 ① ② 令表示温度为时，上方气体的体积，则起始时活塞不达到上部圆筒的底部的条件是 ③ 由以上三式得到 ④ 1.情况Ⅰ.若过高，条件③不满足，即 上方气体的体积，加热时气体体积不变，为等容过程，不做功.根据热力学第一定律 即⑤ 情况Ⅱ.若满足等压过程条件③，则上方气体的初始体积为 ⑥ 在加热过程中，活塞向下移动.设移动的距离为，则上方气体对外做的功 为加热过程中，上方气体体积的增加量.若为上方气体末态的体积，则，上方气体在等压过程中做的功为 ⑦ 由热力学第一定律 ⑧ 下面再分两种情况讨论： 1.设整个过程完成后，活塞仍未达到上圆筒的底部，则有 ⑨ 将此式及⑥式代入⑧式中，得 ⑩ 因为此情况成立的条件是，反映到⑧式中则要求 （2）活塞下部的气体的压强始终保持恒定不变，与外界亦不发生热交换.如果该气体对外界做了一定量的功，则由⑥式可知气体的体积将增大.根据该气体的气态方程和内能表示式，（式中为下部气体的摩尔数）.气体体积的增加将导致温度上升，内能增加.但根据热力学第一定律，在绝热的条件下，若气体对外界做了一定量的功，其内能必减少.这一矛盾的结论表明气体不可能对外界做功，气体的体积也不会减小.即在绝热的条件下，一定质量的理想气体，若其压强恒定不变，则其体积也恒定不变.在本题中，体积保持恒定不变有几种不同的情况. 情况Ⅰ.上方体积.即活塞已到达圆筒的底部，活塞不移动，活塞也不移动，活塞对大气做功 情况Ⅱ.（1）活塞未达到上部圆筒的底部，向下移动一定的距离后仍未达到上部圆筒的底部，活塞向下移动适当的距离，从而保持下部气体的体积不变.在这种情况下，活塞对大气的压力为，它对大气所做的功 式中是活塞扫过的体积.由于下部气体的体积不变，所以活塞扫过的体积等于活塞扫过的体积，即等于上部气体体积的增加，由⑥和⑨式可知 代入式并利用⑩式可得 当时，，其中在传给上部气体的过程中，活塞对大气做的功仍由式表示；而在传给上部气体的过程中，活塞不动，所以活塞亦不动，对大气做功为零.因此由式和式得 总结以上，可知 这是一道热学综合题.此题的特点在于有几种不同的情况，不仅末态有不同情况，初态也有不同的情况.做题时不应忽略任何一种情况，对每一种情况都要加以讨论 9．热机和热泵利用物质热力学循环实现相反功能：前者从高温处吸热，将部分热量转化为功对外输出，其余向低温处放出；后者依靠外界输入功，从低温处吸热，连同外界做功转化成的热量一起排向高温处，按热力学第二定律，无论热机还是热泵，若工作物质循环过程中只与温度为T1，T2的两个热源接触，则吸收的热量满足不等式，其中热量可正可负，分别表示从热源吸热与向热源放热。原供暖设备原本以温度的锅炉释放的热量向房间直接供暖，使室内温度保持恒温，高于户外温度。为提高能源利用率，拟在利用原有能源的基础上采用上述机器改进供暖方案，与直接供暖相比，能耗下降的理论极限可达到多少？ 【答案】 【详解】为表述方便，以下热量均用绝对值表示． 可以采用热机热泵联合供暖方案：利用热机从锅炉吸收热量，转化为功；此功驱动热泵，从户外吸热，向室外放热． 热机的高温热源锅炉，低温热源可选室内或户外环境．以室外为例，设热机从锅炉吸热，向室外放热，则有（1） 热泵的高、低温热源分别为室内、户外环境．设热泵从户外吸热，向室外放热，则有（2） 通过热机、热泵联合工作，室内获得的总能量为（3） 将（1）、（2）两式相加，得（4） 若热机以户外环境为低温热源，同理可得上式．由能量守恒定律给出（5） 直接供暖时，给室内供热，锅炉所释放的热量为（6） 联立（4）（5）两式，可得热机热泵供暖锅炉释放的热量为 （7） 能耗下降率为（8） 理论极限为上式取等号． 10．一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为，出射的光束截面积为，试问： （1）当该光束垂直入射到一物体平面上时，可能产生的光压的最大值为多少？ （2）这束光垂直射到温度T为，厚度的铁板上，如果有80%的光束能量被激光所照射到的那一小部分铁板所吸收，并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱孔，这需要多少时间？ 已知，对于波长为的光束，某每一个光子的动量为，式中h为普朗克恒量。铁的有关参数为：热容量，，熔点，熔解热，摩尔质量。 【答案】（1）；（2）0.192秒 【详解】1.当光束垂直入射到一个平面上时，如果光束被完全反射，且反射光垂直于平面，则光子的动量改变达最大值： ① 此时该光束对被照射面的光压为最大。设单位时间内射到平面上的光子数为n，光压P的数值就等于这些光子对被照射面积A的冲量（也就是光子动量的改变量）的总和除以面积A，即 ② 每个光子的能量为，这里c为真空中的光速，为光的频率，因而 ③ 于是，由②式： （帕）④ 2.激光所照射到的质量为M那一小部分铁板在熔化过程中所吸收的热量为 ⑤ 所以，秒⑥ 评分标准：本题15分。①式占3分，②式占2分，③式占3分，算出④式得2分，⑤式占3分，算出⑥式得2分。 11．如图所示，一团理想气体经过了一个准静态过程的循环，A→B是等温过程，B→C是等容过程，C→A是绝热过程下面说法正确的有（　　） A．AB状态气体内能相等 B．整个循环过程外界对气体做功为正 C．CA过程体系内能增加，外界对体系做功为正 D．若气体为单原子分子理想气体，则AC过程满足p为常数 【答案】AC 【详解】A．在理想气体中，分子势能为零，故温度决定了分子动能，也就决定了气体的内能，而A到B是等温过程，故其内能是不变的，故A正确； B．A到B内能不变，气体膨胀对外做功，故它需要吸收热量，做功的大小等于AB与体积轴所围成的面积，BC过程是等容变化，气体不做功，C到A的过程是绝势过程，即不吸热也不放热，体积减小，故是压缩气体，对气体做功，其做功的大小也等于AC图线与体积V轴所围成的面积，所以整体来看AB和CA所围的面积不相等，对外做功大于对气体做功，故整体是气体对外做功，故B错误； C．CA过程是体积减小，即压缩体积，外界对气体做功，而 Q=0 故其内能增加，故C正确； D．若气体为单原子分子理想气体，则AC过程满足为常数，而这个 而不是 故D错误。 故选AC。 12．横截面积为S和2S的两圆柱形容器按图示方式连接成一汽缸，每个圆筒中各置有一活塞，两活塞间的距离为l，用硬杆相连，形成“工”字形活塞，它把整个汽缸分隔成三个气室，其中I、Ⅲ室密闭摩尔数分别为ν和2ν的同种理想气体，两个气室内都有电加热器；Ⅱ室的缸壁上开有一小孔，与大气相通；1 mol该种气体内能为CT(C是气体摩尔热容量，T是气体的绝对温度)．当三个气室中气体的温度均为T1时，“工"字形活塞在汽缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态，这时I室内气柱长亦为l，Ⅱ室内空气的摩尔数为．已知大气压不变，汽缸壁和活塞都是绝热的，不计活塞与汽缸之间的摩擦．现通过电热器对I、Ⅲ两室中的气体缓慢加热，直至I室内气体的温度升为其初始状态温度的2倍时，活塞左移距离d，已知理想气体常量为R．求： （1）Ⅲ室内气体初态气柱的长度；     （2）Ⅲ室内气体末态的温度； （3）此过程中I、Ⅲ室密闭气体吸收的总热量． 【答案】（1）  （2）   （3） 【详解】（1）设大气压强为p0．初态：I室内气体压强为p1；III室内气体压强为p3，气柱的长度为l3；末态：I室内气体压强为p1′；III室内气体压强为p3′；由初态到末态：活塞左移距离为d． 首先用整体法，力学平衡 p3(2S)= p1S+ p0(2S－S) 然后对三部分气体分别分析： p1lS=νRT1 p0（） p3l3(2S)=(2ν)RT1 联立上述各式得： =   得： l3= （2）方法同第（1）小题 p3′(2S)= p1′S+ p0(2S－S) 对I室中气体 p1′(l－d)S=νRT2=νR2T1 对III室中气体： p3′(l3+d)(2S)=(2ν)RT3′ T3′= （3）大气对密闭气体系统做的功为： W=p0(2S－S)(－d)=－p0Sd=－ 系统密闭气体内能增加量为 ΔU=νC(T1′－T1)+ (2ν)C(T3′－T3) 且初态T3= T1，故 ΔU=νC(2T3′－T1) 将T3′代去得 ΔU=[－1]νCT1 密闭气体系统吸收的热量为 Q=ΔU－W=[－1]νCT1+ 13．空气是混合气体，其中质量的分配是氮气约占76.9%，氧气约占23.1%，其余成分可忽略不计．现有一汽缸，缸内充有空气，并装有一些由细钢丝做成的钢丝棉．设汽缸内的活塞能无摩擦地运动，设缸内气压恒定为1大气压．设缸内非常缓慢地进行化学反应，设化学反应生成1摩尔的后，因氧气耗尽而中止．已知化学反应过程是在1大气压、300K条件下进行的，在此过程中系统释放出焦的热量．（设缸内气体可视为理想气体；设1摩尔氧气和1摩尔氮气的内能均为；设缸内钢丝棉等固态物质与缸内气体相比，所占体积很小，可忽略不计）试求在此过程中： (1)系统内能的改变量； (2)缸内气体内能的改变量； (3)缸内氮气密度的改变量． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】(1)缸内的化学反应是 可见为了生成lmol的需要1.5mol的和2mol的Fe．由题设，这1.5mol的就是缸内的全部氧气，当它耗尽后，因反应是在等温、等压条件下进行的，又因Fe和的体积可略，缸内气体的体积将减少△V．由理想气体状态方程，得， 式中：就是消耗的的摩尔数． 体积减小意味着在化学反应过程中系统对外做功（活塞可无摩擦运动），为 ． 已知系统在此过程中吸热为， 因此，由热力学第一定律，系统内能增量为，即系统的内能减少了． (2)缸内气体包括和，的温度不变，又未参加反应，摩尔数也不变，故的内能不变．的温度不变，但因参加反应，摩尔数减少（耗尽），内能相应减少．因此，缸内气体在此过程中内能的改变量为 ，式中用到1mol的内能为的条件． (3)经化学反应后，缸内生成lmol的,同时耗尽了缸内全部1.5mol的，故开始时，缸内的质量为（的摩尔质量为32g） ． 由题设，缸内的质量为． 用表示latm，p表示反应前的分压强，表示反应前缸内空气的体积（它等于反应前的体积，也等于反应前的体积），V表示反应后的体积（反应过程缸内气体压强不变，为，反应后耗尽，体积将减少），和分别表示和的摩尔质量． 对于和，在反应前，有，． 反应结束后，对，有． 因此，反应前后缸内密度的改变量为． 代入表达式及数据得． 【点睛】化学反应是缸内的Fe（钢丝）与缸内空气中的化合生成，缸内空气中的并不参与反应，但反应后的密度有所变化．所以系统包括Fe，，和．只有弄清楚上述基本概念，才能根据热力学第一定律、理想气体状态方程及有关条件顺利求解．本题讨论化学反应过程的热力学问题，这在物理竞赛中并不多见，值得注意． 14．3.2g的氧气（绝热指数取为7/5）从初态1（,）出发，经过等压过程到达状态2（），再经过等容过程到达状态3（），又经过绝热过程到达状态4，状态4的温度刚好与状态1的温度相同，最后经等温过程回到状态1，构成循环过程． (1)试求循环过程的效率η (2)设初态1的熵为，取系统熵S为纵坐标，系统温度Τ为横坐标．试尽可能正确地画出循环过程的曲线，要求，曲线形状定性正确，标明曲线各特征点的坐标，其中S可表为，加上或减去相应的数值． 【答案】（1）（2） 【详解】在坐标面上画出循环过程12341的曲线，如图所示，由题设，氧气的摩尔质量M，摩尔数等体摩尔热容量，等压摩尔热容量，绝热指数γ分别为 ，，，，． (1)由理想气体状态方程，循环过程中各有关过程的过程方程，以及题目给定的数据，可以算出状态1,2,3,4的p，V，T值如下表（具体计算从略）： 等压过程1～2的吸热量为． 等体过程2～3的吸热量为． 绝热过程3～4的吸热量为零．等温过程4～1的放热量为． 故循环过程12341的效率为． (2)理想气体的熵可表示为． 将理想气体的状态方程为代入，可得出理想气体熵的另一表达式为． 在等压过程1～2中，熵增量为 ． 在等压过程1～2中，熵随温度T的变化率应为． 可见，在等压过程1～2中，曲线的斜率随T增大而减小．在等容过程2～3中，状态3相对状态1的熵增量为 ． 在等容过程2～3中，熵S随温度T的变化率应为． 可见，在等体过程2～3中，曲线的斜率随T增大而减小，但因，曲线的弯曲程度应不如等压过程1～2，这些都将在图中的曲线上显示出来． 在绝热过程3～4中，熵不变，即． 故绝热过程3～4的曲线应是一条等熵的直线． 在等温过程4～1中，温度不变，即． 故等温过程4～1的曲线应是一条等温的直线． 综合以上全部结果，可将循环过程12341的曲线画出，如图所示． 15．一热机工作于两个相同材料的物体Α和Β之间，两物体的温度分别为和（），每个物体的质量为m，比热容恒定，均为s，设两个物体的压强保持不变，且不发生相变． (1)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体Α和B最终达到的温度的表达式，给出解题的全部过程． (2)由此得出允许获得的最大功的表达式． (3)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为,一箱水的温度为350K，另一箱水的温度为300K．计算可获得的最大机械能．已知水的比热容，水的密度． 【答案】（1）   （2）    （3） 【详解】(1)为获得最大的机械能，可设热机工作的全过程由n（）个元卡诺循环组成，第i次卡诺循环中，卡诺热机从高温热源（温度设为）处吸收的热量为后，温度降为；在低温热源（温度设为）处放出的热量为后，温度升高为，满足． 又，， 可知． 令（，A为常数）， 有，．即，， 解得和，所以． (2)由卡诺热机的循环过程可知 ． (3)根据题意代入数据即可得． 16．n摩尔单原子理想气体的，其准静态过程在p、V坐标面上的过程线如图所示为一直线，其中Α为初态，B为终态． (1)试确定过程中的关系，画出曲线； (2)确定过程中的关系，画出V曲线，并据此确定过程中的吸热、放热区域． 【答案】（1） （2） ；吸热、放热情况见解析． 【详解】由图很易得过程线方程为 ． 将上式与状态方程联立，消除p，即得 ． 关系曲线如图所示，过程中从升温，从．降温，在处温度达到极大值，过程在该处附近类似于等温过程． (2)对过程热容量C有 ． 由关系可得 展开后略去含因子的高阶小量，可得． 将它们与前面给出的含C关系式联立，消去△V并将代入，可得． C-V曲线如图所示． 由图示曲线，对过程中的吸热、放热情况作如下讨论． 区域：C正，升温，由可知可知△Q为正，系统吸热．在接近处，，类似等温过程． 区域：C负，降温，由可知△Q为正，系统吸热．在接近处，，类似等温过程；在处，,类似绝热过程． 区域：C正，降温，由可知△Q为负，系统放热． 综上讨论可知，．区域为系统吸热区域，区域为系统放热区域． 17．温度℃，，压强的1mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积由V0膨胀至原来的3倍。 （1）计算这个过程中气体对外所作的功； （2）假若气体经绝热过程体积由V0膨胀至原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）等温过程气体对外作功为 （2）由绝热过程方程 得 则绝热过程气体对外作功为 18．1mol范德瓦尔斯气体的熵为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】范式气体内能增量 由状态方程 结合热力学第一定律 积分得 故选D。 19．某秋天清晨，气温为4.0℃，一加水员到实验园区给一内径为2.00m、高为2.00m的圆柱形不锈钢蒸馏水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为4.00cm的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短），顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩擦），并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为100m。 （1）从清晨到中午，气温缓慢升至24.0℃，问此时观察柱内水位为多少?假设中间无人用水，水的蒸发及罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 （2）从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少?求这个过程中罐内空气的热容量。 已知罐外气压始终为标准大气压p0=1.01×105Pa，水在4.0°C时的密度为=1.00×103kg·m-3，水在温度变化过程中的平均体积膨胀系数为=3.03×10-4K-1，重力加速度大小为g=9.80m·s-2，绝对零度为-273.15℃. 【答案】（1）1.82m；（2）-1.9×103J，5.54×104J，2.77×103J·K-1 【详解】（1）清晨加完水封闭后，罐内空气的状态方程为 P0V0=nRT0            ① 式中n为罐内空气的摩尔数，P0、V0=m3和T0=277.15K分别是此时罐内空气的压强、体积和温度。 至中午时，由于气温升高，罐内空气压强增大，设此时罐内空气的压强、体积和温度分别为p1、V1和T1，相应的状态方程为 P1V1=nRT1           ② 式中T1=297.15K，空气和水的体积都发生变化，使得观察柱中水位发生变化，此时观察柱内水位和罐内水位之差为      ③ 式中右端第三项是由原罐内和观察柱内水的膨胀引起的贡献，l0=1.00m为早上加水后观测柱内水面的高度，S1=m2，S2=4×10-4m2分别为罐、观察柱的横截面积。由力平衡条件有            ④ 式中           ⑤ 是水在温度为T1时的密度。联立①②③④⑤式得关于Δh的一元二次方程为         ⑥ 式中 ，         ⑦ 解方程⑥得    ⑧ 另一解不合题意，舍去。由③⑤⑦⑧式和题给数据得 m3            ⑨ 由上式和题给数据得，中午观察柱内水位为 （2）先求罐内空气从清晨至中午对外所做的功。 （解法一）早上罐内空气压强P0=1.0l×105Pa；中午观察柱内水位相对于此时罐内水位升高Δh，罐内空气压强升高了 =7.913×103Pa=1.05×103Pa             ⑩ 由于Δp<<p0，可认为在准静态升温过程中，罐内空气平均压强为 =1.0495×105Pa=1.05×105Pa          ⑾ 罐内空气体积缩小了 ΔV=0.0180m3         ⑿ 可见<<1，这说明⑾式是合理的。罐内空气对外做功 w=-1.889×103J=-1.9×103J         ⒀ （解法二）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午之间的任意时刻，设罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V、T和p。水温为T时水的密度为           ⑩ 将②③④式中的V1、T1和p1换为V、T和p，利用⑩式得，罐内空气在温度为T时的状态方程为        ⑾ 由题设数据和前面计算结果可知 这说明⑾式右端分子中与T有关的项不可略去，而右端分母中与T有关的项可略去。于是⑾式可        ⑾ 利用状态方程，上式可改写成           ⑿ 从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为    ⒀ =-1.890×103J=-1.9×103J （解法三）缓慢升温是一个准静态过程，在封闭水罐后至中午的任意时刻，罐内空气都处于热平衡状态，设其体积、温度和压强分别为V、T和p。水在温为T时的密度为        ⑩ 将②③④式中的V1、T1和p1，换为V、T和p，利用⑩式得，罐内空气在温度为T时的状态方程为        ⑾ 式中应用了 ⑾式可改写成       ⑿ 从封闭水罐后至中午，罐内空气对外界做的功为    ⒀ =-1.890×103J=-1.9×103J 现计算罐内空气的内能变化。由能量均分定理知，罐内空气中午相对于清晨的内能改变为 =5.724×104J=5.72×104J     ⒁ 式中5是常温下空气分子的自由度。由热力学第一定律得，罐内空气的吸热为 =5.535×104J=5.54×104J      ⒂ 从密闭水罐后至中午，罐内空气在这个过程中的热容量为 =2.77×103J·K-1               ⒃ 20．欧洲核子研究中心的大型强子对撞机上进行了高能铅核-铅核碰撞的实验，碰撞后的初始产物可视为温度很高的“火球”，其内的物质主要由静止质量很小、速度极其接近于光速的夸克组成。本题忽略该物质中除夸克外的其他组分，将其视为“夸克物质”，并将夸克都近似视为质点，夸克之间除相互碰撞的瞬间外无相互作用，碰撞过程中粒子数目守恒，其速度分布是各向同性的。已知温度为T时，在任一动量大小区间内，夸克物质中能量为E的夸克粒子的分布比率（概率分布密度）正比于，其中玻尔兹曼常量或理想气体普适常量R视为已知量。 （1）试在本题模型近似下，导出夸克物质的状态方程（用压强P与能量密度平均值u之间的关系表出）。 （2）试在本题模型近似下，导出夸克物质以压强P、粒子数密度n和温度T之间的关系表述的状态方程。 （3）试在本题模型近似下，求夸克物质的定体摩尔热容和热容比（定压摩尔热容与定体摩尔热容的比值）。 （4）假设铅核-铅核碰撞的早期产物形成的“火球”近似为球形，半径约为，其中的夸克物质温度约为。此后，“火球”迅速膨胀降温，至温度约为时，夸克物质中的夸克开始被束缚在一起形成质子和中子。假设“火球”的膨胀降温过程可近似为准静态的绝热过程，求出质子和中子刚刚形成时“火球”的半径。 【答案】（1）；（2）；（3），；（4） 【详解】（1）对夸克物质中的夸克按其速度进行分组，设第i组夸克数密度为，速度为，能量为，动量为。因其速度大小极其接近于光速c，故近似有 ① 式中表示的方向矢量。如图 为了求出压强与其他物理量之间的关系，可以设想取假想器壁截面的面元，时间内的撞壁粒子数为 ② 其中为第i组粒子速度的x分量，而 粒子与假想器壁截面发生弹性碰撞时，单粒子与壁交换动量。第i组粒子贡献的压强为 ③ 利用粒子速度（动量）分布的各向同性，总压强为 ④ 将①式代入④式，得 ⑤ 其中为夸克的平均能量，为单位体积内夸克的平均能量，即平均能量密度u。⑤式即是夸克物质以P与u之间的关系表示的状态方程。 （2）依题意，夸克物质中的夸克的平均能量可以表示为 ⑥ 其中夸克能量，因此 ⑦ 可令，并令 ⑧ 则有 ⑨ 将⑧式代入得 ⑩ 将⑩式代入⑤式得 ⑪ 此即夸克物质以压强p、粒子数密度n和温度T之间的关系表述的状态方程，与非相对论理想气体状态方程形式相同。（后文中，“≈”均记为“=”） （3）设阿伏加德罗常量为。考虑夸克物质，其内能为 ⑫ 由热力学第一定律，定体摩尔热容为 ⑬ 令夸克物质的摩尔体积为，由热力学第一定律，定压摩尔热容为 ⑭ 将⑪⑫式代入⑭式 ⑮ 故热容比为 ⑯ （4）依题意，“火球”的膨胀降温过程可近似为准静态的绝热过程，即 常量⑰ ⑯式代入⑰式，得 常量⑱ 设“火球”半径为r，则，代入⑱式得 常量⑲ 故所求“火球”半径为 ⑳ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $热学篇专题05热力学定律 1.1mol单原子理想气体经历的循环过程如图，其中V,V2己知，ab为等温线，求循环的效率。 0 2.如图所示，真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板A、B、C、D平行放置，表面涂黑（可看成黑 体)。最外侧两块板的热力学温度各维持为T和T,,且T>T4,当达到热稳定时，求B板的温度。 AB C D 3.如图，一端开口的玻璃管竖直放置，开口朝上，玻璃管总长为l=75.0cm,截面积为S=10.0cm2,玻璃 管内用水银封闭一段理想气体，水银和理想气体之间有一无限薄的无质量无摩擦活塞，气体长度与水银柱 长度均为h=25.0cm,假定大气压强为p。=75cmHg,气体初始温度T,=400K,重力加速度为g=9.8m/s2, 水银密度13.6×10kg/m，该理想气体摩尔等体热容C气)，其中普适气体常量R=8.3U(mo1·K)。 (1)过程一：对封闭气体缓慢加热，使得水银上液面恰好到达玻璃管开口处，求过程一封闭气体对外做功 是多少？ (2)过程二：继续对封闭气体缓慢加热，直到水银恰好全部流出，通过计算说明过程二能否缓慢稳定发生？ (3)计算过程二封闭气体吸热是多少？ 注：封闭气体质量可忽略，计算结果保留两位有效数字。 大 气 水银 活塞 气 体 4.一定量的单原子分子理想气体，从A态出发经等压过程膨胀到B态，又经绝热过程膨胀到C态，如图 试卷第1页，共3页 所示。试求这全过程中气体对外所作的功，内能的增量以及吸收的热量。 p(Pa) 4×10 1×105…C 023.49 8V(m3） 5.一容器用绝热、无摩擦、不漏气的活塞分隔为左、右两室，其中各充有2ol双原子分子理想气体。开 始时两室内体积、温度均为。，T。,左室通过左侧导热壁与温度为T,=300K的恒温热库相接触，右室与外 界绝热，如图所示。今用外力将活塞缓慢推动直到左室体积减至么，试求此过程中外力所做的功及气体从 恒温热库中吸收的热量。() 热 库 T77777777777777777777777777777777 A.1.27×103J,-2.78×103J B.0.78×103J,-4.37×103J C.1.59×103J,-3.46x103J D.0.78×103J,-3.87×103J 6.地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分 被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收。被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁 波)。热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡。 作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼 定律：单位面积的辐射功率J与表面的热力学温度T的四次方成正比，即J=。T4,其中。是一个常量。己 知太阳表面温度T,=5.78×10K,太阳半径R,=6.69×10km,地球到太阳的平均距离d=1.50×10km。假 设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为p=038。 (1)如果地球表面对太阳辐射的平均反射率=0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球 表面的温度是多少？ (2)如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为1=0.85，其余部分的反射率处 α2=0.25。问冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为273K。 试卷第1页，共3页 7.火箭通过高速喷射燃气产生推力。设温度T、压强P的炽热高压气体在燃烧室内源源不断生成，并通过 管道由狭窄的喷气口排入气压P2的环境。假设燃气可视为理想气体，其摩尔质量为“，每摩尔燃气的内能 为4=℃，T(C,是常量，T为燃气的绝对温度)。在快速流动过程中，对管道内任意处的两个非常靠近的横截 面间的气体，可以认为它与周围没有热交换，但其内部则达到平衡状态，且有均匀的压强P、温度T和密 C+R 度P，它们的数值(+R随着流动而不断变化，并满足绝热方程pV。=C(恒量)，式中R为普适气体常 量，求喷气口处气体的温度与相对火箭的喷射速率。 8.如图所示为一放在支架上的直立汽缸，其上部圆筒的体积为，内有一质量为2m、截面积为2S的很薄 的活塞A,下部圆筒足够长，内有一质量为m、截面积为S的活塞B,两圆筒由一细而短的管道连通.活塞 均可在各自的圆筒内无摩擦地上下滑动，活塞A的上方盛有1mol的理想气体，活塞A、B之间盛有2mol的 同种理想气体，达到平衡时，A上方气体的温度为T,,A、B之间的气体的体积大于，该理想气体每摩 尔的内能U可用U=cT来表示，为恒量，T为热力学温度。设活塞、汽缸壁、管道都是不导热的，活塞B处 的大气压强为B,今通过上圆筒顶部的电热丝L对A上方气体缓慢加热，若在整个加热过程中传递给A上 方气体的热量为Q。,问 (1)在达到平衡时，A上方气体的温度T等于多少？ (2)在加热过程中，活塞B对大气所做的功W等于多少？ B 9.热机和热泵利用物质热力学循环实现相反功能：前者从高温处吸热，将部分热量转化为功对外输出，其 余向低温处放出；后者依靠外界输入功，从低温处吸热，连同外界做功转化成的热量一起排向高温处，按 试卷第1页，共3页 热力学第二定律，无论热机还是热泵，若工作物质循环过程中只与温度为T,T2的两个热源接触，则吸收 的热量Q,Q,满足不等式号+号≤0，其中热量可正可负，分别表示从热源吸热与向热源放热。原供暖设各 T L 原本以温度T,的锅炉释放的热量向房间直接供暖，使室内温度保持恒温T,高于户外温度工，。为提高能源 利用率，拟在利用原有能源的基础上采用上述机器改进供暖方案，与直接供暖相比，能耗下降的理论极限 可达到多少？ 10.一台二氧化碳气体激光器发出的激光功率为N=1000W,出射的光束截面积为A=1.00mm2,试问： (1)当该光束垂直入射到一物体平面上时，可能产生的光压的最大值为多少？ (2)这束光垂直射到温度T为273K,厚度d=2.00cm的铁板上，如果有80%的光束能量被激光所照射到 的那一小部分铁板所吸收，并使其熔化成与光束等截面积的直圆柱孔，这需要多少时间？ 已知，对于波长为2的光束，某每一个光子的动量为k=h/入，式中h为普朗克恒量。铁的有关参数为：热 容量C=26.6J/molK,p=7.90x103kg/m3,熔点Tm=1798K,熔解热T=1.49×104J/mol,摩尔质量 u=56×103kg/mol。 11.如图所示，一团理想气体经过了一个准静态过程的循环，A→B是等温过程，B→C是等容过程，C→A 是绝热过程下面说法正确的有() P A.AB状态气体内能相等 B.整个循环过程外界对气体做功为正 C.CA过程体系内能增加，外界对体系做功为正 D.若气体为单原子分子理想气体，则AC过程满足Py为常数 12.横截面积为S和2S的两圆柱形容器按图示方式连接成一汽缸，每个圆筒中各置有一活塞，两活塞间的 距离为1，用硬杆相连，形成“工”字形活塞，它把整个汽缸分隔成三个气室，其中I、Ⅲ室密闭摩尔数分别 为v和2v的同种理想气体，两个气室内都有电加热器；Ⅱ室的缸壁上开有一小孔，与大气相通；1ol该种 气体内能为C(C是气体摩尔热容量，T是气体的绝对温度).当三个气室中气体的温度均为T,时，“工"字形 试卷第1页，共3页 活塞在汽缸中恰好在图所示的位置处于平衡状态，这时1室内气柱长亦为，Ⅱ室内空气的摩尔数为·己 3 知大气压不变，汽缸壁和活塞都是绝热的，不计活塞与汽缸之间的摩擦.现通过电热器对I、Ⅲ两室中的气 体缓慢加热，直至I室内气体的温度升为其初始状态温度的2倍时，活塞左移距离，己知理想气体常量为 R.求： 1/2 1/2 (1)Ⅲ室内气体初态气柱的长度； (2)Ⅲ室内气体末态的温度： (3)此过程中I、Ⅲ室密闭气体吸收的总热量， VRT.2S -VRT5+RT.S IS IS 13.空气是混合气体，其中质量的分配是氮气约占76.9%，氧气约占23.1%，其余成分可忽略不计.现有一 汽缸，缸内充有空气，并装有一些由细钢丝做成的钢丝棉.设汽缸内的活塞能无摩擦地运动，设缸内气压 恒定为1大气压.设缸内非常缓慢地进行化学反应，设化学反应生成1摩尔的F,O,后，因氧气耗尽而中止. 己知化学反应过程是在1大气压、300K条件下进行的，在此过程中系统释放出8.24×10焦的热量.（设缸 内气体可视为理想气体；设】摩尔氧气和1摩尔氮气的内能均为7；设缸内钢丝棉等固态物质与缸内气 体相比，所占体积很小，可忽略不计)试求在此过程中： (1)系统内能的改变量； (2)缸内气体内能的改变量； (3)缸内氮气密度的改变量， 14.3.2g的氧气（绝热指数取为7/5）从初态1(p1=1.0atm,'==1.0L)出发，经过等压过程到达状态2 (V,=2.0L),再经过等容过程到达状态3（p,=2.0atm),又经过绝热过程到达状态4，状态4的温度刚好 与状态1的温度相同，最后经等温过程回到状态1，构成循环过程. (1)试求循环过程的效率n (②)设初态1的熵为S,取系统熵S为纵坐标，系统温度T为横坐标.试尽可能正确地画出循环过程的S-T曲 线，要求，曲线形状定性正确，标明曲线各特征点的坐标，其中S可表为S,加上或减去相应的数值。 试卷第1页，共3页 15.一热机工作于两个相同材料的物体A和B之间，两物体的温度分别为T和T(TA>T),每个物体的质 量为，比热容恒定，均为s,设两个物体的压强保持不变，且不发生相变 (1)假定热机能从系统获得理论上允许的最大机械能，求出两物体A和B最终达到的温度T,的表达式，给出 解题的全部过程 (2)由此得出允许获得的最大功的表达式. (3)假定热机工作于两箱水之间，每箱水的体积为2.50m3,一箱水的温度为350K,另一箱水的温度为300K.计 算可获得的最大机械能.已知水的比热容=4.19×103J·kg.K-,水的密度=1.00×103kg·m3. 16.n摩尔单原子理想气体的C,=3R,其准静态过程在p、V坐标面上的过程线如图所示为一直线，其中 2 A为初态，B为终态， (1)试确定过程中的T-V关系，画出T-′曲线； (2)确定过程中的C-V关系，画出C-VV曲线，并据此确定A→B过程中的吸热、放热区域。 Po B 哈 17.温度T。=25℃，，压强P=latm的lmol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积由V。膨胀至原来的 3倍。 (1)计算这个过程中气体对外所作的功； (2)假若气体经绝热过程体积由V。膨胀至原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少。 18.1mol范德瓦尔斯气体的熵为() A.Cpm InT+R In(V-b)+So B.CvalnT+Rinp P2/+S。 c.CnT+Rhp+号+s D.Cv.m In T R In(V-b)+So 19.某秋天清晨，气温为4.0℃，一加水员到实验园区给一内径为2.00m、高为2.00m的圆柱形不锈钢蒸馏 水罐加水。罐体导热良好。罐外有一内径为4.00cm的透明圆柱形观察柱，底部与罐相连（连接处很短）， 顶部与大气相通，如图所示。加完水后，加水员在水面上覆盖一层轻质防蒸发膜（不溶于水，与罐壁无摩 擦)，并密闭了罐顶的加水口。此时加水员通过观察柱上的刻度看到罐内水高为100m。 试卷第1页，共3页 (1)从清晨到中午，气温缓慢升至24.0℃，问此时观察柱内水位为多少？假设中间无人用水，水的蒸发及 罐和观察柱体积随温度的变化可忽略。 (2)从密闭水罐后至中午，罐内空气对外做的功和吸收的热量分别为多少？求这个过程中罐内空气的热容 量。 己知罐外气压始终为标准大气压po=1.01×10Pa,水在4.0°C时的密度为P=1.00×10kgm3,水在温度变化 过程中的平均体积膨胀系数为x=3.03×104K1,重力加速度大小为g=9.80ms2,绝对零度为-273.15℃ 观H加水口 蒸馏水罐 察 柱 20.欧洲核子研究中心的大型强子对撞机上进行了高能铅核-铅核碰撞的实验，碰撞后的初始产物可视为温 度很高的“火球”，其内的物质主要由静止质量很小、速度极其接近于光速的夸克组成。本题忽略该物质中除 夸克外的其他组分，将其视为“夸克物质”，并将夸克都近似视为质点，夸克之间除相互碰撞的瞬间外无相互 作用，碰撞过程中粒子数目守恒，其速度分布是各向同性的。己知温度为T时，在任一动量大小区间 [p,p+p]内，夸克物质中能量为E的夸克粒子的分布比率（概率分布密度）正比于e4rp'd印’其中玻 尔兹曼常量k或理想气体普适常量R视为已知量。 (1)试在本题模型近似下，导出夸克物质的状态方程（用压强P与能量密度平均值之间的关系表出）。 (2)试在本题模型近似下，导出夸克物质以压强P、粒子数密度n和温度T之间的关系表述的状态方程。 (3)试在本题模型近似下，求夸克物质的定体摩尔热容C,和热容比Y(定压摩尔热容与定体摩尔热容的比 值)。 (4)假设铅核-铅核碰撞的早期产物形成的“火球”近似为球形，半径约为3.0×105m,其中的夸克物质温度 约为400M©V/kg。此后，“火球迅速膨胀降温，至温度约为150MeV/k.时，夸克物质中的夸克开始被束缚 在一起形成质子和中子。假设“火球”的膨胀降温过程可近似为准静态的绝热过程，求出质子和中子刚刚形成 时“火球”的半径。 试卷第1页，共3页