光学篇 专题03 光的波动性（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

光学篇 专题03 光的波动性 1．用波长为的单色光垂直照射置于空气中的厚度为e折射率为1.5的透明薄膜，两束反射光的光程差＝ 。 2．人眼的瞳孔直径约为3mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550nm，则人眼最小分辨角是 ，在教室的黑板上，画一等号，其两横线相距2mm，坐在离黑板10m处的同学 分辨这两条横线（填能或不能） 3．光栅方程的普遍形式为 。 4．一双缝干涉装置，在空气中观察时干涉条纹间距为1.0mm。若整个装置放在水中，干涉条纹的间距将为 mm（设水的折射率为）。 5．平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上。缝后有焦距为f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为= 。 6．两个偏振化方向正交的偏振片，以光强为I0的自然单色光垂直照射，若在其中插入第三块偏振片，求： （1）当最后透过的光强为时，插入的偏振片如何放置？ （2）若最后透过的光强为零时，插入的偏振片如何放置？ （3）能否找到合适的方法，使最后透过的光强为。 7．牛顿环是光的 干涉图样，其干涉条纹从中心向外逐渐变 （填“疏”或“密”），条纹的形状是 。 8．一竖直放置的杨氏双缝屏装置，双缝水平走向，若用薄而透明的蜻蜓翅膀将双缝的下缝遮挡住，则（　　） A．向上平移，且条纹间距改变 B．向上平移，且条纹间距不变 C．不移动，但条纹间距改变 D．向下平移，且条纹间距不变 9．如图所示，假设有两个同相的相干点光源S1和S2，发出波长为的光。A是它们连线的中垂线上的一点。若在S1与A之间插入厚度为e、折射率为n的薄玻璃片，则两光源发出的光在A点的相位差= 。若已知=500 nm，n=1.5，A点恰为第四级明纹中心，则e= nm。（1 nm =10-9 m）   10．已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能，若从地面上某处将一束频率为的光射向其正上方相距为的空间站，远小于地球半径，令空间站接收到动光的频率为，则差 ，已知地球表面附近的重力加速度为。 11．一束椭圆偏振光通过一偏振片，透射光的强度将随着偏振片的透振方向的转动而变化．若测得最大的透射光强和最小的透射光强分别为和，问当透射方向与光强最大透射方向间的夹角为时，透射光强为多少？ 12．一束白光以入射角射在肥皂膜上，反射光中波长的绿光显得特别明亮． (1)试问薄膜最小厚度为多少？ (2)从垂直方向观察，薄膜是什么颜色？（肥皂膜液体的折射率） 13．用波长为的单色光垂直照射如图所示的牛顿环装置，观察从空气膜上下表面反射的光形成的牛顿环。若使平凸透镜慢慢地垂直向上移动，从透镜顶点与平面玻璃接触到两者距离为d的移动过程中，移过视场中某固定观察点的条纹数目等于 。 14．波长为λ=600nm的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级明条纹的衍射角为30°，第三级缺级，求： （1）光栅常数a+b为多少？ （2）透光缝的最小宽度a为多少？ （3）在选定了a+b和a后，在–90°<θ<90°范围内，屏幕上可能呈现的明条纹最高级次为多少？在屏幕上最多呈现几条明条纹？ 15．用相互平行的一束自然光和一束线偏振光构成的混合光垂直照射在一偏振片上，以光的传播方向为轴旋转偏振片时，发现透射光强的最大值为最小值的5倍，则入射光中，自然光强I0与线偏振光强I之比为 。 16．单色平行光垂直入射于单缝上，观察夫琅禾费衍射，若屏上P点处为第二级暗纹，则单缝处光波面可分成 个半波带；若将单缝宽度缩小为原来的一半，P处将是第 级 （填“明”或“暗”）纹。 17．试证明用劈尖干涉测量薄纸片厚度的公式，其中是十个暗环间的距离，劈棱与薄纸片间的距离。又某人测得：；。试求 18．如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1、R2，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点，下侧柱面过切点O的母线为X轴，上侧柱面过切点O的母线为Y轴。一束在真空中波长为λ的可见光沿Z轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为n0=1.00。试推导第k级亮纹在X-Y平面的投影的曲线方程。 已知：a.在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为元的相位突变。 b.，当。 19．亚毫米细丝直径的双光束干涉测量装置如图（a）所示，其中、、为全反射镜，相机为CCD（电荷耦合装置）相机。来自钡酸铱自倍频激光器的激光束被分束器分成两束，一束经全反射镜反射后从上侧入射到丝上；另一束经全反射镜和相继反射后从下侧入射到细丝上。图（b）给出了两条反射光线产生干涉的光路，其中、分别为上、下两侧的入射角，D为细丝轴线到观察屏（即相机感光片）的距离，P为两条反射光线在观察屏上的交点。已建立这样的坐标系：坐标原点O位于细丝的轴线上，x轴（未画出）沿细丝轴线、指向纸面内，y轴与入射到细线上的光线平行（Y轴的正向向上），Z轴指向观察屏并与其垂直。已知光波长为，屏上干涉条纹间距为a。由于D远大于细丝直径和观察屏的尺寸，可假设投射到屏上的只有非常接近平行于Z轴的细光束。 （1）由于细丝到观察屏的距离大于观察屏的尺寸，因而上、下两侧的入射光只有45°入射角附近的细光束经细丝反射到屏上，上、下两侧的反射光束分别形成两个虚像。试求这两个虚像的位置。（当时；）； （2）求细丝的直径d。 20．图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，，。 （1）从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S′形成的另一套干涉条纹，S′位于垂直于z轴的方向上且与S平行，两者相距，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹，与P0的距离等于多少？ （2）当光源宽度为的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度等于多少？ （3）在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、a′和b、b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是，试导出星体上角直径的计算式。（注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为的矩形光源处理。） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 光学篇 专题03 光的波动性 1．用波长为的单色光垂直照射置于空气中的厚度为e折射率为1.5的透明薄膜，两束反射光的光程差＝ 。 【答案】或 【详解】光程就是光走过的路径与经过的物质的折射率的乘积，则光进入薄膜后再到由下表面反射到上表面的过程的过程为 2e×1.5=3e 同时，因为半波损失的原因，光从光疏介质进入光密介质时会“位相突变”，相比于原波会多走或少走半个波长，则上下表面两束反射光的光程差为或。 2．人眼的瞳孔直径约为3mm，若视觉感受最灵敏的光波长为550nm，则人眼最小分辨角是 ，在教室的黑板上，画一等号，其两横线相距2mm，坐在离黑板10m处的同学 分辨这两条横线（填能或不能） 【答案】 2.24×10-4rad 不能 【详解】[1]根据瑞利判据，当两个点光源分开的角度能使得两个光源衍射后的艾里斑中心最大值错开到对方的一级暗纹的时候，认为可以分辨，此角度为 [2]又根据弧度制以及一级近似可以知道，两物点的距离除以他到人眼的距离，可以近似认为是此张角的弧度，所以 故恰能分辨这两条横线时，人离黑板的距离为 在离黑板10m处的同学不能分辨这两条横线。 3．光栅方程的普遍形式为 。 【答案】 【详解】一单色光垂直照射在光栅上，由于光栅上的狭缝等宽且等间距（间距为d），因此沿着某一个衍射角φ方向，从任意相邻两条狭缝出射的光线，其光程差都相等，如果满足 （k=0,±1,±2,±3……） 则干涉加强，出现明条纹，该方程称为光栅方程。 4．一双缝干涉装置，在空气中观察时干涉条纹间距为1.0mm。若整个装置放在水中，干涉条纹的间距将为 mm（设水的折射率为）。 【答案】0.75mn 【详解】[1]由 ， 得 则在水中 得 5．平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上。缝后有焦距为f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为= 。 【答案】500nm 【详解】由 可得 故 6．两个偏振化方向正交的偏振片，以光强为I0的自然单色光垂直照射，若在其中插入第三块偏振片，求： （1）当最后透过的光强为时，插入的偏振片如何放置？ （2）若最后透过的光强为零时，插入的偏振片如何放置？ （3）能否找到合适的方法，使最后透过的光强为。 【答案】（1）；（2）插入的偏振片的偏振化方向与其中一块平行；（3）无合适的方位 【详解】（1）设插入的偏振片与第一块偏振片的偏振化方向夹角为，由 若 解得 （2）令得 即 即插入的偏振片的偏振化方向与其中一块平行。 （3）令，则 得 故无合适的方位使最后的光强为。 7．牛顿环是光的 干涉图样，其干涉条纹从中心向外逐渐变 （填“疏”或“密”），条纹的形状是 。 【答案】 等厚 密 同心圆环 【详解】[1]薄膜干涉分为两种一种叫等倾干涉，另一种叫等厚干涉。等厚干涉是由平行光入射到厚度变化均匀、折射率均匀的薄膜上、下表面而形成的干涉条纹，薄膜厚度相同的地方形成同条干涉条纹，故称等厚干涉。牛顿环是等厚干涉的典型例子。 [2][3]牛顿环干涉条纹不等间距是由于透镜表面是曲面，导致空气薄膜不均匀变化，根据光程差为波长的整数倍时是亮条纹，可知，干涉条纹是不等间距的，从中心向外逐渐变密，条纹的形状是同心圆环。 8．一竖直放置的杨氏双缝屏装置，双缝水平走向，若用薄而透明的蜻蜓翅膀将双缝的下缝遮挡住，则（　　） A．向上平移，且条纹间距改变 B．向上平移，且条纹间距不变 C．不移动，但条纹间距改变 D．向下平移，且条纹间距不变 【答案】D 【详解】光路如图 设从、到屏上一点的距离分别为、，则到该点的光程差为 当时，零级明条纹的位置应满足 原来两光路中没有介质时，零级明条故的位置满足，与有介质时相比，可见零级明条纹应该向着盖介质的小孔一侧偏移，故条纹向下平移；设零级明条纹向下平移距离为x，则 解得 当时，一级明条纹的位置应满足 设其位置到O点的距离为，则有 解得 则条纹间距 可得与没有介质遮挡时的条纹间距一样，故条纹间距没有变化，D正确。 故选D。 9．如图所示，假设有两个同相的相干点光源S1和S2，发出波长为的光。A是它们连线的中垂线上的一点。若在S1与A之间插入厚度为e、折射率为n的薄玻璃片，则两光源发出的光在A点的相位差= 。若已知=500 nm，n=1.5，A点恰为第四级明纹中心，则e= nm。（1 nm =10-9 m）   【答案】 【详解】[1]插入薄片前，S1、S2到A的光程相等，插入薄片后，光程差为 所以相位差为 [2]A点恰为第四级明纹中心，因此光程差应满足 解得 10．已知：光子有质量，但无静止质量，在重力场中也有重力势能，若从地面上某处将一束频率为的光射向其正上方相距为的空间站，远小于地球半径，令空间站接收到动光的频率为，则差 ，已知地球表面附近的重力加速度为。 【答案】 【解析】略 11．一束椭圆偏振光通过一偏振片，透射光的强度将随着偏振片的透振方向的转动而变化．若测得最大的透射光强和最小的透射光强分别为和，问当透射方向与光强最大透射方向间的夹角为时，透射光强为多少？ 【答案】 【详解】如图所示，取坐标系，χ轴沿椭圆长轴方向，y轴沿椭圆短轴方向，则上述椭偏光可用分量表示为 ，． 当透射方向与光强最大透射方向间的夹角为时，透射光的振幅为 ， ． 这是两列相位差为的平面偏振光的相干叠加，强度为 【点睛】偏振光的结构决定了透射光的强度．如果涉及偏振特性的定量计算，几乎不可避免地涉及光强的计算，从应试的角度看，了解光强的成因，并熟练地计算，应该是一项基本功． 另外，关于布儒斯特角的计算，也是应该熟练掌握的内容． 12．一束白光以入射角射在肥皂膜上，反射光中波长的绿光显得特别明亮． (1)试问薄膜最小厚度为多少？ (2)从垂直方向观察，薄膜是什么颜色？（肥皂膜液体的折射率） 【答案】（1） （2）它与稍带黄色的绿光相对应 【详解】(1)入射到A点的光束一部分被反射，另一部分被折射并到达B点．在Β点又有一部分再次被反射，并经折射后在C点出射．光线DC也在C点反射．远方的观察者将同时观察到这两条光线． 在平面AD上，整个光束有相同的相位．我们必须计算直接从第一表面来的光线与第二面来的光线之间的相位差．它取决于光程差，即取决于薄膜的厚度．无论发生干涉或相消干涉，白光中包含的各种波长的光线都会在观察的光中出现． 光线从A到C经第二表面反射的路程为 ． 在媒质中波长为，故在距离上的波数为 ． 光线从D到C经第一表面反射的路程为 ． 在这段距离上，波长为，故波数为． 我们知道，当光从较大折射率的媒质反射时，光经历180°相位差，故DC段（含反射）的波数为． 如果波数差为整数是，则出现加强，即 ． 经过一些变换后，得到下述形式的加强条件 ． 哪一种波长可得到极大加强，这只取决于几何路程和折射率．我们无法得到纯单色光．这是由于邻近波长的光也要出现，虽然较弱．k较大时，色彩就浅一些．所以如平板或膜太厚，就看不到彩色，呈现出一片灰白．本题中提到的绿光明亮，且要求薄膜的最小厚度，因此我们应取，得到膜层厚度为 ． (2)对于垂直入射，若，呈现极大加强的波长为 ． 用以上的d值，得 ． 对于任何厚度的膜层，可从．用同样的方式算出．在本题中 ． 它与稍带黄色的绿光相对应 13．用波长为的单色光垂直照射如图所示的牛顿环装置，观察从空气膜上下表面反射的光形成的牛顿环。若使平凸透镜慢慢地垂直向上移动，从透镜顶点与平面玻璃接触到两者距离为d的移动过程中，移过视场中某固定观察点的条纹数目等于 。 【答案】 【详解】平凸透镜慢慢垂直向上移动，光程差增加。从透镜顶点与平面玻璃接触到两者距离为d的移动过程中，光程差增加量为 且有 解得 14．波长为λ=600nm的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级明条纹的衍射角为30°，第三级缺级，求： （1）光栅常数a+b为多少？ （2）透光缝的最小宽度a为多少？ （3）在选定了a+b和a后，在–90°<θ<90°范围内，屏幕上可能呈现的明条纹最高级次为多少？在屏幕上最多呈现几条明条纹？ 【答案】（1）；（2）；（3）4，5 【详解】（1）由光栅方程 得 （2）出现缺级时 对应最小可能的缝宽a，衍射角θ的方向应是第一级暗纹，即，故 （3）由光栅方程，令，得 因为第3级缺级，所以在屏幕上能呈现的最高级次明条纹为2，在屏幕上最多呈现的明条纹是0，±1，±2级共5条。 15．用相互平行的一束自然光和一束线偏振光构成的混合光垂直照射在一偏振片上，以光的传播方向为轴旋转偏振片时，发现透射光强的最大值为最小值的5倍，则入射光中，自然光强I0与线偏振光强I之比为 。 【答案】 【详解】设自然光强度为，线偏光强度为，最大值为 最小值为 由 解得 16．单色平行光垂直入射于单缝上，观察夫琅禾费衍射，若屏上P点处为第二级暗纹，则单缝处光波面可分成 个半波带；若将单缝宽度缩小为原来的一半，P处将是第 级 （填“明”或“暗”）纹。 【答案】 4 一 暗 【详解】[1][2][3]一级暗纹两个半波带，二级暗纹四个半波带，类推6，8，10。单缝衍射暗纹条件 P点处于2级暗纹，所以k=2，代入得 当单缝宽度d缩小为原来的一半，即，所以 仍满足暗纹条件，且此时级数为1，所以P点将是1级暗纹。 17．试证明用劈尖干涉测量薄纸片厚度的公式，其中是十个暗环间的距离，劈棱与薄纸片间的距离。又某人测得：；。试求 【答案】证明见解析； 【详解】证明：取两块光学平面玻璃板，使其一端接触，另一端夹一薄纸片，这样就在两玻璃板之间形成了一劈尖形空气薄膜，称为空气劈尖，如图所示 但平行单色光垂直照射到玻璃板上时，由空气劈尖上、下表面反射的两束光线将形成相干光，它们在劈尖的上表面相遇而产生干涉，呈现出一组与棱边平行、间隔相等、明暗相间的直线干涉条纹，如下图所示 设单色光的波长为，在劈尖厚度为处产生干涉的二束光线的光程差为 式中，是光线由光疏煤质（空气）到光密煤质（平玻璃）时，在交界面上反射时有一位相的突变而引起的半波损失。由干涉条件可知，第级暗条纹形成的条件是 第级暗条纹对应的劈尖厚度为 两相邻暗纹（或明纹）对应的劈尖厚度之差为 若两相邻暗纹之间的距离为，则劈尖的夹角为 由图分析可得 在实验中，不是测量两条相邻条纹的间距，而是相差级的两条暗纹的间距，从而使测量结果更准确。令为相邻级的两条暗纹的间距，则 在本题中，是十个暗环间的距离，劈棱与薄纸片间的距离，则 在实验中，一般使用钠灯来进行实验，钠灯的波长，则 所以 18．如图，上、下两个平凸透光柱面的半径分别为R1、R2，且两柱面外切；其剖面（平面）分别平行于各自的轴线，且相互平行；各自过切点的母线相互垂直。取两柱面切点O为直角坐标系O-XYZ的原点，下侧柱面过切点O的母线为X轴，上侧柱面过切点O的母线为Y轴。一束在真空中波长为λ的可见光沿Z轴负方向傍轴入射，分别从上、下柱面反射回来的光线会发生干涉；借助于光学读数显微镜，逆着Z轴方向，可观测到原点附近上方柱面上的干涉条纹在X-Y平面的投影。R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙。空气折射率为n0=1.00。试推导第k级亮纹在X-Y平面的投影的曲线方程。 已知：a.在两种均匀、各向同性的介质的分界面两侧，折射率较大（小）的介质为光密（疏）介质；光线在光密（疏）介质的表面反射时，反射波存在（不存在）半波损失。任何情形下，折射波不存在半波损失。伴随半波损失将产生大小为元的相位突变。 b.，当。 【答案】见解析 【详解】解：如图a所示，光线1在上侧柱面P点处傍轴垂直入射，入射角为θ，折射角为θ0，由折射定律有          ① 其中n和n0分别玻璃与空气的折射率。 光线在下侧柱面Q点处反射，入射角与反射角分别为i和i'，由反射定律有           ② 光线在下侧柱面Q点的反射线交上侧柱面于P′点，并由P′点向上侧柱面折射，折射光线用1′′表示；光线1"正好与P′点处的入射光线2的反射光线2'相遇，发生干涉。考虑光波反射时的半波损失，光线1"与光线2'在P′点处光程差△L为 ③ 式中为入射光线在真空中的波长，n0=1.00。由题意，R1和R2远大于傍轴光线干涉区域所对应的两柱面间最大间隙；因而在傍轴垂直入射情况下有 ，<<0 ①式成为 亦即       ⑤ 在傍轴条件下，柱面上P、Q两处切平面的法线近似平行，因此 ⑥ 从而，在P、Q两处，不仪切平面的法线近似平行，而且在上下表面的反射光线、折射光线均近似平行于入射线，因而也近似平行于Z轴，从而P′与P点近似重合，即             ⑦ 且PQ近似平行于Z轴，因而长度 PQ≈PQ≈     ⑧ 由③⑧式得 ⑨ 可以将⑨式右端的z-坐标近似用x-或y-坐标表出。为此，引入一个近似公式，如图b所示，设置于平面上 的柱面透镜与平面之间的空气隙的厚度为e，柱面半径为R。对三边边长分别为R、R-e和r的直角三角形有 ⑩ 即         ⑾ 在光线傍轴垂直入射时，e<<R，可路去⑾式左端的e，故左端e2，故              ⑿ 在光线傍轴垂直入射时，前面己证近似有PQ∥Z轴。故可将上、下两个柱面上的P、Q两点的坐标取为P（x，y，zP）、Q（x，y，zQ），如图c所示。根据⑿式可知，P、Q两点到XOY切平面的距离分别为 ， ⒀ 最后，光线在上、下两个柱面反射并相遇时，其光程差AL为 ⒁ 若P、Q两点在XOY平面的投影点（x，y）落在第k级亮（暗）纹上，则ΔL须满足条件 ⒂ ⒂式中亮环条件对应于第k级亮纹上的点（x，y，2）的x-、y-坐标满足的方程。 更具体地，不妨假设R1>R2，根据⒂式中的亮环条件，可得第k级亮纹的方程为 ，k=1，2…      ⒃ 它们是椭圆亮环纹，其半长轴与半短轴分别为 ，k=1，2…，，k=1，2…   ⒄ 19．亚毫米细丝直径的双光束干涉测量装置如图（a）所示，其中、、为全反射镜，相机为CCD（电荷耦合装置）相机。来自钡酸铱自倍频激光器的激光束被分束器分成两束，一束经全反射镜反射后从上侧入射到丝上；另一束经全反射镜和相继反射后从下侧入射到细丝上。图（b）给出了两条反射光线产生干涉的光路，其中、分别为上、下两侧的入射角，D为细丝轴线到观察屏（即相机感光片）的距离，P为两条反射光线在观察屏上的交点。已建立这样的坐标系：坐标原点O位于细丝的轴线上，x轴（未画出）沿细丝轴线、指向纸面内，y轴与入射到细线上的光线平行（Y轴的正向向上），Z轴指向观察屏并与其垂直。已知光波长为，屏上干涉条纹间距为a。由于D远大于细丝直径和观察屏的尺寸，可假设投射到屏上的只有非常接近平行于Z轴的细光束。 （1）由于细丝到观察屏的距离大于观察屏的尺寸，因而上、下两侧的入射光只有45°入射角附近的细光束经细丝反射到屏上，上、下两侧的反射光束分别形成两个虚像。试求这两个虚像的位置。（当时；）； （2）求细丝的直径d。 【答案】（1）上虚像：，，下虚像：，；（2） 【详解】1.考虑上侧以45°角入射到细丝外表面的细光束，它被经细丝外表面反射后成方向平行于z轴正向的反射光，其反向延长线与y轴交于Q点，如图所示。 由几何关系可知，光线离平面的距离为 （1） 考虑上侧以（很小）角入射到细丝外表面的细光束，它被经细丝外表面反射后的反射光，其反向延长线与y轴交于E点，如图所示。由反射定律可知 （2） 因而，反射光与z轴的夹角为 （3） 考虑，由几何关系可知 于是 （4） 由于，所以 利用 和 ，，当 可得 所以 （5） 因而由（1）、（5）式得 （6） 进而，设交于F（设其z坐标为），则在直角三角形中有 （7） 因此，上侧入射角在附近的入射光线虚像的位置为 ，。（8） 利用对称性可见，下侧入射角在附近的入射光线虚像的位置为 ，。（9） [另解二： （前解答中由开始到“夹角为”全部保留）。 ，，（4） 进而，由于与的夹角为45°，可得 。 反向延长交y轴于E，在直角三角形中 ，（5） 考虑到，所以精确到 （6） 由有 。（7） F是、两条反射光线反向延长线的交点，即为虚像。 对于的情形，得到虚像位置不变。由对称性可知，下侧虚像位置与上侧虚像以z轴为对称。 上虚像：，，（8） 下虚像：，。（9） 2.本问题可视为由上、下两侧的反射光束分别形成的虚光源所发出的光线之间的干涉，相当于双缝位置分别在，和，的双缝干涉。双缝屏与观察屏之间的距离为，双缝间距为。故条纹间距 （10） 由此得，细丝的直径d为 （11） 评分标准：本题15分。 第1问10分， （1）、（2）式各1分，（3）式2分，（4）至（9）式各1分。 第2问5分， （10）式3分，（11）式2分。 20．图1所示为杨氏双缝干涉实验的示意图，取纸面为yz平面。y、z轴的方向如图所示。线光源S通过z轴，双缝S1、S2对称分布在z轴两侧，它们以及屏P都垂直于纸面。双缝间的距离为d，光源S到双缝的距离为l，双缝到屏的距离为D，，。 （1）从z轴上的线光源S出发经S1、S2不同路径到P0点的光程差为零，相干的结果产生一亮纹，称为零级亮纹。为了研究有一定宽度的扩展光源对于干涉条纹清晰度的影响，我们先研究位于轴外的线光源S′形成的另一套干涉条纹，S′位于垂直于z轴的方向上且与S平行，两者相距，则由线光源S′出发分别经S1、S2产生的零级亮纹，与P0的距离等于多少？ （2）当光源宽度为的扩展光源时，可将扩展光源看作由一系列连续的、彼此独立的、非相干的线光源组成。这样，各线光源对应的干涉条纹将彼此错开，在屏上看到的将是这些干涉条纹的光强相加的结果，干涉条纹图像将趋于模糊，条纹的清晰度下降。假设扩展光源各处发出的光强相同、波长皆为。当增大导致零级亮纹的亮暗将完全不可分辨，则此时光源的宽度等于多少？ （3）在天文观测中，可用上述干涉原理来测量星体的微小角直径。遥远星体上每一点发出的光到达地球处都可视为平行光，从星体相对的两边缘点发来的两组平行光之间的夹角就是星体的角直径。遥远星体的角直径很小，为测量如些微小的角直径，迈克尔逊设计了测量干涉仪，其装置简化为图2所示。M1、M2、M3、M4是四个平面反射镜，它们两两平行，对称放置，与入射光（a、a′）方向成45°角。S1和S2是一对小孔，它们之间的距离是d。M1和M2可以同步对称调节来改变其中心间的距离h。双孔屏到观察屏之间的距离是D。a、a′和b、b′分别是从星体上相对着的两边缘点发来的平行光束。设光线a、a′垂直双孔屏和像屏，星光的波长是，试导出星体上角直径的计算式。（注：将星体作圆形扩展光源处理时，研究扩展光源的线度对于干涉条纹图像清晰度的影响会遇到数学困难，为简化讨论，本题拟将扩展光源作宽度为的矩形光源处理。） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解法一： （1）（2）（3）如图2所示，是由扩展光源上端边缘发出的平行光，是由扩展光源下端边缘发出的平行光．设光线交于点，光线交于点．光束中的光线经过到达观察屏上P点；光线经过到达观察屏上P点，两相干光波产生干涉，在观察屏上产生一套干涉条纹．同理，平行光束在观察屏上产生另一套干涉条纹．从扩展光源不同部位发出的、倾角在0和之间不同角度入射的平行光束，经迈克尔逊测星仪相应的反射镜走过不同路径到双孔，然后在观察屏上产生很多套干涉条纹．这些干涉条纹光强度彼此相加，屏幕上就形成了光强度的分布图像．根据第2问的结果，其清晰度取决于来自扩展光源上下边缘发出的平行光与分别在屏幕上产生两套干涉条纹的相对位置错开的程度． 由对称性考虑，平行光束中两条光线和在观察屏上的光程差为0，即平行光产生的那套干涉条纹的零级亮纹就在处．现讨论以倾角斜入射的平行光束通过整个光学装置后，在观察屏上某点发生干涉时的光程差．光束中的光线入射M1的光线经M3反射到达，光线从点算起，所经光程为；光线入射M2的光线经M4反射到达，光线从点算起，所经光程为．由对称性可得 （1） 也就是说从M1和M2算起，光线和到达与的光程是相等的，但是光线和在到达M1和M2时，二者的相位却不同．由作斜入射光线的垂线交点，与相位相等，因此，斜入射的两条平行光线和到达S1和S2时的相位差是光程差引起的 （2） 从扩展光源下边缘发出的平行光束斜入射到测星干涉仪，经双孔后发出的相干光在观察屏上坐标为y（坐标原点取在上）的P点上引起的光程差 （3） 其零级亮纹所在位置对应的光程差，故的坐标 （4） 这也就是平行光与产生的干涉条纹的零级亮纹（也是两套条纹）错开的距离 （5） 因在线光源情况下，可以导出双孔干涉的相邻两亮纹的间距为 （6） 当二者错开一个条纹间隔时，即，代入（6）式（星光波长采用），得 （7） 远处的星体作为扩展光源发出的光经过“测星仪”到达双孔，在屏上观察到干涉条纹的清晰度下降，由小到大调节M1、M2距离h，当屏幕上条纹消失时，记下此时h的值代入（7）式就可确定扩展光源角直径的大小． 注：实际星体都看作均匀亮度的圆形扩展光源，通过调节h使屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，通过数学计算，用迈克尔逊测星仪测量得的星体角直径． 解法二 （1）（2）（3）如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知，，故 即从光线a上一点到和到的光程相等．同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等． 因此，光线a到处与光线到处引起的光程差与没有反射镜M1、M2时两光线到、处的光程相等．因a、垂直双孔屏，故 （1） 通过双孔、后，光线a、在的光程差 （2） 平行光束b斜入射时，可从、处求b、两光线到达、处的光程差．由作的垂线（见图4）， （3） 说明光线超前于光线b． 通过双孔、后光线b、射出的相干光线在屏幕上形成的零级亮纹不可能位于处，因为二者到达双孔前光线已超前了光线b，如图5所示，光线经过孔后要多走一段光程来抵消前面的相位差，以达到与光线b在没有光程差的情况下相交于远方屏幕上，形成干涉零级亮纹．该点所对应的经过孔后多走的光程 （4） 从可求得平行光束经双孔后在观察屏上的干涉零级条纹位置．由（3）式和（4）式，得 （5） 的位置坐标 （6） 由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等时，记下此时h的值.这时相干光在屏幕上零级亮纹位置与的距离 （7） 当等于条纹间隔，即 （8） 代入（7）式得 （9） 由（5）、（9）两式，得 （10） 解法三 （1）（2）（3）根据第2问的结果，为使条纹能被分辨，扩展光源的允许宽度为，从而扩展光源对双缝中心的张角为 （1） 如图3所示，对M1、M3而言，找出对的中间像和对所成的像以及光线a在M1、M3的反射点F和G．由物像的对称性可知，，故 即从光线a上一点到和到的光程相等．同理可证，从光线b上一点到和到的光程相等；对M2、M4（未画出）而言，从光线上一点到和到的光程相等；从光线上一点到和到的光程相等．从分析可知，为经M3、M1反射的等效像点，为经M4、M2反射的等效像点，从而可将测星干涉看作是经双孔、的等效杨氏双缝干涉，其缝距为 （2） 由小到大调节反射镜M1、M2之间的距离（也就是、之间的距离）h，直到屏幕上的干涉条纹消失，即各处强度完全相等，这时只需将测得的h直接替换（1）式中的d，可得计算星体角直径的公式 （3） 得到与前两种解法相同的结果． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $