狭义相对论专题（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

狭义相对论专题 1．μ子是不稳定粒子，在其静止参考系中，它们寿命约为2.3×10-6秒，如果一个μ子相对于实验室的速率为0.8c。 （1）在实验室中测得它的寿命是多少； （2）它在其寿命时间内，在实验室中测得它的运动距离是多少。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由相对论关系，在实验室中测得它的寿命是 （2）运动距离是 2．已知电子的静止能量约为0.5MeV，若一个电子的相对论质量与静止质量的比值为1.5，则该电子的动能为（　　） A．0.25MeV B．0.5MeV C．0.75MeV D．1MeV 【答案】A 【详解】由题意得 电子的动能为 电子相对论质量为 由 可得 联立解得该电子动能为 A正确。 故选A。 3．一个相对于彼此间距固定不变的星体系统为静止的观察者看到一个各向同性的星体分布。对任意立体角元有，现在考虑另一个以恒定加速度（相对其瞬时惯性参照系）运动的观察者，假如他在时刻相对于固定的观察者静止并开始运动。试确定在时刻的星系分布为（此处为运动观察者自身的时间） 【答案】 【详解】由题意 其中为地面系中的速度，因此 即 由，可以将时间转换为运动观察者自己的时间 即 代入速度的表达式得 由行星数是洛伦兹不变量 即 由光子动量的洛伦兹变换，易得角度的变换为 因此 故 4．考虑质量为的非相对论性粒子在势场中的一维运动。 （1.1）若，其中，证明具有非零能量的粒子总会在有限时间内到达无穷远处。 （1.2）若有下界，证明粒子不能在有限时间内到达无穷远处。 【答案】（1.1）见解析；（1.2）见解析 【详解】（1.1） Proof.显然原问题等价为证明 收敛（给出这一等价命题可得一半分）令 则有 现在分别处理和，首先处理，注意到，当时，有 因此 由比较审敛法知收敛。再处理，注意到， 当时，有 因此 由比较审敛法知收敛。因此收敛，从而任意具有非零能量的粒子都会在有限时间内到达无穷远。 推广：对于，势场中具有非零能量的粒子能在有限时间内到达无穷远处，当且仅当 Proof.问题等价于证明 收敛，当且仅当置换元，则有 其中是beta函数，注意到在宗量的实部趋于 时beta 函数趋于正无穷，可以得到积分收敛的条件 （1.2）Proof. 设 有下界 ， 则具有能量 的粒子在 时间内的位移大小 这在 有限时不可能为无穷大量。 5．根据广义相对论，光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线。它距离引力中心最近的点称为光线的近星点。通过近星点与引力中心的直线是光线的对称轴。若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标的原点，选取光线的对称轴为坐标极轴，则光线方程（光子的轨迹方程）为，是万有引力恒量，是星体质量，是光速，是绝对值远小于1的参数。现在假设离地球80。0光年处有一星体，在它与地球连线的中点处有一白矮星。如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是，试问此白矮星的质量是多少千克？ 已知。 【答案】 【详解】由于方程 （1） 是的偶函数，光线关于极轴对称.光线在坐标原点左侧的情形对应于；光线在坐标原点右侧的情形对应.下图是的情形，图中极轴为，白矮星在原点处.在式（1）中代入近星点坐标，，并注意到，有 .（2） 经过白矮星两侧的星光对观测者所张的视角可以有不同的表达方式，相应的问题有不同的解法. 解法一：若从白矮星到地球的距离为，则可近似地写出 .（3） 在式（1）中代入观测者的坐标，，有 .（4） 由（2）与（4）两式消去，可以解出 .（5） 把式（5）代入式（3）得 ；（6） 即，（7） 其中；代入数值就可算出 .（8） 解法二：光线射向无限远处的坐标可以写成 ，.（9） 近似地取，把式（9）代入式（1），要求式（1）分母为零，并注意到，有 . 所以，（10） 其中用到式（4），并注意到.式（10）与式（6）相同，从而也有式（8）. 解法三：星光对观测者所张的视角应等于两条光线在观测者处切线的夹角，有 .（11） 由光线方程（1）算出，有 ； 代入观测者的坐标，以及的表达式（4），并注意到很小，就有 ， 与式（6）相同.所以，也得到了式（8）. 解法四：用式（2）把方程（1）改写成 ， 即.（12） 当时，式（12）的渐近式为 . 这是直线方程，它在轴上的截距为，斜率为 . 于是有.用式（5）代入后，得到式（6），从而也有式（8）. 6．子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命。宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变。根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N（0）， t时刻剩余的粒子数为N（t），则有N(t)=N(0)e-，式中为相对该惯性系粒子的平均寿命。若能到达地面的子数为原来的5%，试估算子产生处相对于地面的高度h。不考虑重力和地磁场对子运动的影响。 【答案】 【详解】因子在相对自身静止的惯性系中的平均寿命 根据时间膨胀效应，在地球上观测到的子平均寿命为，         （1） 代入数据得     s    （2） 相对地面，若子到达地面所需时间为t，则在t时刻剩余的子数为         （3） 根据题意有         （4） 对上式等号两边取e为底的对数得     （5） 代入数据得         （6） 根据题意，可以把子的运动看作匀速直线运动，有         （7） 代入数据得      7．（1）在经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，电子的向心力来自于核电场的作用. 可是，经典的电磁理论表明，电子做加速运动会发射电磁波，其发射功率可表示为（拉莫尔公式）：，其中为电子的加速度，为真空光速，，电子电荷量绝对值. 若不考虑相对论效应，试估计在经典模型中氢原子的寿命.（实验测得氢原子的结合能是，电子的静止质量） （2）带电粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值. 当代科学研究中应用广泛的同步辐射即是由以接近光速运动的电子在磁场中做曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射. 电子存储环是同步辐射光源装置的核心，存储环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光. 上海光源是近年来建成的第三代同步辐射光源，它的部分工作参数如下：环内电子能量，电子束电流强度，周长，单元数（装有偏转磁铁的弯道数量），偏转磁铁磁场的磁感应强度.试计算该设备平均每个光口的辐射总功率.（在电子接近光速时，若动量不变，牛顿第二定律仍然成立，但拉莫尔公式不再适用，相应的公式变化为，其中，为电子总能量，为电子的静止能量） （3）由于存储环内电子的速度接近光速，所以同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向的光锥，光锥的半顶角为，由此可见电子的能量越高，方向性越好. 试计算：上述设备在辐射方向上某点接收到的单个电子产生的辐射持续时间.（本题结果均请以三位有效数字表示） 【答案】（1）（2）（3）． 【详解】（1）经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，有下列关系式存在：，，. 电子的总能量为. 由此可推得电子的总能量为. 由条件推导出氢原子的轨道半径和运动速度分别为，. 由拉莫尔公式得初始发射功率为. 在微小的时间间隔中，辐射使电子的总能量减少，， 其中为电子轨道半径的减少量. 由此可导出时间和半径的变化方程：，其中. 构造一个半径为的球体，则即为距离球心为的薄球壳的体积，在到0的求和过程中可以算出球的体积为. 对应本题情况解出电子轨道从减少到0所需的时间为. 代入数据，得：. （2）对于高能电子，可认为电子运动的速度接近光速，即有如下各式：，，，，. 以上条件可以得出电子的偏转半径：. 储存环中的电子数量：，其中为电子旋转一圈所花费的时间. 由上述式子及辐射条件可得每个电子每圈损失的总能量为（电子在直道上不辐射能量）： . 由此得到存储环中电子消耗的总功率为. 每个光口的功率为. （3）在电子轨道上某点的切线方向上的某一点处观察，观察者只能在一个很短时间间隔内看到电子发出的辐射，这段时间是电子的速度方向改变圆锥顶角（即）的角度所对应的光到达接收位置的时间间隔. 如图所示，在这段时间内电子移动的距离为. 令，则电子在这两点发出的辐射时间间隔为. 但在轨道的切线方向上观察，上述时间还要扣除点发射出的光到达点位置所花费的时间， 则.又， 结合可得，代入式得到. 代入数据得：. 本题是第26届全国中学学生物理竞赛决赛试题. 本题涉及的知识点很多，信息量比较大，结合程度也很高. 问题（1）再现了人类认识原子结构在某个特定的历史时期的局限，氢原子的寿命如此之短，让大众认识到理论与模型上的缺陷，进而也催生了玻尔的原子理论.问题（2）与问题（3）一方面考查了答题者对信息的处理与应用的能力，另一方面也考查了答题者综合运用相对论知识的情况，设计相对论的时空效应、相对论能量等知识内容.另外，解答过程中关于的运算也是应引起大家注意的，阅读时不要一晃而过，先试一试，便知这一运算并不容易，更不要产生这是“凑”答案的思维，从而忽视了科学的严谨性. 8．如图所示，有一均匀带负电的正方形绝缘线框，每边边长为，线框上串有许多带正电的小球（看成质点），每个小球的带电量为，每边的总带电量为零（即线框的带电量和各小球的带电量互相抵消）. 今各小球相对线框以速率沿绝缘线做匀速运动，在线框参考系中测得相邻两小球的间距为，线框又沿边以速率在自身平面内相对系做匀速运动. 在线框范围内存在一均匀电场，其方向与线框平面的倾角为. 考虑相对论效应，试在系中计算以下各量. （1）线框各边上相邻两小球的间距，，， （2）线框各边的净电量，，， （3）线框和小球系统所受的电力矩大小 （4）线框和小球系统的电势能. 【答案】（1）        （2）        （3）（4） 【详解】（1）令为观察到的环路以速度运动的实验室参照系，为环路参照系（系的轴与同向，沿着边的方向，轴则垂直于环路所在平面）. 系各轴平行于系各对应轴，与系的坐标原点在时重合. （a）边 建立与边上的小球一起运动的参照系，它的各坐标轴与，系的坐标轴平行. 相对具有速度. 据洛伦兹收缩，测得的边上相邻两个小球之间的距离为 .                        ① （只要是在相对小球静止的参照系中测得的相邻两球间距，上式对任何一条边均成立） 据相对论速度求和公式，系中的观察者认为边上各球具有的速度为 .                        ② 再据洛伦兹收缩，此观察者将测得边上相邻两球的间距为 .                    ③ 将①②式代入到③式，可得 .                    ④ （b）边 对系中的观察者而言，边上小球的速度为 .                        ⑤ 再据洛伦兹收缩有 .                    ⑥ 将①⑤式代入到⑥式，便得 .                    ⑦ （c）边 在系中，令边上的某一小球在时刻位于处. 在同一时刻，邻近的一个小球应位于，，处. 各球相对于系的空——时坐标可由洛伦兹变换式给出 ；，；.        ⑧ 据此，第一个小球在系中有 ；，；.    ⑨ 第二个小球则为 ；，；.    ⑩ 由于，系中这两个小球之间的距离便为 ，        ⑪ 即得.                        ⑫ （4）边 重复上述相似的结论，可得 .                        ⑬     （其实，由于，边与垂直，无洛伦兹收缩，故） （2）在环路参照系中，每一条边线上的电荷量为.    ⑭ 在此已考虑到为各边上的小球数. 由于电荷是运动不变量，在实验室参照系中测得的各边线电荷量也为此值. （a）边在实验室参照系中，边上各球电荷量之和为 .                    ⑮ 此式系由边上小球数乘以每一小球电荷量（运动不变量）来获得. ⑮式右边第一项中的分子为系中观察者测得的运动收缩边长，分母则为相邻小球的间距. 将④式代入到⑮式中，可得 .                    ⑯ 将⑭式和式⑯相加，便得边上总电荷量为 .                        ⑰ （b）边用相同的方法可得 .            ⑱ 将⑭和式⑱式相加，可得 .                    ⑲ （c）边和边在系中观察者测得这两条边的边长均为，相邻两球的间距也均为，因此 .                    ⑳ 将⑭和⑳式相加，可得 ，                        （21.1） .                        （21.2） （3）作用在边上的电场力为 .                ㉒ 作用在边上的电场力为 .                ㉓ 与形成一力偶. 据力偶的力矩表达式，可得（参见图1） .                    ㉔ 最后可表达成 .                    ㉕ （4）显然，线框上与两边上的电荷的总电势能为零，或者不予考虑. 令和分别为边上各点和边上各点的静电势（指场强为的外电场的电势），那么有.                ㉖ 将电势零位（）选在与垂直的一个平面上，此平面与边的间距为某一任意量（见图2），于是 .            ㉗ 但，故 .                    ㉘ 将⑰式代入到㉘式，便得 .                    ㉙ 本题是第22届国际物理奥林匹克竞赛试题.首先，对于运动的系统，在考虑相对论效应时，不同的参照系间的时空会发生变化，物体的质量也要发生变化，但电量却是不变的.其次，不要纠结于为什么在线框系中各边的总电量为零，而到了实验室参照系中各边的总电量就不为零了. 因为对于边线而言，它在线框系中是静止的，在实验室系看来，其上的电荷分布是与线框在一起的，因而，线框上的电量不会变化，但小球是运动的，在实验室系中看，虽然每个球上的电量是不变的，但每个边上的小球数量并不相同，于是有了解答中的结果.再次，本题也提示我们在学习相对论知识的过程中，应该注意到哪些是与参照系相关的量，哪些是与参照系无关的不变量.最后，本题所要求的量很多，上面的解答也为我们提供了一个很好的程序法的示例：将问题逐个排序解决，从而保证了解答过程的清晰明了，避免出现疏漏及错误. 9．在高能物理中，实验证明，在实验室参考系中，一个运动的质子与一个静止的质子相碰时，碰后可能再产生一个质子和一个反质子，即总共存在三个质子和一个反质子．试求发生这一情况时，碰前那个运动质子的能量（对实验室参考系）的最小值（即阈值）是多少？已知质子和反质子的静止质量都是．不考虑粒子间的静电作用． 【答案】 【详解】在讨论本题之前，先看一下相对论能量和动量的普遍关系式，即 ．         ① 式中c为光在真空中的速度，m为粒子的质量，p为其动量，为静止质量． 此关系式可由能量 和动量 导出，v为粒子的速度． ， 故． 由此关系式可知，对每一个粒子，其能量的平方与呈线性关系．下面讨论本题． 从实验室参考系来看，碰前系统的总动量等于运动的那个质子的动量，设其方向沿x轴正方向，碰撞前后系统的总动量守恒，总能量守恒．若要碰后能存在三个质子和一个反质子且总能量为最小值，则可论证这四个粒子的动量必定相等． (1)先讨论碰后四个粒子的动量都沿x轴正方向的情况． 令、、、分别表示它们动量的大小，这四个动量中，若有任何两个不相等，如，设．若将增加（）而将减少（这时总动量不变），则有 ， . 这样一来，第一个粒子能量的平方增加了，而第二个粒子能量的平方减少了，两个粒子能量平方的净增量为 因已设内，且，所以净增量是负的，总能量将减少．这就是说，设时对应的总能量并不是最小值．由此可判断，四个粒子的动量必相等． (2)若四个粒子中，有一个粒子其动量沿x轴的负方向，因为总动量守恒，则必有沿x轴正方向运动的另一粒子的动量增加了，因为能量的平方与呈线性关系，所以这时的总能量必然大于沿x轴正方向运动时的能量．也就是说，只要四个粒子中，有沿x轴负方向运动的，则总能量必不是最小值． (3)若四个粒子的动量的方向不在同一直线上，这时将它们沿x轴方向和垂直于x轴方向分解，沿x轴方向总动量守恒；垂直于x轴方向的动量互相抵消，但它们却使粒子的能量增大了，也就是说，这时的能量也不是最小值． 总结以上可见，要想碰后四个粒子的总能量最小，根据总动量守恒、能量守恒及相对论能量和动量关系式可知，碰后四个粒子的动量必相等． 设碰前运动质子的动量为p，质量为m，碰后四个粒子的动量为、、和，四个粒子的质量为、、和，根据动量守恒和能量守恒，有 ，         ② ．      ③ 由上面论述可知 ．           ④ 再由①式可知，碰后四个粒子的能量相等从而质量必相等．以表示碰后四个粒子中每个粒子的质量，由③式得 ．                 ⑤ 对碰前那个运动的质子，由相对论能量和动量关系有 ．          ⑥ 对四个粒子中任一个粒子，由相对论能量和动量关系有 ．               ⑦ 由⑤⑥⑦式可得 ．              ⑧ 代入数据得 ．          ⑨ 10．我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生早在1941年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案：原子核可以俘获原子的K层电子而成为的激发态，并放出中微子（当时写作）： 而又可以放出光子而回到基态： 由于中微子本身很难直接观测，通过对上述过程相关物理量的测量，就可以确定中微子的存在，1942年起，美国物理学家艾伦（R．Davis）等人根据王淦昌方案先后进行了实验，初步证实了中微子的存在．1953年美国人莱因斯（F．Reines）在实验中首次发现了中微子，莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔（M．L．Perl）分享了1995年诺贝尔物理学奖． 现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量．若实验中测得锂核（）反冲能量（即的动能）的最大值，光子的能量．已知有关原子核和电子静止能量的数据为；；．设在第一个过程中，核是静止的，K层电子的动能也可忽略不计．试由以上数据，算出的中微子的动能和静止质量各为多少？ 【答案】， 不能确定中微子的静止质量．如果有，其质量一定小于． 【详解】根据题意，核和K层电子的动量都为零，在第一个反应中，若用表示激发态锂核的动量，表示中微子的动量，则由动量守恒定律有 ． 即激发态锂核的动量与中微子的动量大小相等，方向相反．在第二个反应中，若用表示反冲锂核的动量，表示光子的动量，则由动量守恒定律有 ． 由此得． 当锂核的反冲动量办最大时，其反冲能量也最大．由上式可知，当中微子的动量与光子的动量同方向时，锂核的反冲动量最大．注意到光子的动量为 ， 有． 由于锂核的反冲能量比锂核的静能小得多，锂核的动能与其动量的关系不必用相对论关系表示，这时有 ． 由此得． 代入有关数据得 用表示中微子的能量，根据相对论有 ． 根据能量守恒定律有 ． 由此得 由上式和已知数据得 ． 由此可知，所算出的中微子静止质量的数值在题给数据的误差范围之内，故不能确定中微子的静止质量．如果有，其质量一定小于． 11．在弗雷德·霍尔的一本小说的末尾，书中的英雄以高的洛仑兹系数和与银河系平面成直角的方向飞行，他说他似乎在一个蓝边红体的“金鱼碗”内部朝碗口飞行，费曼用25张百元钞票打赌说，来自银河系的光看来不会是那样。已知他相对银河参考系的飞行速率v=0.99c，并观察到他飞行方向与他和银河系边缘连线的夹角，如图所示。 (1)试求在飞行者看来，来自银河系边缘的光的方向与他飞行方向之间的夹角； (2)试求飞行者接收到的来自银河系边缘的光的频率与实际发出的光的频率之比； (3)取不同的角计算和的值，以判定谁赌赢了？ 【答案】(1) (2)  (3)霍尔赢了 【详解】(1)取银河系为S系、飞行者为系，系相对S系以速度v沿x方向运动，如图1所示。在S系中，来自银河系边缘的光的速度方向与x轴的夹角故光速沿x、y两方向的分量分别为 由速度变换公式，可得在S'，系中先速的两个分量分别为（取） 设在系中此光速方向与轴的夹角为，有 把和代入上式，得 即 如图表示了在飞行者看来银河系的形状，正如小说中英雄所描述的那样像个“金鱼碗”，且他正在向碗口飞行。 (2)根据光的多普勒效应公式，可得飞行者接收到的来自银河系边缘的光的频率为 上式中为级河系边嫁实际发出光的频率。 与互为补角，如图2所示，即有，把它以及代入上式，可得 从这一比率可见，飞行者看到来自银河系边缘的光发生了蓝移现象， (3)取，即，这时有 这是来自银河系中心的光，在飞行者看来发生了红移现象。 若取，这时有 即处是个临界角度。 若大于此角测充发生红移，而日小于此角则光发生蓝移，这就意味着越接近银河系中心，发来的光红移越明显；而越接近银河系边缘，发来的光蓝移越明显。 当飞行者位于银河系中心向外飞行时，来自银河系边缘的光，有 即。于是有 从此比率可见，飞行者越接近银河系中心，则来自银河系边缘，光的蓝移程度越大。综上所述，霍尔在小说中描写的飞行英雄说的话，即他在一个蓝边红体的“会鱼碗”内部朝着碗口飞行的描述基本是正确的，费曼赌输了。 12．宇航员乘宇宙飞船以0.8c的速度飞向一个8光年远的天体，然后立即以同样速率返回地球.以地球为K系，去时的飞船为系，返时的飞船为系.在地球和天体上各有一个K钟，彼此是对准了的.起飞时地球上的K钟和飞船上的K钟的指示 （1）求对应于宇航员所在参考系起飞、到达天体和返回地球这三个时刻所有钟的读数； （2）假定飞船是2000年元旦起飞的.此后每年元旦宇航员和地面上的挛生兄弟互拍贺年电报.求以各自的钟为准他们收到每封电报的时刻. 【答案】见解析 【详解】（1）.因对于系，宇航员起飞时天体上的K钟并未与地球上的K钟对准，而是预先走了年 （见图a）运算时用到数据：时，天体到地球的距离 由于洛仑兹收缩，宇航员观测到自己的旅程长度为，单程所需时间为年，即当他到达天体时钟指示6年.在此期间由于爱因斯坦延缓，K钟只走了年年，即此刻地球和天体上的K钟读数分别为3.6年和（6.4+3.6）年=10年（见图b） 到达天体时宇航员立即迅速调头，相当于换乘系的飞船以同样的速率返航，这时他飞船上的钟仍然指示年的地方．对于系此刻地球上K钟的读数比当地K钟的读数年超前了6.4年（理由同前），即年=16.4年 （见图a）.也就是说，在宇航员从换到系时，球上的K钟一下子从3.6年跳到16.4年，突然增加了12.8年. 作与离去时同样的分析，可知在返程中钟走过6年，系观测到K钟走过3.6年.即当他返回地球时， 年=12年，年=13.6年，年=20年（见图b）.回到地球宇航员发现同胞兄弟比自己老了8年. （2）坐在宇宙飞船上的宇航员并不能即时地看到K钟的读数，他只能通过接收来自地球的无线电讯号间接地推算人间光阴的流逝.起初，当飞船离地球而去时，收贺年电报的周期拉得很长.这一方面是因为对于飞船来说K钟走得慢，另一方面是由于信号源在退行．对于K系，相继发出两封电报的时间间隔△t=1年，对于系，，同时在此期间飞船又走远了光年.两个效果合起来，宇航员收报的间隔是年年.按此计算，宇航员驶向天体的6年中只收到2001、2002年两封元旦贺电. 同理，宇航员在回程中收报的间隔是年年，6年里收到从2003到2020年发出的18封元旦贺电. 我们把宇航员和地面上收到对方新年贺电的时刻列在下表中，而对地面收报情况的具体分析，留给读者自己去讨论． 表1地球上的发报时间t和飞船上的收报时间或 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 7 8 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 10 11 12 表2飞船上的发报时间或和地球上的收报时间t 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 12 t/a 0 3 6 9 12 15 18 19 20 13．如图所示，竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为（长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上，导线中正离子都是静止的，每单位长度导线中正离子的电荷量为；形成电流的导电电子以速度沿导线向下匀速运动，每单位长度的导线中导电电子的电荷量为已知：单位长度电荷量为的无限长均匀带电直导线在距其距离为处产生的电场的强度大小为，其中是常量；当无限长直导线通有稳恒电流时，电流在距导线距离为处产生的磁场的磁感应强度大小为，其中是常量．试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量和的比值？提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真中的光速为 【答案】 【详解】在相对于正离子静止的参考系中，导线中的正离子不动，导电电子以速度向下匀速运动；在相对于导电电子静止的参考系中，导线中导电电子不动，正离子以速度向上匀速运动. 下面分四步进行分析. 第一步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加电场力的大小和方向. 若系中一些正离子所占据的长度为，则在系中这些正离子所占据的长度变为，由相对论中的长度收缩公式有，式中.            ① 设在参考系和中，每单位长度导线中正离子电荷量分别为和，由于离子的电荷量与惯性参考系的选取无关，故.                    ② 由①和②式得.                    ③ 设在系中一些导电电子所占据的长度为，在系中这些导电电子所占据的长度为，则由相对论中的长度收缩公式有.                    ④ 同理，由于电子电荷量的值与惯性参考系的选取无关，便有 ，                    ⑤ 式中，和分别为在参考系和中单位长度导线中导电电子的电荷量. 在参照系中，导线2单位长度带的电荷量为 .        ⑥ 它在导线1处产生的电场强度的大小为 .            ⑦ 电场方向水平向左. 导线1中电荷量为的正离子受到的电场力的大小为 .            ⑧ 电场力方向水平向左. 第二步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加的磁场力的大小和方向. 在参考系中，以速度向上运动的正离子形成的电流大小为 .                ⑨ 导线2中的电流在导线1处产生的磁场的磁感应强度大小为 .            ⑩ 磁场方向垂直纸面向外，导线1中电荷量为的正离子所受到的磁场力的大小为 .            ⑪ 磁场力方向水平向右，与正离子所受到的电场力的方向相反. 第三步，在参考系中，考虑导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的大小和方向. 由题设条件，导线2所带的正电荷与负电荷之和为零，即 .                    ⑫ 因而，导线2对导线1中正离子施加的电场力为零，即 .                    ⑬ 注意到在系中，导线1中正离子不动，即 .                    ⑭ 导线2对导线1中正离子施加的磁场力为零，即 .                ⑮ 式中，是在系导线2中的电流在导线1处产生的磁场的磁感应强度大小. 于是，在系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力为零. 第四步，已说明在系中导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力为零，如果导线1中正离子还受到其他力的作用，所有其他力的合力必为零（因为正离子静止），在系中，导线2对导线1中正离子施加的电场力和磁场力的合力的大小为 .                    ⑯ 因为相对系，上述可能存在的其他力的合力仍应为零，而正离子仍处于匀速运动状态，所以⑯式应等于零，故 .                    ⑰ 由⑧⑪⑰式得：. 本题是第29届全国中学生物理竞赛复赛试题.作为参与物理竞赛的学生，本题也许无须推导，仅从已知的电流的磁场与带电导线的电场知识，记下相应的常量，便易知，但这样肯定是不能得分的. 但若要按题目的要求，利用相对论的尺缩效应给予推导，如无超强的物理敏感性，几乎找不到解决问题的入口.本题的命题方式无疑告诉我们，对于我们所学的知识，应不仅仅只会套公式解题，更应该掌握其内核，作更深入的探讨，只有这样，才能在新的物理情境面前游刃有余.本题也涉及了电荷量与惯性参照系的选择无关. 14．爱因斯坦的广义相对论预言星光会在太阳附近发生偏折。1919年，英国天文学家埃丁顿率领一支队伍，藉发生日全食的机会对这个现象进行了观测，验证了上述预言。下面对此进行分析。 (1)先在牛顿的动力学和万有引力理论的框架下考虑。若质量为m的质点在位于坐标原点O的质量的引力场中运动，其轨道是圆锥曲线。在平面极坐标系中，轨道方程为称为半通径，称为偏心率。若，则存在，使，试确定及其取值范围。 (2)第（1）问中的质点的轨道的参数p和e由质点的能量E（含动能和相互作用势能）和相对于O点的轨道角动量的大小L决定。试导出和的函数关系。 (3)设一物体以速度从外太空飞入太阳系，朝向太阳的瞄准距离是b（即初速度所在直线到太阳中心的距离），如图所示。设，其中是太阳质量。当它飞离太阳系时，对下述两种情况，求其飞出方向相对于原飞入方向的偏转角； （ⅰ）该入射物是一块陨石； （ⅱ）该入射物是一束星光，且该光束恰好掠过太阳表面而射入到我们的观测站，此时可近似认为瞄准距离b等于太阳半径。 (4)广义相对论断言星光在引力场中会弯曲，在弱场近似下，这等效于存在引力场的空间有不恒为1的相对折射率其中是空间中的质量分布在r处的牛顿引力势。光线的轨迹可由费马原理决定，其中是A到B的光程，变分符号δ表示总光程取极小值。设与θ无关，即，若光线的轨迹方程为，上述变分就导致方程，这里。利用此方程，试重新计算掠过太阳表面的星光的偏折角。已知太阳的质量为，太阳半径为。引力常量为G，真空中的光速为c、 【答案】(1) (2) (3)（ⅰ）；（ⅱ） (4) 【详解】（1）由和质点的轨道方程得 ① 由此得 ② 此即 ③ （2）系统的能量（包括动能和相互作用势能）和相对于点的轨道角动量的大小分别可以表示为 ④ ⑤ ⑤式平方得 ⑥ ⑥式代入④式得 ⑦ 由⑥⑦式得 ⑧ 将两边对微分得 ⑨ ⑨式即 ⑩ 由⑧⑩式得 ⑪ 它对于任意的都成立，因此有 ⑫ ⑬ 此即 ⑭ ⑮ （3）（ⅰ）由初始条件知 ⑯ ⑰ 由⑮⑯⑰式得 ⑱ 利用题给条件，有 ⑲ 由②⑲式得 ⑳ 注意，等于从双曲线的两渐近线交角的平分线绕太阳转到其另一渐近线方向的转角。由几何关系得，出射方向相对于入射方向的偏角满足 ㉑ 由⑳㉑式得 ㉒ （ⅱ）此时有 ㉓ 将㉓式代入㉒式得 ㉔ （4）题干中已给 ㉕ 从中可解出 ㉖ 常量C由初始条件决定。根据（3）（ⅱ）中的题设条件：“可近似认为瞄准距离等于太阳半径”，因此，可做题解图，由此图可知 ㉗ 由㉕或㉖式与㉗式和 ㉘ 可得 ㉙ 在太阳的引力场中有 ㉚ 由㉚式和题给关系 有 ㉛ 将㉙㉛式代入㉕或㉖式，得 ㉜ 由于，㉜式可近似为 ㉝ 由⑩㉝式得 ㉞ 它对于任意的都成立，因此有 ㉟ ㊱ 由于，故 ㊲ 因而 ㊳ 将㊳式代入㉑式得，掠过太阳表面的星光产生的偏折角为 ㊴ 15．无限大的流体介质中有一个点光源和一个接收器，点光源与接收器相对静止。介质折射率为，点光源和接收器之间间距为。 （1）流体相对于接收器静止，在接收器系中观察，从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间。 （2）流体相对于接收器速度为，方向从点光源指向接收器，求从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间。 （3）流体相对于接收器速度为，方向垂直于点光源和接收器的连线，求从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间。 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由于流体相对于接收器静止，光子流体中的速度 从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间 （2）在与流体速度方向相同，且大小为v的参考系中，观察到的光速 根据洛伦兹变换，在相对光源和接收器静止的参考系中观察到的光速 因此所需要的时间 （3）在与流体速度方向相同，且大小为v的参考系中观察到的光速 由光源S传向接收器R的示意图及光速矢量图如图所示 可知 根据洛伦兹变换，在静止参考系中观察到的速度 而 联立可得 因此所需时间 16．质子的质量为，电子的质量为，其中，基态氢原子的能量为，氢原子从第一激发态跃迁回基态，放出光子的频率为，氢原子从基态跃迁到第一激发态，吸收的光子频率为，求： （1）初始静止的处于第一激发态的氢原子，跃迁回基态后的速度v。 （2）相对偏差。 【答案】（1）3.26m/s；（2） 【详解】（1）设基态静质量为，激发态静质量为，已知质子质量M，电子质量m，第一电离能 根据玻尔理论，有 对于从激发态到基态的过程，由动量守恒和能量守恒，有 其中已知用到相对论动能量关系，解得 再利用 解得 再代入已知量计算可得 （2）对于从基态跃迁到激发态的过程，同理，由动量守恒和能量守恒 解得 所以 所以相对偏差 代入已知量计算可得 17．固定在S系的x轴上的两只同步钟A，B相距，固定在系的轴上的两只同步钟为，，如图所示。系以的速度沿x轴正向运动。在某一时刻，在S系中观察A与钟、B与钟同时相遇，且此时A与钟同时指零。在与B钟相遇时，在S系中观察到和B钟的示值；在与B钟相遇时，在系中观察到A和钟的示值分别为（　　） A．（0.133s），B（0.167s）；A（0.107s），（0.133s） B．（0.133s），B（0.107s）；A（0.167s），（0.133s） C．（0.167s），B（0.133s）；A（0.133s），（0.107s） D．（0.107s），B（0.133s）；A（0.133s），（0.167s） 【答案】A 【详解】在S系中观察，移动距离 B钟转过的时间为 在系中移动的距离 钟的时间为 在系中观察，B钟的移动距离为，则钟的示数为 在与B钟相遇的同时，A， B两种示值之差为，满足 其中 求得 故选A。 18．相对于站立在地面的李同学，张同学以相对论速率v向右运动，王同学以同样的速率v向左运动。当张同学和王同学相遇时，三位同学各自把自己时钟的读数调整到零。当张同学和王同学之间的距离为L时（在地面参考系中观察），张同学拍一下手。已知张同学和王同学之间的相对速率为，其中，c为真空中的光速。 （1）求张同学拍手时其随身携带的时钟的读数； （2）从王同学自身静止的参考系看，在张同学拍手这一事件发生的时刻，王同学也拍一下手。从张同学自身静止的参考系看，在王同学拍手这一事件发生的时刻，张同学第二次拍一下手。从王同学自身静止的参考系看，在张同学第二次拍手这一事件发生的时刻，王同学第二次拍一下手。照此继续下去。求当张同学第n次拍手时地面参考系中张、王同学之间的距离； （3）从李同学自身静止的参考系看，张同学和王同学依次拍手的时刻为多少？并指出这些时刻的顺序。 【答案】（1）；（2）；（3），， 【详解】1.在地面参考系S中，从张同学和王同学相遇，到他们之间的距离为L时，时间间隔为 （1） 在张同学自身静止的参考系中，张同学开始两次读其随身携带的时钟的两个事件发生在同一地点，因此张同学拍手时其随身携带的时钟的读数T为固有时间或原时。利用时间的相对论效应得 （2） 2.在参考系中，张同学第一次拍手这一事件1发生的时刻和位置分别是和。已设张、王同学分别位于各自参考系中直角坐标系的坐标原点，两参考系中直角坐标系的原点在时重合、和轴重合且同向。而在王同学自身静止的参考系中，张同学的时钟慢了。利用时间的相对论效应，在参考系中事件1发生的时刻（此即王同学随身携带的时钟的读数）为 （3） 式中 （4） 推导中已应用了张同学相对于王同学做匀速直线运动的速率的表达式。注意：在参考系中事件1发生的位置并不在王同学自身所在处或原点，而在。 依题意，王同学在时刻 （5） 拍手，这一事件在参考系中发生的时刻和位置分别是和原点，是和事件1不同的另一事件，记为事件2.而在张同学自身静止的参考系中，王同学的时钟慢了。利用时间的相对论效应，在参考系中事件2发生的时刻为 （6） 依题意，张同学在时刻 （7） 第二次拍手（事件3），即为其随身携带的时钟的读数。 照此继续下去。当张同学第n次拍手时，第个事件在参考系中发生的时刻（或张同学随身携带的时钟的读数）为 （8） 由于在张同学每次观察到的时间间隔T内，张、王同学之间在地面参考系中的距离增加L。于是，张同学第n次拍手时，张、王同学之间在地面参考系中的距离为 （9） 3.利用时间的相对论效应，从李同学自身静止的参考系看，张同学和王同学依次拍手的时刻为 （10） （11） （12） （13） 由（10）至（13）式可直接看出 （14） 19．设某原子核处于基态时的静止质量为，处于激发态时其能量与基态能量之差为，且受激原子核处于自由状态。 （1）假设处于激发态的原子核原先静止，在发射一个光子后回到基态，试求其发射光子的波长。 （2）由于无规则热运动，大量处于激发态的原子核原先不是静止的，可以沿任何方向运动，且速度的大小也是无规则的，可具有任何值。现只考察那些相对实验室是向着或背着仪器做直线运动的激发态原子核，假定它们速度的最大值是，试求这些受激核所发射光子的最大波长和最小波长之差与之比。已知普朗克常量为，真空中的光速为。 【答案】（1）；（2） 【详解】1.激发态核的能量为                             （1） 在发射光子的过程中系统动量守恒，用表示发射光子后核的动量，表示光子的频率，取光子运动方向为正方向，有                                 （2） 基态核因反冲具有的动量为                                 （3） 因发射过程中的能量守恒，有                     （4） 式中m表示基态核的动质量。若用v表示基态核因反冲具有的速度，则基态核的动量和动质量可表示成                             （5）                         （6） 由（3）~（6）各式可得             （7） 因                        （8） 故得        （9） 2.考虑激发态核向着仪器运动的情况。对于以最大速度向仪器运动的激发态核，若用表示光子后核的动量，用表示光子的频率，则由动量守恒有             （10） 由能量守恒         （11） 其中表示基态核的动质量。若用表示基态核的速度，则有                         （12）                     （13） 由（9）~（13）式可得                         （14） 注意到（8）式，有                         （15） 由（15）式可看出，向着仪器运动且速度小于的激发态核，它们发出的光子的波长比大，速度大小分布在零与之间的激发态核发出的光子的波长分布在与之间。 再考虑激发态背离仪器运动的情况。对于以最大速度背离仪器运动的激发态核，用类似于上面的讨论有         （16）     （17） 式中为发射光子后基态核的动量，为光子的频率，为基态核的动质量。若基态核的速度为，则有                     （18）                 （19） 由（16）~（19）各式解得                 （20） 注意到（8）式，得                 （21） 由（21）式可以看出，背离仪器运动且速度小于的激发态核，它们发出的光子的波长都比小。速度大小分布在与零之间的激发态核发出的光子的波长分布在与之间。由此可知     （22）                         （23） 20．星际飞行器甲、乙、丙如图所示：在惯性系E（坐标系O-xy）中观测到飞行器甲和乙在同一直线上朝y轴负方向匀速飞行，飞行器丙在另一直线上朝y轴正方向匀速飞行：两条飞行直线相互平行，相距d。三艘飞行器的速度在惯性系中分别为、、（是沿y轴正方向的单位矢量），图中飞行器旁的箭头表示其飞行速度的方向。假设飞行器甲、乙、丙的尺寸远小于d。 (1)某时刻，飞行器甲向乙发射一个光信号，乙收到该信号后立即将其反射回甲。据甲上的原子钟读数，该光信号从发出到返回共经历了时间（Δt光信号）甲=T。试求分别从惯性系和乙上的观测者来看，光信号从甲发出到返回甲，所经历的时间各是多少？从甲上的观测者来看，从甲收到返回的光信号到甲追上乙需要多少时间？ (2)当飞行器甲和丙在惯性系S中相距最近时，从甲发射一个小货物（质量远小于飞行器的质量，尺寸可忽略），小货物在惯性系中的速度大小为。为了让丙能接收到该货物，从甲上的观测者来看，该货物发射速度的大小和方向是多少？从乙上的观测者来看，货物从甲发射到被丙接收所需时间（Δt货）乙是多少？ 【答案】(1) ；(2) 【详解】(1)光信号从飞行器甲发出到返回甲，从惯性系中的观测者来看，所需时间为 根据狭义相对论速度合成法则，飞行器甲相对于飞行器乙的速度为 式中，最后的等号右边的负号表示飞行器甲相对于乙的速度沿y轴负方向，余类推，从飞行器乙上的观测者来看，光信号从飞行器甲发出到返回甲所需时间为 从飞行器甲上的观测者来看，飞行器甲收到返回的光信号时，飞行器甲和乙间的距离为 从甲收到返回的光信号到甲追上乙所需的时间为 (2)考虑小货物在惯性系中的速度，为了让小货物能被飞行器丙收到，小货物速度的 y分量应该与飞行器丙相同 据题意，小货物在惯性系中的速度大小为 小货物速度的x分量为 由题意，这里取正号 惯性系相对于飞行器甲的速度为 ， 根据狭义相对论速度合成法则，从飞行器甲上的观察者来看，小货物速度的两个分量分别为 从飞行器甲上的观测者来看，小货物发射速度的大小为 发射方向与飞行器甲的运动方向之间的夹角 为 回到参考系，货物从发送到接收所用的时间为 货物在 y 方向上的位移为 从飞行器乙上的观测者来看，设货物从发送到接收的时间为，由洛伦兹变换公式得 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 狭义相对论专题 1．μ子是不稳定粒子，在其静止参考系中，它们寿命约为2.3×10-6秒，如果一个μ子相对于实验室的速率为0.8c。 （1）在实验室中测得它的寿命是多少； （2）它在其寿命时间内，在实验室中测得它的运动距离是多少。 2．已知电子的静止能量约为0.5MeV，若一个电子的相对论质量与静止质量的比值为1.5，则该电子的动能为（　　） A．0.25MeV B．0.5MeV C．0.75MeV D．1MeV 3．一个相对于彼此间距固定不变的星体系统为静止的观察者看到一个各向同性的星体分布。对任意立体角元有，现在考虑另一个以恒定加速度（相对其瞬时惯性参照系）运动的观察者，假如他在时刻相对于固定的观察者静止并开始运动。试确定在时刻的星系分布为（此处为运动观察者自身的时间） 4．考虑质量为的非相对论性粒子在势场中的一维运动。 （1.1）若，其中，证明具有非零能量的粒子总会在有限时间内到达无穷远处。 （1.2）若有下界，证明粒子不能在有限时间内到达无穷远处。 5．根据广义相对论，光线在星体的引力场中会发生弯曲，在包含引力中心的平面内是一条在引力中心附近微弯的曲线。它距离引力中心最近的点称为光线的近星点。通过近星点与引力中心的直线是光线的对称轴。若在光线所在平面内选择引力中心为平面极坐标的原点，选取光线的对称轴为坐标极轴，则光线方程（光子的轨迹方程）为，是万有引力恒量，是星体质量，是光速，是绝对值远小于1的参数。现在假设离地球80。0光年处有一星体，在它与地球连线的中点处有一白矮星。如果经过该白矮星两侧的星光对地球上的观测者所张的视角是，试问此白矮星的质量是多少千克？ 已知。 6．子在相对自身静止的惯性参考系中的平均寿命。宇宙射线与大气在高空某处发生核反应产生一批子，以v = 0.99c的速度（c为真空中的光速）向下运动并衰变。根据放射性衰变定律，相对给定惯性参考系，若t = 0时刻的粒子数为N（0）， t时刻剩余的粒子数为N（t），则有N(t)=N(0)e-，式中为相对该惯性系粒子的平均寿命。若能到达地面的子数为原来的5%，试估算子产生处相对于地面的高度h。不考虑重力和地磁场对子运动的影响。 7．（1）在经典的氢原子模型中，电子围绕原子核做圆周运动，电子的向心力来自于核电场的作用. 可是，经典的电磁理论表明，电子做加速运动会发射电磁波，其发射功率可表示为（拉莫尔公式）：，其中为电子的加速度，为真空光速，，电子电荷量绝对值. 若不考虑相对论效应，试估计在经典模型中氢原子的寿命.（实验测得氢原子的结合能是，电子的静止质量） （2）带电粒子加速后发射的电磁波也有重要的应用价值. 当代科学研究中应用广泛的同步辐射即是由以接近光速运动的电子在磁场中做曲线运动改变运动方向时所产生的电磁辐射. 电子存储环是同步辐射光源装置的核心，存储环中的电子束团通过偏转磁铁等装置产生高性能的同步辐射光. 上海光源是近年来建成的第三代同步辐射光源，它的部分工作参数如下：环内电子能量，电子束电流强度，周长，单元数（装有偏转磁铁的弯道数量），偏转磁铁磁场的磁感应强度.试计算该设备平均每个光口的辐射总功率.（在电子接近光速时，若动量不变，牛顿第二定律仍然成立，但拉莫尔公式不再适用，相应的公式变化为，其中，为电子总能量，为电子的静止能量） （3）由于存储环内电子的速度接近光速，所以同步辐射是一个沿电子轨道的切线方向的光锥，光锥的半顶角为，由此可见电子的能量越高，方向性越好. 试计算：上述设备在辐射方向上某点接收到的单个电子产生的辐射持续时间.（本题结果均请以三位有效数字表示） 8．如图所示，有一均匀带负电的正方形绝缘线框，每边边长为，线框上串有许多带正电的小球（看成质点），每个小球的带电量为，每边的总带电量为零（即线框的带电量和各小球的带电量互相抵消）. 今各小球相对线框以速率沿绝缘线做匀速运动，在线框参考系中测得相邻两小球的间距为，线框又沿边以速率在自身平面内相对系做匀速运动. 在线框范围内存在一均匀电场，其方向与线框平面的倾角为. 考虑相对论效应，试在系中计算以下各量. （1）线框各边上相邻两小球的间距，，， （2）线框各边的净电量，，， （3）线框和小球系统所受的电力矩大小 （4）线框和小球系统的电势能. 9．在高能物理中，实验证明，在实验室参考系中，一个运动的质子与一个静止的质子相碰时，碰后可能再产生一个质子和一个反质子，即总共存在三个质子和一个反质子．试求发生这一情况时，碰前那个运动质子的能量（对实验室参考系）的最小值（即阈值）是多少？已知质子和反质子的静止质量都是．不考虑粒子间的静电作用． 10．我国著名物理学家、曾任浙江大学物理系主任的王淦昌先生早在1941年就发表论文，提出了一种探测中微子的方案：原子核可以俘获原子的K层电子而成为的激发态，并放出中微子（当时写作）： 而又可以放出光子而回到基态： 由于中微子本身很难直接观测，通过对上述过程相关物理量的测量，就可以确定中微子的存在，1942年起，美国物理学家艾伦（R．Davis）等人根据王淦昌方案先后进行了实验，初步证实了中微子的存在．1953年美国人莱因斯（F．Reines）在实验中首次发现了中微子，莱因斯与发现轻子的美国物理学家佩尔（M．L．Perl）分享了1995年诺贝尔物理学奖． 现用王淦昌的方案来估算中微子的质量和动量．若实验中测得锂核（）反冲能量（即的动能）的最大值，光子的能量．已知有关原子核和电子静止能量的数据为；；．设在第一个过程中，核是静止的，K层电子的动能也可忽略不计．试由以上数据，算出的中微子的动能和静止质量各为多少？ 11．在弗雷德·霍尔的一本小说的末尾，书中的英雄以高的洛仑兹系数和与银河系平面成直角的方向飞行，他说他似乎在一个蓝边红体的“金鱼碗”内部朝碗口飞行，费曼用25张百元钞票打赌说，来自银河系的光看来不会是那样。已知他相对银河参考系的飞行速率v=0.99c，并观察到他飞行方向与他和银河系边缘连线的夹角，如图所示。 (1)试求在飞行者看来，来自银河系边缘的光的方向与他飞行方向之间的夹角； (2)试求飞行者接收到的来自银河系边缘的光的频率与实际发出的光的频率之比； (3)取不同的角计算和的值，以判定谁赌赢了？ 12．宇航员乘宇宙飞船以0.8c的速度飞向一个8光年远的天体，然后立即以同样速率返回地球.以地球为K系，去时的飞船为系，返时的飞船为系.在地球和天体上各有一个K钟，彼此是对准了的.起飞时地球上的K钟和飞船上的K钟的指示 （1）求对应于宇航员所在参考系起飞、到达天体和返回地球这三个时刻所有钟的读数； （2）假定飞船是2000年元旦起飞的.此后每年元旦宇航员和地面上的挛生兄弟互拍贺年电报.求以各自的钟为准他们收到每封电报的时刻. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 7 8 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 6 7 8 9 10 11 12 t/a 0 3 6 9 12 15 18 19 20 13．如图所示，竖直固定平行放置的两条相同长直导线1和2相距为（长直导线的长度），两导线中通有方向和大小都相同的稳恒电流，电流方向向上，导线中正离子都是静止的，每单位长度导线中正离子的电荷量为；形成电流的导电电子以速度沿导线向下匀速运动，每单位长度的导线中导电电子的电荷量为已知：单位长度电荷量为的无限长均匀带电直导线在距其距离为处产生的电场的强度大小为，其中是常量；当无限长直导线通有稳恒电流时，电流在距导线距离为处产生的磁场的磁感应强度大小为，其中是常量．试利用狭义相对论中的长度收缩公式求常量和的比值？提示：忽略重力；正离子和电子的电荷量与惯性参照系的选取无关；真中的光速为 14．爱因斯坦的广义相对论预言星光会在太阳附近发生偏折。1919年，英国天文学家埃丁顿率领一支队伍，藉发生日全食的机会对这个现象进行了观测，验证了上述预言。下面对此进行分析。 (1)先在牛顿的动力学和万有引力理论的框架下考虑。若质量为m的质点在位于坐标原点O的质量的引力场中运动，其轨道是圆锥曲线。在平面极坐标系中，轨道方程为称为半通径，称为偏心率。若，则存在，使，试确定及其取值范围。 (2)第（1）问中的质点的轨道的参数p和e由质点的能量E（含动能和相互作用势能）和相对于O点的轨道角动量的大小L决定。试导出和的函数关系。 (3)设一物体以速度从外太空飞入太阳系，朝向太阳的瞄准距离是b（即初速度所在直线到太阳中心的距离），如图所示。设，其中是太阳质量。当它飞离太阳系时，对下述两种情况，求其飞出方向相对于原飞入方向的偏转角； （ⅰ）该入射物是一块陨石； （ⅱ）该入射物是一束星光，且该光束恰好掠过太阳表面而射入到我们的观测站，此时可近似认为瞄准距离b等于太阳半径。 (4)广义相对论断言星光在引力场中会弯曲，在弱场近似下，这等效于存在引力场的空间有不恒为1的相对折射率其中是空间中的质量分布在r处的牛顿引力势。光线的轨迹可由费马原理决定，其中是A到B的光程，变分符号δ表示总光程取极小值。设与θ无关，即，若光线的轨迹方程为，上述变分就导致方程，这里。利用此方程，试重新计算掠过太阳表面的星光的偏折角。已知太阳的质量为，太阳半径为。引力常量为G，真空中的光速为c、 15．无限大的流体介质中有一个点光源和一个接收器，点光源与接收器相对静止。介质折射率为，点光源和接收器之间间距为。 （1）流体相对于接收器静止，在接收器系中观察，从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间。 （2）流体相对于接收器速度为，方向从点光源指向接收器，求从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间。 （3）流体相对于接收器速度为，方向垂直于点光源和接收器的连线，求从点光源发光到接收器接收到光经过了多长时间。 16．质子的质量为，电子的质量为，其中，基态氢原子的能量为，氢原子从第一激发态跃迁回基态，放出光子的频率为，氢原子从基态跃迁到第一激发态，吸收的光子频率为，求： （1）初始静止的处于第一激发态的氢原子，跃迁回基态后的速度v。 （2）相对偏差。 17．固定在S系的x轴上的两只同步钟A，B相距，固定在系的轴上的两只同步钟为，，如图所示。系以的速度沿x轴正向运动。在某一时刻，在S系中观察A与钟、B与钟同时相遇，且此时A与钟同时指零。在与B钟相遇时，在S系中观察到和B钟的示值；在与B钟相遇时，在系中观察到A和钟的示值分别为（　　） A．（0.133s），B（0.167s）；A（0.107s），（0.133s） B．（0.133s），B（0.107s）；A（0.167s），（0.133s） C．（0.167s），B（0.133s）；A（0.133s），（0.107s） D．（0.107s），B（0.133s）；A（0.133s），（0.167s） 18．相对于站立在地面的李同学，张同学以相对论速率v向右运动，王同学以同样的速率v向左运动。当张同学和王同学相遇时，三位同学各自把自己时钟的读数调整到零。当张同学和王同学之间的距离为L时（在地面参考系中观察），张同学拍一下手。已知张同学和王同学之间的相对速率为，其中，c为真空中的光速。 （1）求张同学拍手时其随身携带的时钟的读数； （2）从王同学自身静止的参考系看，在张同学拍手这一事件发生的时刻，王同学也拍一下手。从张同学自身静止的参考系看，在王同学拍手这一事件发生的时刻，张同学第二次拍一下手。从王同学自身静止的参考系看，在张同学第二次拍手这一事件发生的时刻，王同学第二次拍一下手。照此继续下去。求当张同学第n次拍手时地面参考系中张、王同学之间的距离； （3）从李同学自身静止的参考系看，张同学和王同学依次拍手的时刻为多少？并指出这些时刻的顺序。 19．设某原子核处于基态时的静止质量为，处于激发态时其能量与基态能量之差为，且受激原子核处于自由状态。 （1）假设处于激发态的原子核原先静止，在发射一个光子后回到基态，试求其发射光子的波长。 （2）由于无规则热运动，大量处于激发态的原子核原先不是静止的，可以沿任何方向运动，且速度的大小也是无规则的，可具有任何值。现只考察那些相对实验室是向着或背着仪器做直线运动的激发态原子核，假定它们速度的最大值是，试求这些受激核所发射光子的最大波长和最小波长之差与之比。已知普朗克常量为，真空中的光速为。 20．星际飞行器甲、乙、丙如图所示：在惯性系E（坐标系O-xy）中观测到飞行器甲和乙在同一直线上朝y轴负方向匀速飞行，飞行器丙在另一直线上朝y轴正方向匀速飞行：两条飞行直线相互平行，相距d。三艘飞行器的速度在惯性系中分别为、、（是沿y轴正方向的单位矢量），图中飞行器旁的箭头表示其飞行速度的方向。假设飞行器甲、乙、丙的尺寸远小于d。 (1)某时刻，飞行器甲向乙发射一个光信号，乙收到该信号后立即将其反射回甲。据甲上的原子钟读数，该光信号从发出到返回共经历了时间（Δt光信号）甲=T。试求分别从惯性系和乙上的观测者来看，光信号从甲发出到返回甲，所经历的时间各是多少？从甲上的观测者来看，从甲收到返回的光信号到甲追上乙需要多少时间？ (2)当飞行器甲和丙在惯性系S中相距最近时，从甲发射一个小货物（质量远小于飞行器的质量，尺寸可忽略），小货物在惯性系中的速度大小为。为了让丙能接收到该货物，从甲上的观测者来看，该货物发射速度的大小和方向是多少？从乙上的观测者来看，货物从甲发射到被丙接收所需时间（Δt货）乙是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $