力学篇 专题02 物体的平衡（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

力学篇 专题02 物体的平衡 1．车轮是人类在搬运东西的劳动中逐渐发明的，其作用是使人们能用较小的力量搬运很重的物体。假设匀质圆盘代表车轮，其他物体取正方形形状。我们现在就比较在平面和斜面两种情形下，为使它们运动（平动、滚动等）所需要的最小作用力。假设圆盘半径为，正方形物体的每边长也为，它们的质量都是，它们与水平地面或斜面的摩擦因数都是，给定倾角为的斜面。 （1）使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上运动，需要的最小作用力是多少？ （2）在斜面上使正方形物体向上运动所需要的最小作用力是多少？ （3）在斜面上使圆盘向上运动所需要的最小作用力是多少？限定沿斜面方向。 【答案】（1）；（2）；（3）如果，；如果， 【详解】（1）正方体在前进的过程中所受的全反力与竖直方向夹角为，则 由图可知，当拉力的方向与全反力垂直时，拉力取最小 则最小值为 （2）在斜面上时受力分析如图所示，全反力与垂直斜面方向的夹角为 ，则 当拉力与全反力垂直时，拉力取最小值，最小值为 （3）当圆盘在斜面上向上滚动时，受力分析如图所示 以圆盘与斜面的接触点A为瞬时转轴，根据力矩平衡可知 显然 拉力取最小值，最小值为 此时球圆盘与斜面间不打滑，因此 可得 而当时，F3不能作用在2a处，作用点应该靠进圆心，始终使得圆盘与斜面间达到最大静摩擦，此时 而 此时最小拉力为 综上所述：如果，；如果， 2．如图所示，均匀细杆AB其A端装有转轴，B端连接细线通过滑轮和质量为的重物C相连，若杆AB呈水平，细线与水平方向夹角为时恰能保持平衡，不计一切摩擦，重力加速度为，则下列结论正确的是（　　） A．杆对轴A的作用力大小为 B．杆的质量为 C．因为不知道杆的质量，所以无法求出杆对轴A的作用力 D．杆的质量一定大于重物C的质量 【答案】AB 【详解】AC．由题可知，C物体受到重力和绳子的拉力处于平衡状态，所以绳子的拉力与C物体的重力大小相等，即 对杆AB进行受力分析如图 由受力图可知，轴A对杆的作用力的方向的反向延长线一定过绳子的拉力的延长线与重力的作用线的交点，由于重力的作用线过杆的中点，所以可知力F与绳子的拉力与水平方向之间的夹角是相等的，且 所以F与绳子的拉力的大小也相等，即 则杆对轴A的作用力大小为mg，故A正确，C错误； BD．设AB杆的长度为L，由图可知，杆的重力产生的力矩是逆时针方向的力矩，力臂的大小是 ，绳子的拉力产生的力矩是顺时针方向的力矩，力臂的大小是Lsinθ，过转轴的力不产生力矩，由力矩平衡得 解得 若当时，有 可见杆的质量不一定大于重物C的质量，故B正确，D错误。 故选AB。 3．烧杯内盛有的水，一块的冰浮在水面上，水面正好在杯口处。最后冰全部熔解成的水，在这过程中（　　） A．无水溢出杯口，但最后水面下降了 B．有水溢出杯口，但最后水面仍在杯口处 C．无水溢出杯口，水面始终在杯口处 D．有水溢出杯口，但最后水面低于杯口 【答案】C 【解析】略 4．如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度内，试在下述（1）、（2）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。 （1）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米； （2）在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 【答案】（1）0.375m；（2） 【详解】（1）设直槽与水平方向夹时，由平衡，小球受弹簧支持力为 弹簧长度为 所以小球高度为 从这个表达式可以看出，与k均是常数，h是一个关于的二次函数，二次项系数是负值，h有最大值。则 即 当时，h有最大值，代入 所以 那么此时的 则 故所以当时 （说明：时，而时，低了。） （2）“在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大”说明在转动过程中没有极值，或最大值在时取得。的绝对值一直在减小，即 也就是说 则 小球高度的表达式有 当，时 但不能超过弹簧的原长。有 5．用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥。已知每一积木块的长度为，横截面是边长为的正方形，要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。 【答案】示意图见解析； 【详解】用积木搭成图所示的单孔桥时，跨高 ① 最大跨度可求得如下：由于积木块是光滑的，最上层两块积木间应无水平方向的相互作用力，其他各积木块之间也无水平作用力.设第块积木端点与第块积木端点的距离为（见图10'-13），则第块以上共有块积木，其合重力的作用线应在第块积木的边缘点的左方或通过点，否则上面的积木将不能维持平衡.现要求跨度最大，因此合重力应通过点.选择第块积木边缘点为支点，第块积木的力矩平衡条件为 ② 式中为每个积木块所受重力.由②式可得 因此 所以 这是一道静力学的题目，与平常题目不同在于不是一两个物体的平衡而是很多物体的平衡.不翻倒的条件②式是解决本题的关键. 6．如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动滑轮D上，悬挂有砝码托盘A，跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图中穿过弹簧的那条竖直线）拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有砝码1（两者未粘连）。已知三个砝码和砝码托盘的质量都是m，弹簧的劲度系数为k，压缩量为l0，整个系统处在静止状态。现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的时间。 【答案】 【详解】设从烧断线到砝码1与弹簧分离经历的时间为△t，在这段时间内，各砝码和砝码托盘的受力情况如图1所示：图中，F表示△t时间内任意时刻弹簧的弹力，T表示该时刻跨过滑轮组的轻绳中的张力，mg为重力，T0为悬挂托盘的绳的拉力．因D的质量忽略不计，有 （1） 在时间△t内任一时刻，砝码1向上运动，托盘向下运动，砝码2、3则向上升起，但砝码2、3与托盘速度的大小是相同的．设在砝码1与弹簧分离的时刻，砝码1的速度大小为v1，砝码2、3与托盘速度的大小都是v2，由动量定理，有 （2） （3） （4） （5） 式中IF、Img、IT、分别代表力F、mg、T、T0在△t时间内冲量的大小。注意到式（1），有 （6） 由（2）、（3）、（4）、（5）、（6）各式得 （7） 在弹簧伸长过程中，弹簧的上端与砝码1一起向上运动，下端与托盘一起向下运动．以表示在△t时间内弹簧上端向上运动的距离，表示其下端向下运动的距离．由于在弹簧伸长过程中任意时刻，托盘的速度都为砝码1的速度的1/3，故有 （8） 另有 （9） 在弹簧伸长过程中，机械能守恒，弹簧弹性势能的减少等于系统动能和重力势能的增加，即有 （10） 由（7）、（8）、（9）、（10） 式得 （11） 砝码1与弹簧分开后，砝码作上抛运动，上升到最大高度经历时间为t1，有 （12） 砝码2、3和托盘的受力情况如图2所示，以表示加速度的大小，有            （13）            （14）            （15）               （16） 由 （14）、（15） 和（16）式得                 （17） 托盘的加速度向上，初速度v2向下，设经历时间t2，托盘速度变为零，有 （18） 由（7）、（12）、（17） 和（18）式，得 （19） 即砝码1自与弹簧分离到速度为零经历的时间与托盘自分离到速度为零经历的时间相等．由对称性可知，当砝码回到分离位置时，托盘亦回到分离位置，即再经历t1，砝码与弹簧相遇．题中要求的时间 （20） 由（11）、（12）、（20）式得 （21） 7．一根细线竖直悬挂一根长为L的均匀细木杆，置于水桶内水平面上方，如图所示。当水桶缓慢上提时，细木杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L′时，木杆开始出现倾斜现象。求L′。已知木杆的密度为ρ，水的密度为ρ0。 【答案】 【详解】当木杆浸入水中后，除了受到重力G和绳的拉力T外，还受到浮力F的作用。三者的方向都是沿竖直方向的。当木杆很细，且无任何扰动时，上述三力是在同一直线上的。随着木杆浸入水中的深度的增加，浮力将逐渐增大，绳的拉力将随之减小，在任一位置都满足G=F＋T。直到浮力增大到等于木杆的量时，G=F，此时T=0，木杆将竖直地悬浮在水面上（一部分浸在水中）。 然而实际上微小的扰动随时都会发生，所以实际上我们会观察到，在木杆尚未达到悬浮状态（即浮力等于重力时）之前，就已开始发生倾斜现象，这是由于当有微小的扰动使杆发生微小的倾斜时，即由图中虚线所示的位置变为实线所示的位置时，对悬点A来说，将出现重力和浮力的力矩，而且两者的方向是相反的。设杆长为l，截面积为S，密度为，则重力对A端的力矩为 浮力的大小等于排开水的重量，浮力的作用点在排开水的重心处，即图中C′处（DB的中点）。设水的密度为，杆没在水中的长度为l′，则浮力对A端的力矩为 当没入较浅，MF<MG时，杆将重又回到平衡位置。当MF>MG时，杆将继续倾斜。因此，存在一个临界值，当没入深度大于此临界值时，杆将开始发生倾斜现象。此临界值可令MF=MG，而解得如下： 解此方程得 取合理值得 浮体的稳定性问题是一个重要的问题，本题的目的就是通过一最简单的实例，让学生弄清浮体稳定性中最重要的两个因素即重力矩和浮力矩的作用，特别是如何计算浮力矩等问题，还可进一步引导学生去分析比重计的结构和船体结构的特点。 8．在图中，A是一质量为M的木块，B是一质量为m的小铁块，共同浮在水面上。若将铁块取下，直接放在水内，最后杯中水面的高度 。 【答案】下降 【详解】从浮力来看，取走B后，A将再上浮。再上浮的体积等于和B同质量的水的体积（大于B本身的体积）。这时四周的水位将下降去填充这部分体积。另一方面，当再把B放入水中时，它只排开和B本身大小一样的体积的水，它造成的水位的上升小于上述水位的下降。所以总的结果是水位下降。 本题也可从容器底部所受的压力来分析。水和A、B的总质量是不变的，因而容器底部所受的总压力是不变的。当B取下放在水内后，它将沉到器底。若水位不变，则器底受的总压力必增大，而这是不可能的。所以水位必然下降。 学生容易发生的错误之一是认为水位不变，这是由于没有搞清楚密度比水大的被载浮的物体排开水的体积，是大于被载物体本身的体积的。 9．有一半径为R的圆柱体水平地横架在空中，将质量为m1与m2（m1=2m2）的两个小木块，用长为R的细线相连，成为一个系统，木块的大小可以忽略，它与圆柱表面的静摩擦系数<1，细线无质量、柔软且不可伸长，系统横跨在圆柱上，m1在右边，细线贴在圆柱面上，与圆柱表面无摩擦，横截面如图所示。现在使圆柱绕轴线沿顺时针方向极缓慢地旋转，直至某一位置时，柱上系统将要开始滑落。由此位置开始，再极缓慢地沿逆时针方向转动圆柱体。问转过多大角度后，系统开始从左边滑落？（角度可用反三角函数表示） 【答案】见解析 【详解】解法一：先求系统将向右滑落时的位置。由于m1>m2，<1，故m1g>m2g。即系统在图（a）所示的位置时不可能平衡。平衡且刚开始向右边下滑时的θ1必然在0<θ<90°。 设图（b）的位置物体刚开始向右下滑，此时系统所满足的平衡条件为       ① 利用m1=2m2和θ1＋θ2=90°，①式可简化为 即       ② 再讨论系统向左滑的情况。由于m2≤m1，有可能在m2处于悬垂状态时，系统开始下滑，因此要分别讨论各种可能性。 （1）设系统在图（a）所示的位置刚开始下滑，此时有 即，时，θ2=90°即开始向左下滑。 （2）若，即，则系统必然在θ2<90°时开始向左下滑，如图（b）所示。此图与图（b）类同，故只要将①式的下标1与2对调，即可得到这一情况下的解答。 （3）若，即，系统在图（a）的位置仍不会下滑。系统刚开始下滑的位置必然是m1也在左侧，如图（c）所示。由 得                             或                令，如图所示，则有 因而 得到 用△θ表示圆柱体转过的角度，则最后答案为： （1）时，； （2）时，； （3）时，。 解法二： （1）先求系统将要向右滑落时的位置。如图所示，系统不向右下滑的条件为     ① 由于θ1＋θ2=90°，，，①式成为        ② 由m1>m2，<1可知，。则由②式可得 因此，系统将要向右滑落的位置为         ③ 由于<1，所以<90°。 （2）系统向左滑落的情况。 要得到系统不向左下滑的条件，只需将②式中所有的下标1与2互换即可，得到       ④ 现在       ⑤ 按的大小可有三种情况： 情况1：，即。这时，④式可写成 或       ⑥ 由⑥式可知，在时，0<θ2<90°，如图。系统刚向左滑落时的位置为          ⑦ 情况2：。这时，④式成为        ⑧ 由于，可得cos>0，即由0°到90°，均满足系统不向左滑落的条件。系统将要向左滑落的位置为=90°。 情况3；，即，这时，④式成为          ⑨ 上式右方为一负数，说明取0°到90°之间的任意值，系统均不会向左滑落。在这种情况下，必须进一步转动圆柱体，使m1移到左方，m2离开圆柱而自由悬垂（如图）。这时系统不向左滑落的条件已不再是④式，需要重新讨论。 用θ表示系统的位置，则不向左滑落的条件为 即       ⑩ 系统开始向左下滑的位置θ左应满足       ⑾ 解此方程求θ左，为此将⑾式改写为 取，则 因而 得到           ⑿ 由于，⑿式肯定有解。 （3）答案：设系统向左滑落前圆柱所转的角度为△θ，显然，△θ与有关。最后答案与解法的结果完全相同。 本题给出两种解法，一种具体一些，种比较概括一些。这是一个带有摩擦力的系统的平衡在什么情况下开始破坏的问题，考查学生在较复杂情况下应用摩擦定律解决问题的能力。 10．长方形风筝如图所示，其宽度厘米，长度厘米，质量克（其中包括以细绳吊挂的纸球“尾巴”的质量克，纸球可当作质点），、、为三根绑绳，，C为底边中点，绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风筝时，设地面风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放风筝者以速度V持牵绳奔跑时，风筝单位面积所受的空气作用力垂直于风筝表面，量值为，牛顿·秒/米，为风筝表面与水平面的夹角，风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相等，取米/秒，放飞场地为足够大的水平地面。试求： （1）放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度。 （2）若放风筝者持牵绳奔跑的速度米/秒，调整绑绳的长度等于b，为了使风筝能水平稳定飞行，与的长度应等于多少？ 【答案】（1）见解析；（2） 【详解】1.设人以速度持牵绳奔跑时，风筝恰能平行于地面飞行，此时牵绳平行于地面。设此时风筝表面与地面夹角为，则风力为： 风筝水平飞行的条件为（见图11-40） ∴当时的极大值为12. 把代入（1）式，得之极小值； 2.重新调整绑绳长度后，放飞者使牵绳平行于地面以的速度奔跑，设此时风筝能保持水平飞行，则 代入数值得： 或123.6°，， 当时，风力的水平分量为： 由力之平衡得牵绳张力为 分别代入、值，得： 自O点至之中点D，连接一紧绳替代和，以风筝纸面中心O为支点（如图11-41所示），则牵绳张力T和纸球所产生的力矩分别为： ， 由力矩的平衡得： 分别代入、、、值，得 所以 由图知： 分别代入α、r及b值得 ，. 分别代入、值，可得 由 分别代入、值，可得 或 讨论：有利于风等起飞。 分析与评述  这是一道在风力作用下力的平衡和力矩的平衡问题，做此题首先要能经过分析看出调节绑绳的长度与力矩平衡的关系。另外，做此题时数学处理上要比较仔细，因为是三维的。 11．在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图如图所示。和为固定铰链。在电源接通时，A杆被往下压，通过铰链、、使弹簧S被拉伸，制动块、与制动轮D脱离接触，机械得以正常运转。当电源被切断后，A杆不再有向下的压力（A杆及图中所有连杆及制动块所受的重力皆忽略不计），于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果。此时和处于竖直位置。已知欲使正在匀速转动的D轮减速从而实现制动，至少需要的制动力矩，制动块与制动轮之间的摩擦系数，弹簧不发生形变时的长度为，制动轮直径，图示尺过，，。试求选用弹簧的倔强系数k最少要多大。 【答案】（牛/米） 【详解】参考解答：在制动轮转动的情况下，制动力矩是由制动块、对制动轮D的滑动摩擦力产生的。设、对D的正压力分别为和，滑动摩擦力的就分别为和，如图13-13所示。 所以① 再对左、右两杆分别进行受力分析，并列出力矩平衡方程如下（图13-14）， 左杆② 右杆③ ②、③两式中T为弹簧的弹力。对弹簧来说，由胡克定律 ④ ①②③④解得 ⑤ 代入数据得 （牛/米）⑥ 评分标准：本题15分。①、②、③、④式和占3分，解出⑤式给1分，计算出⑥式再给2分。若没写⑤式，而由①②③④解得⑥式的，则⑥式给3分。 12．底边长为a，高度为b的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为，斜面的倾角为θ。当θ足够小时，物块静止于斜面上（如图），如逐渐将倾角增大，当θ取某个临界值θ0时，物块或将开始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的θ0，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下出现的是翻倒。 【答案】，，如，则当θ增大至θ=arctgμ时物块开始滑动，如，则当θ增大至θ=arctg时物块开始翻倒。 【详解】1.分别求出开始出现滑动和出现翻倒时的θ0。 （1）出现滑动 设重力G=mg沿斜面与垂直于斜面的两个分力为Gx与Gy，斜面对物体的支承力为N，摩擦力为f如。时物体开始滑动（图），必有 ， 用，代入，得 （2）出现翻倒 如时物体将要翻倒，则物体必是绕通过下角处的A轴翻转（如图）。这时支承力N与摩擦力f都通过A轴，不产生对A轴的力矩。翻倒的临界条件是 可得 2.因此，得出结论： 如，则当θ增大至θ=arctgμ时物块开始滑动。 如，则当θ增大至θ=arctg时物块开始翻倒。 的情况，不要求讨论。 13．如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面上向右做匀速直线运动，棒长为L，棒的质量为40kg，它与地面间的动摩擦因数为，棒的重心C距转动轴为，棒与水平面成30°角。运动过程中地面对铁棒的支持力为 N；若将铁棒B端的固定转动轴向下移一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原来 （选填“增大”、“不变”或“减小”）。 【答案】 200 增大 【详解】[1]以B点为转轴，在拖车在水平面上做匀速直线运动的过程中，铁棒力矩平衡，假设铁棒与水平地面夹角为，根据力矩平衡： 滑动摩擦力： 解得： 因为，解得：； [2]若将铁棒B端的固定转动轴向下移一些，其他条件不变，减小，减小，可知地面对铁棒的支持力增大。 14．如图所示，弯折的直角轻杆ABCO通过铰链O连接在地面上，AB=BC=OC=9m，一质量为m的小滑块以足够大的初始速度，在杆上从C点左侧x0=2m处向左运动，作用于A点的水平向右拉力F可以保证BC始终水平。若滑块与杆之间的动摩擦因数与离开C点的距离x满足μx=1，则滑块的运动位移s= m时拉力F达到最小。若滑块的初始速度v0=5m/s，且μ=0.5-0.1x（μ=0后不再变化），则滑块达到C点左侧x=4m处时，速度减为v= m/s。 【答案】 3 1 【详解】[1]滑块向左做减速运动，对杆有压力和向左的滑动摩擦力； 对杆，根据力矩平衡条件，有： 代入数据和，有： 当，即时，拉力达到最小； [2]滑块从点达到点左侧处过程，根据动能定理，有： 其中： 联立解得： 。 15．由青岛大学学生自主设计研发的墙壁清洁机器人，利用8只“爪子”上的吸盘吸附在接触面上，通过这8只“爪子”的交替伸缩吸附，就能在竖直墙壁和玻璃上行走并完成清洁任务．如图所示，假设这个机器人在竖直玻璃墙面上由A点沿直线“爬行”到右上方B点，在这一过程中，若此机器人8只“爪子”所受玻璃墙对它的摩擦力的合力为F，则下列受力分析图中可能正确的是(   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】略 16．均质杆长为，竖直地放在桌面边缘上，点与桌面的边缘接触．给一微小扰动，杆将绕点向外转动．当杆受到桌子的反力为零时，杆将离开桌子，试求： （1）当杆离开桌子时，杆转过的角度，并求此时杆的角速度？ （2）如果杆垂直地打击地面，则桌子的高度应为多少？ 【答案】(1)   (2) 【详解】杆的受力分析如图所示． （1）取杆为研究对象，在杆未离开桌子时，可以将杆的运动看作绕的转动，根据动能定理，有 ．        ① 由于绕点转动，有，将其代入式①中，可解得． 质心的法向加速度为． 根据质心运动定理，有 ，，        ② 解之得． 当杆离开桌面时有，即，即． 故杆离开桌子时，杆转过的角度为． 此时，杆转动的角速度为 （2）当杆脱离桌子时，仅受重力作用，杆作平面运动，如图所示． 根据杆对质心的动量矩定理，即，可得，因此杆转动的角速度不变．杆质心运动的速度为，于是有 ，． 要使杆垂直地打击地面，其转过的角度应满足，，2，3，…． 因此，杆在离开桌子到打击地面所运动的时间为 杆质心在铅直方向的位移为 于是，桌子的高度应满足 17．一个半径为和，重量为，可绕轴转动的滑轮通过一个固定在墙上可转动的叉子支撑，其中，，如图所示．绳索在滑轮较小半径的轴肩上缠绕了一圈，绳索右端用重力加载，滑轮与墙之间以及滑轮与绳之间的摩擦因数相同，静摩擦因数为，动摩擦因数为．试问： （1）如果要使重物悬起，左边绳子在的情况下，至少要施加多大力？ （2）如果要使重物缓慢升起，左边绳子在时需用多大为？ （3）在什么角度下，提升重物所需的拉力最小；其值为多大？ 【答案】(1)   (2)   (3) 因此，在滑轮开始转动前，所需的最小拉力为;在滑轮进入滑动之后，最小拉力为 【详解】(1)首先分析滑轮是绕着轴转动还是处于自锁状态．如果滑轮处于自锁状态，则一个任意大小的外力作用在滑轮上（在绳子不滑动的情况下）都能使滑轮保持平衡．自锁时滑轮不能顺时针转动，下图画出了滑轮的受力分析，根据平衡条件 ，            ① ，    ② ，        ③                     ④ 联立式①～④，可得    ⑤ 由于 因此，只要当时滑轮不会沿顺时针方向转动．此时，拉力必须由绳索的摩擦方程来计算，即         ⑥ （2）同样的，首先判断滑轮是否会由于自锁而逆时针方向转动受到阻止．此时，应将式①～③中前添加负号即可，解得             ⑦     ⑧ 由于 且可见式⑧恒成立. 只要当时滑轮逆时针转动受到阻止．此时，要提起重物必须依靠绳索在滑轮上的滑动 根据绳索的摩擦方程，在绳开始滑动前，拉力为     ⑨ 绳索滑动后，则为        ⑩ （3）为了提升重物，必有．此时，在任意的角度，根据平衡条件，有 ，    ⑪ ，    ⑫ ，．            ⑬ 在滑轮没有转动的情况下，即        ⑭ 联立式⑪⑫⑬及⑭，可得    ⑮ 为了分析方便，令        ⑯ 当角度为时并未超出滑轮的自锁极限，由此有 由此，可解得 在情况下，滑轮可能转动并提起重物，因此需要确定滑轮发生转动时的临界角．此时，式⑮应取等号，并联立式⑩和式⑮求得临界角，即 当时，滑轮转动并提起重物 为了求绳索拉力的最小值，根据式⑯可知 考虑到，当时，取到最大值．于是，有 因此，在滑轮开始转动前，为克服滑轮与墙之间的静摩擦力，所需的最小拉力为     ⑰ 在滑轮进入滑动之后，为克服滑动摩擦力所需的最小拉力为     ⑱ 下面，可以验证，滑轮转动比滑轮自锁时提取重物所需的拉力要小，当滑轮自锁时，提升重物只能依靠绳索在滑轮轴肩上的滑动来实现. 当滑轮自锁时，绳索滑动前，绳索的拉力根据式⑩，有 ． 当滑轮自锁时，绳索滑动后，绳索拉力根据式⑪，有 显然，式⑰与式⑱就是所要求的最小拉力 18．许多相同的小球按图甲所示方法堆积，第一层有一个球，第二层有三个球，…，第层有个球．现对第层的球按图乙所示方法编写坐标（其中和分别表示球在层中的排数和从左往右数在该排的序数）．试求出编号为的球与下面三个球、、之间的弹力，小球质量为 【答案】 【详解】研究球受下面三个球的弹力作用，分别设为 ：球与球间的弹力； ：球与球间的弹力； ：球与球间的弹力． 对编号为的球进行受力分析，有 ．        ① 且对于水平方向上分力受力分析如下图所示． 由合力为0，可知： ．        ② ②式代入①式知     ． 上面的，且当球的坐标所对应的球面存在时，，另外初始条件为 ①时，， ②时，， ③时，， ④时，． 结合上述初始条件递推可知 19．杆、、、、、由光滑铰链连接，位于正方体的边和对角线上，各杆的质量不计，如图所示．铰链、及是固定的，在铰链处有沿方向的作用力，在铰链处有沿方向的作用力．在平衡状态时，试求各杆的内力 【答案】；；； 【详解】设正方体的长为，六个面上的对角线长均为，正方体对角线长为．方向的单位向量， 同样的，，． 假设各杆的内力均为拉力，并用表示中的内力．在铰链处，如图所示，有 ，，，．    ① ．                ② 铰链处的平衡方程为 ，，                ③ ，，                ④ ，．                ⑤ 系统所受外力如图所示 系统所受外力对点的力矩为零，即 ． 由此，可得．        ⑥ 由系统所受的合外力为零，有．    ⑦ 将式①及式②代入式⑦中，并考虑到 ，，， 于是，可得，        ⑧ ，            ⑨ ．        ⑩ 将式⑥代入式⑧中，得到    ．            ⑪ 将式⑥及式⑪代人式⑨中，得到    ．    ⑫ 由式③和式⑪，可得    ．        ⑬ 再由式⑤和式⑪，得到    ． 20．两个质量为，半径为的相同圆球和，用两根长为的绳悬挂于点，在两球上另有一个质量为、半径为的圆球，如图甲所示，已知三球的表面光滑，试讨论此系统处于平衡时，绳与竖直线的夹角与的关系． （几个平方根值：，，，，，） 【答案】①.若，系统不能平衡．②.若，系统平衡，，即， 此时之间无相互作用力.③.若，则由两种可解的平衡状态．第一种是两球分开，；第二种是两球互相接触且有相互作用力，此时. 【详解】设悬绳张力为，大、小球之间的相互作用力为，大、小球连心线与悬线间夹角为，如图乙所示． 在中：.            ① 对球平衡：        ② 对球平衡：，           ③ .                   ④ 由上面四式解得  . 当两球心距离为时，有， 即应有. 所以. .若，系统不能平衡． ②.若，系统平衡， ，即， 此时之间无相互作用力. ③.若，则由两种可解的平衡状态． 第一种是两球分开， 第二种是两球互相接触且有相互作用力，此时. 【点睛】对于多体的平衡问题，不仅仅是因为研究对象的增加而增加了难度，更在于各物体间联系的信息量增加而增加了难度．在处理多对象的问题时，不仅要熟悉整体法与隔离法的应用（注重模型的几何特征），而且还要充分注意到各物体间的作用所带来的临界问题． 21．如图所示是一个半径为R的轮子，它绕固定转动轴O顺时针方向转动，两侧各有一个长为L的竖直杆MP和NQ，它们都固定在天花板上M、N处（如图所示）。两轻杆上距轴为a处各固定一宽度为b的摩擦块（上下厚度不计）。摩擦块与轮子间动摩擦因数都是μ（），不计杆与摩擦块的重力。为使轮子刹停，在两杆下端P、Q之间用轻绳悬挂一重物。刚好使三根细绳之间夹角都相等。 （1）有同学认为：“由于该装置高度对称，所以两边摩擦力的大小是相等的”。你认为这位同学的看法是否正确？为什么（请简要说明你的理由）？ （2）设AP和AQ上的拉力的大小都是F，则左、右两侧摩擦力之比是多少？ （3）为使轮子在规定的时间内能停下，规定制动力矩的大小为M。求此时在下方悬挂物体的重力G是多大？    【答案】（1）该同学看法不正确，轮子左、右端与b的摩擦力方向不同，受力并不对称；（2）；（3） 【详解】（1）该同学看法不正确，轮子左、右端与b的摩擦力方向不同，受力并不对称。 （2）对左侧的杆进行受力分析如图    摩擦力与拉力产生逆时针方向的力矩，支持力N1产生顺时针方向的力矩，根据力矩平衡得 代入数据解得 同理对右侧的杆进行受力分析，摩擦力与拉力产生顺时针方向的力矩，支持力N1产生逆时针方向的力矩，根据力矩平衡得 代入数据得 可知 （3）由题图可知，轮子制动的过程中，受到的两侧的摩擦力的方向都与轮子边缘的质点运动的方向相反，所以轮子制动的力矩的方向与轮子转动的方向相反，制动的力矩大小 解得 22．如图所示，有一固定的、半径为a、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位置），O为球心．碗内搁置一质量为m、边长为a的等边三角形均匀薄板ABC．板的顶点A位于碗内最低点，碗的最低点处对A有某种约束使顶点A不能滑动（板只能绕A点转动） （1）当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A、B、C的作用力的大小各为多少？ （2） 当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求此后三角形薄板可能具有的最大动能。 【答案】（1）；；（2） 【详解】（1）因A点位于半球形碗的最低点，等边三角形薄板的BC边一定沿水平方向. 作连线OB和OC，因O为半球形碗的球心，A、B、C均在球面上，故有 （1） ABC是等边三角形， （2） 故OABC为正四面体，如图1所示. 三角形薄板所受的力有： （i） B、C处碗面对板的作用力NB和NC均垂直于碗面，指向球心O. 又由对称性可知， NB=NC（3） 它们的合力NBC沿∠COB的角平分线DO的方向，其大小为 （4） DO的长度 （5） （ii） 重力FG的大小 FG=mg（6） 它作用于三角形ABC的重心G，G位于AD上，与A的距离 （7） 重力的方向与OA平行，该力位于OAD平面内，与OD相交. 用P表示其交点，则 （8） （iii） 设碗面在A点作用于薄板的约束力为NA，薄板（或可看成刚性正四面体OABC）在NBC、FG和NA三力作用下保持平衡，这三力应在同一平面内，且应共点，即NA应与FG和NBC都在OAD平面内，且应通过P点，如图2所示，在三角形ODA中 ， 设∠DOA=α，则 在三角形ADO中，由正弦定理，有 由此可得 ，（9） 设∠OAP=β，在三角形OPA中，由余弦定理得 由正弦定理得 即（10） FG、NBC和NA三力平衡，它们应形成封闭的三角形，如图3所示. 由正弦定理得 （11） 由（10）、（11）式和（3）、（4）、（6）各式得 （12） （13） 得（14） （2）解除对A点的约束后，A、B、C三顶点将从静止开始沿碗面滑动. 根据对称性可知，薄板处于水平位置时重心最低，从而重力势能最小. 根据机械能守恒定律，此时薄板的动能最大. 此时薄板的重心将移至O点正下方的G′点，如图4所示. 由几何关系并考虑到（7）式，G′ 相对碗最低点的高度. （15） A点被约束时薄板重心为G点，参阅图1，可知G点相对碗最低点的高度 （16） 由（7）和（9）式可得 （17） 由（15）、（17）两式可求得薄板从A点约束解除到处于水平状态过程中，其重心高度减少量的最大值，从而求出重力势能的减少量的最大值，最后即求得薄板具有的最大动能为 （18） 解法二 （1）当三角形薄板处于平衡状态时，根据对称性，必位于过B、C两点的水平圆面内，以O′ 表示此水平圆面的圆心，如图1所示. 碗内壁球面的球心为O，则O′ 以及A、O三点必位于同一条竖直线上. 由于B、C与球面接触处都是光滑的，球面对这两点的作用力都指向球面的球心O，令NB和NC分别表示这两个力的大小. 由对称性可知 NB=NC（1） 因球面的半径等于等边三角形的边长，三角形OAB和OBC都是等边三角形 （2） 把NB分解成沿竖直方向的分量NB⊥和位于水平面内的分量NB∥，则有 （3） （4） 同理有 （5） （6） NB∥与BO′ 平行，NC∥与CO′ 平行，都平行于以O′ 为圆心的水平圆面，可以把这两个力移到圆心为O′ 的水平圆面内，如图2所示. NB∥和NC∥的合力为N∥. 球面底部作用于三角形薄板的力NA也可分解成沿竖直方向的分量NA⊥和位于水平面内的分量NA∥. 当三角形薄板达到平衡时，有 （7） （8） 由图1可知，圆心为O′ 的水平圆面的半径R即线段是等边三角形OAB的高，故有 （9） 由图2得 （10） 由以上有关各式，（7）、（8）两式可写成 （11） （12） 当三角形薄板达到平衡时，作用于三角形的各力对BC边的力矩总和等于零. NB，NC通过BC边，对BC边无力矩作用，只有NA∥、NA⊥和重力mg对BC边有力矩作用. 平衡时有 （13） 由（9）、（10）式可知 （14） 把（14）式代入（13）式，得 （15） 由（11）、（12）和（15）及（1）式 （16） （17） （18） （19） （2）当解除对A点的约束，A、B、C三顶点将在球面内人静止开始滑动. 根据对称性可知，必有一时刻薄板处于水平位置，这时板的重心最低，重力势能最小，薄板具有的动能最大这动能来自薄板减少的重力势能. 在图1中三角形ADO′ 为直角三角形，一条直角边DO′ 位于水平位置，另一条直角边AO′ 位于竖直位置，根据题意及几何关系可知，三角形薄板的重心G位于斜边AD上，离A点的距离为，重心G的高度 （20） 当三角形薄板的三条边位于同一水平的圆面内时，三角形的重心G′ 与其三边所在圆面的圆心重合，如图3所示， 这时，三角形薄板重心G′ 的高度 （21） 薄板的最大动能 （22） 23．如图所示，在倾角为的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m，用一弹性绳栓住，绳的另一端固定在斜面上点，弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律，绳原长为L，劲度系数（即倔强系数）为K，斜面与质点间的静摩擦系数为，试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。 【答案】见解析 【详解】若质点静止在斜面上任一点M，它在斜面上的位置可用坐标r、表示.如图3-77所示.在绳子伸长，即出现弹力时，M质点在斜面上受三个力：弹力，方向永远 指向点；重力沿斜面的分量，方向永远向下，且大小不变；静摩擦力.这三力一定构成一个闭合三角形.若在图3-77中用、、分别表示F、及，则绳子张紧时M点可静止区域的边界可由动点A的轨迹，即图中圆Ⅰ来间接表示.圆Ⅰ即是以O为中心，以为半径的圆.当取O为直角坐标原点，x轴沿斜面向下时，，，则有圆Ⅰ的方程为：，即 由A点轨迹（圆Ⅰ）求M点可静止区域边界的依据是： （1） 因而得到（2） 表示可静止区域边界到点距离.由此式可得到画出可静止区域边界（以下称为“封闭曲线Ⅱ”）的作图法是：将各力取倍，重作力三角形后画出圆Ⅰ，此时（2）式变为： （3） 因而沿延长L长度，即得点，描点即可画此封闭曲线Ⅱ. （1）式实际也是曲线Ⅱ的极坐标方程.若取为极点，x方向为极轴，则的方程为 （4） （3）式不过是（2）式的变形.在（显然总是如此）时，封闭曲线Ⅱ显然不是圆，而是复杂曲线. 当绳子松弛时，没有弹力，M质点静止区域由重力沿斜面分量和静摩擦力二力平衡来决定.具体情况将在下面分析. 封闭曲线Ⅱ的形状、Ⅱ和圆Ⅰ及点的关系，以及可静止区边界（考虑绳子松弛区后）的形状需要分以下三种情况讨论. 1）：即，或.这时点一定在圆Ⅰ内，如图3-78所示，因而圆Ⅰ也一定在封闭曲线Ⅱ内.以为圆心，L为半径画圆Ⅲ，圆Ⅲ内即是绳子松弛区，或称“无弹力区”.当时，圆Ⅲ与圆Ⅰ相交，如图3-78所示，但圆Ⅲ仍在封闭曲线Ⅱ内，仅表示可静止区中这一部分是由于二力平衡，而其他 Ⅱ内区域是由于三力平衡.M质点可静止区边界总是封闭曲线Ⅱ. 2）：即.这时定在圆Ⅰ上.力区圆Ⅲ，一定与圆Ⅰ及封闭曲线Ⅱ相交，如图3-79所示.在圆Ⅲ内重力沿斜面分量与静摩擦力二力平衡（临界平衡），因而M点可静止区边界扩大到Ⅱ+Ⅲ，即在圆Ⅲ与封闭曲线Ⅱ交点以上，此边界为圆Ⅲ；在以下，为前述封闭曲线Ⅱ. 3）：即.这时弹性力必须有向上分量才能平衡，因而曲线Ⅱ和圆Ⅰ均不包围点，如图3-80所示.如上述作圆Ⅲ表示无弹力区，类似在时，圆Ⅲ与圆Ⅰ相交.这时圆Ⅲ内无弹力，而另外二力不能平衡，所以仅表示封闭曲线Ⅱ之外的“二力不可平衡区”，以区别Ⅱ外其余部分的“三力不可平衡区”.M点可静止区边界仍为封闭曲线Ⅱ. 此题是静力学中平衡问题.若题目变为给出m、k、、……等具体的数值，要求学生去计算在任一给定位置处能否平衡，则很多学生都可做出来.现在是要求对多个因素的综合作用进行普遍的讨论，虽然只是要求用图来示意，其难度仍是大大增加了.有兴趣的学生可对这种普遍性讨论的思路和方法进行独立的探索，以逐步提高这方面的能力 24．现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），—把匀质的长为l的有刻度、零点位于端点的直尺，一个木块及质量不计的细线。试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只准读一次数），求出木块的质量和尺的质量。（已知重力加速度为g） 【答案】，， 【详解】找个地方把弹簧测力计悬挂好，取一段细线做成一环，挂在弹簧测力计的挂钩上，让直尺穿在细环中，环与直尺的接触点就是直尺的悬挂点，它将尺分为长短不等的两段。用细线栓住木块挂在直尺较短的一段上，细心调节直尺悬挂点及木块悬挂点的位置，使直尺平衡在水平位置（为提高测量精度，尽量使二悬挂点相距远些），如图所示。设木块质量为m1，直尺质量为M。记下二悬挂点在直尺上的读数x1、x2，弹簧测力计读数G。由平衡条件和图中所设的直尺零刻度线的位置有                 （1）     （2） （1）、（2）式联立可得 ， 25．5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同一水平面内。另1个半径为b的球放在4球之上。设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条件时下面的球将相互分离。 【答案】 【详解】设半径为b的球放在4个球上后，下面4个球的位置未变。以m表示每个球的质量，下面4个球的球心形成一个位于水平面内的正方形ABCD，俯视图如图决解20-1-1所示。O为正方形对角线的交点，各球之间的相互作用力大小均为F1.根据对称性，并注意到接触面都是光滑的，可知每个球受到相邻两球作用力的合力都为，方向沿对角线。 由几何对称性分析，可知对角线AC、上面球的球心E和碗的球心应在同一竖直平面内，如图决解20-1-2所示。设上面球与下面每个球的相互作用力的大小均为F2，对A球，F2的方向沿球心A、E连线。平衡时对半径为b的球有 （1） 式中是球心连线AE与水平线AC之间的夹角，有 （2） 对于下面每个球，如球A，受到的作用力有重力mg，B、D两球对它的作用的合力，上面球的作用力F2和碗面的作用力F3.由于体系对称且接触面光滑，各力均通过球心A，F3还通过，平衡时有 （3） （4） 式中是F3方向与竖直线的夹角，有 （5） 由式（1）可得 （6） 由式（4）和（6）可得 （7） 由式（3）、（6）和（7）可得 （8） 如果，表示下面的4个球相互接触，4个球在原来的位置；如果F1<0，则下面的4个球将相互分离。当下面的4个球分离时，由式（8）得 （9） 利用式（2）和（5），式（9）化为 （10） 解此不等式，可得 （11） 即碗的半径R满足上式时，下面的球将分离。 要式（11）有解，应有 （12） 即（13） 由于下面各球距O的最小距离为，现上面的球能放在4个球的上面，表明 （14） 而，所以只要第5个球能够放在4个球的上面，式（12）一定成立。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $力学篇专题02物体的平衡 全国高中物混头寒、华基汁利专项训杯 1,车轮是人类在搬运东西的劳动中逐渐发明的，其作用是使人们能用较小的力量搬运很重的物体。假设匀 质圆盘代表车轮，其他物体取正方形形状。我们现在就比较在平面和斜面两种情形下，为使它们运动（平 动、滚动等)所需要的最小作用力。假设圆盘半径为Q,正方形物体的每边长也为Q,它们的质量都是m, 它们与水平地面或斜面的摩擦因数都是μ，给定倾角为Θ的斜面。 (1)使圆盘在平面上运动几乎不需要作用力。使正方形物体在平面上运动，需要的最小作用力F是多少？ (2)在斜面上使正方形物体向上运动所需要的最小作用力F是多少？ (3)在斜面上使圆盘向上运动所需要的最小作用力F是多少？限定F沿斜面方向。 2.如图所示，均匀细杆AB其A端装有转轴，B端连接细线通过滑轮和质量为m的重物C相连，若杆AB 呈水平，细线与水平方向夹角为时恰能保持平衡，不计一切摩擦，重力加速度为8，则下列结论正确的是 () B A.杆对轴A的作用力大小为g B.杆的质量为M=2msin0 C.因为不知道杆的质量M,所以无法求出杆对轴A的作用力 D.杆的质量M一定大于重物C的质量 3.烧杯内盛有0℃的水，一块0℃的冰浮在水面上，水面正好在杯口处。最后冰全部熔解成0℃的水，在 这过程中() A.无水溢出杯口，但最后水面下降了 B.有水溢出杯口，但最后水面仍在杯口处 C.无水溢出杯口，水面始终在杯口处 D.有水溢出杯口，但最后水面低于杯口 试卷第1页，共3页 4.如图所示，原长L。为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O端，另一 端连接一小球，这一装置可从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置，设弹簧的形变总是在其弹性限度 内，试在下述(1)、(2)两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位 置时小球离开原水平面的高度ho。 (1)在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米； (2)在转动过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。 O】 Lo 5.用20块质量均匀分布的相同光滑积木块，在光滑水平面上一块叠一块地搭成单孔桥。已知每一积木块 的长度为1，横截面是边长为=二的正方形，要求此桥具有最大跨度（即桥孔底宽）。试画出该桥的示意图， 并计算跨度与桥孔高度的比值。 6.如图所示，定滑轮B、C与动滑轮D组成一滑轮组，各滑轮与转轴间的摩擦、滑轮的质量均不计。在动 滑轮D上，悬挂有砝码托盘A,跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码2和3。一根用轻线（图 中穿过弹簧的那条竖直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在托盘底上，弹簧的下端与托盘底固连，上端放有 砝码1（两者未粘连）。己知三个砝码和砝码托盘的质量都是m,弹簧的劲度系数为k,压缩量为1，整个系 统处在静止状态。现突然烧断拴住弹簧的轻线，弹簧便伸长，并推动砝码1向上运动，直到砝码1与弹簧 分离。假设砝码1在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰。求砝码1从与弹簧分离至再次接触经历的 时间。 试卷第1页，共3页 tllllllaulluuliuluiit B 7.一根细线竖直悬挂一根长为L的均匀细木杆，置于水桶内水平面上方，如图所示。当水桶缓慢上提时， 细木杆逐渐浸入水中，当木杆浸入水中超过一定深度L时，木杆开始出现倾斜现象。求L。已知木杆的密 度为p,水的密度为po 8.在图中，A是一质量为M的木块，B是一质量为m的小铁块，共同浮在水面上。若将铁块取下，直接 放在水内，最后杯中水面的高度」 试卷第1页，共3页 B 9.有一半径为R的圆柱体水平地横架在空中，将质量为m,与m2(m,2m2)的两个小木块，用长为匹R的 细线相连，成为一个系统，木块的大小可以忽略，它与圆柱表面的静摩擦系数“<，细线无质量、柔软且 不可伸长，系统横跨在圆柱上，m,在右边，细线贴在圆柱面上，与圆柱表面无摩擦，横截面如图所示。现 在使圆柱绕轴线沿顺时针方向极缓慢地旋转，直至某一位置时，柱上系统将要开始滑落。由此位置开始， 再极缓慢地沿逆时针方向转动圆柱体。问转过多大角度后，系统开始从左边滑落？（角度可用反三角函数 表示) 1m2 02 m 10.长方形风筝如图所示，其宽度a=40厘米，长度b=50厘米，质量M=200克（其中包括以细绳吊挂的 纸球“尾巴”的质量M'=20克，纸球可当作质点)，A0、BO、CO为三根绑绳，A0=B0,C为底边中点， 绑绳及放风筝的牵绳均不可伸缩，质量不计，放风筝时，设地面风速为零，牵绳保持水平拉紧状态，且放 风筝者以速度V持牵绳奔跑时，风筝单位面积所受的空气作用力垂直于风筝表面，量值为P=KV sina, K=8牛顿秒/米3，为风筝表面与水平面的夹角，风筝表面为光滑平面，各处所受空气作用力近似认为相 等，取g=10米/秒2，放飞场地为足够大的水平地面。试求： (1)放风筝者至少应以多大的速度持牵绳奔跑，风筝才能作水平飞行？这时风筝面与水平面的夹角应为何 值？假设通过调整绑绳长度可使风筝面与水平面成任意角度。 (2)若放风筝者持牵绳奔跑的速度V=3米/秒，调整绑绳C0的长度等于b,为了使风筝能水平稳定飞行， A0与BO的长度应等于多少？ 试卷第1页，共3页 M' 11.在一些重型机械和起重设备上，常用双块式电磁制动器，它的简化示意图如图所示。O和Q为固定铰 链。在电源接通时，A杆被往下压，通过铰链C、C,、C使弹簧S被拉伸，制动块B、B与制动轮D脱 离接触，机械得以正常运转。当电源被切断后，A杆不再有向下的压力(A杆及图中所有连杆及制动块所受 的重力皆忽略不计)，于是弹簧回缩，使制动块产生制动效果。此时OC,和O,C2处于竖直位置。已知欲使正 在匀速转动的D轮减速从而实现制动，至少需要M=1100N·的制动力矩，制动块与制动轮之间的摩擦系 数4=0.40，弹簧不发生形变时的长度为L=0.300m,制动轮直径d=0.400m，图示尺过a=0.065m, h=0.245m,h,=0.340m。试求选用弹簧的倔强系数k最少要多大。 C C S h D 12.底边长为α，高度为b的长方形匀质物块置于斜面上。斜面和物块之间的静摩擦因数为4，斜面的倾角 为0。当8足够小时，物块静止于斜面上（如图），如逐渐将倾角增大，当取某个临界值日。时，物块或将开 始滑动，或将翻倒。试分别求出发生滑动和翻倒时的，并说明在什么条件下出现的是滑动，在什么条件下 出现的是翻倒。 试卷第1页，共3页 0 13.如图所示，一根不均匀的铁棒AB与一辆拖车相连接，连接端B为一固定水平转动轴，拖车在水平面 上向右做匀速直线运动，棒长为L,棒的质量为4kg,它与地面间的动摩擦因数为5，棒的重心C距转 3 动轴为号，棒与水平面成30角。运动过程中地面对铁棒的支荐力为N,若将铁棒B端的固定转动 2L 轴向下移一些，其他条件不变，则运动过程中地面对铁棒的支持力将比原来 (选填“增大”、“不变” 或“减小”)。 B A 30° 77h7i77 14.如图所示，弯折的直角轻杆ABCO通过铰链O连接在地面上，AB=BC=OC=9m,一质量为m的小滑块 以足够大的初始速度，在杆上从C点左侧x2m处向左运动，作用于A点的水平向右拉力F可以保证BC 始终水平。若滑块与杆之间的动摩擦因数与离开C点的距离x满足x=1,则滑块的运动位移s=」 m时拉力F达到最小。若滑块的初始速度vo5ms,且u=0.5-0.1x(u=0后不再变化)，则滑块达到C点左侧 x=4m处时，速度减为v= _m/s。 R 0 mmmmmmmmmmmmm9mmmmmm F,2AB=mg·x+4mg·C0代入数据和μx=1,有： P-e写+的当言即=5=时，拉力F达到最小 试卷第1页，共3页 -了xv2-6其中： 了=+丛mg联立解得： 2 15.由青岛大学学生自主设计研发的墙壁清洁机器人，利用8只“爪子”上的吸盘吸附在接触面上，通过这8 只“爪子”的交替伸缩吸附，就能在竖直墙壁和玻璃上行走并完成清洁任务.如图所示，假设这个机器人在竖 直玻璃墙面上由A点沿直线“爬行”到右上方B点，在这一过程中，若此机器人8只“爪子”所受玻璃墙对它 的摩擦力的合力为F,则下列受力分析图中可能正确的是() B B 0Q0 ● C ● D QQ F ● 16.均质杆AB长为21，竖直地放在桌面边缘上，B点与桌面的边缘接触.给一微小扰动，杆将绕B点向外 转动.当杆受到桌子的反力为零时，杆将离开桌子，试求： (1)当杆离开桌子时，杆转过的角度，并求此时杆的角速度？ (2)如果杆垂直地打击地面，则桌子的高度应为多少？ 17.一个半径为5和5，重量为G。=200V,可绕轴A转动的滑轮通过一个固定在墙上可转动的叉子AB支 撑，其中2=3，。=30°，如图所示.绳索在滑轮较小半径的轴肩上缠绕了一圈，绳索右端用重力 G=500N加载，滑轮与墙之间以及滑轮与绳之间的摩擦因数相同，静摩擦因数为4，=03，动摩擦因数为 4=0.2.试问： Go 试卷第1页，共3页 (1)如果要使重物G悬起，左边绳子在B=0的情况下，至少要施加多大力F? (2)如果要使重物G缓慢升起，左边绳子在B=0时需用多大为F? (3)在什么角度下，提升重物所需的拉力最小；其值为多大？ 18.许多相同的小球按图甲所示方法堆积，第一层有一个球，第二层有三个球，，第层有”+个球，现 2 对第m层的球按图乙所示方法编写坐标(m,n,p)（其中n和p分别表示球在m层中的排数和从左往右数在该 排的序数).试求出编号为m,n,p)的球与下面三个球(m+1,n,p)、(m+1,n+1,p)、（m+1,n+1,p+1)之间的 弹力，小球质量为M (ml,104 (m,2,1) (m,2,2) (m,3,1)/ (m3,2外m,3,3) m,4,1 ● (m,4,4) (m,4,2Xm,4,3)》 B 甲 乙 19.杆BC、BD、CD、CE、CG、DG由光滑铰链连接，位于正方体的边和对角线上，各杆的质量不计， 如图所示.铰链B、E及G是固定的，在铰链D处有沿ED方向的作用力P,在铰链C处有沿CG方向的作 用力Q,在平衡状态时，试求各杆的内力 E H 20.两个质量为M,半径为R的相同圆球A和B,用两根长为(1=2R)的绳悬挂于0点，在两球上另有一 个质量为m(m=nM、半径为r(r=R/2)的圆球C,如图甲所示，己知三球的表面光滑，试讨论此系统处 于平衡时，绳与竖直线的夹角日与的关系 (几个平方根值：√2≈1.41，√3≈1.73,5≈2.24，V6≈2.45，√7≈2.65,10≈3.16) 试卷第1页，共3页 B 甲 21.如图所示是一个半径为R的轮子，它绕固定转动轴O顺时针方向转动，两侧各有一个长为L的竖直杆 MP和NQ,它们都固定在天花板上M、N处（如图所示）。两轻杆上距轴为a处各固定一宽度为b的摩擦块 (上下厚度不计)。摩擦块与轮子间动摩擦因数都是(“<分，不计杆与摩擦块的重力。为使轮于刹停。 在两杆下端P、Q之间用轻绳悬挂一重物。刚好使三根细绳之间夹角都相等。 1)有同学认为：“由于该装置高度对称，所以两边摩擦力的大小是相等的”。你认为这位同学的看法是否正 确？为什么（请简要说明你的理由）？ (2)设AP和AQ上的拉力的大小都是F,则左、右两侧摩擦力之比是多少？ (3)为使轮子在规定的时间内能停下，规定制动力矩的大小为M。求此时在下方悬挂物体的重力G是多大？ R 22.如图所示，有一固定的、半径为α、内壁光滑的半球形碗（碗口处于水平位置），O为球心.碗内搁置 一质量为m、边长为α的等边三角形均匀薄板ABC.板的顶点A位于碗内最低点，碗的最低点处对A有某 种约束使顶点A不能滑动（板只能绕A点转动） (1)当三角形薄板达到平衡时，求出碗对顶点A、B、C的作用力的大小各为多少？ (2)当板处于上述平衡状态时，若解除对A点的约束，让它能在碗的内表面上从静止开始自由滑动，求 试卷第1页，共3页 此后三角形薄板可能具有的最大动能。 a B A 23.如图所示，在倾角为p的足够大粗糙斜面上，有一质点，质量为m,用一弹性绳栓住，绳的另一端固 定在斜面上O点，弹性绳的形变与弹性力服从胡克定律，绳原长为L,劲度系数（即倔强系数）为K,斜 面与质点间的静摩擦系数为“，试确定质点在斜面上可静止的区域并画出此区域边界的示意图。 24.现有一个弹簧测力计（可随便找地方悬挂），一把匀质的长为1的有刻度、零点位于端点的直尺，一个 木块及质量不计的细线。试用这些器件设计一实验装置（要求画出示意图），通过一次测量（弹簧测力计只 准读一次数)，求出木块的质量和尺的质量。（己知重力加速度为g) 25.5个质量相等的匀质球，其中4个半径均为a的球，静止放在半径为R的半球形碗内，它们的球心在同 一水平面内。另1个半径为b的球放在4球之上。设接触面都是光滑的，试求碗的半径R的值满足什么条 件时下面的球将相互分离。 试卷第1页，共3页