近代物理专题（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

近代物理专题 1．一平面透射光栅，当用白光照射时，能在30°角衍射方向上观察到600nm的第二级谱线，但在此方向上测不到400nm的第三级谱线，求： （1）光栅常数d，光栅的缝宽a和缝距b； （2）对400nm的单色光能看到哪几级谱线。 【答案】（1）；（2）1，2，4，5共四级谱线 【详解】（1）设，由 得 （2）由 得 又 谱线中的第三、六级为缺级，故能见到1，2，4，5共四级谱线。 2．一微观粒子沿x方向运动，其波函数为，发现粒子几率最大的位置为x= 。 【答案】0 【详解】波函数模的平方为 当时，波函数模的平方取得最大值。波函数模的平方描述粒子在空间某位置出现的概率，所以的位置发现粒子的几率最大。 3．研究性学习小组的同学们，根据物理课上所学的知识讨论“随着岁月的流逝，地球绕太阳公转的周期，日、地间的平均距离，地球接受太阳的辐射能”等问题时，有下列结论，你认为其中可能正确的是（　　） A．太阳不断向外发射大量光子，太阳质量将不断减小 B．日、地间的平均距离将不断增大，地球公转的周期将不断变大 C．日、地间的平均距离将不断减小，地球公转的周期将不断变小 D．地球表面相同时间内接受的太阳辐射能将不断减小 【答案】ABD 【详解】A．太阳不断释放出能量，并发生质量亏损，所以太阳的质量在不断减少，A正确； BC．太阳质量在不断减少，导致太阳对地球的万有引力减小，地球由于得不到足够的向心力而做离心运动，轨道半径增大，克服万有引力做功而减小动能，速度减小而轨道半径增大，所以周期增大，B正确，C错误； D．由于太阳质量不断减小，辐射光子的功率不断减小，而日地间的距离将增大，辐射到地球表面的热功率也将减小，地球表面单位面积单位时间内接收到的太阳的能量减小， D正确。 故选ABD。 4．已知氢光谱的某一线系的极限波长为364.7nm，其中有一光谱线波长为655.6nm。试根据玻尔氢原子理论，求该波长相应的始态与终态能量。 【答案】- 1.51eV，- 3.4eV 【详解】根据波长、波速和频率的关系有 所以 则终态 ，E2 = 3.4eV 同理始态 n = 3，E3 = 1.51eV 5．波长λ0= 0.0710nm的X射线入射到石墨上，与入射方向成45°角的散射波长λ有多长？反冲电子的动量p有多大？反冲电子运动方向与入射光夹角θ为多少？ 【答案】0.0717nm；7.1 × 1024kg·m·s - 1；66.9° 【详解】由于 代入已知条件有 λ = 0.024(1 - cos45°） + 0.0710nm = 0.0717nm 而 联立解得 6．1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm～760nm）内的光谱线。仅考虑一维正碰。 （1）求该氢原子能发出的可见光的波长； （2）求加速后电子动能E的范围； （3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。 已知hc=1240nm·eV，其中h为普朗克常数，c为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。 【答案】（1）=656nm；（2）12.10eV≤Ek<12.76ev；（3）24.17V≤V<25.49V 【详解】（1）由氢原子的能级公式 ，n=1，2，…          ① 可得氢原子的能级图如图所示。 可见光光子能量的上限E′1和下限E′2分别为 =3.10eV          ② =1.63eV          ② 要能观察到可见光范围内的光谱线，发生跃迁的两能级的能量之差应在可见光的能量范围 1.63eV~3.10eV            ④ 内。要仅能观察到一条可见光范围内的光谱线，由氢原子的能级图可知，只能将氢原子激发到第二激发态，即能级 n=3            ⑤ 氢原子第二激发态（n=3）到第一激发态（n=2）的能量差为 E32=E3-E2=（-1.51eV）-（-3.4eV）=1.89eV        ⑥ 氢原子从第二激发态跃迁到第一激发态所发出的可见光的波长为 =656nm          ⑦ （2）要使氢原子能激发到能级n=3，需要提供的能量至少为 E=31=E3-E1=（-1.51eV）-（-13.60eV）=12.09eV        ⑧ 设电子质量为me，电子碰撞前后的速度分别为和，氢原子碰撞前后的速度分别为u1≈0（由题意）和u2，电子因激发氢原子而损失的能量为△E（被氢原子吸收为激发能）。由动量和能量守恒有         ⑨            ⑩ 由⑨⑩式消去，得         ⑾ 此式是关于的一元二次方程。注意到为实的常量，故方程①的系数应满足条件           ⑿ 化简得           ⒀ 要使原子从基态仅激发到第二激发态，AE应满足          ⒁ 式中E31已由⑧式给出，而 E41=E4-E1=（-0.85eV）-（-13.60eV）=12.75eV          ⒂ 由⒀⒁⒂式得                ⒃ 由⒃式和题给条件得 12.10eV≤Ek<12.76ev        ⒄ （3）如果将电子改为质子，⒃式成为            ⒅ 式中mp为质子的质量。由⒅式和题给条件得 24.17eV≤Ek<25.49eV          ⒆ 设加速质子的加速电压为V。由 eV=Ek（e为质子电荷） 和⒆式得 24.17V≤V<25.49V        ⒇ 7．在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被观测物。要想分辨（即原子尺度）的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺度。据此推测电子的速度至少需被加速到 。如果要想进一步分辨尺度的结构，则电子的速度至少需被加速到 ，且为使电子达到这一速度，所需的加速电压为 。已知电子的静止质量，电子的电量，普朗克常量，光速。（本题答案保留两位有效数字） 【答案】 【解析】略 8．在处理微观物理问题时，经常接触到诸如电子质量、质子电荷量及普朗克常量等基本物理常量。在国际单位制中，这些物理常量的数值都很小，给相关的数值计算带来不便，为了方便起见，在微观物理领域引入所谓“原子单位制”，规定电子质量为质量单位，为角动量单位，质子电荷量的倍为电荷量单位，其中常数和国际单位制中的静电力常量取值相同。按如上定义规定了质量、电荷量和角动量的基本单位后，在“原子单位制”中其它物理量的单位可用相关物理公式导出。如果在“原子单位制”下，长度、时间和能量的单位用符号、和表示，试从玻尔氢原子模型推出三者分别与米、秒和焦耳的换算关系，结果用、、和等常量表示。 【答案】见解析 【详解】电子绕原子核做匀速圆周运动，设在某一允许的圆周轨道上，电子的能量为 （1） （1）式右端两项分别表示电子在该轨道上的动能和势能，为轨道半径.原子核对该电子的库仑吸引力充当其圆周运动的向心力，因而有 （2） 氢原子圆周轨道的量子化条件为 （3） 其中取正整数. 联立（1）、（2）和（3）式可得 （4） 其中对电子能量引入了下标用以表征不同轨道的电子能级.（4）式是在国际单位制中电子能级的表达式.氢原子的基态对应于.而在原子单位制中，（4）式右端可取.所以有 （5） 由（1）和（2）可得 （6） 将（6）式和（4）式联立并运用于情况，可得氢原子基态的轨道半径为 （7） 由上式知，在原子单位制中有 （8） 电子在基态轨道上的运动周期为 （9） 其中电子在基态轨道上的运动速度为 （10） 由（9）和（10）式可得时间的原子单位为 （11） 9．已知太阳每秒辐射出焦的能量。问： （1）太阳每秒钟损失多少吨质量？ （2）假设太阳放射出的能量是由于“燃烧氢”的核反应提供，这一核反应放出（百万电子伏特）的能量。式中e为电子，为中微子，中微子是一种质量远小于电子质量、穿透力极强的中性粒子。试计算地球上在与太阳光眚的每平方米面积上每秒钟有多少中微子（）到达。 （3）假设原始的太阳全部由和电子组成，且仅有10%的可供“燃烧”，试估算太阳的寿命。（已知：太阳质量千克；日地距离米；电子电量库；质子质量千克。） 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由质能方程，太阳每秒损失的质量为 （2）据题，太阳每释放的能量就产生2个中微子。每秒产生的中微子总数为 到达地球上每平方米的中微子数为 （3）太阳的寿命： 10．一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为m。试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为E1＝－13.6eV＝－2.18×10－18J，普朗克常量为h＝6.63×10－34J·s。 【答案】从的能级跃迁到的能级时发出的 【详解】波长与频率的关系为  ，        （1） 光子的能量为，    （2） 由式（1）、（2）可求得产生波长m谱线的光子的能量 J      （3） 氢原子的能级能量为负值并与量子数的平方成反比： ，1，2，3，…        （4） 式中为正的比例常数．氢原子基态的量子数1，基态能量已知，由式（4）可得出     （5） 把式（5）代入式（4），便可求得氢原子的2，3，4，5，… 各能级的能量，它们是 J， J， J， J． 比较以上数据，发现 J．  （6） 所以，这条谱线是电子从的能级跃迁到的能级时发出的． 11．（1） 1884年巴耳末研究了基本位于可见光区的氢原子光谱线系（后来称为巴耳末系），该线系从长波端开始的四条谱线波长和谱线系短波极限波长的实验值如下：，，，…。巴耳末发现该线系波长若用线系极限波长去除，至少可在五位有效数字准确度内写成下列有理数：，，，…试据此引出反映此实验结果的经验公式，即线系波长的巴耳末公式，并求出里德伯恒量的实验值。 （2）已知质量为的质点和质量为、半径为的星体中心相距为时，引力势能。有一些超高密度的星体，其巨大引力使得光子也无法逃逸出来，即它所发出的任何电磁波都无法向外传播，这类星体叫黑洞。若某黑洞的质量等于太阳质量，试估算该黑洞半径最多是多大？ 【答案】（1），；（2） 【详解】1. 谱线实验值为：，，，… 将第二项、第四项分子分母同乘以4，得：，，，… 上述数列进一步可写为：，，，… 或，，，… 即， 所以 用波长倒数，可将上述巴耳末公式写成更简单形式： 即 其中 2. 光子从质量、半径为的黑洞逃逸（即脱离黑洞引力的影响，可认为高黑洞为无穷远）时，克服黑洞引力所做的功是以光子能量的减少为代价的。若，则光子无论如何也无法从黑洞逃逸。而等于光子从黑洞表面逃逸到无穷远时，光子和黑洞这个体系引力势能的增量。故当 即 时光子不能从黑洞逃逸，代入数值 得 即该黑洞质量时，半径最多只能有。我们知道，太阳半径为，可以想像，黑洞是何等超高密度。 此题给出引力势能公式及关于黑洞的基本情况的介绍，要求学生由黑洞对光子的作用作出给定质量的黑洞半径大小的估算，考查学生掌握（势能）基本概念，活用知识的能力。这是在学习物理中培养能力的一个重要方面。 12．1961年有人从高度H=22.5m的大楼上向地面发射频率为的光子，并在地面测量接收到的光子的频率，测得的与不同，与理论预计一致。试从理论上求出的值。答：= 。 【答案】=2.5×10-15 【详解】已知在地面测量接收到光子的频率为，则光子之能量。其中h为普朗克恒量；光子在高度H处其频率为，则该处光子能量为。根据相对论E=mc2，。所以。光予应当满足能量定律所以E1=E2.即 本题是一道近代物理的常识题，即光子的能量如果增大，其频率也要相应增大。由于在中学完全没有学过这方面的内容，所以本题的得分率很低。 13．（1）质量为M的静止原子，由于内部能级变化（E2→E1）而发射出一个光子。已知Mc2>（E2-E1），求原子的反冲（后退）动能T与光子能量E的比值。（注意，能量为E的光子，动量为，c为光速）。 （2）在绝对温度T时，电磁场的光子平均能量约为，R为气体常量，N0为阿伏加德罗常数。假设在宇宙发展的初期，光子间的碰撞能够产生质子、反质子（即一对光子经过碰撞而转变成一个质子和一个反质子）。试估算当时温度的数量级（二位有效数字）。 （3）气体分子的直径约为2×10-10m，试估算标准状况下近邻气体分子间的平均距离l与分子直径d的比值（二位有效数字） 附：c=3.0×108m/s，质子质量m。=1.7×10-27kg，R=8.3J/（mol·K），N0=6.0×1023mol-1 【答案】（1）；（2）；（3）17 【详解】1、根据动量守恒定律可知，原子的反冲动量的大小等于光子动量的大小，即，所以反冲动能为 因此原子的反冲动能与光子能量的比值为 2。光子的能量已知为，用表示原子的质量，c表示光速，则原子的能量为。因为一对光子转变成一个质子和一个反质子，根据能量守恒可知 这也是一道有关现代物理的常识性题目，学生在课堂学习之外若能阅读一些介绍物理学的近代发震的书籍或文章，有助于回答此类问题。 3。标准状况下，1mol气体体积V=22.4×10-3m3。每个分子平均占有体积为，所以邻近分子间平均距离为 用d表气体分子的直径，则分子间的平均距离与分子直径之比为 14．当质量为m的质点距离一个质量为M、半径为R的质量均匀分布的致密天体中心的距离为时，其引力势能为Ep=，其中为万有引力常量。设致密天体是中子星，其半径，质量（，为太阳的质量）。 （1）的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少？ （2）在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为m，则反应中的质量亏损为0.0072m，问的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少？ （3）天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限。 【答案】（1）2.01016J；（2）；（3） 【详解】1．根据能量守恒定律，质量为m的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能应等于对应始末位置的引力势能的改变，故有           （1） 代入有关数据得                （2） 2．在氢核聚变反应中，每千克质量的核反应原料提供的能量为                （3） 所求能量比为                     （4） 3．根据题意，可知接收到的两个脉冲之间的时间间隔即为中子星的自转周期，中子星做高速自转时，位于赤道处质量为的中子星质元所需的向心力不能超过对应的万有引力，否则将会因不能保持匀速圆周运动而使中子星破裂，因此有                     （5） 式中                   （6） 为中子星的自转角速度，为中子星的自转周期．由（5）、（6）式得到      （7） 代入数据得                     （8） 故时间间隔的下限为 15．由阴极发射的电子经加速电极加速后垂直射向一开有两条平行狭缝的屏，电子自狭缝出射后打在一荧光屏上，如图所示，由于电子具有波动性，荧光屏上将出现明暗相间的条纹，设加速电极与阴极之间的电压为，两平行狭缝之间的距离为，试问： （1）在整个装置的轴线与荧光屏的交点处，将出现暗条纹还是明条纹？ （2）设位于轴线外侧的第一条亮条纹出现在角处的点，若加速电压不是很大，写出的表达式（以、及其他恒量表示）. （3）在加速电压很大的情况下，的表达式又会怎样？ 【答案】（1）屏上O点为亮条纹 （2） （3） 【详解】（1）屏上的图样与光的双缝干涉图样相同，屏上点为亮条纹. （2）不是很大，则加速度也不是很大：，     所以，为电子静止质量. 据德布罗意的公式：. 已知点为第一条亮条纹的位置，则， 所以，，很小，所以. （3）在很大时，电子加速后的速度也很大，必须考虑相对论修正. 功能关系：. 为加速后电子的质量. 由相对论普遍关系：. 所以，动量. 德布罗意波长：. 所以. 在我们所熟知的各种粒子中，电子是质量较小的粒子之一，其离子性与波动性在一定条件下都很容易观察到，因此，讨论物质的波粒二象性多以电子所表现出的二象性来加以讨论. 不论是电磁波还是概率波，都有干涉与衍射特征，并且有相同的规律，所以，我们可以借助光的双缝干涉背景来描述概率波的双缝干涉. 至于在这一过程中所表现的粒子性，我们亦可用单个的粒子运动来加以描述.此外，电子的质量很小，很容易被加速，当速度较高时，就有必要考虑相对论效应. 电子的这种多重性质，无疑加大了我们分析判断的难度，应多加小心. 16．氩激光辐射聚焦在平面的光电管阴极上，在光电管阴极与其平行的平面阳极之间接上恒定电动势的电源.在阳极与阴极之间为加速电压情况下，阳极上光电子斑的直径，是在电压极性反向情况下（即在阳极与光电管阴极之间为减速电压下）阳极上光电子斑直径的2倍，光电管阴极材料的逸出功.激光辐射波长. 求电源的电动势. 【答案】 【详解】根据爱因斯坦光电效应方程可求阳极表面光电子的最大速度. ， 式中是电子质量，是普朗克恒量，是光速. 在加速电压（阳极为正）下，阳极上斑的半径由光电子平行于极板平面的速度决定. ，，. 是阳极与阴极间距离，是飞行时间，是加速度：，是电源的电动势. 在减速电压下，阳极上斑的半径由到阳极法向速度为零的光电子决定. ，. 式中是电子速度与阳极平面所成角，是飞行时间. 由此得，. 斑的半径：，因此. 最后得到电源的电动势. 本题虽有光电效应的背景，但更大的解题障碍来自于电子在电场中的运动描述. 因为对于加速时形成的斑的半径易作出判断，对于减速的情境难以作出定性的描述. 有关光的粒子性的问题，多数试题都选择了光子与物体作用所表现的宏观属性进行研究，这主要是因为光的粒子性几乎都是在相互作用的过程中得以体现. 17．白矮星是一种高密度的天体，它内部电子之间的平均距离为1×10-12 m，如果将此平均距离视为电子位置的不确定度，则与此对应的电子动量的不确定度为 kg∙m∙s-1。（普朗克常量h = 6.63×10-34 J∙s，约化普朗克常量=1.05 ×10-34 J∙s） 【答案】5.3×10-23 【详解】根据海森伯测不准原理，解得 18．质子是由更小的所谓“部分子”构成的。欧洲大型强子对撞机（LHC）是高能质子-质子对撞机，质子束内单个质子能量为E=7.0TeV（1Tev=103Gev=1012ev），两束能量相同的质子相向而行对撞碎裂，其中相撞的两个部分子a，b相互作用湮灭产生一个新粒子。设部分子a、b的动能在质子能量中所占的比值分别为xa、xb，且远大于其静能。 （1）假设两个部分子a、b对撞湮灭产生了一个静质量为mS=1.0TeV/c2的新粒子S，求xa和xb的乘积xaxb； （2）假设新粒子S产生后衰变到两个光子，在新粒子S静止的参考系中，求两光子的频率； （3）假设新粒子S产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为mA=1.0GeV/c2的轻粒子A，每个轻粒子A再衰变到两个同频率的光子，求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角。 已知：，当<<1；普朗克常量h=6.63×10-34J·s，电子电荷量绝对值e=1.60×10-19C． 【答案】（1）；（2）Hz≈1.2×1026Hz；（3） 【详解】（1）部分子a、b的动能分别为 ，      ① 它们远大于其静能，所以部分子a、b的质量可忽略，其动量大小分别为 ，          ② 负号表明部分子a、b的动量方向相反，在同一条直线上。部分子a、b对撞湮灭产生新粒子S，根据能量守恒定律，S的能量为              ③ 根据动量守恒定律，S的动量大小为              ④ 由自由粒子的动量和能量关系有             ⑤ 由①②③④⑤式得             ⑥ 由⑥式和题给数据得             ⑦ （2）在新粒子S静止的参考系中，设S衰变成的两光子的频率分别为和，它们的能量和动量大小分别为 ，          ⑧ ，          ⑨ 负号表明两光子的动量方向相反，在同一条直线上，S衰变前后能量和动量守恒，有            ⑩           ⑾ 由⑧⑨⑩⑾式得         ⑿ 由⑿式和题给数据得 Hz≈1.2×1026Hz          ⒀ （3）在S产生时静止的参照系中，对于S衰变到两个粒子A的过程，投两个粒子A的能量、动量大小分别为EA1、EA2和pA1、pA2，由能量守恒定律和动量守恒定律，以及自由粒子的动量和能量关系 ，i=1,2...            ⒁ 可知，每个粒子A的动量大小相等，因而每个粒子A的能量为       ⒂ 在粒子A衰变到两个同频率光子的过程中，由能量守恒得         ⒃ 式中是每个光子的频率。设两光子动量之间夹角为θ，由动量守恒定律知，在平行和垂直于粒子A运动方向上分别有         ⒄ 由⒁⒂⒃⒄式得       ⒅ 可见，两光子夹角非常小，利用，由⒅式得           ⒆ 19．光电倍增管是用来将光信号转化为电信号并加以放大的装置，其结构如图a所示：它主要由一个光阴极、n个倍增光子级和一个阳极构成；光阴极与第1倍增级、各相邻倍增级及第n倍增级与阳极之间均有电势差V；从光阴极逸出的电子称为光电子，其中大部分（百分比）被收集到第1倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；每个被收集到第i倍增级（i=1，…，n）的电子在该电极上又使得个电子（>1）逸出；第i倍增级上逸出的电子有大部分（百分比）被第i+1倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为e。 （1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知>1，n>>1； （2）为使尽可能多的电子从第i倍增级直接到达第i+1倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中，会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为a且相邻倍增级间的几何位置如图b所示，倍增级间电势差引起的电场很小可忽略。所施加的匀强磁场应取什么方向以及磁感应强度大小为多少时，才能使从第i倍增级垂直出射的能量为Ee的电子中直接打到第i+1倍增级的电子最多?磁感应强度大小为多少时，可以保证在第i+1倍增级上至少收集到一些从第1倍增级垂直出射的能量为Ee的电子? 【答案】（1）；（2）所加磁场应当垂直纸面向里，， 【详解】（1）设从光阴极逸出的电子个数为np，按题述，从第1倍增级逸出的电子个数为 可用归纳法得出从第i倍增级逸出的电子个数为 ，i=1,2，...，n          ① 光阴极、第i倍增级和第n倍增级向阳极贡献的电子数、和分别为 i=1，...，n-1，          ② 光阴极与阳极间电势差Vpa、第i倍增级与阳极之间的电势差Via分别为 i=1，...，n-1，       ③ 从光阴极溢出的电子被电势差加速所消耗的能量Ep、从第i倍增级溢出到阳极的电子被电势差加速所消耗的能量Eia、第i倍增级溢出到第i+1倍增级的电子被电势差加速所消耗的能量，分别为 ④ 消耗的总电能为 ⑤ 将①②③④式代入⑤式得，放大单个光阴极逸出的电子消耗的平均能量为 ⑥ 当>1、n>>1时，上式各项中含因子的部分的贡献远大于其他部分，因此可仅保留含级因子的项，有 ⑦ （2）所加磁场应当垂直纸面向里。 磁场提供洛仑兹力，且忽略重力和电场力，电子在匀强磁场中做匀速圆周运动。由于电子的逑逸速度垂直于电极，电子运动轨迹的圆心将在电极所在的直线上。运动轨迹如图所示。 当第i倍增级最左端的电子到达第i+1倍增级最右端时，轨迹为1，圆心在第i倍增级的延长线上，由几何关系知，对应的半径r1满足 ⑧ 当第i倍增级最左端的电子到达第i+1倍增级最左端时，轨迹为2，对应的轨道半径r2满足 ⑨ 当第i倍增级最右端的电子到达第i+1倍增级最右端时，轨迹为3，对应的轨道半径r3满足 ⑩ 当第；倍增级最右端的电子到达第i+1倍增级最左端时，轨迹为4，对应的轨道半径r4满足 ⑾ 由⑧⑨⑩⑾式分别解得 ，，， ⑿ 设电子在磁场中做匀速圆周运动的速率为v，由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有          ⒀ 由⒀式得 ⒁ 式中是速率为v的电子的动能。由⑿⒁式可解出相应的B1、B2、B3、B4的大小为 ，，， ⒂ 当B=B1时，第i倍增级释放的电子中只有最左边的被收集；若B<B1，则一个电子都不会被收集。因此为使第i+1倍增级能收集到电子，应当有B≥B1。 当B=B2=B3时，所有电子都被第i+1倍增级收集， 当B=B4时，第i倍增级释放的电子中只有最右边的被收集到；若B>B4，则一个电子都不会被收集，因此为使第i+1倍增级能收集到电子，应当有B≤B4。 因此，当 ⒃ 时第i+l倍增级收集到的电子最多：当 ⒄ 时，第i+1倍增级会有电子被收集。 20．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。 当负电中心与原子核不重合时，若以x表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原子核的正电荷对核外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力，即，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。 今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R，原子核正电荷的电荷量为q，核外负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为和，且和都远小于R，如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。 众所周知，孤立谐振子的能量是守恒的，式中v为质量m的振子运动的速度，x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为，称为零点振动能，，h为普朗克常量，为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当时的近似式，。 【答案】，相互吸引 【详解】两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量包括以下几部分：每个原子的负电中心振动的动能，每个原子的负电中心因受各自原子核“弹性力”作用的弹性势能，一个原子的正、负电荷与另一原子的正、负电荷的静电相互作用能。以和分别表示两个原子的负电中心振动速度，和分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移，则体系的能量 （1） 式中U为静电相互作用能 （2） 为静电力常量。因，利用 ，可将（2）式化为 （3） 因此体系总能量可近似表为 （4） 注意到和，可将（4）式改写为 （5） 式中， （6） （7） （8） （9） （5）式表明体系的能量相当于两个独立谐振子的能量和，而这两个振子的固有角频率分别为 （10） （11） 在绝对零度，零点能为 （12） 两个孤立惰性气体原子在绝对零度的能量分别表示为和，有 （13） 式中 （14） 为孤立振子的固有角频率。由此得绝对零度时，所考查的两个惰性气体原子组成的体系的能量与两个孤立惰性气体原子能量和的差为 。（15） 利用，可得 （16） ，表明范德瓦尔斯相互作用为相互吸引。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 近代物理专题 1．一平面透射光栅，当用白光照射时，能在30°角衍射方向上观察到600nm的第二级谱线，但在此方向上测不到400nm的第三级谱线，求： （1）光栅常数d，光栅的缝宽a和缝距b； （2）对400nm的单色光能看到哪几级谱线。 2．一微观粒子沿x方向运动，其波函数为，发现粒子几率最大的位置为x= 。 3．研究性学习小组的同学们，根据物理课上所学的知识讨论“随着岁月的流逝，地球绕太阳公转的周期，日、地间的平均距离，地球接受太阳的辐射能”等问题时，有下列结论，你认为其中可能正确的是（　　） A．太阳不断向外发射大量光子，太阳质量将不断减小 B．日、地间的平均距离将不断增大，地球公转的周期将不断变大 C．日、地间的平均距离将不断减小，地球公转的周期将不断变小 D．地球表面相同时间内接受的太阳辐射能将不断减小 4．已知氢光谱的某一线系的极限波长为364.7nm，其中有一光谱线波长为655.6nm。试根据玻尔氢原子理论，求该波长相应的始态与终态能量。 5．波长λ0= 0.0710nm的X射线入射到石墨上，与入射方向成45°角的散射波长λ有多长？反冲电子的动量p有多大？反冲电子运动方向与入射光夹角θ为多少？ 6．1914年，弗兰克-赫兹用电子碰撞原子的方法使原子从低能级激发到高能级，从而证明了原子能级的存在。加速电子碰撞自由的氢原子，使某氢原子从基态激发到激发态。该氢原子仅能发出一条可见光波长范围（400nm～760nm）内的光谱线。仅考虑一维正碰。 （1）求该氢原子能发出的可见光的波长； （2）求加速后电子动能E的范围； （3）如果将电子改为质子，求加速质子的加速电压的范围。 已知hc=1240nm·eV，其中h为普朗克常数，c为真空中的光速；质子质量近似为电子质量的1836倍，氢原子在碰撞前的速度可忽略。 7．在电子显微镜中，电子束取代了光束被用来“照射”被观测物。要想分辨（即原子尺度）的结构，则电子的物质波波长不能大于此尺度。据此推测电子的速度至少需被加速到 。如果要想进一步分辨尺度的结构，则电子的速度至少需被加速到 ，且为使电子达到这一速度，所需的加速电压为 。已知电子的静止质量，电子的电量，普朗克常量，光速。（本题答案保留两位有效数字） 8．在处理微观物理问题时，经常接触到诸如电子质量、质子电荷量及普朗克常量等基本物理常量。在国际单位制中，这些物理常量的数值都很小，给相关的数值计算带来不便，为了方便起见，在微观物理领域引入所谓“原子单位制”，规定电子质量为质量单位，为角动量单位，质子电荷量的倍为电荷量单位，其中常数和国际单位制中的静电力常量取值相同。按如上定义规定了质量、电荷量和角动量的基本单位后，在“原子单位制”中其它物理量的单位可用相关物理公式导出。如果在“原子单位制”下，长度、时间和能量的单位用符号、和表示，试从玻尔氢原子模型推出三者分别与米、秒和焦耳的换算关系，结果用、、和等常量表示。 9．已知太阳每秒辐射出焦的能量。问： （1）太阳每秒钟损失多少吨质量？ （2）假设太阳放射出的能量是由于“燃烧氢”的核反应提供，这一核反应放出（百万电子伏特）的能量。式中e为电子，为中微子，中微子是一种质量远小于电子质量、穿透力极强的中性粒子。试计算地球上在与太阳光眚的每平方米面积上每秒钟有多少中微子（）到达。 （3）假设原始的太阳全部由和电子组成，且仅有10%的可供“燃烧”，试估算太阳的寿命。（已知：太阳质量千克；日地距离米；电子电量库；质子质量千克。） 10．一个氢放电管发光，在其光谱中测得一条谱线的波长为m。试计算这是氢原子中电子从哪一个能级向哪一个能级（用量子数n表示）跃迁时发出的？已知氢原子基态（n＝1）的能量为E1＝－13.6eV＝－2.18×10－18J，普朗克常量为h＝6.63×10－34J·s。 11．（1） 1884年巴耳末研究了基本位于可见光区的氢原子光谱线系（后来称为巴耳末系），该线系从长波端开始的四条谱线波长和谱线系短波极限波长的实验值如下：，，，…。巴耳末发现该线系波长若用线系极限波长去除，至少可在五位有效数字准确度内写成下列有理数：，，，…试据此引出反映此实验结果的经验公式，即线系波长的巴耳末公式，并求出里德伯恒量的实验值。 （2）已知质量为的质点和质量为、半径为的星体中心相距为时，引力势能。有一些超高密度的星体，其巨大引力使得光子也无法逃逸出来，即它所发出的任何电磁波都无法向外传播，这类星体叫黑洞。若某黑洞的质量等于太阳质量，试估算该黑洞半径最多是多大？ 12．1961年有人从高度H=22.5m的大楼上向地面发射频率为的光子，并在地面测量接收到的光子的频率，测得的与不同，与理论预计一致。试从理论上求出的值。答：= 。 13．（1）质量为M的静止原子，由于内部能级变化（E2→E1）而发射出一个光子。已知Mc2>（E2-E1），求原子的反冲（后退）动能T与光子能量E的比值。（注意，能量为E的光子，动量为，c为光速）。 （2）在绝对温度T时，电磁场的光子平均能量约为，R为气体常量，N0为阿伏加德罗常数。假设在宇宙发展的初期，光子间的碰撞能够产生质子、反质子（即一对光子经过碰撞而转变成一个质子和一个反质子）。试估算当时温度的数量级（二位有效数字）。 （3）气体分子的直径约为2×10-10m，试估算标准状况下近邻气体分子间的平均距离l与分子直径d的比值（二位有效数字） 附：c=3.0×108m/s，质子质量m。=1.7×10-27kg，R=8.3J/（mol·K），N0=6.0×1023mol-1 14．当质量为m的质点距离一个质量为M、半径为R的质量均匀分布的致密天体中心的距离为时，其引力势能为Ep=，其中为万有引力常量。设致密天体是中子星，其半径，质量（，为太阳的质量）。 （1）的物质从无限远处被吸引到中子星的表面时所释放的引力势能为多少？ （2）在氢核聚变反应中，若参加核反应的原料的质量为m，则反应中的质量亏损为0.0072m，问的原料通过核聚变提供的能量与第1问中所释放的引力势能之比是多少？ （3）天文学家认为：脉冲星是旋转的中子星，中子星的电磁辐射是连续的，沿其磁轴方向最强，磁轴与中子星的自转轴方向有一夹角（如图所示），在地球上的接收器所接收到的一连串周期出现的脉冲是脉冲星的电磁辐射。试由上述看法估算地球上接收到的两个脉冲之间的时间间隔的下限。 15．由阴极发射的电子经加速电极加速后垂直射向一开有两条平行狭缝的屏，电子自狭缝出射后打在一荧光屏上，如图所示，由于电子具有波动性，荧光屏上将出现明暗相间的条纹，设加速电极与阴极之间的电压为，两平行狭缝之间的距离为，试问： （1）在整个装置的轴线与荧光屏的交点处，将出现暗条纹还是明条纹？ （2）设位于轴线外侧的第一条亮条纹出现在角处的点，若加速电压不是很大，写出的表达式（以、及其他恒量表示）. （3）在加速电压很大的情况下，的表达式又会怎样？ 16．氩激光辐射聚焦在平面的光电管阴极上，在光电管阴极与其平行的平面阳极之间接上恒定电动势的电源.在阳极与阴极之间为加速电压情况下，阳极上光电子斑的直径，是在电压极性反向情况下（即在阳极与光电管阴极之间为减速电压下）阳极上光电子斑直径的2倍，光电管阴极材料的逸出功.激光辐射波长. 求电源的电动势. 17．白矮星是一种高密度的天体，它内部电子之间的平均距离为1×10-12 m，如果将此平均距离视为电子位置的不确定度，则与此对应的电子动量的不确定度为 kg∙m∙s-1。（普朗克常量h = 6.63×10-34 J∙s，约化普朗克常量=1.05 ×10-34 J∙s） 18．质子是由更小的所谓“部分子”构成的。欧洲大型强子对撞机（LHC）是高能质子-质子对撞机，质子束内单个质子能量为E=7.0TeV（1Tev=103Gev=1012ev），两束能量相同的质子相向而行对撞碎裂，其中相撞的两个部分子a，b相互作用湮灭产生一个新粒子。设部分子a、b的动能在质子能量中所占的比值分别为xa、xb，且远大于其静能。 （1）假设两个部分子a、b对撞湮灭产生了一个静质量为mS=1.0TeV/c2的新粒子S，求xa和xb的乘积xaxb； （2）假设新粒子S产生后衰变到两个光子，在新粒子S静止的参考系中，求两光子的频率； （3）假设新粒子S产生后在其静止坐标系中衰变到两个质量为mA=1.0GeV/c2的轻粒子A，每个轻粒子A再衰变到两个同频率的光子，求在这个坐标系中这两个光子动量之间的夹角。 已知：，当<<1；普朗克常量h=6.63×10-34J·s，电子电荷量绝对值e=1.60×10-19C． 19．光电倍增管是用来将光信号转化为电信号并加以放大的装置，其结构如图a所示：它主要由一个光阴极、n个倍增光子级和一个阳极构成；光阴极与第1倍增级、各相邻倍增级及第n倍增级与阳极之间均有电势差V；从光阴极逸出的电子称为光电子，其中大部分（百分比）被收集到第1倍增级上，余下的被直接收集到阳极上；每个被收集到第i倍增级（i=1，…，n）的电子在该电极上又使得个电子（>1）逸出；第i倍增级上逸出的电子有大部分（百分比）被第i+1倍增级收集，其他被阳极收集；直至所有电子被阳极收集，实现信号放大。已知电子电荷量绝对值为e。 （1）求光电倍增管放大一个光电子的平均能耗，已知>1，n>>1； （2）为使尽可能多的电子从第i倍增级直接到达第i+1倍增级而非阳极，早期的光电倍增管中，会施加垂直于电子运行轨迹所在平面（纸面）的匀强磁场。设倍增级的长度为a且相邻倍增级间的几何位置如图b所示，倍增级间电势差引起的电场很小可忽略。所施加的匀强磁场应取什么方向以及磁感应强度大小为多少时，才能使从第i倍增级垂直出射的能量为Ee的电子中直接打到第i+1倍增级的电子最多?磁感应强度大小为多少时，可以保证在第i+1倍增级上至少收集到一些从第1倍增级垂直出射的能量为Ee的电子? 20．惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。 当负电中心与原子核不重合时，若以x表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原子核的正电荷对核外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力，即，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。 今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R，原子核正电荷的电荷量为q，核外负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为和，且和都远小于R，如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。 众所周知，孤立谐振子的能量是守恒的，式中v为质量m的振子运动的速度，x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为，称为零点振动能，，h为普朗克常量，为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当时的近似式，。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $