力学篇 专题06 振动与波动（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

力学篇专题06振动与波动 全国高中物混头寒、华基计利专项训麻 1.在波长为的驻波中两个相邻波节之间的距离为() A.λ B. 32 e D. 2.当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在() A.媒质质元离开其平衡位置最大位移处 B.媒质质元离开其平衡位置(V24)处4是振动振幅) 2 C.媒质质元在其平衡位置处 D.媒质质元离开其平衡位置A处(A是振动振幅) 、3 3.把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度日，然后由静止放手任其振 动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为() A.π B.π C.0 D.0 4.一横波沿绳子传播时，波的表达式为y=0.05cos4πx-10πt(SD,则() A.其波长为0.5m B.波速为5ms C.波速为25m/s D.频率为2Hz 5.如图，光滑水平地面上方有匀强电场，其场强方向水平向右，大小E=100V1m;地面上一质量 m1=0.010kg的小物块与一水平轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直墙面上，弹簧的劲度系数 k=0.16N/m。将弹簧处于原长时a的位置记为原点O,水平向右记为x正方向。将物块a从原点左移4.0m 后由静止释放，以释放时刻为计时起点t=0。此时，另一质量m2=0.030kg、电荷量g=+1.6×10-3C的小物 块b,以大小为16.7m/s的速度%向左运动，经过兀s与a发生完全非弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后两物 24 块组成新物块c。己知碰撞中没有电荷损失。求 E b w 7777777777777 7777777777777777777777777→X 试卷第1页，共3页 (1)碰撞前物块a在t(t≥0)时刻的坐标x(t)和速度v(t): (2)物块c在t时刻的坐标x.（t)。 6。一质量为020e的质点作简谐振动，其振动方程为x=06c0s(51-)(S。求： (1)质点的初速度； (2)质点在正向最大位移一半处所受的力。 7.两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm,与第一个简谐振动的相位差为无。若第一个 6 简谐振动的振幅为10√5cm=17.3cm,则第二个简谐振动的振幅为」 cm,第一、二两个简谐振 动的相位差为 8.劲度系数为k的轻弹簧一端与质量为m的质点连接，另一端固定。质点在光滑的水平面上作简谐振动， 振幅为A,其振动周期T=。当位移为+A时开始计时，其振动方程为。质点动能随时间的表达 式一。 9.如图，一质量为M的滑轮通过一轻弹簧悬挂在天花板上，弹簧的劲度系数为k。一质量为m的小物块通 过一不可伸长的轻绳悬挂在滑轮上，轻绳的另一端竖直固定在地板上。己知滑轮是光滑的，轻绳与滑轮间 无摩擦。 (1)当系统受力平衡时，滑轮与小物块均保持静止，求此时弹簧的伸长量△1； (2)若将小物块从平衡位置下拉一小距离后从静止释放，试证明此后滑轮的运动为简谐振动，并求出振动 周期。 MuLt k m 77777777777777777777 10.在密度为P的液体中，静止地浸有密度为P及质量为M的高度为H、底面半径为2R和R的倒立圆台。 试卷第1页，共3页 2R 2R M H RR A. 37 B. 19C 98 D. 54 144 189 56 189 1 225. 98 37 P (1)若液体浸到圆台的)高度处，圆台与液体的密度之比。= (2)若设圆台受到微小干扰后的振荡频率0=k ,则k= H (3)若液体浸到圆台的 高度处并设02=k号，则k= H (4)若液体浸到圆台的 高度处并设02=k号 则k= 液体浸到圆台高度 1 3 2 2-3 倒 浸在液体内体积V= 37 RRH 19 H 7RH 98 立 37 19 98 圆 密度比= 189 56 189 台 平 质量M=pV= 37 1 9 衡 81 πR2Hp 24元R2Hp 87πR'Hp 时 圆 浸在液体内体积变化 16 台 △V= 之之石 子R— 4 9xR'x 向 合力∑F=-pg△V=Ma 1 -Pg πR2x= 3 81 πR2Hp)a pRx-( πRHp)a Pg- πR2x-( 98 下 24 9 R2Hp)a 81 微 小 a+o2x=0振荡频率o2= a+ 144g -0>02-14g a+ 54g =0>02=54g a+22 位 37H 37H 19H 19H 98H x=0>02-225g 98H 移 试卷第1页，共3页 后 11.美国激光干涉引力波天文台(L1G0)科学合作组织宣布于2015年9月14日探测到了双黑洞合并形成 的引力波。大质量天体剧烈运动，扰动周围时空，扭曲空间以波动的形式向外传播，称为引力波，它是以 光速(3×108m/s)传播的横波。 (1) 设一简谐引力波沿直径为1m的圆柱体轴线(+z方向)传播，由于空间交替伸展和收缩而使圆柱体 形状发生变化，如图所示（图中T为波的周期）。当x方向伸张量最大时，y方向压缩量也最大，反之亦然， 这使圆柱体垂直于轴的截面成为形状连续变化的椭圆。引力波很弱，所引起的x方向和y方向的最大形变率 只有1021.令引力波的频率为150Hz,分别写出引力波x方向偏振和y方向偏振的波函数（用圆柱体在x方 向和y方向上的宽度Dx和Dy随时间t和坐标z变化的函数表示)。 (2)他们利用迈克尔逊干涉仪探测引力波。干涉仪使用激光工作，预先调整两个互相垂直的光路的长度， 使进入探测器的两束光干涉相消，光强为零。设两光路分别沿x方向和y方向，上述简谐引力波沿z方向传 来。由于引力波很弱，还不能使两干涉光发生相长干涉，但是可以使干涉光稍稍偏离相消状态，导致探测 器能够探测到一定光强。问探测器观察到明暗交替变化的频率是多少？试解释原因。 1 1】 1 (at=0 (b)t=T/8 (c)t=T/4 (dt=3T18 (e)t=T2 0平面最大扰动 20平面无扰动 0平面最大扰动 12.波尔共振仪是定量地测定机械受迫振动的 特性和 特性，并利用」 方法来 测定动态的物理量—位相差。 13.动态悬挂法测杨氏模量实验中，当信号发生器的频率等于试样的 时，示波器上的波 形 14.质量可以忽略的弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，物体沿竖直方向做振幅较小的简谐振动。 取平衡位置O处为原点，位移x向下为正，则在图的A、B、C、D和E五个图中 试卷第1页，共3页 B. D E (1)图是描述物体的速度随x的变化关系。 (2)图是描述加速度随x的变化关系。 (3)图_是描述弹簧的弹性势能随x的变化关系。 (4)图是描述总势能（重力势能与弹性势能）随x的变化关系（重力势能取原点处为零）。 15.如图所示，在一个劲度系数为k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为m的小球A和质量为2m的小 球B。A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为1。现将细线烧断，并以此时为计时零 点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox,原点O与此时A球的位置重合如图。试求任意 时刻两球的坐标。 33 16.如图(a)所示，在水平光滑的桌面上有一木板A,端用弹簧与墙壁相连。桌面上有一固定挡块B,当 A与B接触时，弹簧恰好为其原长。现将A从与B接触的位置向右拉一段距离乙（弹簧在其弹性限度内）， 用手握住.然后，在A上面放一个小木块C(可视作质点)，见图(b)。己知A的长度为L=0.7000m,A 的质量M=10.00kg,1.1.000m,C的质量m=0.1000kg,C与A间的滑动摩擦因数u=0.4000,静摩擦因数 4=0.4010,弹簧的劲度系数为k=45.00N/m。问：将C放在A上什么地方（用距A左端的距离D表示） 试卷第1页，共3页 时，握住A的手放开后，C能始终留在A上？A与B的碰撞为完全非弹性的。重力加速度g=9.800m/s2, 忽略C对A运动的影响。忽略弹簧质量，忽略空气阻力。 A B (a) D 出C A B 6 (b) 0 sin o p 0.7 0.6442 >0.6098 0.8 0.7174 >0.6969 由此可见0.8<9<0.9 <0.7840 0.9 0.7833 0.89 0.7770 >0.7753 由此可见0.89<p<0.90 0.90 0.7833 <0.7840 0.897 0.7815 >0.7814 由此可见0.897<p<0.898 0.898 0.7821 <0.7822 0.8973 0.78165 >0.78164 由此可见0.8973<p1<0.8974 0.8974 0.78171 <0.78173 17.1978年在湖北省随县发掘了一座战国早期（距今大约2400多年前）曾国国君的墓葬一曾侯乙墓，出 土的众多墓葬品中被称为中国古代文明辉煌的象征的是一组青铜铸造的编钟乐器（共64件），敲击每个编 钟时，能发出音域宽广、频率准确的不同音调。与铸造的普通圆钟不同，圆钟的横截面呈圆形，每个编钟 的横截面均呈杏仁状。图1为圆钟截面的，图2为编钟的截面，分别敲击两个钟的A、B、C和D、E、F 三个部位，则圆钟可发出个基频的音调，编钟可发出个基频的音调。 试卷第1页，共3页 A D B E 2 18.2016年9月，G20峰会在杭州隆重召开，其会议厅的装饰设计既展示出中国建筑的节能环保理念，又 体现了浙江的竹文化特色.图给出了其部分墙面采用的微孔竹板装饰的局部放大照片，该装饰同时又实 现了对声波的共振吸收竹板上有一系列不同面积、周期性排列的长方形微孔，声波进入微孔后导致微孔中 的空气柱做简谐振动.单个微孔和竹板后的空气层，可简化成一个亥姆霍兹共振器，如图b所示.假设微孔深 度均为1、单个微孔后的空气腔体体积均为。、微孔横截面积记为S.声波在空气层中传播可视为绝热过程， 声波传播速度y,与空气密度P及体积弹性模量x的关系为y,= K ,其中x是气体压强的增加量△p与其体 积V相对变化量之比K=-,9= △V/V 三二A光，己知标准状态273K,1atm=I01灯0P阳)下空气（可视为理想气体 的摩尔质量M290gmol,热容比y=子，气体普适常量R=831Kmo 图a.微孔竹板墙照片（局部） 图b.微孔竹板装置简化图及对应的亥姆霍兹共振器模型 (1)求标准状态下空气的密度和声波在空气中的传播速度’； (2)求上述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率（用y,、S、I、V。表示）； (3)为了吸收频率分别为120Hz和200Hz的声波，相应的两种微孔横截面积之比应为多少？ 19.学过单摆的周期公式以后，物理兴趣小组的同学们对钟摆产生了兴趣，老师建议他们先研究用厚度和 质量分布均匀的方木板（如一把米尺)做成的摆（这种摆被称为复摆），如图所示.让其在竖直平面内做小 角度摆动，C点为重心，板长为L,周期用T表示 试卷第1页，共3页 mg 甲同学猜想：复摆的摆长应该是悬点到重心的距离 乙同学猜想：复摆的摆长应该大于 为了研究以上猜想是否正确， 同学们进行了下面的实验探究：用1。表示板长为L的复摆看成摆长为单摆 的周期计算值（T,=2π 2),用T表示板长为L复摆的实际周期测量值.计算与测量的数据如下表： 板长L/cm 25 50 80 100 120 150 周期计算值Ts 0.70 1.00 1.27 1.41 1.55 1.73 周期测量值Ts 0.81 1.16 1.47 1.64 1.80 2.01 由上表可知，复摆的等效摆长■ L (选填“大于”、“小于”或“等于”). 同学们对数据进行处理，进一步定量研究可得复摆的等效摆长L等=L(结果保留二位有效数字). 20.一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为P和P2P1<P2).现让一长为L、密度为 (P,+P2)/2的均匀木棍，竖直地放在上面液体内，其下端离两液体分界面的距离为3L/4,由静止开始下落. 试计算木棍到达最低处所需的时间.假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够 深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器相碰。 21.一弹簧振子，弹簧劲度系数为k=25N/m,当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答： (1)振幅是多大？ (2)位移是多大时，势能和动能相等？ (3)位移是振幅的一半时，势能多大？ 22.一平面简谐波以速度u=0.8m/s沿x轴负方向传播。己知原点的振动曲线如图所示。试写出： 试卷第1页，共3页 (1)原点的振动表达式； (2)波动表达式： (3)同一时刻相距1m的两点之间的位相差。 y/cm 0.5 0.25 t/s 0 23.一个平面简谐波沿x轴负方向传播，波速u=10ms。x=0处，质点振动曲线如图所示，则该波的表式为 () 个y(m) 2 1 234t(S) -2---- A.y=2cos(1+元x+)m 220 2 B.y=2c0s21+ 元x-)m -X- 202 C.y=2sin(t+ π -x+-)m 22021 D.y=2sin(t+ 21+20x-2)m 24.在压强为P,的气体中有一单色平面纵波u=Acosωtcoskx。定义声压P是某一处压强对此处大气压 强的偏离，声强很小时可认为p,=△pc2,其中c是气体中声波传播的速度。 (1.1)求出上述单色平面纵波各处声压P,x,t)。 (1.2)一质量为m,半径为"的小球球心在声压场x=x处，求其受力，然后取kr《1近似，重解此问。 (1.3)在高频振荡情形下证明小球作谐振运动。 (1.4)求一周期内球收到的平均作用力F,并说明在什么地方存在稳定平衡。 (1.5)现在将系统置于重力场中，求小球的平衡条件。 25.一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆 试卷第1页，共3页 柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡 位置附近做微振动的频率： (1)圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； (2)圆筒可绕其固定的光滑中心细袖转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。 R 试卷第1页，共3页 力学篇 专题06 振动与波动 1．在波长为的驻波中两个相邻波节之间的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由驻波理论,相邻波腹间和相邻波节间的距离都等于半波长。 故选C。 2．当机械波在媒质中传播时，一媒质质元的最大变形量发生在（　　） A．媒质质元离开其平衡位置最大位移处 B．媒质质元离开其平衡位置（）处（A是振动振幅） C．媒质质元在其平衡位置处 D．媒质质元离开其平衡位置处（A是振动振幅） 【答案】C 【详解】一媒质质元的最大变形量发生在弹性势能最大的地方，根据平面简谐波在某点的振动动能和势能关系 动能最大即在平衡位置处，所以最大形变量在平衡位置处。 故选C。 3．把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方程，则该单摆振动的初相位为（　　） A． B． C．0 D． 【答案】C 【详解】依题意，设该函数解析式为，已知时，，将其代入解析式得 即 又因为 所以可得该单摆振动的初相位为 故选C。 4．一横波沿绳子传播时， 波的表达式为 (SI)，则（　　） A．其波长为0.5 m B．波速为5 m/s C．波速为25 m/s D．频率为2 Hz 【答案】A 【详解】A．波长为 故A正确； BC．波速为 故BC错误； D．根据 解得 故D错误。 故选A。 5．如图，光滑水平地面上方有匀强电场，其场强方向水平向右，大小；地面上一质量的小物块a与一水平轻质弹簧相连，弹簧的另一端固定在竖直墙面上，弹簧的劲度系数。将弹簧处于原长时a的位置记为原点O，水平向右记为正方向。将物块a从原点左移4.0m后由静止释放，以释放时刻为计时起点。此时，另一质量、电荷量的小物块b，以大小为的速度向左运动，经过与a发生完全非弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后两物块组成新物块c。已知碰撞中没有电荷损失。求 (1)碰撞前物块a在时刻的坐标和速度； (2)物块c在时刻的坐标。 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）振子a做简谐振动，设其振幅为，圆频率为，初相为，则a相对于原点O的位移可表示为① 从而a的速度表示为② 式中③ 将题给数据代入③式得④ a从左边4m处从静止释放，可得⑤ ⑥ 将④⑤⑥式代入①②式得，在时有⑦ ⑧ （2）设从到碰撞时a的相位增加，则有⑨ 在碰撞前的瞬间，设a位于，速度为。将代入⑦⑧式得⑩ ⑪ 物块b在电场力作用下做匀变速运动，在碰撞前的瞬间，其速度为⑫ 在碰撞后的瞬间，设c的速度为，因碰撞时间极短，故动量守恒⑬ 由⑪⑫⑬式和题给数据得⑭ 弹簧和c构成新振子。设新振子的圆频率为，可得⑮ 由⑮式和题给数据得⑯ 新振子受到的合力为 系统处于新的平衡位置时，设此时弹簧伸长量为，有⑰ 由⑰式和题给数据得⑱ 若以新的平衡位置为坐标原点，设此时c的坐标为，则由⑩⑱式得⑲ 设c的振幅为，初相位为，相对于的位移可表示为⑳ 从而c的速度表示为㉑ c在振动的过程中能量守恒，故㉒ 解得㉓ 已利用了⑮式。为新振子的计时零点，故㉔ 在⑳㉑式中取得㉕ ㉖ 由㉕㉖式得㉗ 由⑭⑯⑲㉓㉗式有㉘ ㉙ 考虑到，有㉚ 若以新的平衡位置为坐标原点，将⑮㉘㉙式代入简谐运动方程，有㉛ 即㉜ 6．一质量为0.20kg的质点作简谐振动，其振动方程为（SI）。求： （1）质点的初速度； （2）质点在正向最大位移一半处所受的力。 【答案】（1），方向沿x轴正方向；（2），方向指向平衡位置 【详解】（1）质点的初速度 （SI） 当时 方向沿x轴正方向。 （2）根据牛顿第二定律 当时 方向指向平衡位置。 7．两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个简谐振动的相位差为。若第一个简谐振动的振幅为cm=17.3cm，则第二个简谐振动的振幅为 cm，第一、二两个简谐振动的相位差为 。 【答案】 【详解】[1][2]设第一个简谐振动表达式为 则合振动的表达式为 所以 因此第二个简谐振动的振幅为，第一、二两个简谐振动的相位差为。 8．劲度系数为k的轻弹簧一端与质量为m的质点连接，另一端固定。质点在光滑的水平面上作简谐振动，振幅为A，其振动周期T= 。当位移为+A时开始计时，其振动方程为 。质点动能随时间的表达式 。 【答案】 【详解】[1]当位移为+A时开始计时，其振动方程为 则速度为 可知加速度为 由于 解得 [2]根据上述可知，当位移为+A时开始计时，其振动方程为 [3]根据上述可知，振动速度 则质点动能随时间的表达式 9．如图，一质量为的滑轮通过一轻弹簧悬挂在天花板上，弹簧的劲度系数为一质量为的小物块通过一不可伸长的轻绳悬挂在滑轮上， 轻绳的另一端竖直固定在地板上。已知滑轮是光滑的，轻绳与滑轮间无摩擦。 （1）当系统受力平衡时，滑轮与小物块均保持静止，求此时弹簧的伸长量； （2）若将小物块从平衡位置下拉一小距离后从静止释放，试证明此后滑轮的运动为简谐振动，并求出振动周期。 【答案】（1）；（2）证明过程见解析， 【详解】（1）如图所示 设系统受力平衡时，绳中张力为，弹簧的弹力为，由小物块受力平衡得 ① 弹簧弹力为 ② 由滑轮受力平衡得 ③ 联立解得 ④ （2）以系统受力平衡时滑轮得中心为坐标原点，建立如图轴 设运动过程中绳的张力为，弹簧的弹力为，滑轮中心下降时，弹簧的弹力为 ⑤ 由绳的约束条件可知，滑轮加速度为时，小物块的加速度为，则滑轮的动力学方程为 ⑥ 小物块的动力学方程为 ⑦ 由④⑤⑥⑦可得 这是简谐振动方程，所以滑轮的运动为简谐运动，角频率为 振动周期为 10．在密度为的液体中，静止地浸有密度为P及质量为M的高度为H、底面半径为和R的倒立圆台。 A．B．C． D．E. F. （1）若液体浸到圆台的高度处，圆台与液体的密度之比 ； （2）若设圆台受到微小干扰后的振荡频率，则 ； （3）若液体浸到圆台的高度处并设，则 ； （4）若液体浸到圆台的高度处并设，则 。 【答案】 B D F E 【详解】[1][2][3][4]密度为的圆台的体积的为 则质量为 液体对物体的浮力为，由力平衡可得 密度之比为 圆台的不同浸入高度的各物理量计算见下表 液体浸到圆台高度 倒立圆台平衡时 圆台向下微小位移x后 浸在液体内体积变化 11．美国激光干涉引力波天文台（LIGO）科学合作组织宣布于2015年9月14日探测到了双黑洞合并形成的引力波。大质量天体剧烈运动，扰动周围时空，扭曲空间以波动的形式向外传播，称为引力波，它是以光速（3108m/s）传播的横波。 （1） 设一简谐引力波沿直径为1m的圆柱体轴线（+ z方向）传播，由于空间交替伸展和收缩而使圆柱体形状发生变化，如图所示（图中T为波的周期）。当x方向伸张量最大时，y方向压缩量也最大，反之亦然，这使圆柱体垂直于轴的截面成为形状连续变化的椭圆。引力波很弱，所引起的x方向和y方向的最大形变率只有10–21.令引力波的频率为150Hz，分别写出引力波x方向偏振和y方向偏振的波函数（用圆柱体在x方向和y方向上的宽度Dx和Dy随时间t和坐标z变化的函数表示）。 （2） 他们利用迈克尔逊干涉仪探测引力波。干涉仪使用激光工作，预先调整两个互相垂直的光路的长度，使进入探测器的两束光干涉相消，光强为零。设两光路分别沿x方向和y方向，上述简谐引力波沿z方向传来。由于引力波很弱，还不能使两干涉光发生相长干涉，但是可以使干涉光稍稍偏离相消状态，导致探测器能够探测到一定光强。问探测器观察到明暗交替变化的频率是多少？试解释原因。 【答案】（1），；（2）300Hz，原因见解析。 【详解】当x方向伸张量最大时，y方向压缩量也最大，反之亦然，由此可知在横向的两个正交方向都有偏振，两个偏振模式的相位差为。 由题可知引力波的频率为， ；由图中信息可知：t=0时刻 z平面最大扰动 由波面简谐波 ， ， 引力波x方向偏振的波函数为 两个偏振模式的相位差为，则y方向偏振的波函数为： （2）探测器观察到明暗交替变化的频率是： 设两光路分别位于x轴和y轴，图（a）状态下，x方向和y方向空间扰动最大，两束光光程差最大，探测器光强最大。同理图（c）状态下光强为零，图（e）状态下光强最大。所以探测器探测到明暗变化的周期为T/2，其频率为引力波频率的2倍。 12．波尔共振仪是定量地测定机械受迫振动的 特性和 特性，并利用 方法来测定动态的物理量——位相差。 【答案】 幅频/振幅—频率 相频/相位—频率 频闪 【详解】[1] [2]受迫振动的振幅—频率特性和相位—频率特性（简称幅频特性和相频特性）表征受迫振动性质。利用波尔共振仪可以定量地测定机械受迫振动的幅频特性和相频特性。 [3] 波尔共振仪利用频闪方法来测定动态的物理量——位相差。 13．动态悬挂法测杨氏模量实验中，当信号发生器的频率等于试样的 时，示波器上的波形 。 【答案】 固有频率 突然增大 【详解】[1][2]动态悬挂法测杨氏模量实验中，当信号发生器的频率等于试样的固有频率时，信号与试样发生共振，振幅突然增大，示波器上的波形会突然增大。 14．质量可以忽略的弹簧上端固定，下端悬挂一质量为m的物体，物体沿竖直方向做振幅较小的简谐振动。取平衡位置O处为原点，位移x向下为正，则在图的A、B、C、D和E五个图中 （1）图 是描述物体的速度随x的变化关系。 （2）图 是描述加速度随x的变化关系。 （3）图 是描述弹簧的弹性势能随x的变化关系。 （4）图 是描述总势能（重力势能与弹性势能）随x的变化关系（重力势能取原点处为零）。 【答案】 D B C A 【解析】略 15．如图所示，在一个劲度系数为 k的轻质弹簧两端分别拴着一个质量为 m 的小球A和质量为 2m的小球B。A用细线拴住悬挂起来，系统处于静止状态，此时弹簧长度为。现将细线烧断，并以此时为计时零点，取一相对地面静止的、竖直向下为正方向的坐标轴Ox，原点O与此时A球的位置重合如图。试求任意时刻两球的坐标。 【答案】见解析 【详解】解法一： 对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的距离为l时，已知mA = m，mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的距离            （1） 故A、B到质心C的距离分别为 （2） 若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、B的弹簧可以分成两个弹簧CA和CB。设弹簧CA的自然长度为lA0，劲度系数为kA，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的自然长度为lB0，劲度系数为kB，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点。若连接A、B的自然长度为l0，根据题意有 （3） 由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为 （4） 当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹簧CA和CB的长度分别为 （5） 弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为 但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有 由此得 （6） 相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即；B的坐标。由（1）式，可知此时质心C的坐标为 （7） 在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力。故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标 （8） 由于质心作加速运动，质心系是非惯性系。在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用。若在质心系中取一坐标轴，原点与质心C固连，取竖直向下为轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为时，弹簧CB作用于B的弹性力 当时，方向竖直向上。此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上。作用于B的合力 由（3）、（4）式得 （9） 令 （10） 有 （11） 当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标 （12） XB为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率 （13） 离开平衡位置的位移 （14） AB为振幅，为初相位。在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置的距离就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的lB，故B离开平衡位置的距离即振幅 由（5）式、（12）式得 （15） 因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故 由此得 （16） 由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标 （17） 在地面参考系的坐标 （18） 得 （19） 同理，当小球A在质心系中的坐标为时，注意到是负的，这时，弹簧CA的伸长量为 ， 当为负时，弹力向下，为正，当为正时，弹力向上，为负，故有 作用于A的合力为 令 有 当XA=0，作用于A的合力FB = 0，A处于平衡状态，A的平衡位置的坐标 （20） XA为A离开其平衡位置的位移，故在合力FA作用下，A将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率 （21） 离开平衡位置的位置 AA为振幅，为初相位。在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A是静止的，A离开质心C的距离为lA，A的平衡位置离开质心的距离为故此时A离开平衡位置的距离即为振幅AA， 而此时，故 由此得 （22） 在时刻t，A在地面参考系中的坐标 （23） 解法二： 当球相对于地面参考系的坐标为时，弹簧的伸长量为，所受的合力为           其加速度为           其相对于质心的加速度为      其中表示球相对于其平衡位置的位移，在相互平动的两个参考系中，相对位移与参考系无关。     上式表明，相对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向。也就是说，球相对质心作简谐振动。      同理可证，                           其相对于质心的加速度为      其中表示球相对于其平衡位置的位移，相对质心，球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向，即球相对质心也作简谐振动。且有与振动的圆频率相等， 解法三： 在地面参考系中，列A、B的牛顿定律方程 2 x1、x2是A、B的坐标，l0是弹簧的自然长。     时，有         为初始时即细线刚烧断时刻，弹簧的长度，有关系        所以        由+，        令，是一个恒定的加速度，结合初始条件，对应的坐标和运动方程是， 再由，      这是一个以A为参考系描写B物体运动的动力学方程，且是简谐的，所以直接写出解答， 结合初条件，                                   得到                             所以         即         由，得          由+，得         16．如图（a）所示，在水平光滑的桌面上有一木板A，端用弹簧与墙壁相连。桌面上有一固定挡块B，当A与B接触时，弹簧恰好为其原长。现将A从与B接触的位置向右拉一段距离（弹簧在其弹性限度内），用手握住．然后，在A上面放一个小木块C（可视作质点），见图（b）。已知A的长度为L=0.7000m， A的质量M=10.00kg，l0=1.000m，C的质量m=0.1000kg，C与A间的滑动摩擦因数，静摩擦因数，弹簧的劲度系数为。问：将C放在A上什么地方（用距A左端的距离表示）时，握住A的手放开后，C能始终留在A上？ A与B的碰撞为完全非弹性的。重力加速度，忽略C对A运动的影响。忽略弹簧质量，忽略空气阻力。 【答案】 【详解】1．的运动  根据题设，不考虑对运动的影响，故的运动是四分之一周期的简谐运云动．周期为 ① 其位移随时间变化为 ② 2．的运动  刚被释放时，其加速度的方向向左，大小为 若能随一起运动，则应受到向左的力，且其大小应为 此力只能由间的摩擦力提供，但该摩擦力的最大值为 显然，，因此不能随一起运动，相对于它将向右滑动．相对于桌面它将在滑动摩擦力的作用下向左做匀加速运动．设为时刻离其初始位置（对桌面）的距离， 则有 ③ 3．不被甩下的条件  若在上滑到的右端以前能停止相对滑动，即二者达到（对桌面）相同的速度，则就不会被甩下，否则就会被甩下． 下面先研究和达到相同速度时的时间及两者的距离．设为的速度与的速度（对桌面）相同的时刻，则 ④ ⑤ ⑥ ⑦ 因满足 ⑧ 即得 ⑨ 或 ⑩ 上式可改写为 其中      ⑪ 由前式可以利用计算器用数值解法解出的值： 0.7 0.8 0.9 0.6442 0.7174 0.7833 由此可见 0.89 0.90 0.7770 0.7833 由此可见 0.897 0.898 0.7815 0.7821 由此可见 0.8973 0.8974 0.78165 0.78171 由此可见 最后得3位有效数字的为 代入，可得 与第一式比较可知      ⑫ 这表明：在内，和存在有共同速度的解．将⑫代入④式和⑥式，可求得从到时间内和移动的距离      ⑬       ⑭ 即为在上相对滑行的距离       ⑮ 只要开始时离右端的距离大于等于就不会从后面甩下，由此可知       ⑯ 4．没有前冲下去的条件  在上向右滑行后，相对于静止，此后就和以相同的速度向右运动，直到和相碰，这时，代入⑦式可求得此时的共同速度       ⑰ 碰后停止．以为初速向前滑行，靠摩擦减速，到停止前滑行的距离为       ⑱ 由式⑰、⑱得      ⑲ 只要相对于静止时距左端的距离大于，碰后就不会向前冲下．由此可知不冲下的条件为      ⑳ 结论：要使始终留在上，开始时离的左端的距离必须符合要求． 17．1978年在湖北省随县发掘了一座战国早期（距今大约2400多年前）曾国国君的墓葬——曾侯乙墓，出土的众多墓葬品中被称为中国古代文明辉煌的象征的是一组青铜铸造的编钟乐器（共64件），敲击每个编钟时，能发出音域宽广、频率准确的不同音调。与铸造的普通圆钟不同，圆钟的横截面呈圆形，每个编钟的横截面均呈杏仁状。图1为圆钟截面的，图2为编钟的截面，分别敲击两个钟的A、B、C和D、E、F三个部位，则圆钟可发出 个基频的音调，编钟可发出 个基频的音调。 【答案】 1 2 【详解】圆钟的横截面是一圆，圆周上A、B、C三点相对圆面是没有差别的，击A、击B或击C发出的声音不会有什么差别，故只可能发出1个基频的音调．编钟的横截面呈杏仁状，有两个稍尖的端点．E、F两点中一点离一个尖端较近，另一点离另一尖端较近，但两个尖端是相同的.所以，相对杏仁状截面，这两点的位置并无差别，但与D点的位置不同．故击E、F发出的声音是杏仁状，有两个稍尖的端点．E、F两点中一点离一个尖端较近，另一点离另一尖端较近，但两个尖端是相同的。所以，相对杏仁状截面，这两点的位置并无差别，但与D点的位置不同．故击E、F发出的声音是相同的，但与击D点发出的声音不同，所以编钟可发出2个基频的音调。 18．2016年9月，G20峰会在杭州隆重召开，其会议厅的装饰设计既展示出中国建筑的节能环保理念，又体现了浙江的竹文化特色．图a给出了其部分墙面采用的微孔竹板装饰的局部放大照片，该装饰同时又实现了对声波的共振吸收.竹板上有一系列不同面积、周期性排列的长方形微孔，声波进入微孔后导致微孔中的空气柱做简谐振动.单个微孔和竹板后的空气层，可简化成一个亥姆霍兹共振器，如图b所示.假设微孔深度均为l、单个微孔后的空气腔体体积均为、微孔横截面积记为S.声波在空气层中传播可视为绝热过程，声波传播速度与空气密度及体积弹性模量的关系为，其中是气体压强的增加量与其体积V相对变化量之比，已知标准状态(273K，latm=1.01×105Pa)下空气(可视为理想气体)的摩尔质量Mmol=29.0g/mol，热容比，气体普适常量R=8.31J/(K·mol). (1)求标准状态下空气的密度和声波在空气中的传播速度； (2)求上述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率(用、S、I、V0表示)； (3)为了吸收频率分别为120Hz和200Hz的声波，相应的两种微孔横截面积之比应为多少? 【答案】（1）  （2）   （3） 【详解】(1)由理想气体状态方程有            (1) 式中，P、V和T分别为空气的压强、体积和(绝对)温度，M和Mmol分别为空气总质量和；摩尔质量．由(1)式得空气密度为 在标准状态下(以下标“标”表示)有，                    (2) 理想气体的绝热过程满足 =常量 式中γ是热容比．对上式两边微分得                     (3) 由(3)式可得，空气的体积弹性模量为                    (4) 声波在空气中的传播速度为 在标准状态下有                    (5) (2)细管内的空气柱的质量为                        (6) 细管中的空气柱的运动是由外界压力与容器内的压力之差所引起的.设这部分空气柱运动的位移为x(向外为正)，容器内的空气体积的改变为                      (7) 容器内气体压力的变化满足绝热过程，由(3)式有                    (8) 相应地，对于细管内运动着的空气柱的作用力为               (9) 从而，细管内空气柱的运动方程可写为                     (10) (10)式可写成                      (11) 这是简谐振动的方程，o是简谐振动的圆频率                 (12) 将代入(10)式得，所述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率为               (13) 上式最后一步利用了单个微孔后的空气腔体体积为. (3)按题设，两种需要通过所述亥姆霍兹共振器吸收声波的频率和之比为                   (14) 由(13)式可得 ，                  (15) 式中，S1和S2是相应的上述亥姆霍兹共振器的微孔的横截面积.由(15)式有                         (16) 即                   (17) 19．学过单摆的周期公式以后，物理兴趣小组的同学们对钟摆产生了兴趣，老师建议他们先研究用厚度和质量分布均匀的方木板（如一把米尺）做成的摆（这种摆被称为复摆），如图所示．让其在竖直平面内做小角度摆动，C点为重心，板长为L，周期用T表示． 甲同学猜想：复摆的摆长应该是悬点到重心的距离． 乙同学猜想：复摆的摆长应该大于． 为了研究以上猜想是否正确，同学们进行了下面的实验探究：用T0表示板长为L的复摆看成摆长为单摆的周期计算值（），用T表示板长为L复摆的实际周期测量值．计算与测量的数据如下表： 板长L/cm 25 50 80 100 120 150 周期计算值T0/s 0.70 1.00 1.27 1.41 1.55 1.73 周期测量值T/s 0.81 1.16 1.47 1.64 1.80 2.01 由上表可知，复摆的等效摆长 （选填“大于”、“小于”或“等于”）． 同学们对数据进行处理，进一步定量研究可得复摆的等效摆长 L等＝ L（结果保留二位有效数字）． 【答案】 大于 0.67 【详解】[1]根据单摆周期公式，摆长越大，周期越大；复摆的实际周期大于用 代入周期公式得到的计算值；说明复摆的等效摆长大于； [2]用描点作图法对数据进行处理，绘出图象如图： 由图象斜率可求得：，则由， 得：，则L等＝0.67L 20．一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为和．现让一长为L、密度为的均匀木棍，竖直地放在上面液体内，其下端离两液体分界面的距离为3L/4，由静止开始下落．试计算木棍到达最低处所需的时间．假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，既未露出液面，也未与容器相碰． 【答案】 【详解】1．用S表示木棍的横截面积，从静止开始到其下端到达两液体交界面为止，在这过程中，木棍受向下的重力和向上的浮力．由牛顿第二定律可知，其下落的加速度为． 用表示所需的时间，则， 由此解得． 2．木棍下端开始进入下面液体后，用表示木棍在上面液体中的长度，这时木棍所受重力不变，仍为，但浮力变为，当时，浮力小于重力；当时，浮力大于重力，可见有一个合力为零的平衡位置．用表示在此平衡位置时，木棍在上面液体中的长度，则此时有 ， 由此可得． 即木棍的中点处于两液体交界处时，木棍处于平衡状态，取一坐标系，其原点位于交界面上，竖直方向为z轴，向上为正，则当木棍中点的坐标时，木棍所受合力为零，当中点坐标为z时，所受合力为 式中． 这时木棍的运动方程为 为沿z方向的加速度为 所以，． 由此可知为简谐振动，其周期为． 为了求木棍同时．在两种液体中运动的时间，先求振动的振幅A．木棍下端刚进入下面液体时，其速度为 由机械能守恒可知， 式中为此时木棍中心距坐标原点的距离． 由上述各式可得A=L． 由此可知，从木棍下端开始进入下面液体到棍中心到达坐标原点所走的距离是振幅的一半，从参考圆（如图所示）上可知，对应的为30°，对应的时间为，因此木棍从下端开始进入下面液体到上端进入下面液体所用的时间，即棍中心从到所用的时间为 3．从木棍全部浸入下面液体开始，受力情况的分析和1中类似，只是浮力大于重力，所以做匀减速运动，加速度的数值与一样，其过程和1中情况相反地对称，所用时间． 4．总时间为． 【点睛】本题是一个多过程的运动模型，其中包含了一个不完整的谐振动过程．将一个不完整的谐振动过程嵌入一个多过程的复杂运动中，这种模型在物理竞赛中较为常见，虽然产生这种运动的模型各有不同，但对于不完整的谐振动部分的研究思路基本上是一致的，即通过运动的位置与速度来确定其相位，通过参考圆或其他方式来确定运动的时间． 21．一弹簧振子，弹簧劲度系数为k＝25N/m，当物体以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答： （1）振幅是多大？ （2）位移是多大时，势能和动能相等？ （3）位移是振幅的一半时，势能多大？ 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）振幅 （2）当时， 解得 （3）当位移时振幅的一半时，有 22．一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出： （1）原点的振动表达式； （2）波动表达式； （3）同一时刻相距的两点之间的位相差。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）由附图可知，设原点处的振动方程为 则时，由，可知其初相位为 则时，由，可知其相位为 解得 则原点的振动表达式为 （2）因沿轴负方向传播，波速，故波动表达式为 （3）波长 同一时刻相距的两点之间的位相差 23．一个平面简谐波沿x轴负方向传播，波速ｕ=10m/s。x=0处，质点振动曲线如图所示，则该波的表式为（    ） A．m B．m C．m D．m 【答案】B 【详解】由O点的振动曲线可知，周期，振幅，对应波长为 在x=0处，时，则有 ， 解得 由于波沿x轴负向传播，故波动表达式为 故选B。 24．在压强为的气体中有一单色平面纵波。定义声压是某一处压强对此处大气压强的偏离，声强很小时可认为，其中c是气体中声波传播的速度。 （1.1）求出上述单色平面纵波各处声压。 （1.2）一质量为，半径为的小球球心在声压场处，求其受力，然后取近似，重解此问。 （1.3）在高频振荡情形下证明小球作谐振运动。 （1.4）求一周期内球收到的平均作用力F，并说明在什么地方存在稳定平衡。 （1.5）现在将系统置于重力场中，求小球的平衡条件。 【答案】（1.1）；（1.2），；（1.3）见解析；（1.4）， 其中n为任意整数；（1.5） 【详解】显然我们有 于是我们得到 考虑如下球坐标的积分 完成这个积分，并考虑题目做给的近似后可以得到 这本质上是一个快速交变场的问题。大家可以阅读朗道力学做进一步的学习。此类问题的处理方法都是套路化的。 我们考虑小球的坐标为 一个经典套路便在于将小球的坐标先验地写成两个部分 其中是主体部分，满足。同时有的频率远大于，而这一系列假设的合理性会在之后承认此假设下计算出的结果的自洽性中体现出。（所以这的确是循环论证TT） 我们先考虑频率较高的那一部分的运动方程 于是我们可以得到 我们再次带入牛顿第二定律，并对时间取平均值，认为在一个的周期内，几乎不变。保留常数后可以得到： 稳定平衡的条件 于是我们得到 其中n为任意整数。 直接带入前面几个小文的结论即可 于是我们可以轻松得到 25．一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动； （2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）如图，为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 ① 式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度（规定小圆柱在最低点时=0）与θ之间的关系为 ② 由②式得，a与θ的关系为 ③ 考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得 ④ 式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量 ⑤ 由①②③④⑤式及小角近似 得 由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 （2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，和分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置==0）。对于小圆柱，由转动定理得 对于圆筒，同理有 由⑨⑩式得 设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角θ，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有 由⑿式得 设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得 由⑿式得 由⑾⒀⒁⒂式及小角近似，得 由⒃式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $