电磁学篇 专题03 磁场（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

电磁学篇 专题03 磁场 1．图中实线所示的闭合回路ABCDA中，通有电流10 A，两弧的半径均为，且，求：O点处的磁感强度B。（） 2．关于磁场的高斯定理的积分形式为 ，其物理含义为 。 3．如图所示，半径R＝1.0cm的无限长圆柱形金属薄片中，沿长度方向有均匀分布的电流I＝10.0A通过。试求圆柱轴线上任意一点的磁感应强度。 4．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝。当导线中的电流I为2.0A时，测得铁环内的磁感应强度的大小B为1.0T，则可求得铁环的相对磁导率为（　　） A． B． C． D．63.3 5．两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R =2r，螺线管通过的电流相同为I，螺线管中的磁感强度大小BR 、Br满足（　　） A． B． C． D． 6．已知真空中电流分布如图所示，两半圆共面，且具有公共圆心O，试求O点处的磁感应强度。 7．面积为S和3S的两圆线圈1、2如图所示放置，通有相同的电流I。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用表示，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 8．有一个圆环（甜甜圈），截面的圆心到圆环的轴线的距离为，截面的半径为，圆环内均匀分布着总量为的电荷。圆环以角速度绕着轴线旋转。求轴线附近的磁感应强度，用柱坐标表示，精确到的一阶和的二阶。 9．如图所示，一长直圆柱形导线沿水平方向固定放置，导线中均匀通有恒定电流， 导线的半径为。导线旁有一个放置在光滑水平桌面上的矩形线圈，线圈质量为 m，边长分别为a、b（b>a），线圈中通有恒定电流i。圆柱形导线的轴线 与矩形线圈共面，并且与线圈的长边平行。 （1）不考虑矩形线圈中电流i产生的磁场， 试计算：距轴线为 处， 电流产生的磁感应强度； （2）若开始时矩形线圈的边距导线轴线为，此时将线圈由图示位置静止释放，则线圈会受到安培力的作用而运动，试求：边距轴线 为时线圈的速度大小。（已知 ） 10．有一种电流天平的主要结构包括螺线管、横梁（含U型电路）、直流电源、滑动变阻器及电流表等，其构造示意图如图所示。螺线管水平放置，横梁可绕固定在螺线管端口且垂直螺线管轴线的水平轴OO'摆动（水平轴OO'在横梁的中间，不挂重物m时横梁处于水平位置保持平衡，包括U型电路在内的横梁的重心位于OO'的正下方附近），摆动过程中OO'轴处的摩擦可忽略不计，U型电路通过导电的转轴与接线柱a、b相连，且一直在螺线管内。在横梁左端悬挂一定质量的物体，当螺线管中通以电流I、U型电路中通以电流I2时，可使横梁水平平衡。 （1）请简述这种电流天平测量质量的原理。 （2）为提高这种电流天平的灵敏度，可以从哪些方面进行改进。 11．1911年，昂尼斯发现在低温下有些金属失去电阻而变成超导体。30年后，迈斯纳证明超导体内磁感应强度为零。如果增大超导体环的绕组的电流，则可使H达到临界值HC。这时金属变成常态，磁化强度几乎为零。 （1）在H = 0到H = 2HC的范围内，画出作为H的函数的关系曲线图； （2）在H的上述变化范围内，画出磁化面电流密度j′作为H的函数的关系曲线图； （3）超导体是顺磁的、抗磁的还是铁磁的？ 12．如图所示，一半径为R的平面圆形线圈中载有电流I1，另无限长直导线AC中载有电流I2，设AC通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内，求圆形线圈所受的磁力。 13．如图所示，两正电荷q1，q2相距为a时，其速度各为和，且，指向q1，求q1对q2和q2对q1的电磁场力是多少？ 14．无限长细导线中的晶格和自由电子是均匀分布的，静止时它们的线电荷密度为。今让导线中的自由电子都以恒定速度u沿导线流动，此时导线周围的磁场和电场大小的比值为？（　　） A． B． C． D． 15．真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比=。当它们通以相同电流时，求两螺线管贮存的磁能之比。 16．求下图各图中P点的磁感应强度B的大小和方向。    17．假设磁单极子（点磁荷）的磁场满足所谓的磁荷库仑定律，即 其中为真空磁导率，是场点相对于该磁荷所在处的位矢．通常的电磁学理论认为磁单极子不存在，且迄今为止实验上也没有发现磁单极子．1931年，狄拉克提出了一个模型，该模型构造了一根由无数个首尾相接的（磁荷）磁偶极子组成的弦（即狄拉克弦），该弦从一个端点延伸至无限远，如图a左图所示．若将每一个小磁偶极子等效为一个小电流环，则整个狄拉克弦等效为截面相同、均匀密绕的半无限长极细通电螺线管，如图a右图所示．这种等效意味着狄拉克弦上的微元磁偶极矩与螺线管轴线上相应线元的微元磁矩相等，即（见图a）．在这种图像下，螺线管端点处也等效存在一个“磁单极子”，这样引入的磁单极子遵循通常的电磁学规律．以下引入矢势来讨论狄拉克弦及相关问题． 按通常的电磁学理论，磁感应强度的通量可表示为矢势的环量，即 其中为曲面的边界环路．磁矩为的小电流环所激发的矢势为 其中是场点相对于电流环所在处的位矢。 (1)如图b,与狄拉克弦等效的极细通电螺线管端点的磁荷为,从原点沿负轴伸向无穷远。 （i）导出此螺线管在位置处的矢势的表达式。 提示：任意常数。 （ii）对于图中以轴为轴线、球坐标固定的有向圆形环路,请先计算矢势的环量，再按磁荷库仑定律计算点磁荷的磁场通过以圆环为边界的圆面的通量（面元法向沿轴正向，且与环路绕向成右手螺旋关系。不考虑情形），并比较与的异同（如有差异，请分析差异的来源） (2)从原点沿负轴延伸的、与狄拉克弦等效的极细通电螺线管中，其电流为低频交变电流，已知螺线管的横截面积为,单位长度匝数为． （i）求原点处的等效磁荷。 （ii）将一单位长度电阻为的导线弯成正三角形回路，其边长为。该三角形位于的平面上，螺线管穿过其中心，如图c所示。求此三角形回路的平均热功率。不考虑辐射以及三角形回路的自感。 提示：可考虑正三角形对所张的立体角． (3)阿哈罗诺夫玻姆效应（即效应）的实验证明：即使在磁感应强度为零的区域，也可能会因为出现磁效应．它揭示了磁矢势的物理意义．用自由电子双缝干涉实验可验证效应．在该实验中，双缝（缝宽很小）与屏之间的距离为,双缝间距为；一根无限长的极细直螺线管垂直放置于电子经过双缝后的路径之间，其单位长度匝数为，横截面积为,如图d所示．电子源发出的自由电子的动量大小为、电荷为,若螺线管中的电流从0变化到，求中心亮条纹在屏上移动的距离．已知动量为的电子在矢势场中的波矢为,其中为约化普朗克常量． 18．一半径为的无限长载流圆柱型导线内通有电流，电流沿轴向、在截面上均匀分布。 （1）求产生的磁感应强度大小在空间的分布； （2）今距离此圆柱d处有一长度为L的载流细棒ab，棒内通有电流，ab与圆柱垂直且与其对称轴共面（如图），求此棒受到的总的安培力大小和方向。 19．某电磁轨道炮的简化模型如图所示，两圆柱形固定导轨相互平行，其对称轴所在平面与水平面的夹角为，两导轨的长均为L、半径均为b、每单位长度的电阻均为，两导轨之间的最近距离为 d（d 很小）。一质量为m（m较小）的金属弹丸（可视为薄片）置于两导轨之间，弹丸直径为 d、电阻为R，与导轨保持良好接触。两导轨下端横截面共面，下端（通过两根与相应导轨同轴的、较长的硬导线）与一电流为I的理想恒流源（恒流源内部的能量损耗可不计）相连。不考虑空气阻力和摩擦阻力，重力加速度大小为g，真空磁导率为。考虑一弹丸自导轨下端从静止开始被磁场加速直至射出的过程。 （1）求弹丸的出射速度； （2）在 = 0°的条件下，若导轨和弹丸的电阻均可忽略，直接写出弹丸出射时的动能与理想恒流源所做的功之比。 20．空间中距坐标原点处有一质量为，带电量为q的质点，空间中存在均匀的磁场B，且存在以O为圆心电荷密度为半径为的球形区域。 （1）求空间中的电势及电场分布（忽略点电荷q的影响）。 （2）试证明为运动中的守恒量，并求出的值。 （3）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，试求质点所能达到的最远距离及最近距离，，在本题中，认为质点始终不超过半径为的球形区域。 （4）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，且，试求极坐标下粒子的位置随时间的关系， 认为质点始终没有进入半径为R的球形区域。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 电磁学篇 专题03 磁场 1．图中实线所示的闭合回路ABCDA中，通有电流10 A，两弧的半径均为，且，求：O点处的磁感强度B。（） 【答案】，方向垂直纸面向外 【详解】AD、BC两直线段电流在O点处产生的磁场                                      AB、CD两圆弧段电流在O点处产生的磁场                                                                方向垂直纸面向外。 2．关于磁场的高斯定理的积分形式为 ，其物理含义为 。 【答案】 表明磁场是一种无源场，任何一个磁场矢量的总收入（即磁通量的总和）等于该磁场矢量离开所在区域的总产出（即磁智的总和）。 【详解】[1]磁场的高斯定理的积分形式为 [2]物理含义为：表明磁场是一种无源场，任何一个磁场矢量的总收入（即磁通量的总和）等于该磁场矢量离开所在区域的总产出（即磁智的总和）。 3．如图所示，半径R＝1.0cm的无限长圆柱形金属薄片中，沿长度方向有均匀分布的电流I＝10.0A通过。试求圆柱轴线上任意一点的磁感应强度。 【答案】，＝225°，为与x轴正向的夹角 【详解】取dl段，其中电流为 在轴线上任一点P 选坐标如图 方向 为与x轴正向的夹角。 4．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝。当导线中的电流I为2.0A时，测得铁环内的磁感应强度的大小B为1.0T，则可求得铁环的相对磁导率为（　　） A． B． C． D．63.3 【答案】B 【详解】由 可得 故选B。 5．两根长度相同的细导线分别多层密绕在半径为R 和r 的两个长直圆筒上形成两个螺线管，两个螺线管的长度相同，R =2r，螺线管通过的电流相同为I，螺线管中的磁感强度大小BR 、Br满足（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在两个通过电流相同的螺线管中，磁感强度大小与螺线管单位长度的匝数成正比 用两根长度相同的细导线绕城的两个螺线管，单位长度上的匝数比 故螺线管中的磁感强度大小比 故选C。 6．已知真空中电流分布如图所示，两半圆共面，且具有公共圆心O，试求O点处的磁感应强度。 【答案】，方向垂直于纸面向里 【详解】考虑到两直线段电流对磁场的贡献为零，仅计算两个半圆弧电流在O点的磁感应强度即可。先由毕-萨定律求出（或直接写出）半径为R的半圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度 B的方向与电流绕行方向满足右手螺旋。因此，两个通以相反方向电流的半圆弧在O点产生的合磁场 方向垂直于纸面向里。 7．面积为S和3S的两圆线圈1、2如图所示放置，通有相同的电流I。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用表示，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，其中M为互感系数，I为电流强度，两环相对位置一样，同轴放置，电流强度相同，互感系数相同，磁通量也相同。 故选B。 8．有一个圆环（甜甜圈），截面的圆心到圆环的轴线的距离为，截面的半径为，圆环内均匀分布着总量为的电荷。圆环以角速度绕着轴线旋转。求轴线附近的磁感应强度，用柱坐标表示，精确到的一阶和的二阶。 【答案】 【详解】容易得到半径为的电流环轴线上的磁感应强度 将整个圆环分解为多个电流环，每个电流环的位置由圆环截面上的极坐标给出，如图[fig:电流环元]所示，写出每个电流环元对轴线上磁场的贡献，而后积分得 整理得 由于积分号前有因子，而对的积分限是一阶量，因此若要保证最终有的二阶量，积分号内至少要展开至的三阶量. 展开后，丢弃掉对积分后等于零的项，得到 将积分积出，得到 在轴线上偏离轴线位置处的磁场的分量显然不包含的一阶项，而对的一阶项可由静磁场Gauss定理易得 9．如图所示，一长直圆柱形导线沿水平方向固定放置，导线中均匀通有恒定电流， 导线的半径为。导线旁有一个放置在光滑水平桌面上的矩形线圈，线圈质量为 m，边长分别为a、b（b>a），线圈中通有恒定电流i。圆柱形导线的轴线 与矩形线圈共面，并且与线圈的长边平行。 （1）不考虑矩形线圈中电流i产生的磁场， 试计算：距轴线为 处， 电流产生的磁感应强度； （2）若开始时矩形线圈的边距导线轴线为，此时将线圈由图示位置静止释放，则线圈会受到安培力的作用而运动，试求：边距轴线 为时线圈的速度大小。（已知 ） 【答案】（1），；（2） 【详解】（1）取一与导线垂直，半径为r为的圆形环路L，其圆心位于轴线上，由安培环路定理有 可求得 ， （2）矩形线圈在电流I产生的磁场中受到安培力，其中AD、BC边受到的安培力抵消，而AB（CD）边在距离导线轴线为r时，受到的安培力方向向右（向左），大小为 线圈受到的合力向右，从AB边距离轴线为到距离为，作用在AB边的安培力做功为 线圈作用在CD边的安培力做功为 则安培力做的总功为 边距轴线 为时线圈的速度大小v，其动能等于安培力做的总功，即 解得 10．有一种电流天平的主要结构包括螺线管、横梁（含U型电路）、直流电源、滑动变阻器及电流表等，其构造示意图如图所示。螺线管水平放置，横梁可绕固定在螺线管端口且垂直螺线管轴线的水平轴OO'摆动（水平轴OO'在横梁的中间，不挂重物m时横梁处于水平位置保持平衡，包括U型电路在内的横梁的重心位于OO'的正下方附近），摆动过程中OO'轴处的摩擦可忽略不计，U型电路通过导电的转轴与接线柱a、b相连，且一直在螺线管内。在横梁左端悬挂一定质量的物体，当螺线管中通以电流I、U型电路中通以电流I2时，可使横梁水平平衡。 （1）请简述这种电流天平测量质量的原理。 （2）为提高这种电流天平的灵敏度，可以从哪些方面进行改进。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）因为维持横梁平衡，就需要对U型电路的右侧cd边施加一定的安培力，而在装置一定的条件下，此安培力的大小由通过U型电路的电流大小和螺线管产生的磁场强弱决定，螺线管的磁场又由通过其电流的大小决定。因此，可以利用通过U型电路或通过螺线管的电流大小来表示cd边所受安培力的大小，即表示横梁左侧所挂物体质量的大小。 （2）增加横梁的长度；调整转轴的位置，使横梁的重心与转轴距离靠近；增加螺线管线圈的匝数；在利用大小表示质量大小的情况下增大电流；在利用大小表示质量大小的情况下增大电流等。 11．1911年，昂尼斯发现在低温下有些金属失去电阻而变成超导体。30年后，迈斯纳证明超导体内磁感应强度为零。如果增大超导体环的绕组的电流，则可使H达到临界值HC。这时金属变成常态，磁化强度几乎为零。 （1）在H = 0到H = 2HC的范围内，画出作为H的函数的关系曲线图； （2）在H的上述变化范围内，画出磁化面电流密度j′作为H的函数的关系曲线图； （3）超导体是顺磁的、抗磁的还是铁磁的？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）抗磁 【详解】（1）磁感应强 磁化强度 则在H = 0到H = 2HC的范围内，—H的函数的关系曲线图如下 （2）磁化面电流密度 则在H的上述变化范围内，磁化面电流密度j′—H的函数的关系曲线图如下 （3）由于 B ≤ μ0H = B0B且随H变化，即μr在0 ~ 1之间变化超导体是非线性的抗磁体。 12．如图所示，一半径为R的平面圆形线圈中载有电流I1，另无限长直导线AC中载有电流I2，设AC通过圆心，并和圆形线圈在同一平面内，求圆形线圈所受的磁力。 【答案】，向右 【详解】直导线产生的磁场方向见图 大小为 由 知右半圆上各电流元受径向向外的磁力，左半圆上各电流元受径向向内的磁力。由对称性 向右。 13．如图所示，两正电荷q1，q2相距为a时，其速度各为和，且，指向q1，求q1对q2和q2对q1的电磁场力是多少？ 【答案】q2对q1，向上；q1对q2，与夹角 【详解】运动点电荷的电流为 电流元为 所以，运动点电荷的磁场为 q1在q2处产生的磁场向外 而，所以，q2在q1处产生的磁场 B2=0 q1对q2 （向右） 向下 与夹角 q2对q1 向上 14．无限长细导线中的晶格和自由电子是均匀分布的，静止时它们的线电荷密度为。今让导线中的自由电子都以恒定速度u沿导线流动，此时导线周围的磁场和电场大小的比值为？（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正离子晶格电场 电子的电荷线密度为，产生的电场为 因此总电场 电子产生的磁场 因此 故选C。 15．真空中两只长直螺线管1和2，长度相等，单层密绕匝数相同，直径之比=。当它们通以相同电流时，求两螺线管贮存的磁能之比。 【答案】 【详解】长直螺线管内磁感应强度 能量密度公式 贮存的磁能 则两螺线管贮存的磁能之比 16．求下图各图中P点的磁感应强度B的大小和方向。    【答案】，方向垂直纸面向外；，方向垂直纸面向里；，方向垂直纸面向里。 【详解】图1中水平段电流在P点不产生磁场，竖直段电流是一“半无限长”直电流，我、它在P点的磁感应强度为 方向垂直纸面向外。 图2中两直电流在P点的磁场相当于两个“半无限长”直电流磁场的叠加，等于一个无限长直电流在相距处的磁场，为；半圆电流在P点的磁场为圆电流在圆心处的磁场的一半，即。在P点的总磁场为上述同向磁场的叠加，其大小为 方向垂直纸面向里。 图3中P点到每一边的距离为，P点的磁感应强度是三边电流产生的同向磁感应强度的叠加，为 方向垂直纸面向里。 17．假设磁单极子（点磁荷）的磁场满足所谓的磁荷库仑定律，即 其中为真空磁导率，是场点相对于该磁荷所在处的位矢．通常的电磁学理论认为磁单极子不存在，且迄今为止实验上也没有发现磁单极子．1931年，狄拉克提出了一个模型，该模型构造了一根由无数个首尾相接的（磁荷）磁偶极子组成的弦（即狄拉克弦），该弦从一个端点延伸至无限远，如图a左图所示．若将每一个小磁偶极子等效为一个小电流环，则整个狄拉克弦等效为截面相同、均匀密绕的半无限长极细通电螺线管，如图a右图所示．这种等效意味着狄拉克弦上的微元磁偶极矩与螺线管轴线上相应线元的微元磁矩相等，即（见图a）．在这种图像下，螺线管端点处也等效存在一个“磁单极子”，这样引入的磁单极子遵循通常的电磁学规律．以下引入矢势来讨论狄拉克弦及相关问题． 按通常的电磁学理论，磁感应强度的通量可表示为矢势的环量，即 其中为曲面的边界环路．磁矩为的小电流环所激发的矢势为 其中是场点相对于电流环所在处的位矢。 (1)如图b,与狄拉克弦等效的极细通电螺线管端点的磁荷为,从原点沿负轴伸向无穷远。 （i）导出此螺线管在位置处的矢势的表达式。 提示：任意常数。 （ii）对于图中以轴为轴线、球坐标固定的有向圆形环路,请先计算矢势的环量，再按磁荷库仑定律计算点磁荷的磁场通过以圆环为边界的圆面的通量（面元法向沿轴正向，且与环路绕向成右手螺旋关系。不考虑情形），并比较与的异同（如有差异，请分析差异的来源） (2)从原点沿负轴延伸的、与狄拉克弦等效的极细通电螺线管中，其电流为低频交变电流，已知螺线管的横截面积为,单位长度匝数为． （i）求原点处的等效磁荷。 （ii）将一单位长度电阻为的导线弯成正三角形回路，其边长为。该三角形位于的平面上，螺线管穿过其中心，如图c所示。求此三角形回路的平均热功率。不考虑辐射以及三角形回路的自感。 提示：可考虑正三角形对所张的立体角． (3)阿哈罗诺夫玻姆效应（即效应）的实验证明：即使在磁感应强度为零的区域，也可能会因为出现磁效应．它揭示了磁矢势的物理意义．用自由电子双缝干涉实验可验证效应．在该实验中，双缝（缝宽很小）与屏之间的距离为,双缝间距为；一根无限长的极细直螺线管垂直放置于电子经过双缝后的路径之间，其单位长度匝数为，横截面积为,如图d所示．电子源发出的自由电子的动量大小为、电荷为,若螺线管中的电流从0变化到，求中心亮条纹在屏上移动的距离．已知动量为的电子在矢势场中的波矢为,其中为约化普朗克常量． 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）（i）如题解图a，按照题给条件有，其中． 狄拉克弦在空间处产生的矢量势，可认为是尾（S极）首（N极）相连的无穷多个小磁矩在题解图a中处产生的矢量势叠加，于是有 题解图a                 ① 其中             ② 将②式代入①式并化简得             ③ 利用题给不定积分公式任意常数 对③式积分得 ④ 其等价形式有 附注：如上的表达式在时无定义． （ii）1．关于环量的求解： 在题解图a的有向圆形环路上取线元                 ⑤ 利用④⑤式，可得             ⑥ 故的环量为             ⑦ 2．关于通量的求解： 解法一：将圆面划分为半径为的环带，其面元为 按磁荷库仑定律，磁荷的磁场通过面元的通量微元为             ⑧ 其中矢量为面元上某点相对于磁荷所在处的位矢，． 当时，通量 故有                ⑩ 解法二：以有向环路为边界、穿过正轴的曲面（可以是球面的一部分）对磁荷所在处所张的立体角为                 ⑧＇ 当时，根据磁荷库仑定律所对应的“高斯定理”及磁荷激发磁场的球对称性，磁荷的磁场通过圆面的通量             ⑨＇ 其中圆面对磁荷所在处所张的立体角为 将⑧＇代入上式，并进一步代入⑨＇式，得             ⑩＇ 3．关于与的比较： 比较⑦和⑩式可知： 当时， 当时，                ⑪ 计算时两者之差得                 ⑫ ⑫式中的差值对应于圆面所穿过的螺线管内部贡献的磁通             ⑬ 其中是螺线管沿轴线的一段线元，是上（沿方向）的微元磁矩． 附注： （1）设螺线管单位长度匝数为、横截面积为、电流为，则 而螺线管内磁场为，因此有螺线管内磁通 （2）④式计算的是按照通常的电磁学理论得到的半无限长螺线管的磁矢势，故对应于半无限长螺线管磁场对圆环所包围的平面的磁通，而等效磁荷按照磁荷库仑定律所激发的场仅适用于螺线管外部，其在（极细）螺线管内部贡献的磁通为零，故当时 （2）（i）由⑬式得（或由）                 ⑭ （ii）可以判断的位置正好为以正三角形为底面的正四面体的中心． 以到三角形顶点距离为半径，为球心，作球面，即正四面体的外接球，通过球面的磁通量即通过正三棱锥的磁通量，若取沿轴向上的磁通为正，由对称性可知通过该三角面的磁通为                 ⑮ 因为狄拉克弦穿过三角平面，通过三角平面的磁通不仅有磁荷的磁通，而且还包含了螺线管部分的磁通，即             ⑯ 感应电动势为                 ⑰ 感应电流为             ⑱ 利用⑰⑱式，一个周期内的平均热功率为 ⑲ （3）动量为的电子在矢势场中的波矢为 两束电子波函数分别经过路径到达屏上某点的位相差为： ⑳ 其中为所围成的回路。 螺线管通电后出现导致的位相差变化为：    ㉑ 未接通电流时，电子从双缝形成的两束波在屏上亮条纹位置满足相干增强条件             ㉒ 设屏上的级亮条纹位置与双缝中轴线的距离为，则有             ㉓ 通有电流时，相干增强条件条件变为             ㉔级明纹位置变为：                 ㉕ （中心）亮纹的移动距离为                 ㉖ 18．一半径为的无限长载流圆柱型导线内通有电流，电流沿轴向、在截面上均匀分布。 （1）求产生的磁感应强度大小在空间的分布； （2）今距离此圆柱d处有一长度为L的载流细棒ab，棒内通有电流，ab与圆柱垂直且与其对称轴共面（如图），求此棒受到的总的安培力大小和方向。 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）本题电流分布具有轴对称性，可用安培环路定理来求解。选半径为r的圆周为积分回路，令其圆面圆柱型导线轴线垂直，设圆周上的磁场为B，根据安培环路定理，则有 当（即场点位于导体内）时，回路所包含的电流 将之代入公式，得柱内磁场 当（即场点位于导体外）时，回路所包含的电流 将之代入公式，得柱外磁场 当（即场点位于柱面）时，回路所包含的电流，将之代入公式，得柱面磁场 （2）直导线ab所在处磁场为非匀强磁场，所以设在导线ab上距离圆柱型导线轴线处取电流元，该处磁感应强度大小为 方向垂直于纸面向里，则电流元所受安培力大小为 方向垂直于导线ab沿纸面向上，所以整个导线所受安培力为 方向垂直于导线ab沿纸面向上。 19．某电磁轨道炮的简化模型如图所示，两圆柱形固定导轨相互平行，其对称轴所在平面与水平面的夹角为，两导轨的长均为L、半径均为b、每单位长度的电阻均为，两导轨之间的最近距离为 d（d 很小）。一质量为m（m较小）的金属弹丸（可视为薄片）置于两导轨之间，弹丸直径为 d、电阻为R，与导轨保持良好接触。两导轨下端横截面共面，下端（通过两根与相应导轨同轴的、较长的硬导线）与一电流为I的理想恒流源（恒流源内部的能量损耗可不计）相连。不考虑空气阻力和摩擦阻力，重力加速度大小为g，真空磁导率为。考虑一弹丸自导轨下端从静止开始被磁场加速直至射出的过程。 （1）求弹丸的出射速度； （2）在 = 0°的条件下，若导轨和弹丸的电阻均可忽略，直接写出弹丸出射时的动能与理想恒流源所做的功之比。 【答案】（1），方向平行于导轨轴线斜向上；（2） 【详解】（1）由于弹丸直径d很小，每根载流导轨均可视为半无限长载流直导线，弹丸上离导轨轴线距离为r处的磁场额磁感应强度为 方向垂直于两导轨对称轴所在斜面向下，弹丸长为dr的一段所受的安培力为 方向平行于导轨轴线斜向上，弹丸所受安培力大小为 解得 方向平行于导轨轴线斜向上，根据牛顿第二定律有 弹丸做匀加速直线运动，则有 解得 方向平行于导轨轴线斜向上。 （2）弹丸出射时的动能与理想恒流源所做的功之比为。 20．空间中距坐标原点处有一质量为，带电量为q的质点，空间中存在均匀的磁场B，且存在以O为圆心电荷密度为半径为的球形区域。 （1）求空间中的电势及电场分布（忽略点电荷q的影响）。 （2）试证明为运动中的守恒量，并求出的值。 （3）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，试求质点所能达到的最远距离及最近距离，，在本题中，认为质点始终不超过半径为的球形区域。 （4）将质点从处释放，释放时质点速度为0，若，且，试求极坐标下粒子的位置随时间的关系， 认为质点始终没有进入半径为R的球形区域。 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析，；（3）见解析；（4） 【详解】for for 所以 所以 ，其中 当然，由于没有规定正方向，你写也是可以的。 对于近点or远点 当的时候 当的时候 写出体系势能函数 作为一次尝试：我们将势能函数求导 再求一次求导 注意到 所以我们有 那么质点作简谐振动。 又考虑到 所以 显然，质点作滚轮线运动。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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