力学篇 专题03 运动定律（竞赛、强基计划培优精练）高中物理全国通用

力学篇 专题03 运动定律 1．一物体在水平粗糙地面上滑行，其所受地面的摩擦力Ff与运动速度v成正比。现测得该物体以初速度v0沿直线滑行的最大位移为x1，克服摩擦做的功为W1。若该物块以初速度2v0沿直线滑行，滑行的最大位移为x2，克服摩擦做的功为W2，则（   ） A．物体做加速度逐渐减小的减速运动 B．x2 = 2x1 C．x2 = 4x1 D．W2 = 2W1 【答案】AB 【详解】ABC．由于 Ff = kv 当物体速度减小，加速度减小，则把运动过程分成无数小段，把每一小段近似看作匀变速直线运动，有 ， 两边均对时间累计，则 解得 AB正确、C错误； D．由动能定理知 W = －Ek0∝v02 则 W2 = 4W1 D错误。 故选AB。 2．图中所示两物块叠放在一起，下面物块位于光滑水平桌面上，其质量为，上面物块的质量为，两物块之间的静摩擦系数为。现从静止出发对下面物块施以随时间变化的水平推力，为一常量，则从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于 ，此时物块的速度等于 。 【答案】 【解析】略 3．如图所示，为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量，顶端有一定滑轮，滑轮的质量及轴处的摩擦皆可不计。和是两个滑块，质量分别为，，由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连。开始时，设法抓住、和，使它们都处在静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直。今用一大小等于的水平推力作用于，并同时释放、和。若沿桌面向左滑行，其加速度，相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的）。试求与桌面间的摩擦因数。（图中，，已知，重力加速度。） 【答案】0.11 【详解】设、与、分别为、相对桌面的加速度的大小和相对的加速度的大小，设水平向右为轴的正方向，竖直向上为轴的正方向.因为开始时相对桌面静止，以后相对桌面无水平方向的位移，可知沿水平方向的分量为零.即 由此得 因为绳不可伸长，又是绷紧的，故有 它们的方向分别沿所在的斜面，如图8'-11所示.各分量的大小 由此得 ， ， 相对地面的各加速度的分量的大小为 对于由、和组成的系统，在水平方向受到的外力是桌面对的摩擦力，方向向右；推力，方向向左.根据动量定理 或 即 将有关数值代入得 系统在竖直方向受到的外力是：桌面作用于的弹力，方向竖直向上；各物体的重力，方向竖直向下.因此有 即 代入有关数值，得 故摩擦因数 本题是匀加速运动题与相对运动题的组合.主要考查学生对相对加速度的概念是否清楚 4．三块物体如图甲所示那样堆积，放在光滑的水平面上．1是长方形厚板，2和3是三角形劈，它们的质量分别为、和．1与2之间分界面A的静摩擦系数为，2与3之间分界面B的静摩擦系数为，分界面B与水平面倾斜成角。 (1)向右拉3，使它具有较小的加速度a，此时没有任何一个分界面发生滑动．求沿分界面B上的摩擦力的大小．对于每一个分界面，求实际摩擦力与最大静摩擦力之比． (2)现在逐渐增大3的加速度，直到使两个分界面中有一个发生滑动为止．试问：哪一个分界面先发生滑动，即在什么情况下分界面A先滑动？在什么情况下分界面B先滑动？ (3)重新从静止开始，向左推3，使它的加速度逐渐增大，直到发生滑动，试叙述此时的滑动情况． (4)假设种，．问：为何值，当向右拉3时，分界面B先发生滑动，又当向左拉3时，分界面A先发生滑动？ 【答案】(1) (2) 因此，在的情况下，分界面B将发生滑动．如果，即，则分界面A将先滑动；如果，即，则分界面B将先滑动． (3) 当时，分界面A先动   (4) 【详解】(1)按照题意三块物体相对静止，以共同的加速度a向右运动．首先可以得到沿分界面A上的静摩擦力 ． 对2进行受力分析（如图乙所示）． 根据牛顿第二定律，有 在水平方向上：； 在竖直方向上：． 由此得到 ， ． 于是． 因此； ． (2)对于1来说，它具有的最大加速度由最大静摩擦力决定．根据牛顿等二定律，有 ， 所以． 因此，在情况下，分界面A发生滑动． 对于2来说，它具有最大加速度必对应最大静摩擦力．这时，代入上面的式子中，有 ， ． 整理化简后为 ， ． 由此得到：． 因此，在的情况下，分界面B将发生滑动．现在比较和． 如果，即，则分界面A将先滑动； 如果，即，则分界面B将先滑动． (3)用代替，则当时，分界面A先动． (4)将，代入上述不等式中，有 ． 由此得到最小倾角的值为，但该倾角也不大于摩擦角，即在未对3施力的情况下，分界面B已开始滑动，于是，由此得到最大倾角的值，最后得到所求的倾角值应为：． 点睛  本例中各物体间的作用既有弹力，也有摩擦力，解答时不仅要隔离对象，还得分析出滑动出现的临界状态条件．涉及的对象多、信息多，而且计算量大，这正是这类试题的特点，它无疑属于较难的一类试题． 5．质量为，长为2l的均匀长木板静止在水平地面上，两者间摩擦因数，板的右端有一质量为m的小物块，从静止出发通过与木板的某种相互作用机制，相对木板以朝左的恒定加速度运动，其中，是一个不变的参数．小物块到达板中央后，立即改成以的反向加速度继续相对木板运动到左端停下，直到木板不再运动为止，计算木板在地面上朝右的总位移大小s． 【答案】 【详解】m从右端到M中央所经历的时间和从中央到左端所经历的时间同为 ． 全过程分四个阶段进行讨论． 第一阶段：m从右端到M中央． m受向左的力f，相对于地面的加速度为，M受向右的力f，相对于地面的加速度为，同时，M还受地面向左的摩擦力，于是可列下述方程： ，，． 将，，代入得 ． M右行的位移和右行的末速度分别为 ， ． 第二阶段：m从M中央减速左行，直到M相对地面速度减为零，此时m与M的相互作用力反向．于是有 ，，， 所以． 经过的时间． M右行的位移：． 第三阶段：m继续减速左行，直到M左端，其间M左行，同第一阶段相似，经时间，m到达左端，M的左行位移及左行速度分别为 ， ． 第四阶段：m停在M左端，f消失，M受向右的摩擦力，M与m一起向右的加速度为 ． 停止前，M又得左行一段位移，大小为 ． 综上所述，可以得到木板在地面上向右运动的总位移为 ． 点睛  对于涉及多过程的试题，一定要注意解题程序法的应用，一个过程一个过程地求解，抓住连接各过程的纽带——速度．总体来说，这类习题中的每个过程也许并不难，但若将各过程串接起来，由于涉及的信息量、计算量等增加，则必然导致其难度增加． 6．如图所示，在一根没有重力、长度为l的棒的中点与端点上分别固定了两个质量分别为m和M的小球，棒沿竖直轴用铰链连接，棒以角速度匀速转动，试求棒与竖直轴线间的夹角． 【答案】当，即时，； 当，即时，． 【详解】取随杆绕轴转动的坐标系为参考系，则m与M受到的惯性力分别为和，方向均垂直于转轴向外． 在该参考系内，w与M均是静止的，杆对于O点处于力矩平衡状态，于是有 ， 解得， 即． 讨论： 当，即时，． 当，即时，． 点睛  质点在转动的非惯性系中，其惯性力会因位置的变化而变化，或者说，如将惯性力等效为力场的话，其力场并不是恒定的，惯性力并不一定作用在物体的质心上． 本问题属于转动参考系的静平衡的问题．但这里的“平衡”是相对于圆形轨道而言的，这显然是非惯性系，这里的平衡也不是通常意义下的平衡，如果在旋转参考系中忽视了惯性离心力的存在，则解答肯定是徒劳无功的． 在本题中，如将两小球的质量均匀分布到杆上，其惯性力的作用点就不能取作杆的中点，读者可以试着对这一问题求解，便可体会到其中的奥妙所在． 7．如图所示，一个质量为m的小物体，放在半径为R的半球顶上，设半球面光滑，初始时它们之间相对静止。求在下列情况中物体m离开球面时，它距半球底面的距离。 （1）半球以的速度匀速上升； （2）半球以的加速度匀加速向右运动。 【答案】（1）；（2） 【详解】先讨论半球静止时的情况 小物体滑至图示位置时，设其速度为v，小物体与球面间的作用力为N，则由机械能守恒 由牛顿运动定律 小物体离开球面时的临界状态为 即，或者说，小物体滑至的位置时，离开球面。 （1）当半球以10m/s的速度匀速上升时，以半球为参考系，其情形与前面讨论的情况一致，所以，小物体滑至的位置时，离开球面；小物体距半球底面的距离 （2）在以半球为参照的参考系中，小物块还受到向左的惯性力的作用，此时系统等效于在一个 的力场中运动，球面的“顶”在图乙中的A处，如图所示 其满足 显然，物体只能向左滑下，当滑至角位置时，由机械能守恒 由牛顿运动定律 同样，小物体离开球面时的临界状态为 由此可解得 小物体距半球底面的距离尺 8．由于地球是一个近似做均匀转动的球体，所以是一个转动参考系．试确定：地球表面物体在水平面内运动时因受科里奥利力的作用而偏向何方？ 【答案】在北半球表面运动的物体将偏向右方，在南半球表面运动的物体将偏向左方． 【详解】地球转动角速度方向沿转轴方向自南极指向北极，再令物体在水平面内相对地球的运动速度为，写出物体所受的科里奥利力（科氏力） ， 式中为角速度在物体所在处的铅垂方向分量，为水平方向分量. 的方向必沿铅垂方向，不会改变物体运动方向；为科氏力的水平分量. 由于它在物体运动的水平面内且与垂直，因此可以改变物体运动的方向，但不能改变速度的大小. 如图所示，在北半球，方向向上，对于任意水平面内的速度，方向指向运动方向的右方；在 南半球，方向向下，科氏力的水平分量指向运动方向的左方. 因此，在北半球表面运动的物体将偏向右方，在南半球表面运动的物体将偏向左方. 在转动参照系中运动的物体，除了我们熟知的惯性离心力外，还受到科氏力的作用，这是转动参照系中特有的惯性力. 地球参照系中的科氏力也是竞赛中经常讨论问题. 本题题干用近乎模糊的表述，为我们全面论论这一问题提供了可能的空间. 本题对科氏力的论述应该是比较清晰的，特别是的处理方式，值得大家注意、研究. 当然，科氏力的应用选非只在地球参照系，各种转动参照系中都有可能，由此引起的物体对轨道的作用力及做功问题，是命题的热点. 9．—根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）．细杆与A在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示．已知：绳长为L，A点到杆的距离为h，绳能承受的最大张力为，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断．求细绳被拉直时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）． 【答案】      【详解】（1）珠子运动的轨迹 建立如图丙所示的坐标系，原点在过点的竖直线与细杆相交处，轴沿细杆向右，轴沿向下. 当珠子运动到点且绳子未断时，小环在处，垂直于轴，所以珠子的坐标为 ，. 由知，即有，得 .                ① 这是一个以轴为对称轴，顶点位于处，焦点与顶点的距离为的抛物线，如图丙所示，图中的，为焦点. （2）珠子在点的运动方程 因为忽略绳子的质量，所以可把与珠子接触的那一小段绳子看作是珠子的一部分，则珠子受的力有三个，一是重力；另外两个是两绳子对珠子的拉力，它们分别沿和方向，这两个拉力大小相等，皆用表示，则它们的舍力的大小为 ，                    ② 为点两边绳子之间夹角的一半，沿的角平分线方向. 因为是焦点至的连线，平行于轴，根据解析几何所述的抛物线性质可知，点的法线是的角平分线. 故合力的方向与点的法线一致. 由以上的论证，再根据牛顿运动定律和题中的注，珠子在点的运动方程（沿法线方向）应为 ， 即.③ 式中是点处轨道曲线的曲率半径；为珠子在处时速度的大小. 根据机械能守恒定律可得 .④ （3）.求曲率半径 当绳子断裂时，，由③式可见，如果我们能另想其他办法求得曲率半径与的关系，则就可能由③④两式求得绳子断裂时珠子的纵坐标. 现提出如下一种办法．做一条与小珠轨迹对于轴呈对称状态的抛物线，如图丁所示. 由此很容易想到这是一个从高处平抛物体的轨迹. 平抛运动是我们熟悉的，我们不仅知道其轨迹是抛物线，而且知道其受力情况及详细的运动学方程，这样我们可不必通过轨道方程而是运用力学原理分析其运动过程，即可求出与对称的点处抛物线的曲率半径与的关系，也就是处抛物线的曲率半径与的关系. 设从抛出至落地的时间为，则有. 由此解得 .⑤ 设物体在处的速度为，由机械能守恒定律可得 .⑥ 物体在处法线方向的运动方程为 ⑦ 式中即为处抛物线的曲率半径，从⑤⑥⑦式及，可求得. 这也等于点抛物线的曲率半径，，故得 ⑧ 4.求绳被拉断时小珠的位置和速度的大小 把④⑧式代入③式，可求得绳子的张力为 .⑨ 当时，绳子被拉断，设此时珠子位置的坐标为，由⑨式得. 代入①式，得. 绳子断开时，珠子速度的大小为. 10．在光滑水平板上放着一块质量为的板，板上叠放着一个斜面体和一个物体（如图所示），斜面体和物体的质量分别为和，斜面体斜面的倾角为．已知和之间的动摩擦因数为，和之间的动摩擦因数为，现用一个水平恒力F作用在上．问：F为多大时，三个物体可保持相对静止？ 【答案】（1）时，三物体不能保持相对静止 （2）时，F的范围是： （3），F的范围是： ，且当，亦即时，上述的（2）、（3）又变为： （4），F的范围是： （5），F的范围是： 【详解】当三个物体间无相对滑动时，将三个物体看作整体，有. 显然，要求作用力，即要求整体运动的加速度. 若、间无滑动，则要保证和间无滑动，则系统最大的加速度为， 即. 若、间无滑动，要保证和间无滑动，则系统存在两种极端情况，即刚好不下滑和刚好不上滑两种情况，下面先求出这两种情况所对应的加速度值. 以为参照系，不相对滑动，则的受力满足 ，            ① ，            ② 且.                ③ 整理上述三式可得 ，.    ④ 联立①④两式可得 ，且. 显然，要确定的取值范围，需要比较、、的大小，而是明显的，为了方便，我们不妨在数轴上说明其大小关系. 先设、在数轴上的位置如图乙所示，此时，即，亦即. （1）若，即，则三物体不能保持相对静止； （2）若，即，则的范围是 . （3）若，即，则的范围是 . 而当，即，亦即时，上述的（2）（3）又变为 （4），的范围是. （5），的范围是. 本题是一道多对象，多临界状态的试题. 这类试题的解答，需要答题者在多个条件下进行比较、筛选，难度都比较大. 在本题所含的临界状态分析中，不仅仅是摩擦力的临界问题，同时还包含了从结论的表达式中挖掘处隐含着的临界问题，如题中的取值范围的确定. 本题的解答采用了数轴划分区间的处理方式，体现了对数学知识运用的能力. 对于表达式类的结果，如果式中含有根式、正弦或余弦、对数、分式的分母中可能出现零的情况，都意味着我们应该对表达式产生的结果进行讨论，这里面既有临界问题的分析，更有状态质变的可能，这类情况普遍存在于各类试题中. 11．质量为M的珠子可以沿水平直杆无摩擦地滑动，如图甲所示．珠子上系有一根长为L的不可伸长的轻线．现拉线的自由端，使此端的速度总是沿线的方向且大小等于．当线的方向与杆成角时，应以多大的力拉线？（线总在水平面内） 【答案】． 【详解】线是不可伸长的，这使得在指定角时，珠子的速度与此相关．我们可用微元法求此时珠子的加速度：设经过一个十分短暂的时间后，珠子由原来的A点运动到点，速度由u变到，线与杆的夹角由增加到，线的另一端由B运动到，如图乙所示． 依题意，珠子在A点时的速度满足． 在点有， 整理得． 又，在中有，． 由正弦定理得． 因，所以，故． 对上述各式进行整理可得珠子的加速度为． 对珠子应用牛顿第二定律可得． 由此得． 12．用铰链固定的板上，离铰链距离R处放有小垫圈．水平放置的板在竖直面上突然开始以角速度绕铰链转动．问：当板与水平面倾斜成多大角时，小垫圈开始沿板下滑？（垫圈与板之间摩擦因数） 【答案】在情况下，当时，垫圈开始沿板滑动；在情况下，当时．垫圈开始沿板滑向铰链． 【详解】  如果把板的自由端放下，板开始剧烈转动，那么在开始转动时刻垫圈立即脱离板．所以我们将研究板的自由端升高时情况． 当使板具有足够大的角速度时垫圈立即开始沿板下滑．当角速度不是太大时，垫圈在一段时间内将相对板不动，这时做圆周运动，然后开始下滑． 垫圈受到重力、支持力N和静摩擦力f的作用（如图所示）．由于做圆周运动时垫圈加速度等于且指向铰链，有 ，． 垫圈相对板不动应该满足条件．因此，当时垫圈不会沿板滑动． 由此得出，在情况下，垫圈立即开始沿板滑动． 现在设，且，确定在什么条件下垫圈滑向铰链且不离开板． 1．如果开始满足条件，垫圈将滑向铰链．引入符号： ， 于是推导的条件可写成： ， 或者． 注意，由于，有，所以从某一个角值开始，所研究的条件将得到满足． 2．同理，如果，垫圈将可以离开铰链上滑． 该条件可以写成：，但是当时条件不满足． 综合所得结果，得出答案：在情况下，当时，垫圈开始沿板滑动；在情况下，当时．垫圈开始沿板滑向铰链． 13．如图所示，两平面镜OA、OB的镜面与纸面垂直，OB镜固定，OA镜绕垂直于纸面过O点的轴以角速度转动，当时，与O点相距为r，位于的角平分线上的一质点P正以速度v向着O点运动，求此刻质点P的各个像的运动轨迹的曲率半径． 【答案】，，其中．，其中． 【详解】P经OB成像于，经OA成像于，经OB成像于，经OA成像于，经OB成像于，经OA成像于，各像均有指向O的速度v，角速度如图乙中标出． 若某一质点在一以．转动的参考系中有径向向内的速度v，则在地面系中，有 ． 加速度由向心加速度和科氏加速度组成，则有． 矢量图解如图丙所示． ， 所以，其中． 分别令，即可得到各点的曲率半径． 所以，表示的运动是直线运动． ，其中． ，其中． 即， 14．水平台面上有一内壁光滑的细长管道，可绕台面上的小孔O在台面上旋转．一根劲度系数为k的弹性轻绳，下端固定在O孔正下方某处，上端位于O孔时，弹性绳恰好处于自由长度状态．让绳的上端连接质量为m的小球后进入管道，绳与小孔之间无摩擦，通过外力使管道以恒定的角速度旋转．在台面上设定极轴方向如图所示，时，小球位于，处，径向速度为． （1）试问：、取何值时，小球相对台面的运动轨道恰好是方程的对数螺线？ （2）当、取（1）问所求值时，试求管壁对小球的水平作用力N以及小球运动过程中的切向（并非横向）加速度以及各自随小球位置参量的变化关系． 【答案】（1），（2）， 【详解】  轨道方程：； 运动方程：，． 速度与加速度分布： ，， ， ． 1．由，得． 再由得． 2．由得． 由，得． 15．质量为m的子弹以速度水平射入沙土中。 设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力。 求： （1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式； （2）子弹进入沙土的最大深度。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）由牛顿第二定律可得 （2）速度时间关系可得 16．质量为m1的小滑块，沿一倾角为的光滑斜面滑下，斜面质量为m2，置于光滑的水平桌面上。设重力加速度为g，斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为 。 【答案】 【解析】略 17．一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为的水平面上，弹簧处在自然状态，小物块位于处。现用手将小物块向右移到处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左移动。（　　） A．小物块可能停在点 B．小物块停止以后所受的摩擦力必不为0 C．小物块无论停在点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反 D．小物块在通过点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处回到点的过程中，速度的大小总是增大 【答案】AC 【详解】解： AB、物体第一次向左运动过程，弹力先向左减小，减为零后向右增加；滑动摩擦力一直向右；故：①拉力大于摩擦力时，物体向左加速； ②拉力小于摩擦力时，物体向左减速；③弹力向右后，物体向左减速； 物块向左运动时，若摩擦力很大，物块可能到达0点静止（即可能停在0点)，此时弹力为0，摩擦力也为0；若摩擦力较小，也可能不停在0点，即由于惯性的缘故向0点左侧继续运动，最终停在0点左侧，此时弹力不为0，摩擦力不为0故A正确，B错误； C、小物块无论停在0点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可能相同，也可能相反，故C正确； D、小物块在通过0点后向右运动直到最远处的过程中，由于此时的合力是向左的，所以速度小；小物块在由右边最远处回到0点的过程中，速度先增大当弹力等于摩擦力后减小，故D错误。 故选：AC。 故选 AC。 18．如图所示，两个木块A和，质量分别为和，紧挨着并排放在水平桌面上，A、间的接触面垂直于图中纸面且与水平成角。A、间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦因数和动摩擦因数均为。开始时A、都静止，现施一水平推力于A，要使A、向右加速运动且A、之间不发生相对滑动，则 （1）的数值应满足什么条件？ （2）推力的最大值不能超过多少？（只考虑平动，不考虑转动问题。） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）令表示A、之间的相互作用力（垂直于接触面如图8'-3所示），若A相对于发生滑动，则A在竖直方向必有加速度。现要使A相对于不滑动，则A受的力在竖直方向的分力必须小于或等于A的重力。所以要使向右加速运动而同时A相对于不滑动，必须同时满足下列两式 可解得 （2）在已满足（1）中结果时，又由于A的水平方向的加速度和相同，即 由以上各式可解得 19．质量为m的小木块，停放在水平地面上，它与地面间的静摩擦因数为。一人想用最小的作用力F使木块移动，则此最小作用力F的大小为 。 【答案】 【详解】设人作用于木块的力为F，与水平方向成θ角。木块受到的各作用力如图所示，其中N为地面作用于木块的支持力，f为摩擦力，mg为重力。采用正交分解法木块开始移动的条件是 而 由此得 当θ取某一值时，可使F得最小值。因为是已知量，我们总可以找到某一角度，使得，代入上式可得 由此式可知，当时，即时，F具有最小值其值为 较多学生所犯的错误是：想到移动木块就想施一个水平的力。没有想到垂直的合力可以减少正压力因而所需的合力反而可能更小一些。 20．冰上表演刚开始时，甲、乙两人都静止不动，随着优美的音乐响起，他们在相互猛推一下对方后分别向相反方向运动，用录像记录两人的运动情况，截取录像中的两帧画面的情况如图所示．假定两人的冰鞋与冰面的动摩擦因数相同，则下列说法中正确的是（     ） A．在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力 B．在推的过程中，甲推乙的时间等于乙推甲的时间 C．两人刚分开时，甲的速度比乙的速度小 D．两人分开后，甲的加速度比乙的加速度小 【答案】BC 【详解】A.在推的过程中，根据牛顿第三定律，甲推乙的力大小等于乙推甲的力，故A错误； B.在推的过程中，根据牛顿第三定律，甲推乙的时间等于乙推甲的时间，故B正确； CD. 由于两人的冰鞋与冰面的动摩擦因数相同，根据牛顿第二定律加速度a＝μg知，甲、乙两人分开后，两人的加速度大小相等，在相同时间内速度的变化量大小相等；从截取录像中的两帧画面的情况分析，甲发生的位移小于乙发生的位移，甲、乙两人在相互作用过程中总动量守恒而且为零，则可知两人刚分开时，甲的速度比乙的速度小；同时说明甲的质量大于乙的质量，故C正确，D错误． 21．两根相同的理想轻弹簧，劲度系数均为、自然长度均为0。两弹簧之间以一质量为的小球相连。将弹簧1空着的一端悬挂于天花板上，整个系统自然下垂，初始时静止。已知两弹簧中任意一个一旦被拉伸至临界长度（该临界长度大于，这里表示重力加速度的大小）便会被拉断。 实验发现，如果缓慢地拉动下面的弹簧2的下端，上面的弹簧1将被拉断。如果快速地拉动，则很有可能拉断下面的弹簧2。 （1）设加载于弹簧2下端的作用力随时间变化的关系为，写出弹簧1的长度及小球加速度所满足的运动方程。 （2）在一个简单模型中，假设与时间的关系为 其中为大于零的常量，它的大小对应力加载的快慢。求在该力的作用下弹簧1、2在（）时刻的长度、。 （3）记某一弹簧先被拉断的时刻为，根据（2）中的结果， （ⅰ）求使弹簧1必然先被拉断所对应的取值范围； （ⅱ）对于并非必然使弹簧1先被拉断的取值，分析使弹簧1先被拉断的时刻需满足的条件（表达式中可含有）； （ⅲ）求弹簧2先被拉断的可能性与取值大小的关系，并用此关系说明题述实验现象。 （4）给定临界长度为，要确保弹簧2先被拉断，试确定需满足的关系式。有无可能两弹簧同时被拉断？若有，试求出能让两弹簧同时达到临界长度所对应的满足的关系式。 【答案】（1）； （2），； （3）（ⅰ） ； （ⅱ），或； （ⅲ）见解析； （4） 【详解】（1）根据牛顿第二定律和胡克定律，弹簧1的长度及小球加速度满足的运动方程为 ① （2）这是一个振动方程。解此方程可以得到（包含两个待定常量）。 解法（一）： 设小球在某时刻位于平衡位置，此刻的满足 ② 将代入方程②得 ③ 小球相对于此平衡位置的位移 ④ 满足微分方程 ⑤ 其解为 ⑥ 式中和为待定常量。于是 ⑦ 解法（二）： 令，小球的运动方程可化成 ， ②′ 将代入②′，得 ③′ 非齐次微分方程的通解可表示为一个特解和该方程所对应的齐次方程的通解之和，后者即 ④′ 式中和为待定常量。 此非齐次项显然有下列形式的特解 式中是待定常量。代入方程③′可定出 ⑤′ 于是 ⑥′ 故 ⑦′ 初始条件为 ， ⑧ 由⑧第1式有 即 ⑨ 由⑧第2式有 即 ⑩ 为振幅，取为非负值，且均为正，因此 可以定出 ， ⑪ 因此有 ⑫ 由胡克定律有 有 ⑬ （3）为了判断哪个弹簧先被拉断，考虑任意时刻两弹簧长度之差： ⑭ （ⅰ）若弹簧1先被拉断，应有 即 ⑮ 若要求必先拉断弹簧1，则⑮式对任意均需成立，因此 ⑯ （ⅱ）若，则在不同的时刻的正负不同。仍要保证弹簧1先被拉断，需要落在满足⑮式的时间范围内。即 ，或 ⑰ 式中为非负整数。不等式⑰是对振动相位的限制。但对应于的多个取值，数学上可能出现多个达到临界长度的时刻。但实际上弹簧1只可能断一次，所以我们需要找到它首次达到临界长度的时刻所在的时间段。⑱ 考察随时间的增长趋势，发现始终有 ⑲ 也就是说随时间是单调增长的，意味着相位与长度一一对应，不可能出现在多个时间段内都达到临界长度的情况。因此可以判断，拉断弹簧1确实可能发生在上述任意一个相位区间。⑳ 综上所述，若，弹簧1被拉断的时刻一定落在下述时间段内： ，或 ㉑ 式中为非负整数。 （ⅲ）若先拉断弹簧2，必有，这要求   ㉒ 由（ⅰ）（ⅱ）的讨论可知首先必有 且由⑰式可得，拉断弹簧2的时刻需使得相位落在下式范围内： ，为非负整数 ㉓ 由㉓可以发现，越大，越小，使弹簧2先断的相位所覆盖的区间越大；当时，拉断弹簧2的相位区间接近于覆盖整个第Ⅰ、Ⅱ象限。也就是说，越大，对应的力的加载速度越快，拉断下弹簧2的可能性越大。㉔ 上述讨论说明较小时会拉断上弹簧，较大时有可能拉断下弹簧，印证了题述实验现象。 （4）要确保弹簧2被拉断，由⑬式知必有 ㉕ 代入㉒式得 ㉖ 将代入㉖式，可知要确保弹簧2被拉断，应满足的关系式为 ㉗ 要弹簧1和弹簧2同时被拉断，需要 ㉘ 而该时刻也满足式㉕，将其代入㉘可得，应满足的关系式为 ㉙ 22．两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图所示。已知A1的质量为m1，A2的质量为m2，A2与桌面间的静摩擦因数为。设用表示A1与A2间的静摩擦因数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当和F取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种： （a）A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止； （b）A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在相对运动， （c）A2相对于桌面静止，A1相对桌面滑动； （d）相对于桌面，A1和A2都静止。 （1）分别写出上述每种运动情况中和F所满足的条件（不要求写出运算过程）： （a） ； （b） ； （c） ； （d） 。 （2）以横坐标表示，纵坐标表示F，试在F-图（如图）上标出与上述每种运动情况相应的和F的取值范围 。 【答案】 ， ， ， ， 【详解】（1）（a）和F所满足的条件为 ， （b）和F所满足的条件为 ， （c）和F所满足的条件为 ， （d）和F所满足的条件为 ， （2）设A1与A2间的摩擦力为f1，A2与桌面间的摩擦力为f2，如图所示 则运动方程为 ， 式中a1，a2分别表示A1和A2的加速度 （a）已知 a1=a2>0，， 可知 ， 据此由式得出 ， 同时由可知 解得 于是得出 所以运动情况（a）所满足的条件是 ， （b）已知 ，， 可知 ， 解得 ， 所以运动情况（b）所满足的条件是 ， （c）已知 ，，， 可知 f=f，F>f1 解得 ， 所以运动情况（c）所满足的条件是 ， （d）已知 ，， 可知 F=f1，，F=f2 解得 ， 所以运动情况（d）所满足的条件是 ， 先画出 ，，， 这四多线。即可根据与上述四种运动情况相应的条件，找出相应的和F的取值范围，如图所示 23．设赛车道在同一水平面上，车轮与地面间的摩擦因数为，且不随速度变化，问： （1）当赛车运动员驾车做90°转弯时，应选择图甲中的半径为的圆弧外车道还是半径为的圆弧内车道？ （2）做180°转弯时，又应选择图乙中的哪个车道？ 请作出必要的计算并据此得出结论．为简化起见，可把赛车作质点处理，且设赛车在刹车减速时四轮同时刹车，并假设赛车在加速过程和减速过程中的加速度的绝对值相等，赛车在直道上高速行驶的速度（空气阻力忽略不计）． 【答案】（1）应选择外道行驶 （2）①当，应选择内道； ②，应选择外道； ③当，选择内、外道均一样 【详解】1.先讨论赛车沿圆弧运动的最大速度， 赛车圆弧运动时所需的向心力由摩擦力提供，与最大静摩擦力相应的运动速度就是允许的最大速度. 如果速度再提高，所需的向心力就大于地面所能提供的摩擦力，因而赛车就不可能沿圆弧运动而将发生侧向滑动，沿圆弧运动的最大速度-与圆半径、摩擦因数有下列关系：， 即有.            （*） 此即赛车沿圆弧运动的最大速度. 2.计算赛车沿直轨道加速行驶或减速行驶的加速度、所用时间及距离. 设赛车在直道上高速行驶时的速度为，在进入圆弧轨道前要将车速由降至（*）式中的速度. 刹车后，赛车在与地面问的摩擦力作用下减速，赛车的加速度为. 赛车自圆弧轨道终点处开始加速. 据题设，其加速度为. 赛车由增至后，以速度匀速行驶. 根据匀加速运动的公式，加速与减速过程所用的时间和行驶的距离分别为 ，. 3.根据以上分析，我们可以比较沿内道贺沿外道所用时间的长短. （1）90°转弯时的情况，如图乙所示. 内道和外道的半径分别为和，沿圆弧轨道的最大速度和分别为，. 先讨论赛车沿外道行驶时的情况. 如图乙所示，赛车沿外道行驶时，为减速过程，由上面的分析可知. 为沿半径为的圆周做匀速率圆周运动，则. 为加速过程，时间与相同. 为匀速（）运动，为赛车沿内道运动加速至速度为时的位置，所以，. 因而，赛车在全过程中所需时间为 . 赛车沿外道行驶时，减速过程和加速过程的距离和均为. 再讨论赛车沿内道行驶时的情况. 如图乙所示，赛车沿内道行驶时，为匀速（）过程；减速过程，为沿半径为的圆周做匀速率（）圆周运动；为加速过程；类似于外道的时间计算可得所需时间为. 赛车沿内道行驶时减速过程和加速过程的距离和均为. 由几何关系及、可得 ，. 由上述两式及前面的时间关系可得 ，. 两者之差为. 显然，沿外道所用时间较少，应选择外道行驶. （2）180°转弯时的情况（图丙） 如图丙所示，赛车沿外道行驶时，为减速过程；为匀速率（）圆周运动；为加速过程；赛车沿内道行驶时，为匀速（）过程；减速过程，为匀速率（）圆周运动. 根据前面得到的关系可求得： 赛车沿外道行驶所用时间为. 赛车沿内道行驶所用时间为. 而，故， . 由上式可得以下结论： ①当，即时，，应选择图丙中的内道； ②，即时，，应选择图丙中的外道； ③当，即时，，选择内、外道均一样. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $力学篇专题03运动定律 全国高中物混头寒、华基汁利专项训杯 1.一物体在水平粗糙地面上滑行，其所受地面的摩擦力F,与运动速度v成正比。现测得该物体以初速度 vo沿直线滑行的最大位移为x,克服摩擦做的功为W1。若该物块以初速度2o沿直线滑行，滑行的最大位 移为x2,克服摩擦做的功为W2,则() A.物体做加速度逐渐减小的减速运动 B.x2=2x C.x2=4 D.W2=2W1 2.图中所示两物块叠放在一起，下面物块位于光滑水平桌面上，其质量为m,上面物块的质量为M,两 物块之间的静摩擦系数为4。现从静止出发对下面物块施以随时间t变化的水平推力F=Yt,Y为一常量， 则从力开始作用到两物块刚发生相对运动所经过的时间等于 ，此时物块的速度等 于 m 77777777777777777777 3.如图所示，C为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面，其质量mc=6.5kg,顶端有一定滑轮，滑轮的 质量及轴处的摩擦皆可不计。A和B是两个滑块，质量分别为m4=3.0kg,mg=0.50kg,由跨过定滑轮的 不可伸长的轻绳相连。开始时，设法抓住A、B和C,使它们都处在静止状态，且滑轮两边的轻绳恰好伸直。 今用一大小等于26.5N的水平推力F作用于C,并同时释放A、B和C。若C沿桌面向左滑行，其加速度 a=3.0m/s2,B相对于桌面无水平方向的位移（绳子一直是绷紧的）。试求C与桌面间的摩擦因数4。（图中 a=37°，B=53°，已知sin370=0.6,重力加速度g=10m/s2。) 4.三块物体如图甲所示那样堆积，放在光滑的水平面上.1是长方形厚板，2和3是三角形劈，它们的质 量分别为、m2和m3·1与2之间分界面A的静摩擦系数为44,2与3之间分界面B的静摩擦系数为4g, 分界面B与水平面倾斜成角O。 试卷第1页，共3页 2 分界面A 分界面B 丁0 3 甲 (1)向右拉3，使它具有较小的加速度，此时没有任何一个分界面发生滑动.求沿分界面B上的摩擦力的大 小.对于每一个分界面，求实际摩擦力与最大静摩擦力之比 (2)现在逐渐增大3的加速度，直到使两个分界面中有一个发生滑动为止.试问：哪一个分界面先发生滑动， 即在什么情况下分界面A先滑动？在什么情况下分界面B先滑动？ (3)重新从静止开始，向左推3，使它的加速度逐渐增大，直到发生滑动，试叙述此时的滑动情况. (4)假设种44=0.50,4=0.80，问：O为何值，当向右拉3时，分界面B先发生滑动，又当向左拉3时， 分界面A先发生滑动？ 1 5.质量为M=3m,长为21的均匀长木板静止在水平地面上，两者间摩擦因数从=g,板的右端有一质量 1 为m的小物块，从静止出发通过与木板的某种相互作用机制，相对木板以朝左的恒定加速度α=二g运动， 2 1 其中α>1，是一个不变的参数.小物块到达板中央后，立即改成以α=二g的反向加速度继续相对木板运 动到左端停下，直到木板不再运动为止，计算木板在地面上朝右的总位移大小s. M ←□m 777777777777777777777 6.如图所示，在一根没有重力、长度为1的棒的中点与端点上分别固定了两个质量分别为和M的小球， 棒沿竖直轴用铰链连接，棒以角速度ω匀速转动，试求棒与竖直轴线间的夹角Θ. 171 M 7.如图所示，一个质量为m的小物体，放在半径为R的半球顶上，设半球面光滑，初始时它们之间相对静 试卷第1页，共3页 止。求在下列情况中物体m离开球面时，它距半球底面的距离。 77777777777777777777777777 (1)半球以10m/s的速度匀速上升： (2)半球以a=的加速度匀加速向右运动。 4 8.由于地球是一个近似做均匀转动的球体，所以是一个转动参考系.试确定：地球表面物体在水平面内运 动时因受科里奥利力的作用而偏向何方？ 9.一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为m的珠子（视为质点），绳的下端固定在A点，上端系在轻质 小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计）.细杆与A在同一竖直平 面内.开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图所示.已知：绳长为L,A点到杆的距离为，绳能承受的 最大张力为工，，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉直时珠子的位置和速度的大小（珠 子与绳子之间无摩擦). 环细杆 珠子 10.在光滑水平板上放着一块质量为M3的板，板上叠放着一个斜面体和一个物体（如图所示），斜面体和 物体的质量分别为M2和M1,斜面体斜面的倾角为O.已知M,和M2之间的动摩擦因数为4，M2和M3之 间的动摩擦因数为山，现用一个水平恒力F作用在M上.问：F为多大时，三个物体可保持相对静止？ M M M: Lniamminnni 11.质量为M的珠子可以沿水平直杆无摩擦地滑动，如图甲所示.珠子上系有一根长为L的不可伸长的 线.现拉线的自由端，使此端的速度总是沿线的方向且大小等于。·当线的方向与杆成α角时，应以多大 试卷第1页，共3页 的力拉线？（线总在水平面内） 甲 12.用铰链固定的板上，离铰链距离R处放有小垫圈.水平放置的板在竖直面上突然开始以角速度⊙绕铰 链转动.问：当板与水平面倾斜成多大角时，小垫圈开始沿板下滑？（垫圈与板之间摩擦因数4<1) 13.如图所示，两平面镜OA、OB的镜面与纸面垂直，OB镜固定，OA镜绕垂直于纸面过O点的轴以角速 度⊙转动，当∠AOB=60时，与O点相距为r,位于∠AOB的角平分线上的一质点P正以速度v向着O点 运动，求此刻质点P的各个像的运动轨迹的曲率半径。 KIL 14.水平台面上有一内壁光滑的细长管道，可绕台面上的小孔O在台面上旋转.一根劲度系数为k的弹性 轻绳，下端固定在O孔正下方某处，上端位于O孔时，弹性绳恰好处于自由长度状态.让绳的上端连接质 量为的小球后进入管道，绳与小孔之间无摩擦，通过外力使管道以恒定的角速度®旋转.在台面上设定 极轴方向如图所示，1=0时，小球位于0=0，=处，径向速度为y,。· (1)试问：o、y取何值时，小球相对台面的运动轨道恰好是方程r=re2的对数螺线？ (2)当@、'，o取(1)问所求值时，试求管壁对小球的水平作用力N以及小球运动过程中的切向（并非横 向)加速度以及各自随小球位置参量r(π>，)的变化关系. 试卷第1页，共3页 m 极轴 水平台面 k 15.质量为m的子弹以速度。水平射入沙土中。设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系 数为k,忽略子弹的重力。求： (1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式： (2)子弹进入沙土的最大深度。 16.质量为m,的小滑块，沿一倾角为O的光滑斜面滑下，斜面质量为m2,置于光滑的水平桌面上。设重力 加速度为g,斜面在水平桌面上运动的加速度的大小为 m m2 17.一轻质弹簧，一端固定在墙上，另一端连一小物块，小物块放在摩擦系数为“的水平面上，弹簧处在 自然状态，小物块位于O处。现用手将小物块向右移到处，然后从静止释放小物块，发现小物块开始向左 移动。() 000000 A.小物块可能停在0点 B.小物块停止以后所受的摩擦力必不为0 C.小物块无论停在O点的左边还是右边，停前所受的摩擦力的方向和停后所受摩擦力的方向两者既可 能相同，也可能相反 D.小物块在通过0点后向右运动直到最远处的过程中，速度的大小总是减小；小物块在由右边最远处 回到O点的过程中，速度的大小总是增大 18.如图所示，两个木块A和B,质量分别为m4和mg,紧挨着并排放在水平桌面上，A、B间的接触面垂 试卷第1页，共3页 直于图中纸面且与水平成O角。A、B间的接触面是光滑的，但它们与水平桌面间有摩擦，静摩擦因数和动 摩擦因数均为“。开始时A、B都静止，现施一水平推力F于A,要使A、B向右加速运动且A、B之间不 发生相对滑动，则 (1)“的数值应满足什么条件？ (2)推力F的最大值不能超过多少？（只考虑平动，不考虑转动问题。） A 77777777777777777777777 B N 77777 777777777 图8-3 19.质量为m的小木块，停放在水平地面上，它与地面间的静摩擦因数为“。一人想用最小的作用力F使 木块移动，则此最小作用力F的大小为 20.冰上表演刚开始时，甲、乙两人都静止不动，随着优美的音乐响起，他们在相互猛推一下对方后分别 向相反方向运动，用录像记录两人的运动情况，截取录像中的两帧画面的情况如图所示.假定两人的冰鞋 与冰面的动摩擦因数相同，则下列说法中正确的是() A.在推的过程中，甲推乙的力小于乙推甲的力 B.在推的过程中，甲推乙的时间等于乙推甲的时间 C.两人刚分开时，甲的速度比乙的速度小 D.两人分开后，甲的加速度比乙的加速度小 21.两根相同的理想轻弹簧，劲度系数均为k、自然长度均为0。两弹簧之间以一质量为m的小球相连。将 弹簧1空着的一端悬挂于天花板上，整个系统自然下垂，初始时静止。己知两弹簧中任意一个一旦被拉伸 试卷第1页，共3页 至临界长度〈该临界长度大于哭，这里g表示重力加速废的大小)便会按拉断。 实验发现，如果缓慢地拉动下面的弹簧2的下端，上面的弹簧1将被拉断。如果快速地拉动，则很有可能 拉断下面的弹簧2。 (1)设加载于弹簧2下端的作用力随时间变化的关系为F(t),写出弹簧1的长度x(t)及小球加速度，(t)所 满足的运动方程。 (2)在一个简单模型中，假设F(t)与时间t的关系为 0t<0 F()= ott≥0 其中为大于零的常量，它的大小对应力加载的快慢。求在该力的作用下弹簧1、2在t(t>0)时刻的长 度x(t)、x2(t)。 (3)记某一弹簧先被拉断的时刻为。，根据(2)中的结果， (i)求使弹簧1必然先被拉断所对应的α取值范围： (ⅱ)对于并非必然使弹簧1先被拉断的取值，分析使弹簧1先被拉断的时刻。需满足的条件（表达式 中可含有a)； (ⅲi)求弹簧2先被拉断的可能性与α取值大小的关系，并用此关系说明题述实验现象。 (4)给定临界长度为L,要确保弹簧2先被拉断，试确定需满足的关系式。有无可能两弹簧同时被拉断？ 若有，试求出能让两弹簧同时达到临界长度L所对应的满足的关系式。 22.两滑块A1和A2叠放在水平的桌面上，如图所示。已知A1的质量为m1,A2的质量为m2,A2与桌面间 的静摩擦因数为山。设用4表示A1与A2间的静摩擦因数，F表示作用于滑块A1上的水平拉力，则当4和 F取各种不同值时，A1与A2可能发生的运动情况有下列四种： A A2 77777777777777777777777 (a)A2相对于桌面滑动，但A1与A2相对静止； (b)A2相对于桌面滑动，A1与A2间存在相对运动， (c)A2相对于桌面静止，A1相对桌面滑动； (d)相对于桌面，A1和A2都静止。 (1)分别写出上述每种运动情况中山和F所满足的条件（不要求写出运算过程）： 试卷第1页，共3页 (a) (b) (c) (d) (2)以横坐标表示4，纵坐标表示F,试在F-4图（如图）上标出与上述每种运动情况相应的4和F的 取值范围 F个 →儿1 U12 23.设赛车道在同一水平面上，车轮与地面间的摩擦因数为4，且4不随速度变化，问： R R Ro-Ri Ro Ro Ro-Ri 甲 乙 (1)当赛车运动员驾车做90°转弯时，应选择图甲中的半径为R的圆弧外车道还是半径为R的圆弧内车道？ (2)做180°转弯时，又应选择图乙中的哪个车道？ 请作出必要的计算并据此得出结论，为简化起见，可把赛车作质点处理，且设赛车在刹车减速时四轮同时 刹车，并假设赛车在加速过程和减速过程中的加速度的绝对值相等，赛车在直道上高速行驶的速度 v>√μgR,(空气阻力忽略不计). 试卷第1页，共3页