解答题04 空间向量与立体几何（三大题型）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

解答题04 空间向量与立体几何 1.线面关系证明：线面平行、面面平行、线面垂直等关系的判定，需结合几何定义和定理推理，是解答题的基础设问。2023、2025年证明直线平行于平面；2021年通过四棱锥背景，隐含线面垂直相关论证。 2.空间角计算：涵盖异面直线所成角、直线与平面所成角，是高频计算考点，常需用空间向量法建系求解。2022年、2024年求直线与平面所成角；2024年二面角的大小；2021 年求异面直线所成角。 3.几何体相关计算：涉及几何体体积、旋转体体积等，多与线面垂直关系结合，侧重公式应用和运算准确性。2024年求线段绕轴旋转一周形成几何体的体积；2022 年求三棱锥的体积；2021年求四棱锥的体积. 题型一：线面关系证明 【典例1-1】如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【详解】（1）由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2）由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【典例1-2】如图，长方体中，，，点为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）证明：由题意可知，两两垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得，， 则，， 设平面的法向量为， 则，化简得，取，则， 因为，所以， 又因为平面，所以平面； （2）由（1）知平面的法向量为，又因为， 所以点到平面的距离. 所以点到平面的距离为. 【典例1-3】如图，在正方体中， (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若正方体的棱长为1，求点到平面的距离. 【详解】（1）连接，因为正方体，则平面，， 因平面，则， 又，平面，则平面， 又平面，则； （2）连接，因平面，平面，则， 因，平面，则平面， 又平面，则， 因，平面，则平面； （3）设点到平面的距离为， 因为等边三角形，且其边长为，则， 因，则， 则， 则点到平面的距离为. 【典例1-4】已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 【详解】（1）由平面，平面，则，而， 由，平面，则平面， 由平面，则平面平面； （2）依题意可知，平面，平面， 由于，平面，所以平面平面， 由（1）知平面，则平面，， 所以平面，平面， 由平面，平面，平面平面， 所以，又点为的中点，则是的中点， 所以平面到平面的距离为. 1.掌握三种平行关系的转化 2.掌握三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 2.灵活应用以下结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. (5)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (6)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 【变式1-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【详解】（1）证明：因为底面底面ABCD，所以， 因为四边形ABCD为正方形，所以， 因为，所以平面PCD， 因为平面PCD，所以. 在中，是PC的中点，则， 因为，所以平面PBC， 因为平面PBC，所以， 因为， 所以平面DEF，因为平面DEF， 所以. （2）连接AC交BD于点，如图所示： 则，又底面平面ABCD，得， 而，则平面PDB， 所以点到平面PDB的距离为， 因为是PC的中点，所以， ， 所以，所以， 因为，四边形ABCD为正方形， 所以， 因为，所以，则， 设点到平面BDE的距离为，则，所以，解得. 【变式1-2】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）因为四边形是正方形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 因为四边形是梯形，所以， 又平面 ，平面， 所以平面， 又，平面， 故平面平面， 又因为平面， 所以平面. （2）因为，平面，平面， 所以，即两两垂直， 故以为原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有，，，， 所以 ，， 设平面的一个法向量，则有 令，则，所以， 所以点到平面的距离 所以点到平面的距离为. 【变式1-3】四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【详解】（1）取AC中点为O，连接，，由底面为矩形， 则分别为的中点，，又平面，平面， 则平面； （2）如图做，垂足为F， 又平面，平面，则， 又平面，则平面. 则到平面的距离为， 则.    【变式1-4】如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）. (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当时，求点到平面的距离. 【详解】（1）如图，以为原点，、、的方向为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、，   ，，， 由，，得，， 又，、平面， 所以直线平面. （2）设点，则，， 由，即，得，则， 设平面的法向量为，则， 取，得，，从而得到平面的一个法向量是， 因为，所以点到平面的距离为. 【变式1-5】如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 【详解】（1）证明：过点作交于，则① 过点作交于，则② 连接EF．，， ，即：， 四边形MNFE是平行四边形， 平面，平面 平面 （2）证明：正方形中，， ∴四边形是平行四边形， ∵平面，平面 平面 同理平面 ，平面，平面， 平面平面 （3）解：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长相等． 理由如下： 如图，连接交于点，连接与交于点E. 又因为平面, 所以点E也在平面内, 所以点E就是与平面的交点; 连接交于点O，连接与交于点F, 则点F就是与平面的交点. 下面证明：: 因为平面平面,平面平面, 平面平面, 所以. 在中,是的中点, 所以E是的中点，即； 同理可证， 所以F是的中点，即, 所以. 所以，被两个平行平面与平面所截得的线段长相等. 题型二：空间角计算 【典例2-1】如图，在平面四边形中，，，现将绕直线旋转至，求： (1)直线和直线所成角的范围． (2)直线和直线所成角的范围． 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以，， 因为，所以为正三角形，所以， 记， 因为，所以 ， 记直线和直线所成角为，则， 因为， 且， 所以，， 所以，即， 又，所以 （2）因为，所以 ， 记直线和直线所成角为，则， 由（1）知，所以    ， 得，所以， 即，又， 所以. 【典例2-2】在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 【详解】（1） 如图建立空间直角坐标系， 则,,,,, 即，， ， 即异面直线与所成角为； （2）由（1）的，，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 直线与平面所成角的正弦值为， 即直线与平面所成角为； （3）由（2）得平面的一个法向量为， 且，， 设平面的法向量为，即， 令，则， ， 又二面角为锐二面角， 即二面角的余弦值为， 所以二面角的大小为. 【典例2-3】已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (2)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【详解】（1）由题意得⊥平面，又平面， 所以⊥，⊥， 四边形为菱形，故⊥， 故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 已知，是等边三角形，故， 则，， 设平面的一个法向量为， 则， 令得，故， 显然平面的一个法向量为， 则， 设二面角的大小为，从图中可以看出二面角为锐角， 故，则. （2）当时，直线与平面所成的角最大.理由如下： 设，，， 其中，， ，则， 故，，， ， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角大小为， 则 ， 因为，所以当时，取得最大值， 最大值为， 又，而在上单调递增， 所以，即当时，直线与平面所成的角最大. 【典例2-4】如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）∵，， ∴，即，， 又∵二面角为直角，∴， ∴如图建立空间直角坐标系， ∵，为的中点， ∴，，，，， 则，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则， ， 设直线与平面所成角为， 则.    （2）存在这样的点， 设， ∵中点为，∴， 则， 当平面时，，解得， 即.    1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|=. 2.直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 3.平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=. 【变式2-1】如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． (1)求异面直线与所成角的大小 (2)设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）因为，所以或其补角就是异面直线与所成角， 在中， ，所以， 即异面直线与所成角的大小为. （2）连接， 由直三棱柱可知平面， 故为直线与平面所成角，又， 所以在中，，所以， 即直线与平面所成角的大小为. 【变式2-2】如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【详解】（1）根据正方体的性质可知 是异面直线与所成的角或其补角 分别是的中点 是等腰直角三角形 即异面直线与所成角的大小为 （2），平面 平面 平面 平面 平面平面 即 点在直线上 【变式2-3】如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【详解】（1），，⊥， 故； （2）当时，平面⊥平面，交线为， 过点作⊥交的延长线于点，连接， 由于平面，故⊥平面，则即为在平面上的投影， 所以即为直线与平面的所成角， 其中平面，故⊥， 由于，故，， 由勾股定理得，， 直线与平面所成角的正切值为；    （3）①当时， 在翻折的过程中，点的运动轨迹为以为圆心，为半径的圆弧， 其中圆心角为，故点的运动轨迹的长度为； ②如图，当时，记点在平面上的投影为，连接， 则⊥，又⊥，故即为二面角的平面角， 故，则，， 过点作⊥，并交于点，则， 则， ， ， 因为，所以，， 故. 【变式2-4】如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【详解】（1） 因为点在底面上的投影为的中点，所以面， 所以直线与底面所成角就是， 因为侧面为菱形，的中点是，所以， 所以，则. （2） 如图所示，底面是以为斜边的等腰直角三角形，点在底面上的投影为的中点， 所以以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系， 底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以， 因为侧面为菱形，，所以. 可得， 所以， 设平面的法向量， 则，即， 令，解得，即平面的一个法向量， 则点到侧面的距离为. （3） 设，由（2）可知， 则， 由（2）可知平面的一个法向量， 设直线与侧面所成角为，则， 可得，解得， 因为，所以，即，所以. 【变式2-5】如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 【详解】（1）如图，以为原点， 以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，由，得， 所以，则， 而， 则， 所以，即不论取何值，总有. （2）由（1）知，， 易得平面的一个法向量为， 由直线与平面所成的角为， 则， 而，所以， 所以的取值范围为． （3）由（1）知，， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 易得平面的一个法向量为， 平面与平面所成的锐二面角的大小为， 则， 令，则，则， 函数，当时，， 所以， 即当，，时，． 题型三：几何体相关计算 【典例3-1】如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； 【详解】（1）该平面图形绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体为一个圆锥挖去了半个球体， 圆锥的底面半径为，高为，球体的半径为， 所以圆锥的体积为，半球体的体积为， 所以该几何体的体积为； （2）因为，所以， 圆锥的表面积为， 半球体的球面面积为，半球体的底面圆面积为， 所以该几何体的表面积为. 【典例3-2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）由已知，四边形为正方形，且平面， 所以即四棱锥的高， 所以， 即四棱锥的体积为. （2）根据已知，连接，作图如下. 由（1）知，又为正方形的对角线， 所以， 又，即是等边三角形，所以， 设点到平面的距离为， 则，解得， 即点到平面的距离为. 【典例3-3】如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 【详解】（1）由题意得正方体的棱长为， 则在半球上的正方体4个顶点所在小圆半径为， 而半球球心到此截面小圆距离为， 因此半球半径. （2）由球的表面积公式得半球的表面积， 由球的体积公式得体积. 【典例3-4】如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点在线段上，是切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 (1)若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 【详解】（1）设包装盒的底面边长为，高为， 依题意，，，其中， 因此， 所以当时，取得最大值. （2）由（1）得， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，包装盒容积最大，此时包装盒的高与底面边长的比值. 1.掌握两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 【变式3-1】兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 【详解】（1）设第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径分别为， ； ； 所以第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； （2）由题意得经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， 经过次对折拉伸之后面条的长度为， 设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得， 又直径， ， 又是单调递增函数，且当时，，当时，， 故至少经过7次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求． 【变式3-2】宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， (1)求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） (2)若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 【详解】（1）由圆台体积公式可知， 所以该饭甑木桶的容积为 （2） 如图所示，设球半径为，球心距离下底面的距离为， 可得，解得， 所以该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离为. 【变式3-3】如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． (1)计算该模型的体积； (2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【详解】（1）设圆锥的高为，由题意得圆锥母线为，圆锥的底面半径为，则， 设圆柱的底面半径为，高为，由已知可得，， 所以圆柱的体积， 圆锥的体积， 故该几何体的体积为. （2）圆柱的侧面积为，圆柱的上底面的面积为， 圆锥侧面积为. 一个模型的表面积， 所以总费用为（元）. 【变式3-4】在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于． (1)求正四棱锥的体积； (2)若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径． 【详解】（1）在正四棱锥中，连接与交于，连接，平面， 由，得是与所成角，即， 在等腰中，，，， 所以正四棱锥的体积. （2）依题意，球的球心在直线上，设球的半径为，则， 而正方形外接圆半径，由，得，解得， 所以球的半径为5. 【变式3-5】在平面上，将两个半圆弧和，以及两条直线和围成的封闭图形记作，如图中阴影部分，将绕轴旋转一周而成的几何体记作．    (1)请判断是一个多面体还是旋转体？ (2)过点其中，作的水平截面，求所得截面的面积； (3)利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出的体积． 【详解】（1）由题可知，是旋转体. （2）如图，设，，， 过点作轴的平行线分别交两个半圆于点，作，垂足为， 则，，，故， 所以，， 由题截面的面积为以点为圆心，以为半径的圆的面积减去以点为圆心，以为半径的圆的面积， 所以截面的面积为.    （3）因为几何体为的水平截面的截面积为，该截面的截面积由两部分组成， 一部分为定值，看作是截一个底面积为，高为2的长方体得到的， 对于，看作是把一个半径为1，高为的圆柱平放得到的，，，，如图所示，    这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面积相等，故它们的体积相等， 所以几何体的体积为. 1．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 【详解】（1） 法一：取中点，连接、， ∵，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴ ， ∵平面，在平面外， ∴平面 法二：如图建立空间直角坐标， 则，，， ，，， ∴， 易知平面的一个法向量 ∵， 且在平面外 ∴平面 （2） 法一：作，垂足为，连接， ∵平面，在平面内， ∴，又为平面内两条相交直线， ∴平面， ∴直线与平面所成的角为， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为， . 法二：设，则， ∴， 易知平面的一个法向量， 设与的夹角为， 则， 解得：， ∴边上存在点，使得直线与平面所成的角为，. 2．（2025·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 【详解】（1）由题设，则， 由PA⊥平面，平面，则， 而都在面内，则面， 由AD平面PBC，面，面面， 所以，则面，面，故. （2）由PA⊥平面，平面，则， 由（1）知，且面，面，则， 所以都是直角三角形，且， 根据题设定义，为一个鳖臑，体积， 表面积. 3．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 【详解】（1）取中点，连接， 由已知条件是边长为的正三角形，得. 平面，所以平面 ， 又平面 ，所以. （2） 二面角的大小为，即平面平面. 由平面平面，且由（1）知，平面， 所以平面，从而即为与平面所成角 在中，，从而， 在中，， 因为平面，且平面，所以， 所以在中，，且， 易求得，即与平面所成角的大小为. 4．（2025·上海杨浦·二模）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 【详解】（1）    连接， 因为底面为正八边形，所以， 又正八棱柱侧棱底面，底面， 所以， 平面， 所以平面， 又平面，所以. （2）    连接， 因为， 由正八边形的性质可得，，为到底面的距离，， 所以， 由勾股定理可得，， 又，所以， 又，所以， 因为，所以，即， 设点到平面的距离为， 则，即，即， 解得，所以点到平面的距离为. 5．（2025·上海徐汇·二模）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm． (1)求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； (2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 【详解】（1）设正方形，的中心分别为，连接，则平面， 分别取，的中点，，连接，则，， 由，分别为等腰梯形底边，的中点，得， 由，得四边形是一个直角梯形， ，又，为侧面与底面所成二面角的平面角， 由条件知，则， 所以侧面与底面所成二面角的大小为. （2）依题意，圆台上底面半径cm，下底面半径cm，高cm， 则圆台的体积为， 又正四棱台的体积， 所以削去部分的体积， 所以削去部分与正四棱台的体积之比为. 6．（2025·上海普陀·二模）如图，在三棱柱中，，且.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【详解】（1）连结，连结CO 在中，， 故是等边三角形，所以为菱形， 所以，且是的中点. 因为， 所以. 因为， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. （2）    以为原点，为轴，为轴，OC为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，. 设平面的一个法向量， 则有，即. 令，可得平面的一个法向量为， 所以，直线与平面所成的角的正弦值为 . 7．（2025·上海黄浦·二模）在四面体中，，． (1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积； (2)若，，求二面角的大小． 【详解】（1）由题设为等腰直角三角形，且，， 所以，又为正三角形，故， 若为的中点，连接，则，又平面平面， 平面平面，平面，故平面， 所以是的高，则其体积； （2）由（1）且，， 又，则，且，又， 所以二面角的平面角为，且. 所以二面角大小为. 8．（2025·上海长宁·二模）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 【详解】（1） 连接，取的中点，连接，， ，， 在直三棱柱中，平面平面， 平面平面，平面， 平面， 分别为，的中点，且， 点D是棱的中点，且， 且，四边形是平行四边形， ，平面， 平面，平面平面； （2），，， 点D是棱的中点，， ，， 由(1)知平面，， ， ，， 设点到平面的距离为， ， ，， 点到平面的距离为，三棱锥的体积为. 9．（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 【详解】（1）取的中点，连接、， 因为点为棱的中点，且，所以且， ，平面，平面， 所以平面，同理可得平面.                                                 因为平面，平面，且， 所以平面平面.                                                             因为平面，所以平面. （2）过点作于点，连接， 因为，，，平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，且， 所以平面.                                                                     所以就是直线和平面所成角. 由题意得：二面角的平面角为， 由（1）易得， 在中，由，，得， 取中点为，连接， 因为分别为的中点， 所以，且，又， 所以四边形为平行四边形，所以， 在中，由，，得，则. 在中，由，得， 即得直线和平面所成角为. 10．（2025·上海浦东新·三模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 因为为半圆的直径，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）方法1： ，当且仅当时等号成立. 设圆心为，连接，在平面上过作， 连接，在平面上过作，如图所示. 因为，，所以， 因为平面，平面，所以平面平面， 因为平面，平面平面，所以平面ABC，平面， 则，，平面，所以平面，而平面， 于是，所以为平面与平面的夹角， 在平面上，，有，得，， ，有，得， 则，， 平面与平面所成锐角的余弦值为. 方法2： 据（1）知，面，， 当时，达到最大： 过点作于，建立以为原点，为轴，为轴， 过点垂直于平面的方向为z轴.设平面与平面的法向量分别为，. 则点，，，，. ，；则； 令，可得；因为平面的法向量为. 则平面与平面夹角的余弦值. 11．（2025·上海宝山·三模）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 【详解】（1）连接交于点是的中点，是中点.. 又平面平面平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系.则， . 设平面的法向量为，则 令，则. 是平面的一个法向量.， 设直线与平面所成角为， 则直线与平面所成角的正弦值为. 12．（2025·上海浦东新·三模）如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） (1)证明：平面平面； (2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 【详解】（1）在半圆柱内，平面，所以； 因为为上底面对应圆的直径，所以， 又，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. （2）根据题意以为原点，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以，，，，， 所以，， 平面的一个法向量， 设平面的一个法向量， 则，令，则， 取，所以， 由图可知，二面角为钝角， 所以所求二面角的余弦值为. 13．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 【详解】（1）选择甲方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减， ∴当时，. 选择乙方案：①； ②该正四棱锥的高， ， 设， 则， 当时，；当时，. ∴函数在区间上严格增，在区间上严格减 ∴当时，. 选择丙方案：①， ②该正四棱锥的高， ， 令，则， 当时，；当时，. 所以函数在区间上严格增，在区间上严格减， 所以当时，. （2）甲乙丙中总面积一样，由于乙的方案是不需要盖，所以相应的侧面积多了， 因此凭直觉猜想乙的体积最大，可以猜想：. 1．（2021·上海·高考真题）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面. （1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小. 【详解】（1）∵正方形边长为4，△为等边三角形，为中点， ∴，； （2）如图以为轴建立空间直角坐标系，则，，， ，∴，， ∴， 即与所成角的大小为． 2．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，    (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）. 【详解】（1）底面ABC，底面ABC，则，连接，同理， 又，，∴， 而， 所以； （2）由已知，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 由已知， 则，，，∴， ，易知平面的一个法向量是， ， 设PM与平面PAC所成角大小为，则，，∴．    3．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，， (1)求证：平面； (2)若四棱柱体积为36，求二面角大小. 【详解】（1）由题意知，， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，且平面，平面， 所以平面， 又，、平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． （2）由题意知，底面为直角梯形， 所以梯形的面积， 因为四棱柱的体积为36， 所以， 过作于，连接， 因为平面，且平面， 所以， 又，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 在△中，， 所以， 所以，即， 故二面角的大小为． 4．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【详解】（1）正四棱锥满足且平面，由平面，则， 又正四棱锥底面是正方形，由可得，， 故， 根据圆锥的定义，绕旋转一周形成的几何体是以为轴，为底面半径的圆锥， 即圆锥的高为，底面半径为， 根据圆锥的体积公式，所得圆锥的体积是 （2）连接，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形， 由是中点，则，又平面， 故平面，即平面，又平面， 于是直线与平面所成角的大小即为， 不妨设，则，， 又线面角的范围是， 故.即为所求. 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【详解】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面    9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 解答题04 空间向量与立体几何 1.线面关系证明：线面平行、面面平行、线面垂直等关系的判定，需结合几何定义和定理推理，是解答题的基础设问。2023、2025年证明直线平行于平面；2021年通过四棱锥背景，隐含线面垂直相关论证。 2.空间角计算：涵盖异面直线所成角、直线与平面所成角，是高频计算考点，常需用空间向量法建系求解。2022年、2024年求直线与平面所成角；2024年二面角的大小；2021 年求异面直线所成角。 3.几何体相关计算：涉及几何体体积、旋转体体积等，多与线面垂直关系结合，侧重公式应用和运算准确性。2024年求线段绕轴旋转一周形成几何体的体积；2022 年求三棱锥的体积；2021年求四棱锥的体积. 题型一：线面关系证明 【典例1-1】如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【典例1-2】如图，长方体中，，，点为的中点， (1)求证：直线平面； (2)求点到平面的距离. 【典例1-3】如图，在正方体中， (1)证明：； (2)证明：平面； (3)若正方体的棱长为1，求点到平面的距离. 【典例1-4】已知，平面，，，点为的中点，过点分别作平行于平面的直线交、于点、． (1)证明：平面平面； (2)证明：平面平面，并求平面到平面的距离． 1.掌握三种平行关系的转化 2.掌握三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 2.灵活应用以下结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β. (2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ. (3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b. (4)若α∥β，a⊂α，则a∥β. (5)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (6)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 【变式1-1】如图，在四棱锥中，底面ABCD，E是PC的中点，点在棱BP上，且，四边形ABCD为正方形，. (1)证明：； (2)求点到平面BDE的距离； 【变式1-2】在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面，且. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【变式1-3】四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.    (1)证明：平面； (2)设，，求到平面的距离. 【变式1-4】如图，正四棱柱的底面边长为，高为，点是棱上的一个动点（点与、均不重合）. (1)当点是棱的中点时，求证：直线平面； (2)当时，求点到平面的距离. 【变式1-5】如图，在正方体中， (1)若，求证：平面． (2)求证：平面平面． (3)试问：线段被两个平行平面与平面所截得的线段长是否相等？请说明理由． 题型二：空间角计算 【典例2-1】如图，在平面四边形中，，，现将绕直线旋转至，求： (1)直线和直线所成角的范围． (2)直线和直线所成角的范围． 【典例2-2】在底面是直角梯形的四棱锥中，，平面，若，，，求： (1)异面直线与所成角的大小； (2)直线与平面所成角的大小； (3)二面角的大小； 【典例2-3】已知点是边长为2的菱形所在平面外一点，且点在底面上的投影是与的交点，已知，是等边三角形. (1)求二面角的大小（结果用反三角表示）； (2)若点是线段上的动点，请找出点所在的位置，使得直线与平面所成的角最大. 【典例2-4】如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．    (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1.异面直线所成的角 若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cos θ=|cos〈u，v〉|=. 2.直线与平面所成的角 如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ=|cos〈u，n〉|==. 3.平面与平面的夹角 如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即向量n1和n2的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ=|cos〈n1，n2〉|=. 【变式2-1】如图，直三棱柱的底面为直角三角形，两直角边和的长分别为4和3，侧棱的长为5． (1)求异面直线与所成角的大小 (2)设为的中点，求直线与平面所成角的大小． 【变式2-2】如图，已知分别是正方体的棱的中点，且与相交于点. (1)求异面直线与所成角的大小. (2)求证:点在直线上； 【变式2-3】如图1，在中，，，是线段上一点，且⊥，将沿着翻折至，得到如图2所示的三棱锥，记二面角的大小为；    (1)求的长度； (2)当时，求直线与平面所成角的正切值； (3)当时，在翻折的过程中： ①求点的运动轨迹的长度； ②求线段长的取值范围. 【变式2-4】如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形.侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且. (1)求直线与底面所成角大小； (2)求点到侧面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的正弦值为若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【变式2-5】如图所示，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，是的中点，动点在直线上，且满足． (1)求证：不论取何值，总有； (2)设直线与平面所成的锐角，求的取值范围； (3)设平面与平面所成的锐二面角的大小为，求的最大值，并求相应的的值． 题型三：几何体相关计算 【典例3-1】如图所示，是直角三角形，，以为圆心，2为半径的四分之一圆在三角形内，图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周形成一个几何体： (1)求该几何体的体积； (2)求该几何体的表面积； 【典例3-2】如图，在四棱锥中，四边形为正方形，已知平面，且. (1)求四棱锥的体积； (2)求点到平面的距离. 【典例3-3】如图，半球内有一内接正方体（即正方体的一个面在半球的底面圆上，其余顶点在半球上）；若正方体的棱长为，求： (1)半球的半径； (2)半球的表面积和体积． 【典例3-4】如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得四个点重合于点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，点在线段上，是切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设 (1)若广告商要求包装盒侧面积最大，试问应取何值？ (2)若广告商要求包装盒容积最大，试问应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． 1.掌握两个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)(祖暅原理)等高处的截面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.关于几何体的表面积和侧面积的两个注意点 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理. 【变式3-1】兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等．现将体积为的面条经过第一次拉伸成长为的圆柱形面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，以此类推，若每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计． (1)求第一次拉伸和第二次拉伸后面条的半径； (2)若小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求? 【变式3-2】宁化农村做饭常用一种叫饭甑的容器，随着时代的变化，饭甑也走向小型化，制作材料也有部分变化.如图所示，这种饭甑都是用杉木制作的，木桶可以看作一个圆台，其尺寸如下：桶口直径为30 cm，桶底直径为24 cm，桶高为24 cm， (1)求该饭甑木桶的容积；（不计容器的厚度） (2)若要做一个球形容器，把该饭甑放入容器内，求当该容器半径最小时，球心到饭甑底部的距离？（不计容器的厚度） 【变式3-3】如图所示，某建筑物模型无下底面，有上底面，其外观是圆柱，底部挖去一个圆锥；已知圆柱与圆锥的底面大小相同，圆柱的底面半径为，高为，圆锥母线为． (1)计算该模型的体积； (2)现需使用油漆对个该种模型进行涂层，油漆费用为每平方厘米元，总费用是多少？ 【变式3-4】在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于． (1)求正四棱锥的体积； (2)若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径． 【变式3-5】在平面上，将两个半圆弧和，以及两条直线和围成的封闭图形记作，如图中阴影部分，将绕轴旋转一周而成的几何体记作．    (1)请判断是一个多面体还是旋转体？ (2)过点其中，作的水平截面，求所得截面的面积； (3)利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，求出的体积． 1．（2025·上海浦东新·二模）如图，四边形为长方形，平面，，． (1)若分别是的中点，求证：∥平面； (2)边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由． 2．（2025·上海嘉定·二模）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，，． (1)若AD平面PBC，证明：； (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥——鳖臑，其四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积． 3．（2025·上海宝山·二模）如图，在四面体中，是边长为的正三角形，且. (1)证明：； (2)若是的中点，且二面角的大小为，求与平面所成角的大小. 4．（2025·上海杨浦·二模）座落于杨浦滨江的世界技能博物馆由百年历史文化保护建筑改建而成，其中的支柱保留了原有的正八棱柱，既考虑了结构力学优势，又体现了对历史建筑的尊重和传承.如图，分别为正八棱柱的上下两个底面的中心，已知.    (1)求证：； (2)求点到平面的距离. 5．（2025·上海徐汇·二模）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为cm和cm，高cm． (1)求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小； (2)现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比． 6．（2025·上海普陀·二模）如图，在三棱柱中，，且.    (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 7．（2025·上海黄浦·二模）在四面体中，，． (1)若为正三角形，平面平面，求四面体体积； (2)若，，求二面角的大小． 8．（2025·上海长宁·二模）如图，在直三棱柱中，，点D是棱的中点． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离以及三棱锥的体积． 9．（2025·上海松江·二模）已知梯形中，，为上的一点且，，，将沿翻折使得二面角的平面角为，连接、，为棱的中点. (1)求证：平面； (2)当时，求直线和平面所成角的大小. 10．（2025·上海浦东新·三模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，已知，且平面. (1)证明：平面平面； (2)若点满足，当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 11．（2025·上海宝山·三模）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，为线段的中点，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面的夹角的正弦值. 12．（2025·上海浦东新·三模）如图，已知一个由半圆柱与多面体构成的几何体，平面与半圆柱的下底面共面，且．为半圆弧上的动点（与，不重合） (1)证明：平面平面； (2)若四边形为正方形，且，，求二面角的余弦值． 13．（2025·上海奉贤·二模）将一块边长为的正方形铁片制作一个正四棱锥的容器罩．同学们设计了甲、乙、丙三个不同的方案，各自裁下阴影部分，用余下的制作成正四棱锥容器罩，形如最右边的图．甲和丙是去制作有盖的容器罩，乙是去制作无盖的容器罩．假设加工过程中铁片损失忽略不计．设甲、乙、丙中白色的四个等腰三角形的底边分别是、、．    (1)请你选择其中的某一个方案，而且只需选一个方案（选择超过一个方案的，按第一个方案处理）．你选择的方案是______，求解以下个问题： ①求出所选方案相对应的棱锥的侧面积、、； ②求出所选方案相对应棱锥的体积、、的最大值． (2)假设三个方案中相应的体积最大值分别记作、、，请直接写出三者的大小关系．（不写判断理由与过程） 1．（2021·上海·高考真题）四棱锥，底面为正方形，边长为4，为中点，平面. （1）若△为等边三角形，求四棱锥的体积； （2）若的中点为，与平面所成角为45°，求与所成角的大小. 2．（2022·上海·高考真题）如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，    (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)若M为BC中点，求PM与平面PAC所成角大小（结果用反三角数值表示）. 3．（2023·上海·高考真题）在直四棱柱中，，，，， (1)求证：平面； (2)若四棱柱体积为36，求二面角大小. 4．（2024·上海·高考真题）如图为正四棱锥为底面的中心． (1)若，求绕旋转一周形成的几何体的体积； (2)若为的中点，求直线与平面所成角的大小． 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 9 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $