北京市第三十五中学2025-2026学年高二上学期期中测试数学试题

北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 北京市第三十五中学2025-2026学年第一学期期中测试 高二数学2025.11 行政班 姓名 学号 试卷说明：试卷分值150，考试时间120分钟. I卷 一.选择题（共10个小题，每题5分，共50分。每小题只有一个正确选项，请选择正 确答案填在答题纸相应的题号处) 1.己知空间向量a=(0,2,0),b=(1,0,-1),则(a+b)·b=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知直线1的一个方向向量为(-1,1)，则直线1的倾斜角为() A.45 B.90 C.135 D.150 3.若x2+y2-4x-2y+m=0表示圆的方程，则m的取值范围是() A.(-0,5) B.(-0,5] C.(5,+0) D.[5,+oo)】 4.在三棱锥S-ABC中，三条棱SA,SB,SC两两相互垂直，SA=SB=SC=2,则点 S到平面ABC的距离为() A.6 B.2 C.5 D.4v 3 3 5.在x22 的展开式中，常数项为() x A.15 B.16 C.180 D.240 6.若直线2x-y+m=0和直线3x-y+3=0的交点在第二象限，则m的取值范围为 () A.(-0,3) B.(2,3) C.(2,+0) D.(-0,2)U(3,+00) 7.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.若老师站在正中间，甲同学 不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为() A.24 B.12 C.8 D.6 第1页共6页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 8.庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼 等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四 阿殿”或“五脊殿”.图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四 个侧面与底面的夹角均相等，则() D 图1 图2 A.AB=BC+EF B.AB=BC +EF C.AB=BC+EF D.AB=2BC-EF 9.已知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(L,√2)，则四 边形ABCD面积的最大值为() A.4 B.5 C.10 D.15 10.设P为函数y=√3|x图象上的动点，Q是圆C:(x-a)2+(y-b)2=1(其中ab=0) 上的动点，若1PQ最小值为1，则以所有满足条件的圆心C为顶点的多边形面积为 () A.8 B.4V5 C.16V3 3 D.85 3 Ⅱ卷 二.填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题纸相应题号处） 11.若直线x-y-3=0与ax+2y-1=0垂直，则a=· 12.直线y=x被圆x2+y2-4x=0所截得的弦长为 13.若1-2x)°=a。+a,x+a2x2+…+a6x,则a3=,a+a,+a2+a,+a+a5+a6=一 (用数字作答) 14.一个小岛周围有环岛暗礁区，分布在以小岛中心为圆心，半径为2m的圆形区域内. 已知陆上的港口位于小岛中心正北3m处，而轮船位于小岛中心的正西方向.在不触礁 的情况下，轮船从距小岛中心m处出发，沿直线航行至港口的路程最短. 第2页共6页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 15.如图，四棱锥S-ABCD中，底面是边长为2的正方形，△sCD是等边三角形，平面 SCD⊥平面ABCD,M,N,P分别为棱BC,CD,DA的中点，Q为△SCD及其内部的 动点，满足PQ1平面AMS,给出下列四个结论： ①直线SA与平面ABCD所成角为45°； ②二面角s-AB-N的余弦值为 7 ③点Q到平面AMS的距离为定值； ④线段N0长度的取值范围是2 1 其中所有正确结论的序号是 三.解答题（共6小题，共85分。请将正确答案及过程填在答题纸相应的题号处） 16.已知直线1经过直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点P,且垂直于直线 x-2y-1=0 (1)求直线1的方程： (2)求直线1与两坐标轴围成的三角形的面积S. 17.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥AD,PD=2DC=4, E是棱PA的中点. (1)求证：PC∥平面BDE: (2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求二面角E-BD-A的余弦值， E 条件①：PD⊥DC;条件②：平面PAD⊥平面ABCD, 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分 第3页共6页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 18.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0 (1)若直线I过点(-2,0)且被圆C截得的弦长为2，求直线1的方程； (2)从圆C外一点P向圆C引一条切线，切点为M,O为坐标原点，满足PM=PO, 求点P的轨迹方程. 19.如图1，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,DE上AB于E.将△AED沿DE翻折 到△A'ED,使A'E⊥BE,如图2. (1)求证：平面A'ED⊥平面BCDE: (2)求直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值： (3)设F为线段AD上一点，若EFM平面ABC,求DF的值 FA D A D B 图1 图2 第4页共6页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 20.己知△ABC的AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点M(2,0)为BC边的中点， 点T(-1,)在AC边所在直线上且满足AT,AB=0. (1)求AC边所在直线的方程： (2)求△ABC的外接圆的方程： (3)若点N的坐标为(-n,0),其中n为正整数，试讨论在△ABC的外接圆上是否存在 点P,使得PN=PT|成立？若存在，求出n的所有可能取值：若不存在，请说明理 由. 21.材料：在空间直角坐标系中，经过点P(x,y。,z),法向量为n=(a,b,c)的平面的方 程为a(x-x)+b(y-y)+c(z-z)=0;经过点P(x。,y,z)且方向向量v=(A,B,C)的直 线方程为-。=y-·=-(ABC≠0) A B C 阅读上面材料，并解决下列问题：平面α的方程为x+y+z-2=0,直线1的方程为 1-x 2 =y-2=z (1)证明：1∥平面a; (2)已知点P1,1),直线，：-2 =y-1=z,若点P与直线1。都在平面B上，求平 2 面α与平面B所成角的余弦值的最大值： (3)若集合M={(x,y,z)川x+|y|+|z=2}中所有的点构成了多面体2的各个面，请直 接写出的体积. 第5页共6页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 演算区域 第6页共6页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 北京市第三十五中学2025-2026学年第一学期期中浏试 高二数学评分标准 I卷 一.选择题（共10个小题，每题5分，共50分。每小题只有一个正确选项） 1-5.DCABD 6-10.BCABD Ⅱ卷 二.填空题（共5个小题，每题5分，共25分） 11.2 12.2v2 13.-160:1 14. 65 15.②③④ 5 13题：前3后215题：0,3,5 三.解答题（共6小题，共85分） 16.(10分) 「3x+4y-2=0 x=-2 (1)由2x+y+2=0 一1解得 y=2 所以点P的坐标是（-2,2).—1 又所求直线1与x-2y-1=0垂直，可设直线1的方程为2x+y+m=0.一一一1 把点P的坐标代入得2×(-2)+2+m=0,即m=2.一一1 则所求直线1的方程为2x+y+2=0.—2 (2)令x-0,解得y=-2直线1与x轴交点为A(0,-2)一一—1 令y=0,解得=-1直线1与x轴交点为B(-1,0) -1 所以直线1与两坐标轴围成三角形的面积S=)OAOB卡2XI×2=1.—一2 17.(13分) (I)连接AC交BD于点F,可得F为AC中点，连接EF. 因为EF是△PAC的中位线，所以EF//PC,一一一一1 因为EFC平面BDE,PC史平面BDE,—2 所以PC//平面BDE.一—1 第1页共7页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 (2)选①：PD⊥DC· 因为PD⊥DC,PD⊥AD,又底面ABCD是正方形 所以PD,AD,DC两两相互垂直.如图建立空间直角坐标系D-xyz, 则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,0,2)· 所以DB=(2,2,0)，DE=1,0,2),-— 设平面BDE的法向量为i=(x,y,z), .DB=0 2x+2y=0 则 (a-DE=0’即 x+2z=0 令x=2,则y=-2,2=-1.于是i=(2,-2,-1). --2 又因为ADDC=D,AD,DCC平面ABCD,所以PD⊥平面ABCD, 所以PD⊥平面ABCD,一—1 所以DP=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.一一 设二面角E-BD-A的平面角为0，则 1m昨am-4- 1 由图知0为锐角，cos0= 3 所以二面角E一BD-A的余弦值为3· 选②：平面PAD⊥平面ABCD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,PDC平 面PAD,PD⊥AD, 一1 所以PD⊥平面ABCD,一 1 因为ADC平面ABCD,DCC平面ABCD, 所以PD⊥AD,PD⊥DC, 又底面ABCD是正方形，所以PD,AD,DC两两相互垂直.如图建立空间直角坐标 系D-2,一一--1 则D(0,0,0),B(2,2,0),E(1,0,2). 第2页共7页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 所以DB=(2,2,0)，DE=(1,0,2), 设平面BDE的法向量为i=(x,y,z), 7.DB=0 2x+2y=0 则 ,即 DE=0 x+2z=0’ 令x=2,则y=-2,z=-1.于是i=(2,-2,-1).一一2 又DP=(0,0,4)为平面ABCD的一个法向量.一一一一1 设二面角E-BD-A的平面角为日，则 1DP._I(0,0,4)(2,-2,-)川_1 cos0日cos(DP,i）DP1l4xV4+4+53·= 由图知0为锐角，cos0=1 -1 3 1 所以二面角E-BD-A的余弦值为3. 18.(13分) (1)根据题意，圆C的方程变形可得(x+1)2+(y-2)2=2, 其圆心为(-1,2)，半径为√2，一1 ①当直线l的斜率不存在时，其方程为=-2， 易求直线I与圆C的交点为A(-2,1),B(-2,3),|AB=2,符合题意： ②当直线1的斜率存在时，设其方程为y=k(x+2),即-y+2k=0, 又由弦长为2，半径为√2， 则圆心C到直线1的距离d=-k-2+2k Vk2+1 3 解可得k= 4 所以直线1的方程为3x-4y+6=0, 综上，直线1的方程为x=-2或3x-4y+6=0; 第3页共7页 北京市第三十五中学2025-2026学年度第一学期高二数学期中测试 (2)如图，PM为圆C的切线，连接MC,PC,则CM⊥PM, 所以△PMC为直角三角形，即|PMP=PCP-|MC2一一一-1 设P(x,y),由(1)知C(-1,2),|MC=√2， 因为|PM曰P01,所以(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2, —2 化简得2x-4y+3=0, 检验：圆心到该直线的距离d=75 10 2=r 即相离 点P的轨迹方程为2x-4y+3=0 -2 19.(14分) (I)在菱形ABCD中，因为DE⊥AB,所以DE⊥AE,DE⊥EB,所以AE⊥DE 因为AE⊥BE,AE⊥DE,DE BE=E,DEC平面BCDE,BEC平面 BCDE, —2 所以AE⊥平面BCDE.一一 因为A'EC平面A'ED, 所以平面A!ED⊥平面BCDE. (2)由(1)知AE⊥DE,AE⊥BE,DE⊥BE, 如图建立空间直角坐标系E-xz, 则E(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2√3,0)， C(4,23,0),A'(0,0,2), 所以AE=(0,0,-2),BA=(-2,0,2),BC=(2,2√3,0). 设平面ABC的法向量i=(x,y,z), 元BA=0 [-2x+2z=0 x=Z 由 ,得 i.BC=0 (2x+23y=0'所以 x=-5y 令y=-1,则x=√5，z=√5， 第4页共7页