专题6.8 图形的相似（章节复习）知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题6.8 图形的相似（章节复习） （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：比例线段及黄金分割 2 知识点梳理02：相似图形 2 知识点梳理03：相似三角形 3 知识点梳理04：图形的位似及投影 3 优选题型 考点讲练 6 题型1：比例的性质 6 题型2：黄金分割 7 题型3：相似多边形的性质 8 题型4：利用两角对应相等判定相似 9 题型5：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 13 题型6：相似三角形的判定综合 15 题型7：选择或补充条件使两个三角形相似 17 题型8：利用相似三角形的性质求解 18 题型9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 19 题型10：相似三角形的判定与性质综合 21 题型11：相似三角形——动点问题 24 题型12：相似三角形的综合问题 29 题型13：重心的有关性质 36 题型14：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 38 题型15：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 40 题型16：坐标与图形综合 42 题型17：相似三角形实际应用 44 中考真题 实战演练 46 难度分层 拔尖冲刺 51 基础夯实 51 培优拔高 54 知识点梳理01：比例线段及黄金分割 1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【易错点拨】 （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）． 2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 3. 黄金矩形与黄金三角形： 黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 知识点梳理02：相似图形 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 【易错点拨】 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等. 2.相似多边形 各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形． 【易错点拨】 （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 知识点梳理03：相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 【易错点拨】 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 【易错点拨】 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 知识点梳理04：图形的位似及投影 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 【易错点拨】 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 4.平行投影 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影. (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. (3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即： 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 5.中心投影 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影. (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 题型1：比例的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南衡阳·开学考试）若，则的值是 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查的是比例的性质，熟知两内项之积等于两外项之积是解题的关键． 先根据比例的性质得出，故，再代入代数式进行计算即可． 【规范解答】解：∵， ， 则， ， 故答案为：3． 【变式训练】（24-25九年级下·山东东营·阶段练习）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质进行计算，即可解答． 【规范解答】解：， ， ， 故选：C． 题型2：黄金分割 【典例精讲】（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，正方形的性质，理解黄金分割知识是解题的关键， 根据矩形的性质求出的长度，再代入即可． 【规范解答】解：∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴, ∴, ∴四边形是矩形， ∵， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·广东深圳·模拟预测）点在线段上，若，那么的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，设，则，根据可得：，解方程可得：，所以可得：． 【规范解答】解：如下图所示， 设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：或不符合题意，舍去， ， ， 故答案为： 题型3：相似多边形的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·河南开封·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，四边形内角和定理， 根据相似三角形的性质可得，再代入求值，然后根据四边形内角和定理得出答案. 【规范解答】解：∵四边形四边形， ∴. ∵ ∴ 解得， ∴. 【变式训练】（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查相似多边形的性质，由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【规范解答】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴放大后的宽是， 放大后的矩形的面积． 故选：D． 题型4：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽·阶段练习）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可求证； （2）过点作的垂线，交延长线于点，可求得，进而求得，根据解直角三角形得出的长； （3）过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出，设，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【规范解答】（1）证明：， ，即， ， ， ． （2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形，即， 又， ∴， ， ∴设，则， 又，即, ∴， ， ， ∴， ， ， ∴，即， ， 在中，， ， ． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【思路点拨】（1）由切线的性质可得，由，可证，可得； （2）由是的直径，可知，又因为，可知，再结合圆周角定理以及切线的性质得，再证明，即可求出答案； （3）先证明为等边三角形，结合勾股定理算出，运用面积公式列式计算，即可作答． 【规范解答】（1）证明：如图，连接， ∵是⊙O的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径，是的切线， ∴ 则 即 ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）得， ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 则， ∴的面积． 题型5：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定，在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可． 【规范解答】解：在和中，， A、当时，满足两组角对应相等，可判断，故A正确； B、当时，满足两组角对应相等，可判断，故B正确； C、当时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故C正确； D、当时，其夹角不相等，则不能，故D不正确； 故选：D． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【思路点拨】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【规范解答】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 题型6：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查相似图形，全等三角形的判定和性质．如图，连接交于点O．证明，推出，，再证明当时符合题意即可． 【规范解答】解：如图，设交于点O． ∵和关于直线对称， ∴， ∴，， 当时，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，同法可证，故选项B符合题意． 当或或时都不符合题意． 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，已知的内切圆与两个锐角的角切圆（与角的两边及的内切圆均相切）的半径分别为3，2，1，则的周长为 ． 【答案】 【思路点拨】连接，，，，，，，，，根据切线的性质得出，，，，，，，证明，得出，求出，同理可得：，根据勾股定理求出，，证明四边形为正方形，得出，最后求出结果即可． 【规范解答】解：如图，标记圆心和切点，连接，，，，，，，，， 根据题意可知，，，，，，，， ∵是的内切圆， ∴平分， ∵，，， ∴圆心在上， 同理：圆心在上， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 同理可得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴的周长为： ． 故答案为：． 题型7：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【规范解答】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 【答案】或或（任选一个） 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定，根据相似的判定定理即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【规范解答】解：在和中，∵， ∴当或或时，， 故答案为：或或． 题型8：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级下·上海·阶段练习）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则 【答案】6 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．相似三角形对应角平分线的比等于相似比，据此解答即可． 【规范解答】解：∵，分别是和的角平分线， ∴， ， 故答案为：6． 【变式训练】（25-26九年级下·辽宁大连·阶段练习）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．根据相似三角形的对应高之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方解答即可． 【规范解答】解：∵与相似，且对应高的比为， ∴与的相似比为， ∴与的面积比为. 故答案为：． 题型9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查相似三角形的判定与性质，勾股定理与网格，根据相似三角形的性质画出图形,即可求解． 【规范解答】解：如图所示， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述，与相似（但不全等）的格点三角形的个数是2个 故选：B． 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期末）已知与相似，点分别对应于点，其中． (1)求的长； (2)如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 【答案】(1) (2)见解析 【思路点拨】本题考查了相似三角形的性质，利用网格作相似三角形，掌握相似三角形的性质和网格线的特征是解题的关键． （1）根据相似三角形的性质求解； （2）先根据相似三角形的性质得出为直角三角形，再根据网格的特点作图． 【规范解答】（1）解：∵与相似，点分别对应于点， ∴， ． 又， ， ． （2）解：如图所示，即为所求． 题型10：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【规范解答】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式训练】（25-26九年级下·四川成都·阶段练习）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 【答案】(1)证明详解 (2)，理由见详解 (3) 【思路点拨】（1）本题考查相似三角形的判定，根据得到，根据是的高得到，从而得到，，得到，即可得到证明； （2）由（1）得到，再证即可得到，即可得到答案； （3）先证，，得到，，根据（2）的结论求出，即可求出、的长，再求出，从而得到、的长，最后根据勾股定理求解即可得到答案； 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵、是的两条高， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得：，（不符合题意舍去）， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， 在与中，， ∴， 解得：. 题型11：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的性质，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质列方程求解即可． 【规范解答】解：由题意可得：，， ∴， ∵，，， ∴， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 如图，当时， ∴， ∴， 解得：， 综上：当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为或． 故答案为：或 【变式训练】（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，当点不与点重合时，连接．作点关于直线的对称点，连接，．设点的运动时间为秒． (1)求线段的长； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当点在内部时，求的取值范围； (4)当与相等时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【思路点拨】()根据勾股定理求出的长，点为边的中点，得到结果； ()分两种情况； 当点在上运动时，； 点在上运动时，，得出结论； ()分情况计算出两个临界值，当点在上时，，，根据对应边成比例求出，当 点落在边上时，，点与点重合，，根据对应边成比例求出，最后得出结论； ()根据要求画出图形，利用折叠全等与两角对应相等，两三角形相似，证明出三角形相似，再根据对应边成比例计算出各边的长，最后得到结果． 【规范解答】（1）解：∵，，， ∴， ∵点为边的中点， ∴， （2）当时，点在上时，，， ∴， 当时，点在上时，， ∴综上所述，； （3）如图①，当点在上时，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 如图②，当点落在边上时，， 同理可得：， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 如图③，点 的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆， ∴当点在内部时，， （4）①如图， ∵点关于直线的对称点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图， ∵点关于直线的对称点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴或． 题型12：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（2024·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）有最大值，最大值为1． 【思路点拨】（1）连接，证明，即可求证； （2）分别过点、作、交于点，根据三角形相似对应边成比例，求得DF与DE的数量关系； （3）由题意可知，设，求出与的函数关系式，根据函数性质即可求解． 【规范解答】解：（1）连接，如下图： ∵点D为BC边中点 ∴ 又∵为等腰直角三角形 ∴，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）分别过点、作、交于点 ∵为等腰直角三角形 ∴ 又∵、 ∴、为等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴，即 （3）∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设， ∴ ∴当时，最大，最大为1． 【变式训练】（2024·江苏无锡·一模）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）． （1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时；求t的值． （2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值． 【答案】（1）；（2）所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝2或． 【思路点拨】（1）连接，证明，求得 的值，进而求出，从而求证； （2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得的长度，进而求解． 【规范解答】解：（1）连接，如图， 正方形，矩形， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，， 动点从出发，以每秒1个单位的速度， ； （2）分四种情况， ①当点在上时，如图， 矩形， ， ，， 正方形， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， 动点从出发，以每秒1个单位的速度， ； ②当点落在上时，如图， 为正方形的对角线， ， 矩形， ， ， ， 动点从出发，以每秒1个单位的速度， ； ③当点落在上时，过点作交 于点，如图， 正方形， ，， ， 矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， ，， ， ， ， 解得：， 即， 动点从出发，以每秒1个单位的速度， ； ④当点落在上时，过点作交 于点，如图， 正方形， ，， ， 矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设，，则，， ，， ， ， 解得， 经检验：是原方程的根，且符合题意， ， 动点从出发，以每秒1个单位的速度， ； 故所有符合条件的的值或或或 ． 题型13：重心的有关性质 【典例精讲】（2024九年级下·福建南平·竞赛）在中，点是的重心，若的面积等于6， ． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是三角形的重心，熟知三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1是解答此题的关键． 先根据点是的重心得出，再由的面积等于，得出的面积等于，即可求出． 【规范解答】解：∵中，点是的重心， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式训练】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 【答案】D 【思路点拨】本题考查了三角形的重心，外心，内心及垂心的性质，要理解这“四心”的定义，因为三角形的性质不确定，所以根据题意举反例是解题的关键． 根据三角形重心，外心，内心及垂心的定义及性质逐个选项进行判断． 【规范解答】解：若是的重心，即是三条中线的交点． 当是等边三角形时，如图，，则； 当是非等边三角形时，；故选项A正确； 若是的外心，即是外接圆的圆心， ，故选项B正确； 若是的内心，即是内切圆的圆心， 如图， ∵ ， ， ∵是的内心， ， ， ，故选项C正确； 若是的垂心，即是三条高的交点． 当是直角三角形时，如图，与直角顶点重合， ，故选项D错误． 故选：D． 题型14：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ． (1)画出关于轴对称的； (2)以为位似中心，在网格中画出的位似图形 ，使与的相似比为． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【思路点拨】本题考查了作图——位似变换、作图——轴对称变换，熟练掌握位似的性质、轴对称的性质是解题的关键． （）根据轴对称的性质作图即可； （）根据位似的性质作图即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如上图，即为所求． 【变式训练】（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． (1)在图1中，作的角平分线交于点D； (2)已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； (3)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题主要考查了格点作图，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，位似图形的作法等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求，可证明是等腰直角三角形，证明，进而可证明； （3）根据题意及位似图形的作法作图即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，格线与的交点D即为所求； （2）解：如图所示，取格点E，连接交于O，连接并延长交于Q，点Q即为所求； 可证明是等腰直角三角形，可证明，进而可证明； （3）如图所示，与即为所求． 题型15：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知的顶点，的顶点， 的面积为4，则的面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了位似图形的性质．根据题意可得与的相似比为，即可求解． 【规范解答】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ， ∴与的相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为1． 故选：C 【变式训练】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的坐标为，点的坐标为，的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查位似变换、坐标与图形性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键，由题意得与的相似比为，则与的面积比为，进而可得答案． 【规范解答】解：与是位似图形，位似中心为点，点的坐标为，点的坐标为， 与的相似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积是． 故选：B． 题型16：坐标与图形综合 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【答案】(1)①；②或 (2) 【思路点拨】（）①根据新定义解答即可；②设点，由可得，进而得到，解方程求出即可求解； （）由题意可得点的坐标为，设点为线段上任意一点，则，可得，即可得，得到的最大值是，进而即可求解； 本题考查了坐标与图形，理解新定义是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①∵点，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵点在轴上， ∴设点， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，， ∴， ∴或， 解得或， ∴点的坐标为或； （2）解：∵点在轴上，点在点的上方，点的坐标为，， ∴点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则， ∵点的坐标为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值是，即的值是． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 【答案】 【思路点拨】先确定点C的运动轨迹，再作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于 C，当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大，利用勾股定理求出最大值即可． 本题考查了坐标与图形性质，作出正确的辅助线，确定点C的运动轨迹是解答本题的关键． 【规范解答】解：∵，，即， ∴点C的运动轨迹是以点D为圆心，半径为1的圆周上运动， 如图，作点A关于原点的对称点E，连接，并延长交于点C， ∵O为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， 当最大时，也就是最大，在点C移动过程中，当点C在如图所示的位置时，的值最大， 在中，，，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 题型17：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 【答案】9 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，首先根据证明，根据相似三角形对应边成比例可得，根据可求的长度． 【规范解答】∵， ∴， 又 又 故答案为：9． 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查位似，相似的性质，连接，过点O作于点E，于点F，先判定，即可得对应高之比等于相似比，即可得，即可求解． 【规范解答】解：如图，连接，过点O作于点E，于点F， 由像与蜡烛火焰位似，其位似中心为， ∴， ∵相似比为：， ∴对应高的比为：， ∴， ∴蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为， 故答案为：． 1．（2024·江苏南通·中考真题）矩形中，E是边上一动点，，．则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，，进而可得，即可证明，易得，再设，则，由勾股定理可得，即可获得答案． 【规范解答】解：如下图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（2024·江苏泰州·中考真题）的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为 ，两三角形的相似比是 ． 【答案】 60 4 【思路点拨】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形周长的比等于相似比． 由相似三角形最长的边是对应边，即可求出两个相似三角形的相似比，由相似三角形周长的比等于相似比，即可求出的周长． 【规范解答】解： 与相似且的最长边是24，的最长边是6， 与的相似比是， 的周长， 的周长． 故答案为：60，4． 3.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是相似三角形的判定．（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“”型和“”型，在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． （2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似； （3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似； （4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【规范解答】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意， ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意， 即能满足的条件有2个． 故选：B． 4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 【答案】C 【思路点拨】本题主要考查了反比例函数的几何应用，涉及了勾股定理，求反比例函数的解析式，相似三角形的判定和性质等．设点B的坐标为，则，点，从而得到，再由勾股定理可得，可判定A；当时， ，可判定B；过点F作于点G，则，根据，可得，，从而得到点，进而得到，可判断C；若为边长1的正方形，可得，可判断D． 【规范解答】解：如图， 设点B的坐标为，则， ∵四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点， ∴点， ∴， ∴， ∴， 当，即时，k越小，的长越大，故A选项错误； 当时， ，， ∴ ， 即的大小与有关，不是定值，故B选项错误； ∵矩形面积为16， ∴， 如图，过点F作于点G，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，， ∴点， 把点代入，得： ，故C选项正确； ∵为边长1的正方形， ∴， ∴， 此时当时，取得最小值，为0，故D选项错误． 故选：C 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了圆切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练利用相关性质是解题的关键． （1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，利用切线的性质得到，再根据等角的余角相等证明，然后利用得到结论； （2）设的半径为，则，证明得到，求得，则设，则，即可求解． 【规范解答】（1）证明：连接，如图， 为直径， ， 为的切线， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 解得， ． 基础夯实 1．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，点E在边上，若，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】根据平行四边形的性质，得到平行线，再证明三角形相似，利用相似的性质解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是平行四边形， ∴①，②； 由， 故， 由②可得； 由①知：， ∴． 故选：D． 2．（2024·云南·三模）如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 【答案】B 【思路点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先证明出两个三角形相似，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积是16， ∴， 故选：B 3．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例的性质，根据比例的性质，利用设k法直接进行求解即可． 【规范解答】解：， 设，则， 那么． 故答案为：． 4．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 【答案】9 【思路点拨】本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据得出，由相似三角形的性质得出，再由得出，从而可求出的长即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：9． 5．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长． 【答案】2 【思路点拨】此题重点考查相似三角形的判定与性质，由，，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明，得，由，，得，则，证明是解题的关键． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的长是2． 培优拔高 6．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，由矩形的性质得到，由，得到，即可判断①；由勾股定理可得，证明，得到，可判断③；证明，得到，证得，可判断②；证明，得到，根据勾股定理求出，得到，证明，得到，可判断④；掌握相关知识是解题的关键． 【规范解答】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，故①符合题意； ∵， 在中，由勾股定理可得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故④不符合题意； 综上，结论正确的有①②③，共个． 故选：C． 7．（2025·安徽淮南·一模）把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”．在“类等腰四边形”中，，E为边上一点，若，，则下列两条线段的比值与不一定相等的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了等腰三角形的判定，相似三角形的性质与判定；根据题意画出图形得出是两个相似是等腰三角形，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【规范解答】如图 ，，且， ，，又， ， ∴，， ∴，又， ∴，故A选项不符合题意； ∴，故B选项不符合题意； ∴，故C选项不符合题意； 不一定等于，故D选项符合题意． 故选：D． 8．（2025·江西吉安·一模）如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为 ． 【答案】25 【思路点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相似三角形的面积之比等于相似比的平方．首先证明，然后根据“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”，求得的面积，即可获得答案． 【规范解答】解：∵，， ∴， ∴，即， 解得． 故答案为：25． 9．（2025·甘肃酒泉·三模）如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接．若，则的值为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了尺规作图-作线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，反比例函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．设交于．利用面积法求出的长，再利用相似三角形的性质求出的长，求得，即可解决问题； 【规范解答】解：如图，设交于． 由作图可知，垂直平分线段， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，可得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 【答案】(1)3 (2) 【思路点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． （1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【规范解答】（1）解：由题意可得：， 则， 则， 即， 解得：． （2）解：， ， 光在镜面反射中的入射角等于反射角， ， 又， ， ， ， 解得：， 答：灯泡到地面的高度为． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.8 图形的相似（章节复习） （知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共49题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：比例线段及黄金分割 2 知识点梳理02：相似图形 2 知识点梳理03：相似三角形 3 知识点梳理04：图形的位似及投影 3 优选题型 考点讲练 5 题型1：比例的性质 5 题型2：黄金分割 6 题型3：相似多边形的性质 6 题型4：利用两角对应相等判定相似 6 题型5：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 8 题型6：相似三角形的判定综合 8 题型7：选择或补充条件使两个三角形相似 9 题型8：利用相似三角形的性质求解 9 题型9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 9 题型10：相似三角形的判定与性质综合 10 题型11：相似三角形——动点问题 11 题型12：相似三角形的综合问题 12 题型13：重心的有关性质 13 题型14：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 14 题型15：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 15 题型16：坐标与图形综合 15 题型17：相似三角形实际应用 16 中考真题 实战演练 16 难度分层 拔尖冲刺 18 基础夯实 18 培优拔高 19 知识点梳理01：比例线段及黄金分割 1. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【易错点拨】 （1）若a:b=c:d ，则ad=bc；（d也叫第四比例项） （2）若a:b=b:c ，则b2=ac（b称为a、c的比例中项）． 2.黄金分割的定义：如图，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段与大段的长度之比等于大段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫作线段PB、AB的比例中项），则P点就是线段AB的黄金分割点（黄金点），这种分割就叫黄金分割． 3. 黄金矩形与黄金三角形： 黄金矩形：若矩形的两条邻边长度的比值约为0.618，这种矩形称为黄金矩形. 黄金三角形：顶角为36°的等腰三角形，它的底角为72°，恰好是顶角的2倍，人们称这种三角形为黄金三角形． 黄金三角形性质：底角平分线将其腰黄金分割． 知识点梳理02：相似图形 1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 【易错点拨】 (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等. 2.相似多边形 各角分别相等，各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形． 【易错点拨】 （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比. 知识点梳理03：相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法（一）：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 【易错点拨】 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 【易错点拨】 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似. 2.相似三角形的性质： （1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； （2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比； （3）相似三角形周长的比等于相似比； （4）相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 知识点梳理04：图形的位似及投影 1.位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心. 【易错点拨】 位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心； （2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； （3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 作位似图形的步骤 　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心； 　　第二步：作位似中心与各关键点连线； 　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例； 　　第四步：顺次连接各对应点. 【易错点拨】 位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法. 4.平行投影 在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影. (1) 等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在太阳光下，它们的影子一样长. 　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示，它们在太阳光下的影子一样长，且影长等于物体本身的长度. (3)在同一时刻，不同物体的物高与影长成正比例. 　　即： 　　利用上面的关系式可以计算高大物体的高度，比如旗杆的高度等. 　　注意：利用影长计算物高时，要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 5.中心投影 在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影. (1)等高的物体垂直地面放置时，如图1所示，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长. 　　　　　　　　　　　　　 (2)等长的物体平行于地面放置时，如图2所示.一般情况下，离点光源越近，影子越长；离点光源越远，影子越短，但不会比物体本身的长度还短. 题型1：比例的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·湖南衡阳·开学考试）若，则的值是 ． 【变式训练】（24-25九年级下·山东东营·阶段练习）如果，那么的值是（   ） A． B． C． D． 题型2：黄金分割 【典例精讲】（2025·山西临汾·二模）善，从言从羊，本义“吉祥”．借助如图的正方形习字格书写的汉字“善”端庄稳重．舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“善”字的笔画“．”的位置在AB的黄金分割点C处，且，若，则的长为 cm． 【变式训练】（2025·广东深圳·模拟预测）点在线段上，若，那么的值为 ． 题型3：相似多边形的性质 【典例精讲】（24-25九年级下·河南开封·期中）如图，四边形四边形，分别求的长及的度数． 【变式训练】（2025·河北唐山·一模）如图，老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的矩形面积为（   ） A． B． C． D． 题型4：利用两角对应相等判定相似 【典例精讲】（24-25九年级下·安徽·阶段练习）在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【变式训练】（2025·贵州黔东南·二模）如图，内接于，是的直径，过点C作的切线交的延长线于点D，于点E，的延长线交于F，交于点G，． (1)求证：； (2)判断与是否相似，并说明理由； (3)若，求的面积． 题型5：利用两边对应成比例及其夹角相等判定相似 【典例精讲】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·湖南益阳·期中）如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 题型6：相似三角形的判定综合 【典例精讲】（2025·江苏常州·二模）定义：如果一个四边形的两条对角线将它分成的四个小三角形都是相似三角形，那么称这样的四边形是“全相似四边形”．如图，和关于直线对称，下列条件能使四边形成为“全相似四边形”的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东滨州·开学考试）如图，已知的内切圆与两个锐角的角切圆（与角的两边及的内切圆均相切）的半径分别为3，2，1，则的周长为 ． 题型7：选择或补充条件使两个三角形相似 【典例精讲】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·云南·模拟预测）如图，是的边上一点，添加一个条件，使．你添加的条件是 ． 题型8：利用相似三角形的性质求解 【典例精讲】（25-26九年级下·上海·阶段练习）已知，顶点A、B、C分别与对应，分别是和的角平分线，，，则 【变式训练】（25-26九年级下·辽宁大连·阶段练习）已知与相似且对应高的比为，则与的面积比为 ． 题型9：在网格中画与已知三角形相似的三角形 【典例精讲】（24-25九年级下·黑龙江牡丹江·期末）如图，下列网格由大小相同的小正方形组成，点，，都在正方形网格的格点上．在图中以线段为一边，另一个顶点在格点上，且与相似（但不全等）的格点三角形的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练】（24-25九年级上·福建福州·期末）已知与相似，点分别对应于点，其中． (1)求的长； (2)如图，将放置在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中，的三个顶点均在格点上，请在给出的格点图中画出（仅用无刻度直尺画图，并标明点的位置）． 题型10：相似三角形的判定与性质综合 【典例精讲】（22-23九年级下·海南海口·阶段练习）如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【变式训练】（25-26九年级下·四川成都·阶段练习）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若，，，求线段的长． 题型11：相似三角形——动点问题 【典例精讲】（2024·湖南·模拟预测）如图，中，，已知，，动点P从点B出发沿射线以的速度运动，动点Q从点A出发沿射线以的速度运动，设运动时间为，当以B，P，Q为顶点的三角形和相似时，t的值为 ． 【变式训练】（24-25九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度的速度向点运动，当点不与点重合时，连接．作点关于直线的对称点，连接，．设点的运动时间为秒． (1)求线段的长； (2)用含的代数式表示线段的长； (3)当点在内部时，求的取值范围； (4)当与相等时，求的值． 题型12：相似三角形的综合问题 【典例精讲】（2024·河南商丘·二模）如图1，在等腰中，，点D为斜边AB边上一动点（不含端点）．作，DE，DF分别交AB，AC于点E和点F．请根据图形解答下面问题： 【问题发现】 （1）如图1，若点D为BC边中点．请直接写出DE，DF的数量关系_________． 【类比探究】 （2）如图2，若点D为BC边上一动点，且．猜想DF与DE的数量关系．并证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在边长为4的等边中，点D为BC边上一动点，作．DE交AC边于点E．请问在点D的运动过程中，CE是否有最大值．如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由． 【变式训练】（2024·江苏无锡·一模）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）． （1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时；求t的值． （2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值． 题型13：重心的有关性质 【典例精讲】（2024九年级下·福建南平·竞赛）在中，点是的重心，若的面积等于6， ． 【变式训练】（2025·四川成都·一模）在中，已知，下列判断中错误的是（   ） A．若为重心，则 B．若为外心，则 C．若为内心，则 D．若为垂心，则 题型14：画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【典例精讲】（2025·宁夏银川·三模）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，， ． (1)画出关于轴对称的； (2)以为位似中心，在网格中画出的位似图形 ，使与的相似比为． 【变式训练】（2025·宁夏银川·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成三个画图任务． (1)在图1中，作的角平分线交于点D； (2)已知P是上一点，在（1）的基础上，作点P关于的对称点Q； (3)在图2中，以点C为位似中心，作的位似图形，使边长放大到原来的2倍，请画出所有与位似的图形． 题型15：在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【典例精讲】（2025·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知的顶点，的顶点， 的面积为4，则的面积为（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式训练】（24-25九年级下·山东潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的坐标为，点的坐标为，的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 题型16：坐标与图形综合 【典例精讲】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）新考向新定义在平面直角坐标系中，对于点，记，，将称为点的“横纵偏差”，记作，即，若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的“横纵偏差”，记作． (1)点，． ①的值是 ． ②点在轴上，若，求点的坐标． (2)点在轴上，点在点的上方．若点的坐标为，点的坐标为，，求的值． 【变式训练】（24-25九年级下·江苏宿迁·期末）如图，点A，B的坐标分别为，，点C为坐标平面内一点，，点M为线段的中点，连接，则的最大值为 ． 题型17：相似三角形实际应用 【典例精讲】（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）小明用两根小木棍自制成一个如图所示的“X形”测量工具，与交于点O，，，．现将其放进一个锥形瓶，经测量，，则该锥形瓶底部的内径的长为 ． 【变式训练】（2025·吉林松原·模拟预测）小智利用空的薯片筒、塑料膜等器材，自制了一个可以探究小孔成像特点的物理实验装置，如图，他在薯片筒的底部中央打上一个小圆孔，再用半透明的塑料膜蒙在空筒的口上作光屏，可知得到的像与蜡烛火焰位似，其位似中心为，其中薯片筒的长度为．蜡烛火焰高为，若像高为，则蜡烛到薯片筒打小孔的底部的距离为 ． 1．（2024·江苏南通·中考真题）矩形中，E是边上一动点，，．则的值为 ． 2．（2024·江苏泰州·中考真题）的三边长为4、5、6，与相似且的最长边是24，则的周长为 ，两三角形的相似比是 ． 3.（2024·江苏苏州·中考真题）如图，在中，点、分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，A在x轴上，C在y轴上，四边形为矩形，D、E分别在上，若反比例函数过E、D两点，交于点F．则下列说法正确的是（    ） A．k越小，的长越小 B．当时，为定值 C．若矩形面积为16，时， D．当为边长1的正方形时，最小为 5．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，为直径，为上一点，过点作的切线，与的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求的值． 基础夯实 1．（2025·河南·模拟预测）如图，在中，点E在边上，若，交于点F，则与的面积比为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·云南·三模）如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为（   ） A．16 B．12 C．8 D．6 3．（2025·上海崇明·模拟预测）已知，那么 ． 4．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）如图所示，在中，，平分，交于点P，如果，，，那么的长是 ． 5．（24-25九年级下·广东深圳·开学考试）如图，在中，D，E分别是，上的点，，，，，求的长． 培优拔高 6．（2024·江苏无锡·模拟预测）如图，在矩形中，，连结，E，F分别在边上，连结分别交于点M，N，若，则下列结论中：①；②；③；④．结论正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·安徽淮南·一模）把由不平行于底边的直线截等腰三角形的两腰所得的四边形称为“类等腰四边形”．在“类等腰四边形”中，，E为边上一点，若，，则下列两条线段的比值与不一定相等的是（） A． B． C． D． 8．（2025·江西吉安·一模）如图，已知，若，，的面积是4，则的面积为 ． 9．（2025·甘肃酒泉·三模）如图，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接．若，则的值为 ． 10．（24-25九年级下·四川成都·月考）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上． (1)求的长； (2)求手电筒灯泡到地面的高度． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $