专题6.1-6.2 图上距离与实际距离、黄金分割（知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题）-2025-2026学年苏科版数学九年级下册同步培优精编讲练

专题6.1-6.2 图上距离与实际距离、黄金分割 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【解析版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：成比例线段 1 知识点梳理02：比例的性质 2 知识点梳理03：黄金分割 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：比例的性质 3 题型2：比例线段 4 题型3：成比例线段 5 题型4：黄金分割 6 中考真题 实战演练 8 难度分层 拔尖冲刺 10 基础夯实 10 培优拔高 14 知识点梳理01：成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 【易错点拨】 (1)线段的比是线段长度的比，是两条线段长度的比的运算结果，是一个没有单位的正数. (2)线段的比与所选线段的长度单位无关，在求两条线段的比时，要求两条线段的长度单位必须一致. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 4、比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺。 知识点梳理02：比例的性质 1、比例的相关性质： 2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 知识点梳理03：黄金分割 1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： 题型1：比例的性质 【典例精讲】（25-26九年级下·上海·阶段练习）如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【答案】D 【思路点拨】本题考查的知识点是比例的基本性质，解题关键是熟练掌握比例的基本性质． 根据比例的基本性质对选项进行逐一判断即可． 【规范解答】解：，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，如果，那么，选项式子正确，不符合题意； ，对于，，即，，由，可得，则选项式子正确，不符合题意； ，例如，当，，，时，， 但是，，，所以选项式子不一定正确，符合题意． 故选：． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）已知，，求． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例的性质，根据，，用表示之间的关系，然后代入到中，再化简即可． 【规范解答】解：由得， 由得， 所以． 【变式训练2】（24-25九年级下·广西来宾·月考）若，则 ． 【答案】/ 【思路点拨】此题考查了比例的性质，解题的关键是掌握其性质． 根据题意得到，然后代入求解即可． 【规范解答】解：∵ ∴ ∴． 故答案为：． 题型2：比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【规范解答】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了比例线段，根据比例线段定义即可求解，解题的关键是掌握比例线段定义对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 【规范解答】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 【答案】60 【思路点拨】本题考查成比例线段，设这两景点实际距离为，利用比例尺的定义得到，求出x的值后，把单位化为即可． 【规范解答】解：设这两景点实际距离为， ， 解得， ， 故答案为：60． 题型3：成比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·福建泉州·月考）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【答案】D 【思路点拨】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【规范解答】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； 、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式训练1】（23-24九年级下·四川巴中·期中）下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【思路点拨】本题考查线段成比例的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．依次对每组的四条线段长度按从小到大顺序排列好，然后分别计算前两项的比值和后两项的比值，如果两个比值相等，则说明四条线段成比例，否则不成比例． 【规范解答】解：A、，故四条线段不成比例，不符合题意； B、，故四条线段成比例，符合题意； C、，故四条线段不成比例，不符合题意； D、，故四条线段不成比例，不符合题意； 故选：B． 【变式训练2】（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）已知一条线段能与，，这三条线段组成成比例线段，这条线段的长可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题考查了成比例的线段．熟练掌握若四条线段满足，则是成比例的线段是解题的关键． 根据成比例的线段的定义进行判断作答即可． 【规范解答】解：设这条线段为d， 根据题意可以是：， ∴， ∴ ， 故答案为：（答案不唯一）． 题型4：黄金分割 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义求出的长，即可解决问题，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【规范解答】解：∵P为的黄金分割点，，， ∴， ∴， 即叶片的长度为， 故答案为：． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海普陀·期中）线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【思路点拨】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点P是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【规范解答】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 【变式训练2】（25-26九年级下·陕西西安·阶段练习）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了黄金分割点的运用．解题关键是利用黄金分割点找到线段之间的比例关系．利用黄金分割点可得，进而得解． 【规范解答】解：由题意知：是的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键； 根据题意，可得，进而计算，即可求解； 【规范解答】解：根据， 可得：， 则， 即， 则； 故答案为： 2．（2024·江苏徐州·中考真题）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了分式的性质、代数式求值等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入变形约分即可解答． 【规范解答】解：由可得，则． 故答案为：． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了比例的性质，掌握内项之积等于外项之积成为解题的关键． 依据可得，再代入代数式化简即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【思路点拨】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知的比例关系设出参数，再将其代入所求式子进行计算． 【规范解答】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5.（2024·江苏南通·中考真题）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了黄金分割，线段的和差，由题意可得，再由线段的和差计算即可得解． 【规范解答】解：如图： ， ∵点C、D是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴， 故选：C． 基础夯实 1．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 【答案】C 【思路点拨】本题考查了成立比例的线段，在四条线段中，如果其中的两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．． 根据定义对选项一一分析，排除错误答案即可． 【规范解答】解：∵， ∴， A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、，不符合题意； 故选：C. 2．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了求代数式的值，根据，可得：，把代入代数式，计算即可求出结果． 【规范解答】解： ， ， ． 故选：A． 3．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若 ，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【规范解答】解：由题知， ， 因为， 所以． 故选：B． 4．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为 ．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金分割，根据黄金比的定义列出等式解答即可求解，掌握黄金比的定义是解题的关键． 【规范解答】解：由题意得，， ∴， 故答案为：． 5．（25-26九年级下·上海·阶段练习）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 【答案】17 【思路点拨】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【规范解答】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 6．（25-26九年级下·上海·阶段练习）若（其中），则 【答案】 【思路点拨】本题考查了比例的性质，解题的关键是利用比例的基本性质． 根据合比的性质即可求解． 【规范解答】∵（其中）， ∴． 故答案为：． 7．（2025·江苏盐城·二模）如果，那么 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 【答案】，， 【思路点拨】本题主要考查了比例的性质，利用比例的性质设未知数是解题关键．设，得出，根据，求出，即可得到答案． 【规范解答】解：设， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 9．（24-25九年级下·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 【答案】18 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练运用设法是解题的关键． 设，利用，求得，再利用三角形的周长公式求解即可． 【规范解答】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴的周长为． 10．（24-25九年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【思路点拨】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【规范解答】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 培优拔高 11．（24-25九年级下·山东烟台·期末）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【规范解答】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 12．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【规范解答】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 13．（24-25九年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查成比例线段，判断四条线段是否成比例，逐项验证是否存在两组的比值相等或满足交叉乘积相等即可． 【规范解答】解：A、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； B、∵，∴四条线段3，6，2，4是成比例线段，故此选项不符合题意； C、∵，，不相等，∴四条线段4，6，5，10不是成比例线段，故此选项符合题意； D、∵，∴四条线段是成比例线段，故此选项不符合题意； 故选：C． 14．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）（1）若，则 ． （2）若（x，y，z均不为0），则 ． 【答案】 / 3 【思路点拨】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解和能根据比例的性质进行计算是解此题的关键，注意：如果，那么，反之亦然． （1）根据已知等式设，再代入求出答案即可； （2）设k，根据比例的性质求出，再代入求出答案即可． 【规范解答】解：（1）， 设， 所以 ． 故答案为：； （2）设k， 则， 所以 ． 故答案为：3． 15．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查比例的性质. 当时，根据题意可得，，，当时，根据题意可得，分别代入，即可求解． 【规范解答】解：当时， ∵， ∴，，， ∴， 即 ∴； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 16．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【规范解答】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 17．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为 ．（结果保留根号） 【答案】 【思路点拨】本题考查黄金分割比． 根据题意可得，，即可得液面高度． 【规范解答】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：． 18．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点，证明过程见解析 【思路点拨】（1）设，根据题意，得，解分式方程，即可求解； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②过点作，且；③连接；④以点为圆心，为半径，画弧，交于点；⑤以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为线段的中外比点． 设，根据勾股定理求得，继而求得，，分别代入、，即可求证点为线段的中外比点； （3）当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，分三种情况讨论：①当时，证得，设点，则，根据点、在反比例函数的图象上，可构建方程，解得，分别求得、、、、、的值，即可求证．设直线的函数解析式为，利用待定系数法求得直线的函数解析式为，联立方程组，求得点的坐标，即可求证；②当，同理可证点，，分别为，，的中外比点；③当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符． 【规范解答】（1）解：设，则， 根据题意，得：，即， 整理，得：，解得：，， ， 舍去， ． （2）解：如图所示，点为所求． 设， 根据题意，得：，， ， ，， ，， ， 点为线段的中外比点． （3）解：当是等腰三角形时，点、、分别为，，的中外比点，理由如下： 第一种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， ，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第二种情况：当，则， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设点， ，，则， 点、在反比例函数的图象上， 得：， 由①得：，将其代入②，得：， 整理，得：， 解得：， ，（舍去）， ，，， ，，， ，，， ，， 点、为、的中外比点． 点在反比例函数的图象上，， ， 反比例函数为， ， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得：， 直线的函数解析式为， 联立方程组，解得：， ， ， 点为的中外比点． 第三种情况：当，则点、分别位于轴、轴上，与反比例函数不符，因此这种情况不存在． 综上所述，当是等腰直角三角形时，点，，分别为，，的中外比点． 19．（24-25九年级下·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【思路点拨】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【规范解答】（1）解：设，则， ． （2）设，则， ， ， 解得， ，， ． 20．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了等式的性质及比的性质运算，运用等式的基本性质两边加1，可证；还可以运用比例的性质求解． 【规范解答】方法一：证明：， ， ， ． 方法二：证明：， ． ， ， ． ， 方法三：证明：， ． ， ， ． ． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.1-6.2 图上距离与实际距离、黄金分割 （知识梳理+4个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共37题） 【原卷版】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点梳理01：成比例线段 1 知识点梳理02：比例的性质 2 知识点梳理03：黄金分割 2 优选题型 考点讲练 3 题型1：比例的性质 3 题型2：比例线段 3 题型3：成比例线段 3 题型4：黄金分割 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 拔尖冲刺 5 基础夯实 5 培优拔高 6 知识点梳理01：成比例线段 1、线段的比：在同一长度单位下，量得的两条线段长度的比叫做这两条线段的比. 【易错点拨】 (1)线段的比是线段长度的比，是两条线段长度的比的运算结果，是一个没有单位的正数. (2)线段的比与所选线段的长度单位无关，在求两条线段的比时，要求两条线段的长度单位必须一致. 2、四条线段成比例：对于四条线段a, b, c , d, 如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等.如 = (即 ad = b c).我们就说这四条线段成比例. 3、判断四条线段是否成比例的方法: 首先统一单位，并把四条线段按从小到大(或从大到小)的顺序排列，然后计算并判断.计算的方法有两种： (1)计算前两条线段的比和后两条线段的比，若比值相等，则这四条线段成比例； (2)分别计算第一条线段与第四条线段的乘积、第二条线段与第三条线段的乘积，如果乘积相同，则这四条线段成比例. 4、比例尺：图上距离与实际距离之比称作比例尺。 知识点梳理02：比例的性质 1、比例的相关性质： 2、比例中项：在 = 中，如果b＝c，即 = 那么b2＝ad，这时我们把b叫作a和d的比例中项. 知识点梳理03：黄金分割 1、黄金分割：把线段分成两条线段，且使是的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，其中≈0.618．即 . 简记为： 题型1：比例的性质 【典例精讲】（25-26九年级下·上海·阶段练习）如果（其中，），那么下列式子中不一定正确的是（    ） A． B． C． D．． 【变式训练1】（24-25九年级下·全国·单元测试）已知，，求． 【变式训练2】（24-25九年级下·广西来宾·月考）若，则 ． 题型2：比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·河北邢台·阶段练习）若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】（24-25九年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，已知，，，，则 ． 【变式训练2】（24-25九年级下·江苏盐城·期末）在比例尺为的某地旅游地图上，经测量景点与景点相距约，则这两景点实际距离约 ． 题型3：成比例线段 【典例精讲】（24-25九年级下·福建泉州·月考）下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6 【变式训练1】（23-24九年级下·四川巴中·期中）下列线段能成比例线段的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式训练2】（24-25九年级下·广东梅州·开学考试）已知一条线段能与，，这三条线段组成成比例线段，这条线段的长可以是 ．（写出一个即可） 题型4：黄金分割 【典例精讲】（25-26九年级下·全国·期中）校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么叶片的长度为 ． 【变式训练1】（24-25九年级下·上海普陀·期中）线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【变式训练2】（25-26九年级下·陕西西安·阶段练习）在“国旗在心中”活动中，同学们近距离观赏五星红旗，聆听红旗的故事．如图，在国旗上的任意一个五角星中，是边的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 1．（2024·江苏宿迁·中考真题）已知，那么 ． 2．（2024·江苏徐州·中考真题）已知，那么 ． 3．（2024·江苏连云港·中考真题）已知，那么 ． 4．（2024·江苏盐城·中考真题）已知，则分式（   ） A． B． C． D．1 5.（2024·江苏南通·中考真题）点C、D是线段的两个黄金分割点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 基础夯实 1．（24-25九年级下·广东清远·阶段练习）下列各组线段中是成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，5，9，13 C．1，2，2，4 D．1，2，2，3 2．（2025·云南丽江·一模）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西长治·二模）如图所示，相同的瓶子里装入了不同的水量，用棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时，可以发出“”的音符．若 ，则水面高度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品．在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为 ．（结果保留根号） 5．（25-26九年级下·上海·阶段练习）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 6．（25-26九年级下·上海·阶段练习）若（其中），则 7．（2025·江苏盐城·二模）如果，那么 ． 8．（24-25九年级下·上海虹口·阶段练习）已知a，b，c满足且，试求a，b，c的值． 9．（24-25九年级下·安徽六安·期末）已知a，b，c为的三边长，且满足，，求的周长． 10．（24-25九年级下·云南保山·期末）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 培优拔高 11．（24-25九年级下·山东烟台·期末）宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 12．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级下·山东淄博·期末）下列四条线段（单位：）中，不是成比例线段的是（    ） A． B．3，6，2，4 C．4，6，5，10 D． 14．（24-25九年级下·江苏南京·开学考试）（1）若，则 ． （2）若（x，y，z均不为0），则 ． 15．（24-25九年级下·山东烟台·期中）若，则的值为 ． 16．（24-25九年级下·广东佛山·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 17．（2025·辽宁铁岭·三模）玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶．实验发现，当水面高度与瓶高之比为黄金分割比时，可以敲击出音阶“”．如图，若瓶高，且敲击时发出音阶“”，则液面高度为 ．（结果保留根号） 18．（2025·广东·中考真题）定义：把某线段一分为二的点，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点称为中外比点． (1)如图，点是线段的中外比点，，，求的长． (2)如图，用无刻度的直尺和圆规求作一点把线段分为中外比．（保留作图痕迹，不写作法） (3)如图，动点在第一象限内，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，，与对角线相交于点．当是等腰直角三角形时，探究点，，是否分别为，，的中外比点，并证明． 19．（24-25九年级下·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 20．（24-25九年级下·江苏南京·期中）已知，用两种不同的方法证明． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $