专题05 轴对称图形与等腰三角形8大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期新教材沪科版

专题05 轴对称图形与等腰三角形（期末真题汇编，安徽专用） 8大高频考点概览 考点01 轴对称图形 考点02 线段的垂直平分线 考点03 角平分线的性质 考点04 等腰（边）三角形的性质与判定 考点05 尺规作图 考点06与等腰三角形相关的常用辅助线的作法 考点07 等腰三角形中的分类讨论 考点08 利用轴对称解决有关线段的最值问题. 地 城 考点01 轴对称图形 一、选择题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，熟知如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．根据轴对称图形的定义，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）已知点和点关于轴对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，根据题意，，，求出，，进行解答，即可． 【详解】解：∵点和点关于轴对称， ∴，， 解得：，， ∴． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）若点与点关于 轴对称，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点关于坐标轴对称点的特点，负整数指数幂计算．根据关于轴对称，横坐标不变，纵坐标变为相反数即可求解． 【详解】解：点与点关于 轴对称， ∴，， ∴ 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，坐标与图形的轴对称变化，正确理解题意灵活综合运用知识是解题的关键． （1）利用一次函数解析式求出B点坐标，可知长度，结合已知条件，可求出长度，则C点坐标可求； （2）已知，且D在直线AB上，则D点坐标可求，进而可求解析式，因为点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q，可用m表达出Q坐标，根据Q总在内（不包括边界），列出不等式求解即可． 【详解】解：（1）在中， 当时，， 当时，即，， ， ∵C在y轴的正半轴上，， ， 故答案为：； （2）， ∴点D在线段的垂直平分线上，即在直线上， 在中， 当时，即，解得：， ； 设直线解析式为， ， ， ∴直线解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∵点P为线段上的一个动点，且其横坐标为m， ， ∵P、Q关于x轴对称， ， ∵点Q总在内（不包括边界）， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 5．（24-25八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的； (2)在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可． （2）取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，则点D即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，取点B关于y轴的对称点，连接，交y轴于点D，连接， 此时，为最小值， 则点D即为所求． 由图可得，点D的坐标为 故答案为： 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)在轴上求作一点使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标：______．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】本题考查了画轴对称图形，利用轴对称确定最短路线问题，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点、、关于轴的对称点、、的位置，然后顺次连接即可； （2）找出点关于轴的对称点，连接与轴相交于一点，根据轴对称确定最短路线问题，交点即为所求的点位置，然后写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图所示； （2）作点关于x轴的对应点，连接交x轴于点P，则点P为所求的点，此时点P坐标为， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用关于x轴、y轴对称的点的坐标特征（关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数），找出各顶点的对称点，再顺次连接得到对称三角形． （2）利用轴对称的性质，将四边形周长最小问题转化为两点之间线段最短问题，通过作对称点，连接对称点得到直线，求直线与坐标轴交点来确定、坐标 ． 【详解】（1）解：如图所示的和即为所求作； （2）解：如图，连接交轴于点，交轴于点，则点，即为所求作.设直线的函数表达式为， 将点，分别代入得 ， 解得， ∴直线的函数表达式为． 当时，解得； 当时，解得． ∴点，的坐标分别为，． 【点睛】本题主要考查了轴对称变换（关于坐标轴对称的点的坐标变化规律）以及利用轴对称解决最短路径问题（两点之间线段最短），熟练掌握轴对称的性质和坐标变换规律、两点之间线段最短是解题的关键． 地 城 考点02 线段的垂直平分线 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于G，，周长是13，则的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键．首先根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合周长是13，可解得，即，然后结合即可获得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于G， ∴， ∵周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 根据是线段的垂直平分线得出，将周长转化为即可． 【详解】∵是线段的垂直平分线， ∴ ∴的周长为： 故选：B 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和三角形周长求法，掌握垂直平分线性质是解决本题的关键． 根据垂直平分线性质得，将的周长转化成长度即可． 【详解】解：∵ ，分别是边，的垂直平分线， ， ， 又∵， 的周长为8． 故答案为：8． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若，，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故答案为：10． 三、解答题 5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)的周长为； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论是解题关键． （1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 【详解】（1）解：是线段的垂直平分线， ，. ， . 的周长为， 的周长为 （2）解：是线段的垂直平分线， . ， . ， . 在和中， ， . 6．（20-21八年级上·安徽安庆·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠BAD的度数； （2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长． 【答案】（1）22°；（2）19． 【分析】（1）利用三角形内角和求得∠C＝40°，利用垂直平分线的性质，求得∠DAC＝40°，最后计算∠BAD的度数即可；（2）利用周长的定义，垂直平分线的性质计算即可． 【详解】解：（1）∵∠BAC＝62°，∠B＝78°， ∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣62°﹣78°＝40°， ∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴∠CAD＝∠C＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝62°﹣40°＝22°； （2）∵AD＝CD，AB＝8，BC＝11， ∴△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝8+11＝19． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，熟练运用定理和性质是解题的关键． 地 城 考点03 角平分线的性质 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，角平分线的性质，解二元一次方程组，解答本题的关键是在第四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数． 根据在第四象限的角平分线上时，横纵坐标互为相反数求得m值即可． 【详解】解：∵点在第四象限的角平分线上， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴点M的坐标为． 故选：D 2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，延长与交于点，证明得到，，结合，得到垂直平分，则，即可得到． 【详解】解：延长与交于点， ∵， ∴，， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，是的角平分线，，，． （1）点C到的距离为 ； （2）的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质并求出CD的长度是解题的关键． （1）过点作于，根据三角形的面积公式列式计算即可得解； （2）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：（1）过点作于，如图， ， 即 解得． 故答案为：． （2）过点作于，如图， 是的角平分线，，， ． 设， 则． ， 即， 解得， ． ． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧；分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点． 若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 根据作图可得，是的角平分线，过点作于点，由角平分线的性质可得，由面积的计算即可求解． 【详解】解：根据作图可得，是的角平分线， 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据角平分线的性质，可以得到，，然后根据可以得到和全等，从而可以得到． 【详解】证明：是的平分线，，，垂足分别为、， ，，， 又， ， 在和中， ， ， ． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，为边上的高． (1)实践与操作：仅用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，并交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)推理与计算：在（1）的条件下，若，求点F到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查了作图—基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）过点作于点，如图，则利用角平分线的性质得到，，再证明得到，所以，从而得到点到边的距离． 【详解】（1）解：如图：为所求； （2）解：过点作于点，如图， ∵是的平分线，， 即点到边的距离为2． 地 城 考点04 等腰（边）三角形的性质与判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角性质，等腰三角形的定义，根据三角形外角定义即可求解相邻的内角为，即可得到答案． 【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是， ∴相邻的内角为， ∴顶角是， 故选：D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定；由轴对称的性质得，作的中垂线交于点，则和均为等腰三角形，再分别以点A和点为圆心，为半径作圆与直线有四个交点，则和均为等腰三角形，故可求解． 【详解】解：如图，直线是长方形的一条对称轴，点P是直线上的动点， ， 是等腰三角形， 作或的垂直平分线与直线有一个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，使得和均为等腰三角形， 以点为圆心，为半径作圆与直线有两个交点，，使得和均为等腰三角形， 所以，动点的个数有5个， 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为 【答案】/50度 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质．注意掌握整体思想的应用．利用垂直平分线的性质求，则，，则，再利用三角形的内角和计算． 【详解】解：、的垂直平分线分别交于点、， ，则， 设度， ，则， 设， ， ， 根据三角形内角和定理，， 解得． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 【答案】 12 【分析】（1）运用三角形内角和以及角平分线的定义列式计算，即可作答． （2）根据和的面积比得，延长交于，根据证明，根据全等三角形的性质得到，进而得到，根据三角形的外角性质和等边对等角得到，进而得到，根据等角对等边得到，则即可作答． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 故答案为：； （2）是的角平分线， ， ∵， ∴， 依题意，延长交于 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，根据即可求出的周长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 地 城 考点05 尺规作图 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作角平分线和作垂线，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质是解决问题的关键．根据尺规作图的痕迹，得，是的角平分线，根据角平分线的性质，以及直角三角形锐角互余即可逐项判断即可． 【详解】解：∵根据尺规作图的痕迹，是的角平分线，， ∵， ∴在中斜边， 故A选项不符合题意； ∵，， ∴，， ∴， 故D选项符合题意； ，无法证明， 故B、C选项不符合题意； 故选：D． 二、解答题 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中， (1)尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)判断点E是否在线段的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)点E在线段的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）①先以为圆心，大于到的距离为半径画弧，得与的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过与两弧的交点画射线，交于，则可得答案； ②先以为圆心，任意长为半径画弧，得与的两边相交的两个交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，得两弧的交点，过与两弧的交点画线段，交于，则可得答案； （2）先由是的高，可得，再求得，由是的平分线，可得，从而得出，由等腰三角形的判定可得，最后由线段垂直平分线的判定可得结论． 【详解】（1）解：①如图，则为所作； ②如图，则为所作． （2）解：点E在线段的垂直平分线上，理由如下： ∵是的高， ， 在中，， ， ∵是的平分线， ， ， ， 点E在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题主要考查的是作三角形的高，三角形的角平分线，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定等知识点，熟练应用以上知识解题是关键． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知：在中，，平分交于点． (1)用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】该题主要考查了尺规作角平分线，三角形外角的性质，全等三角形的性质和判定，等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）以点C为圆心任意长为半径画弧交于，再以为圆心，大于的长为半径分别画弧交于点K，连接交于点，即为所求． （2）在中，根据，平分交于点，得出，再根据即可解答． （3）在上截取，连接，证明，得出，根据三角形外角的性质得出，再证明，证出，即可得，即可证明． 【详解】（1）解：如图，点，点即为所求． （2）解：在中， ∵，平分交于点， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）证明：在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】(1)根据尺规作图的要求，作一个角平分线的是先以角的顶点为圆心适当长度为半径画弧，分别交两边于两点，再分别以两点为圆心，适当长度（大于这两点之间线段长度的一半）为半径画弧交于一点，作出射线，即为角平分线； (2)先要根据经验和题意判断线段与的关系，关系有两种一是数量关系，二是位置关系，根据题意不难判断相等且垂直，根据题意易证，易得，再根据角度的换算易得，即可解决此题． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）（2）， 理由如下：延长交于点 平分， ∴， ， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键． 地 城 考点06 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质，根据等边三角形性质求出，过C作直线a，可得，根据平行线的性质求出，从而，根据平行线的性质得到，即可求出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 过C作直线a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①； ②； ③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、等腰三角形的判定与性质，连接，作于，于，则，证明，即可判断①；作交于，证明，得出，结合，得出，即可判断②；作于，设，则，，由②可得，从而可得，即，证明，，由②可得：，从而可得，即可判断③；作于，于，交于，设，则，， 由②可得，，，，求出，从而可得，即可判断④． 【详解】解：①如图，连接，作于，于，则， ， ∵为等边三角形，为的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于，于， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②如图：作交于， ， 则，， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴； 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ③如图，作于， ∵， ∴设，则， ∴， 由②可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由②可得：， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④如图，作于，于，交于， ∵， ∴设，则，， 由②可得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共个， 故选：A． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，中垂线的性质，得到，进而得到，三线合一结合三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】解：连接， ∵的垂直平分线交于点M，交于点N， ∴， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， ∵，D为底边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三线合一和角平分线的性质，先根据等腰三角形的三线合一得到平分，然后利用角平分线的性质得到结论即可． 【详解】证明：连接， ∵， ⸫， ∵M为的中点， ⸫平分， ∵，， ⸫． 5．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）已知：如图，在中，，点在上，点在边的延长线上，与相交于点．若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的性质，等边对等角，全等三角形的判定与性质，过点作交于点，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； 【详解】证明：过点作交于点， ， ， 在和中， 地 城 考点07 等腰三角形中的分类讨论 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如果是等腰三角形，且，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，绝对值的非负性等知识点，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 由绝对值的非负性可得，，再利用等腰三角形的定义并结合三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当为腰时，，不符合三角形三边关系，故不符合题意； 当为腰时，，符合三角形三边关系，此时周长为； 综上所述，的周长为， 故选：B． 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长为（） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能够组成三角形． 分是腰长和底边两种情况讨论求解即可． 【详解】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、， ∴不能组成三角形， 是腰长时，三角形的三边分别为、、， 能组成三角形， 周长， 综上所述，此三角形的周长是． 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级下·安徽·期末）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，关键是分两种情况讨论解答． 分两种情况讨论：若4为底边长，若4为腰长，求解即可． 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故答案为：4． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了含度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，分两种情况考虑：当点在线段上和点在延长线上，分别画出图形解答即可，利用分类讨论的思想解答是解题的关键． 【详解】解：当点在线段上时，如图所示， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 当点在延长线上时，如图所示， 同理可得， ∴ ∵，， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，掌握折叠的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 根据折叠的性质，分类讨论：如图所示，时，是直角三角形，可得是等边三角形；如图所示，，是直角三角形，，；由等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：在，，，，， ∴，， ∴， 如图所示，时，是直角三角形， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 如图所示，，是直角三角形， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长度为或， 故答案为：或 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知等腰三角形周长为，两边之比为，求底边长． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的有关边的相关知识，此外还涉及到三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．由于题中只给出了两边之比，没有明确说明哪个是底哪个是腰，所以应该分两种情况进行讨论计算即可，但是最后需要结合三角形三边的关系将不合题意的结果舍去． 【详解】解：①当腰长与底边的比为时，设腰长为，底边长为， 则：， 解得， ∴，， ∴此时腰长为：8，底边长为：20， ∵， ∴此时三角形不存在，应舍去； ②当底边与腰长的比为时，设腰长为，底边长为， 则， 解得， ∴,， ∴此时腰长为：15，底边长为：6， 综上：满足条件的等腰三角形的底边长为：6． 地 城 考点08 利用轴对称解决有关线段的最值问题. 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、角直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，由直角三角形的性质求得，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 作点关于直线的对称点，过作于，交于， 则此时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴ 故选：B 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．过点C作于点P，交于点E，过点E作于F，则即为的最小值，再根据三角形的面积公式求出的长，即为的最小值． 【详解】解：过点C作于点P，交于点E，过点E作于F， ∵平分，，， ∴， ∴，此时取最小值． ∵的面积为18，， ∴， ∴． 即的最小值为6， 故选：B． 二、填空题 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．点是线段上的一个动点，连接，．已知，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 13 【分析】本题考查等边三角形的性质，正方形的性质，利用轴对称解决线段和最小问题，熟练掌握相关性质，是解题的关键： （1）等边三角形的性质，正方形的性质，得到，，等边对等角，求出的度数即可； （2）作点关于的对称点，连接，，易得为直角三角形，勾股定理求出的长，根据，即可得出结果． 【详解】解：（1）∵是等边三角形，四边形是正方形， ∴，， ∴， 是等腰三角形， ； 故答案为：； （2）作点关于的对称点，连接，，则：，， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵，． ∴，， ， ∴， ∴的最小值是13． 故答案为：13． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，． （1） ． （2）周长的最小值是 ．（用含a、b的代数式表示） 【答案】 30 【分析】（1）证明，即可； （2）首先证明点E在射线上运动，作点A关于直线的对称点M，连接交 于，此时的值最小，根据等边三角形的性质，求出最小值即可． 【详解】解：（1）∵，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：； （2）∵， ∴点E在射线上运动， 作点A关于直线的对称点M，连接交 于，连接，如图所示： 则， ∵， ∴当、、F在同一直线上时，的周长最小， 即点E在点处时，的周长最小， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线上运动，本题难度比较大，属于中考填空题中的压轴题． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 轴对称图形与等腰三角形（期末真题汇编，安徽专用） 8大高频考点概览 考点01 轴对称图形 考点02 线段的垂直平分线 考点03 角平分线的性质 考点04 等腰（边）三角形的性质与判定 考点05 尺规作图 考点06与等腰三角形相关的常用辅助线的作法 考点07 等腰三角形中的分类讨论 考点08 利用轴对称解决有关线段的最值问题. 地 城 考点01 轴对称图形 一、选择题 1．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）已知点和点关于轴对称，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）若点与点关于 轴对称，则 ． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，C在y轴的正半轴上，D在直线AB上，且，．若点P为线段AB上的一个动点，横坐标为m，且P关于x轴的对称点Q总在内（不包括边界）． （1）点C的坐标为 ． （2）点P的横坐标m的取值范围为 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·安徽六安·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出关于x轴对称的； (2)在y轴上求作点D，使得的值最小，点D的坐标为______． 6．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称的； (2)在轴上求作一点使点到两点的距离和最小，请标出点，并直接写出点的坐标：______．（保留作图痕迹，不写作法） 7．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)分别画出关于轴、轴对称的，； (2)分别在轴、轴上找一点，，使得四边形的周长最小，并求出点，的坐标． 地 城 考点02 线段的垂直平分线 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于G，，周长是13，则的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若，，则的周长是 ． 三、解答题 5．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． (1)若，的周长为7，求的周长； (2)若，，求的度数． 6．（20-21八年级上·安徽安庆·期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝62°，∠B＝78°，AC的垂直平分线交BC于点D． （1）求∠BAD的度数； （2）若AB＝8，BC＝11，求△ABD的周长． 地 城 考点03 角平分线的性质 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）在平面直角坐标系中，点在第四象限的角平分线上，且m，n满足，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D．2．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在四边形中，，E是上一点，F是的中点，，若，则的长度是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，是的角平分线，，，． （1）点C到的距离为 ； （2）的面积为 ． 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧；分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点． 若，，则的面积是 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，是的平分线，C是上一点、，，垂足分别为D，E，F点P是上的另一点，连接，．求证：． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，为边上的高． (1)实践与操作：仅用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，并交于点E，交于点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)推理与计算：在（1）的条件下，若，求点F到边的距离． 地 城 考点04 等腰（边）三角形的性质与判定 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽·期末）等腰三角形的一个外角是，则顶角是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，长方形中，，，直线是长方形的一条对称轴，且分别与，交于点，，若直线上有一动点，使得和均为等腰三角形，则动点P的个数有 个． A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，、的垂直平分线分别交于点、，则的度数为 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，是的角平分线，于点E． （1）若，则 ， （2）若，，则 ． 三、解答题 5．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，点D是边上一点，点E为外的任意一点，连接，，，其中，． (1)求证：； (2)若，，，求的周长． 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 地 城 考点05 尺规作图 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论正确的是（    ） A． B． C．平分 D． 二、解答题 2．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知在中， (1)尺规作图：①作的高；②作的平分线，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）； (2)判断点E是否在线段的垂直平分线上，并说明理由． 3．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，已知：在中，，平分交于点． (1)用尺规作图：过点作于点，并交于点（不要求写作法，但要保留作图痕迹）； (2)求的度数； (3)求证：． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 地 城 考点06 与等腰三角形相关的常用辅助线的作法 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，，等边的顶点B在直线b上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）已知为等边三角形，为的中点，，交线段于点E，DF交于点．下列说法中正确的结论有（   ）个 ①； ②； ③若，则； ④若，则． A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 3．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，中，，D为底边的中点，，的垂直平分线交于点M，交于点N．O为线段上一点，则的最小值为 ． 三、解答题 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，M为的中点，于点D，于点E．求证：． 5．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）已知：如图，在中，，点在上，点在边的延长线上，与相交于点．若，求证：． 地 城 考点07 等腰三角形中的分类讨论 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如果是等腰三角形，且，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．16 2．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）若等腰三角形的两边长分别为和，则该三角形的周长为（） A． B． C． D．或 二、填空题 3．（24-25八年级下·安徽·期末）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为 4．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，，是直线上的一点，且满足，则的度数为 ． 5．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，在，，，，，点是边上一动点． 连接，将沿折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，的长度是 ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知等腰三角形周长为，两边之比为，求底边长． 地 城 考点08 利用轴对称解决有关线段的最值问题. 一、选择题 1．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 2．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）如图，在锐角三角形中，，的面积为18，平分，若E，F分别是，上的动点，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、填空题 3．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，点在线段上，是等边三角形，四边形是正方形．点是线段上的一个动点，连接，．已知，． （1） ； （2）的最小值是 ． 4．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，边长为a的等边中，是上中线且，点D在上，连接，在的右侧作等边，连接，． （1） ． （2）周长的最小值是 ．（用含a、b的代数式表示） 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $