专题05 因式分解3大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题05 因式分解（期末真题汇编，安徽专用） 3大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点03 因式分解的应用 地 城 考点01 用提公因式法分解因式 一、选择题 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B．6 C． D．5 2．（23-24八年级下·安徽·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ） A． B． C． D．4 二、填空题 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式： 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）因式分解： ． 三、解答题 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）因式分解：． 地 城 考点02 用公式法分解因式 一、选择题 1．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）当时，式子的值为 ． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式 ． 6．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）分解因式： ． 三、解答题 7．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）分解因式：． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）分解因式： (1)； (2) 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）因式分解： (1)； (2)． 10．（22-23八年级上·安徽淮南·期末）分解因式： (1)； (2)． 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列分解因式的过程：． 解：原式 ． 像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． (1)请你运用上述配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 12．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： 原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：________________； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 地 城 考点03 因式分解的应用 一、选择题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 3．（22-23八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（21-22八年级上·安徽芜湖·期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ． 三、解答题 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如果一个正整数能写成的形式（其中a、b均为自然数），则称之为聪明数，比如6和24均是聪明数，因为，． (1)请证明：22和88都是聪明数； (2)请证明：任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 7．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）王老师在黑板上写了三个等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请你结合以上等式的规律，解答问题： (1)请你写出第5个等式：________； (2)设两个连续奇数分别为，（n为正整数），试说明其平方差是8的倍数． 8.（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 9．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶平方差数”．如，，，因此，，都是“偶平方差数”． (1)已知是“偶平方差数”，则______； (2)设两个连续偶数为和（为整数，且），由这两个连续偶数构造的“偶平方差数”是的倍数吗？为什么？ (3)根据上面的讨论，判断是不是“偶平方差数”，如果不是，请说明理由；如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式． 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 问题解决： (1)请你按照上面的方法分解因式：； (2)已知一个长方形的面积为，宽为，求这个长方形的长． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解（期末真题汇编，安徽专用） 3大高频考点概览 考点01 用提公因式法分解因式 考点02 用公式法分解因式 考点03 因式分解的应用 地 城 考点01 用提公因式法分解因式 一、选择题 1．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）已知，，则的值为（    ） A． B．6 C． D．5 【答案】B 【分析】本题因式分解、考查代数式求值，由，进行整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽·期末）下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解是解题的关键．根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式的积的形式，）对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、是整数乘法，故不是因式分解，不符合题意； B、，不是整式，故不是因式分解，不符合题意； C、，是单项式，故不是因式分解，不符合题意； D、是因式分解，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式： 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）因式分解：． 【答案】 【分析】提取公因式即可求解； 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 【详解】解： 地 城 考点02 用公式法分解因式 一、选择题 1．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）下列式子因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是判断是否分解正确且彻底．     对各选项逐一进行因式分解验证即可． 【详解】解：A.，A正确，符合题意． B.，原选项分解有误，B错误，不符合题意． C.，原选项未彻底分解，C错误，不符合题意． D.，原选项分解不彻底，D错误，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）若在整数范围内可以进行因式分解，则常数a的值有（    ）个 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】此题主要考查的是十字相乘法分解因式等有关知识，对常数16的正确进行质因数分解，是解题的关键． 利用十字相乘法进行求解即可． 【详解】解：根据“十字相乘法”得， ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ，此时； ∴的值一共有6个， 故选：C． 3．（23-24八年级上·安徽芜湖·期末）下列因式分解结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分解因式的知识，熟知分解因式的方法是解题的关键．根据因式分解的概念，利用提公因式法、公式法等，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故本选项不正确，不符合题意； B. ，本选项正确，符合题意； C. ，故本选项不正确，不符合题意； D. ，不能再分解，故本选项不正确，不符合题意． 故选：B 二、填空题 4．（24-25八年级下·安徽六安·期末）当时，式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，配方的应用，由得，然后把代入即可求解，熟练运用完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：由， 当时， 原式， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·安徽芜湖·期末）分解因式 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．套用平方差公式分解是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 6．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． 三、解答题 7．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）分解因式：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握运用公式法因式分解成为解题的关键． 直接运用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为． 8．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）分解因式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式，再套用公式分解即可． （2）先运用平方差公式，再利用完全平方公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，公式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 9．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法和乘法公式是解答的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）利用提取公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（22-23八年级上·安徽淮南·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取，再利用完全平方公式分解因式； （2）把看成一个整体，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： （2）解： 【点睛】本题考查分解因式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）观察下列分解因式的过程：． 解：原式 ． 像这种通过增项或减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法． (1)请你运用上述配方法分解因式：； (2)已知的三边长a，b，c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1)； (2)23． 【分析】（1）本题考查了因式分解，掌握公式法即可解题． （2）本题考查了配方法运用，将原式变形为，再根据平方的非负性，解出a和b的值，最后利用三角形三边关系即可解题． 【详解】（1）解：原式， ． （2）解：由整理， 得， ， ， 解得，． 由三角形三边之间的关系，得． 为正整数，周长最大， ， ， 即周长的最大值为23． 12．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式： 原式 ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：________________； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中为任意实数，试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，最小值为 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据完全平方公式的特征求解． （2）先配方，再求最小值． （3）作差后配方比较大小． 【详解】（1）解：∵ 故答案为：，． （2）解： ∵， ∴当时，原式有最小值． （3）∵，， ． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查配方及其应用，掌握完全平方公式的结构特征是求解本题的关键． 地 城 考点03 因式分解的应用 一、选择题 1．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知下面三个关于的一元二次方程恰好有一个相同的实数根，则的值为（    ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．把代入3个方程得出，3个方程相加即可得出，即可求出答案． 【详解】解：把代入得： ，，， 相加得：， ， ， ∵， ∴， 故选：A． 2．（22-23八年级上·安徽合肥·期末）若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】将，进行因式分解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或； ∴这个三角形一定是等腰三角形． 故选D． 【点睛】本题考查因式分解的应用．解题的关键是掌握分组法进行因式分解． 3．（22-23八年级下·安徽六安·期末）一元二次方程，满足，且方程有两个相等的实数根，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程有两个相等的实数根，可得，，再把代入即可得到答案． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴，而， ∴， 故选D 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的含义，因式分解的应用，熟记方程有两个相等的实数根时，则是解本题的关键． 二、填空题 4．（21-22八年级上·安徽芜湖·期末）已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ． 【答案】16 【分析】先提取公因式ab，然后再用完全平方公式因式分解，最后代入计算即可． 【详解】解：a3b+2a2b2+ab3 =ab（a2+2ab+b2） =ab（a+b）2 =1×42 =16． 故答案是16． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，掌握运用提取公因式法和完全平方公式因式分解是解答本题的关键． 三、解答题 5．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）请通过计算说明：当n为任意正整数时，能被8整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用；利用平方差公式即可解决． 【详解】解：， ∴当n为任意正整数时，能被8整除． 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如果一个正整数能写成的形式（其中a、b均为自然数），则称之为聪明数，比如6和24均是聪明数，因为，． (1)请证明：22和88都是聪明数； (2)请证明：任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了整式乘法运算以及分解因式、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键 （1）根据，，结合定义判断即可． （2）设两个聪明数分别为和（其中a、b、、均为自然数），则两个聪明数的乘积为，然后根据乘法公式化简，最后分解因式即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴22和88都是聪明数； （2）证明：设两个聪明数分别为和（其中a、b、、均为自然数）， ∵ ， ∴任何两个聪明数的乘积依旧是聪明数． 7．（22-23八年级下·安徽宿州·期末）王老师在黑板上写了三个等式． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ⋯ 请你结合以上等式的规律，解答问题： (1)请你写出第5个等式：________； (2)设两个连续奇数分别为，（n为正整数），试说明其平方差是8的倍数． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】（1）根据题目所给的规律推出即可； （2）利用平方差公式进行化简即可． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）解：由两个连续奇数分别为，（n 为正整数） ， ， ． 两个连续奇数的平方差是8的倍数． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，公式法分解因式是常用的方法． 8.（24-25八年级下·安徽合肥·期末）若a是关于x的一元二次方程的一个根 (1)求m的取值范围； (2)若是关于x的一元二次方程的一个根； ①请用含a、b的式子表示n； ②若，且，求b的值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程解的定义，因式分解的应用，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）由题意易得，然后求解即可； （2）①先根据a是关于x的一元二次方程的一个根得出，再根据是关于x的一元二次方程的一个根，得出，然后把代入求出结果即可； ②根据，，得出，因式分解得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知：关于x的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：①∵a是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 解得：， ∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， 把代入得： ， ∴ 解得：； ②∵，， ∴， 整理得：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 9．（22-23八年级上·安徽阜阳·期末）如果一个正整数能表示成两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“偶平方差数”．如，，，因此，，都是“偶平方差数”． (1)已知是“偶平方差数”，则______； (2)设两个连续偶数为和（为整数，且），由这两个连续偶数构造的“偶平方差数”是的倍数吗？为什么？ (3)根据上面的讨论，判断是不是“偶平方差数”，如果不是，请说明理由；如果是，请写成两个连续偶数平方差的形式． 【答案】(1)； (2)是，理由见解析； (3)是，理由见解析． 【分析】（）根据“偶平方差数”的定义即可求解； （）根据题意，列出算式，运用平方差公式进行计算即可判断； （）通过“偶平方差数”是的倍数，则，然后写成两个连续偶数的平方差； 此题考查了因式分解的实际应用，掌握平方差公式，理解新定义的意义是解题的关键． 【详解】（1）设是“偶平方差数”，设连续的两个数为和，则， 解得：， ∴，即， 故答案为：； （2）这两个连续偶数构造的“偶平方差数”是的倍数，理由如下： ， ∴两个连续偶数构造的“偶平方差数”是的倍数， ∵是奇数， ∴两个连续偶数构造的“偶平方差数”是的倍数，不是是的倍数， （3）是“偶平方差数”，理由： ∵， ∴， ∴是“偶平方差数”． 10．（23-24八年级下·安徽宿州·期末）问题背景：对于形如这样的二次三项式，可以直接用完全平方公式将它分解成，对于二次三项式，就不能直接用完全平方公式分解因式了．此时常采用将加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 问题解决： (1)请你按照上面的方法分解因式：； (2)已知一个长方形的面积为，宽为，求这个长方形的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解及因式分解的应用，解答本题的关键是理解题中因式分解的方法． （1）原式加上再减去组成完全平方式，然后再利用平方差公式进行分解； （2）利用题中所给方法对进行因式分解即可得到这个长方形的长． 【详解】（1） ； （2）∵ ∴宽为时这个长方形的长为． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $