第01讲 因式分解（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（人教版新教材）

第01讲 因式分解 知识点1：因式分解的定义 知识点2：公因式 知识点3：提公因式分解因式 知识点4：公式法分解因式 知识点5：提公因式与公式法分解因式综合 知识点6：十字相乘法分解因式 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【题型一 判断是否是因式分解】 【典例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 【典例2】如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【变式1】已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【变式2】若可分解为，则 ． 【变式3】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型三 公因式】 【典例3】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【变式1】与的最大公因式是（  ） A． B． C． D． 【变式2】将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【变式3】多项式的公因式是 ． 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【题型四 提公因式法分解因式】 【典例4】分解因式： (1)； (2)． 【变式1】分解因式： 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【变式3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型五 平方差公式分解因式】 【典例5】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】若，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【变式2】因式分解： ． 【变式3】因式分解： ． 【题型六 完全平方公式分解因式】 【典例6】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】下列各式能用完全平方公式分解因式的是（    ） A．B． C． D． 【变式2】分解因式： ． 【变式3】因式分解： ． （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型七 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】因式分解 (1) (2) 【变式1】分解因式： (1) (2) 【变式2】因式分解： (1)； (2)． 【变式3】分解因式： (1)． (2)． 【题型八 因式分解在有理数简算中的应用】 【典例8】利用公式简便运算： (1)； (2)． 【变式1】利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式3】用乘法公式简便计算： (1) (2) 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型九 十字相乘法】 【典例9】【阅读与理解】 将多项式分解因式，我们可以下面的方法分解： ①拆分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种分解因式的方法成为“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或，方程可以这样求解： 方程左边因式分解：，所以原方程的解为，． 【解决问题】 （1）【二次项系数为1】 试用上述方法和原理解下列方程： ①    ②    ③ （2）【二次项系数不为1】解方程 【变式1】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【变式2】探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【变式3】【探究】如何把多项式因式分解？ （1）【观察】上式_______（填“能”或“不能”）直接利用完全平方公式进行因式分解． （2）【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道．将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①； ②． 【题型十 分组分解法】 【典例10】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【变式1】因式分解： 【变式2】因式分解： 【变式3】先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 【题型十一 因式分解的应用】 【典例11】阅读材料： ①用配方法分解因式： 解：原式 ②已知，利用配方法求M的最小值． 解：， ，， 当时，M有最小值 解决问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知，求M的最大值； (3)证明： 【变式1】如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 【变式2】小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．        (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； (4)动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 【变式3】利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 分解因式： （1） 若，求的最小值 （2） ∵，，∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长． 一、单选题 1．分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．若，且，．则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ） A．1 B．8 C． D． 5．对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 6．若，，则的值为（  ） A．6 B． C． D． 7．分解因式的结果是（   ） A．B． C． D． 二、填空题 8．分解因式： ． 9．因式分解： ． 10．如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当，，，时， V． 三、解答题 11．因式分解 (1)； (2)； (3) (4)． 12．阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 因式分解 知识点1：因式分解的定义 知识点2：公因式 知识点3：提公因式分解因式 知识点4：公式法分解因式 知识点5：提公因式与公式法分解因式综合 知识点6：十字相乘法分解因式 1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2.掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系． 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式． 【题型一 判断是否是因式分解】 【典例1】下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查因式分解的理解．根据因式分解的定义“把一个多项式化成几个整式的乘积的形式”，由此即可求解． 【详解】解：、，是因式分解，该选项符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 、，不是因式分解，该选项不符合题意； 故选：． 【变式1】下列从左到右的变形中，是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式化为整式积的形式即可． 【详解】解： 选项A：变形结果不是整式的积，不符合因式分解的定义； 选项B：左边多项式 化为 ，是整式积的形式，符合因式分解的定义； 选项C：右边是 ，是和的形式，不符合因式分解的定义； 选项D：左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解的定义． 故选：B． 【变式2】下列各式中，由左向右变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题关键． 根据因式分解的定义，判断等式是否满足左边是多项式，右边是几个整式的积，且左右相等即可． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式； 对于A：右边为，未分解彻底，不符合题意； 对于B：右边为，是整式乘法展开，不是因式分解，不符合题意； 对于C：右边为，含有加法运算，不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 对于D：右边为，是积的形式，且左右相等，符合因式分解定义，符合题意； ∴故选：D． 【变式3】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义，并确保变形正确是解题的关键，根据因式分解的定义判断各选项即可得到答案． 【详解】解：A．右边为和的形式，不是积，此项错误； B．右边为和的形式，不是积，此项错误；； C．左边为多项式，右边为整式的积，且等式成立，此项错误； D．，此项错误； 故选：C． 【题型二 已知因式分解的结果求参数】 【典例2】如果是的一个因式，则的值为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的意义，求出x的值是解决问题的关键． 根据是的一个因式得出的值，再将的值代入原式求解m即可． 【详解】解：∵是的一个因式， ∴， ∴， 将代入得， ， ∴． 故选：D． 【变式1】已知多项式分解因式的结果为，则b，c的值分别为（   ） A．3， B．，4 C．20，4 D．20， 【答案】C 【分析】本题主要考查分解因式，先变形为，然后根据对应项相等计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：C． 【变式2】若可分解为，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查因式分解求参数，将展开，根据对应项相同，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：7． 【变式3】已知二次三项式因式分解的结果是，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确运用多项式乘多项式运算法则是解题关键．直接利用多项式乘多项式运算法则得出p，q的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故，， 则． 故答案为：1． 像多项式 pa  pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p 叫做这个多项式各项的公因式 注意：公因式的构成一般情况下有三部分： ①系数一各项系数的最大公约数； ②字母——各项含有的相同字母； ③指数——相同字母的最低次数； 【题型三 公因式】 【典例3】将多项式分解因式时，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查公因式的确定，确定公因式需考虑系数、字母及指数：系数取各项系数的最大公因数（带符号），字母取各项共有字母，指数取各字母的最小指数． 【详解】解：∵ 多项式各项系数为、、12，最大公因数为 ， 各项共有字母为a和b， a的最小指数为2，b的最小指数为2， ∴ 公因式为． 故选：D． 【变式1】与的最大公因式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最大公因式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的，即可写出答案． 【详解】解：根据最大公因式的确定方法：①系数取最大公因数，②字母取公共的字母，③相同字母指数取最小的， ∴与的最大公因式是． 故选：C． 【变式2】将因式分解，则应提取的公因式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查公因式的确定，找出系数的最大公约数，相同字母（多项式）的最低次幂，即可确定公因式． 【详解】解：因式分解时，应提取的公因式是． 故答案为：． 【变式3】多项式的公因式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式，运用提公因式的法则直接求出该多项式的公因式，熟练掌握提公因式是解答此题的关键． 【详解】解：多项式的公因式是， 故答案为：． 提公因式法的步骤： 第一步是找出公因式； 第二步是提取公因式并确定另一因式． 需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项． 注意： ①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”； ②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的． 【题型四 提公因式法分解因式】 【典例4】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是解答本题的关键． （1）原式提取公因式即可； （2）原式提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】分解因式： 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接提取公因式进行分解因式即可． 【详解】解： ． 【变式2】分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键． （1）原式直接提取公因式即可； （2）原式直接提取公因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式． （1）根据提取公因式法分解因式即可． （2）根据提取公因式法分解因式即可． （3）根据提取公因式法分解因式即可． （4）根据提取公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b）2 【题型五 平方差公式分解因式】 【典例5】下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用．根据平方差公式，解答即可． 【详解】解：A、，为两平方项相加，无法用平方差公式分解，故本选项不符合题意； B、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； C、，符合平方差公式，可分解为，故本选项符合题意； D、，不符合平方差公式条件，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】若，则的值为（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．利用平方差公式将已知条件代入求解． 【详解】解：∵ ，且 ， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ． 故选：C． 【变式2】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查利用公式法分解因式，利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式3】因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了用平方差公式分解因式，把写成，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型六 完全平方公式分解因式】 【典例6】下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式的因式分解，熟练掌握完全平方公式的形式是解题的关键． 根据完全平方公式的形式，逐一分析每个选项是否符合该形式． 【详解】解： 完全平方公式为 选项A，，是平方差公式，不符合完全平方公式； 选项B，，中间项与完全平方公式中形式不匹配（若，，则），不符合完全平方公式；； 选项C，，常数项为，不是非负数，不符合的形式即不符合完全平方公式； 选项D，，其中，，，且， ∴ ，符合完全平方公式因式分解． 故选：D． 【变式1】下列各式能用完全平方公式分解因式的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，完全平方式：即两数的平方和与这两数积的两倍的和或差。判断时先看是否有两数的平方和，再看是否有这两数的积的两倍的和或差即可。根据完全平方公式特点，即可判断出答案． 【详解】解：、两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、先把多项式变形为：，没有两数的平方和，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式不能用完全平方公式，选项不符合题意； 、先把多项式变形为：，两数的平方和为：，两数积的两倍的和或差为：，故原式能用完全平方公式，选项符合题意． 故选：． 【变式2】分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； 根据完全平方公式解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式3】因式分解： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． （1） 提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． （2） 公式法： ①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b） ②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2 a2－2ab＋b2＝（a－b） 【题型七 综合提公因式和公式法分解因式】 【典例7】因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）先提取公因式x，再利用平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因式x，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）先提取公因式，再用平方差公式分解； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解． 【详解】（1）； （2） ． 【变式2】因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了因式分解． （1）先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）根据完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】分解因式： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）提公因式后利用平方差公式进行因式分解即可； （2）提公因式后用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型八 因式分解在有理数简算中的应用】 【典例8】利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 【变式1】利用因式分解计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【答案】(1) (2)4 (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式、提公因式法进行简便计算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据完全平方公式进行计算即可； （3）利用提公因式法进行计算即可； （4）整理后，利用提公因式法进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式2】用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟知因式分解的方法是解题的关键． （1）利用平方差公式把原式分解因式得到，据此计算求解即可； （2）把原式提取公因数20，再利用完全平方公式分解因式得到，据此计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】用乘法公式简便计算： (1) (2) 【答案】(1)1600 (2)9 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ） 2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积， 即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1， c2 排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的 一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与 a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ． 【题型九 十字相乘法】 【典例9】【阅读与理解】 将多项式分解因式，我们可以下面的方法分解： ①拆分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种分解因式的方法成为“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或，方程可以这样求解： 方程左边因式分解：，所以原方程的解为，． 【解决问题】 （1）【二次项系数为1】 试用上述方法和原理解下列方程： ①    ②    ③ （2）【二次项系数不为1】解方程 【答案】①；②；③；（2） 【分析】本题考查了十字相乘法分解因式的应用，正确利用十字相乘法分解因式是解题关键． （1）①利用十字相乘法解方程即可；②利用十字相乘法解方程即可；③利用十字相乘法解方程即可； （2）利用十字相乘法解方程即可． 【详解】解：（1）①     ， ∴， 解得：； ②     ， ， 解得：； ③ ， ， 解得：． （2） ， ∴， 解得：． 【变式1】阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：， （1）二次项系数：； （2）常数项：； （3）验算：“交叉相乘之和”． 发现第③个“交叉相乘之和”，与一次项系数相等，则． 像这样，通过十字交叉线的帮助，把二次三项式因式分解的方法，叫作“十字相乘法”． 仿照以上方法，因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用十字相乘法进行因式分解，解答关键是仿照例题方法解题． （1）根据题意利用十字相乘解题即可； （2）根据题意利用十字相乘解题即可． 【详解】（1）解：： 二次项系数，常数项． 验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以； （2）解：： 二次项系数， 常数项，验算交叉相乘之和：，不符合； 再尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；继续尝试常数项，验算交叉相乘之和：，不符合；最后尝试常数项，验算交叉相乘之和：，与一次项系数相等． 所以． 【变式2】探究：将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答： 解：①分解二次项与常数项：， ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫十字相乘法． 根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； （）利用十字相乘法对方程的左边进行因式分解，进而根据乘法原理解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握十字相乘法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，； （2）解：∵，， 又∵， ∴方程可化为， ∴或， ∴，． 【变式3】【探究】如何把多项式因式分解？ （1）【观察】上式_______（填“能”或“不能”）直接利用完全平方公式进行因式分解． （2）【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道．将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即．多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为两数之和． 【运用】请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①； ②． 【答案】（1）不能；（2）①；② 【分析】本题考查了因式分解． （1）根据完全平方公式判断即可； （2）①根据进行分解，即可求解； ②根据进行分解，即可求解． 【详解】解：（1）不能 （2）① ． ② ． 【题型十 分组分解法】 【典例10】常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1） （2）等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 【变式1】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 【变式2】因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了利用分组分解法分解因式，涉及了完全平方公式、平方差公式，正确进行分组是解题的关键． 将分组为，然后利用完全平方公式及平方差公式进行分解即可． 【详解】解： 【变式3】先阅读下面的材料，再分解因式． 要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得． 这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做分组分解法．如果把一个多项式中的各项进行分组并提出公因式后，还有公因式，那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解． 请用上面材料中提供的方法因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分组分解法进行因式分解，理解阅读材料并灵活应用是解决问题的关键． （1）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； （2）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； （3）根据阅读材料的分组分解法进行计算即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ． 【题型十一 因式分解的应用】 【典例11】阅读材料： ①用配方法分解因式： 解：原式 ②已知，利用配方法求M的最小值． 解：， ，， 当时，M有最小值 解决问题： (1)用配方法因式分解：； (2)已知，求M的最大值； (3)证明： 【答案】(1) (2)M的最大值为6 (3)见解析 【分析】（1）依据题意得，，从而可以分解因式得解； （2）依据题意得，，又，则，故，进而可以得解； （3）依据题意得，，从而可以判断得解． 本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 【详解】（1）解：由题意得， （2）解：由题意得，， 又， ， ， 的最大值为6； （3）证明：由题意得， 对任意实数x，均有，， ，即恒成立． 【变式1】如图，在半径为R的圆形钢板上冲出半径为r的四个小圆孔．若，，请你利用因式分解的方法计算出剩余钢板的面积．（取3） 【答案】剩余钢板的面积为 【分析】本题是因式分解的应用，用大圆的面积减去4个小圆的面积即可得到剩余部分的面积，分解因式后把半径的值代入后可得结果，熟练地运用平方差公式进行计算是解题的关键． 【详解】解： ． 则剩余钢板的面积为． 【变式2】小刚同学动手剪了如图1所示的正方形与长方形纸片若干张．        (1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图2）． 根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式： (2)如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要2号卡片 张，3号卡片 张； (3)当他拼成如图3所示的长方形，根据6张小纸片的面积和等于大长方形的面积，可以把多项式分解因式，其结果为 ； (4)动手操作：请你依照小刚的方法，画出拼图，利用拼图分解因式：． 【答案】(1) (2)2，5 (3) (4)见解析 【分析】本题考查了因式分解，用面积法验证代数等式，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用面积相等即可求解． （2）根据题意，，进而可求解． （3）根据小纸片面积之和与大纸片面积相等即可求解． （4）根据小刚的方法先画图，再根据小纸片的面积之和与大纸片的面积相等即可求解． 【详解】（1）这个乘法公式是， 故答案为：； （2）， 需要2号卡片2张，3号卡片5张； 故答案为：2，5； （3）由图③可知矩形面积为， 所以， 故答案为：； （4）， 如图， 故答案为：． 【变式3】利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 分解因式： （1） 若，求的最小值 （2） ∵，，∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值为3 (3)12 【分析】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b、c，可求出答案. 【详解】（1）解： = ； （2）解： ， ∵，， ∴当 ， 时，多项式有最小值为3； （3）解：， 变形为 ， 整理得， ， 所以周长． 一、单选题 1．分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解中提取公因式的方法，解题的关键是确定各项系数的最大公约数和相同字母的最低次幂． 需要分别分析系数和相同字母的幂次，确定公因式． 【详解】解：∵系数6和3的最大公因数为3，字母部分和中，x的最低次幂为1，y的最低次幂为1， ∴公因式为． 故选：A． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义，解题的关键是明确因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 根据因式分解的定义，逐一分析每个选项是否将多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、是整式乘法，是把两个整式的积化为一个多项式，不是因式分解； B、，右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； C、，将多项式化为了两个整式和的积的形式，符合因式分解的定义； D、，右边的是分式，不是整式，不是因式分解． 故选：C． 3．若，且，．则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．由已知条件，通过将两个方程相减并因式分解，可求出的值． 【详解】解：∵， 将两式相减： ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， 故选：A． 4．已知多项式可以用完全平方公式进行因式分解，则a的值为（    ） A．1 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用完全平方公式因式分解，熟练掌握完全平方公式的结构是解题的关键．根据完全平方公式的结构，即可判断答案． 【详解】根据完全平方公式，可知． 故选：D． 5．对于任何正整数m，多项式都能（    ） A．被8整除 B．被m整除 C．被整除 D．被整除 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解公式法和提公因式法，熟练掌握提公因式法是解本题的关键．将该多项式分解因式，其必能被它的因式整除． 【详解】解： 故多项式能被整除． 故选：A． 6．若，，则的值为（  ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解和化简求值，熟练掌握提取公因式和完全平方公式是解题的关键．将所求表达式因式分解为，然后代入已知值即可． 【详解】解： ， 又 ，， 原式， 故选：C． 7．分解因式的结果是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了提取公因式法，直接利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解： = 故选： B． 二、填空题 8．分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用提公因式法因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 9．因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为 ：． 10．如图，把，，三个电阻串联起来，线路AB上的电流为I，电压为U，则．当，，，时， V． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题目特点可用提公因式的方法进行因式分解．用提公因式法把，因式分解为，再进行计算求值． 【详解】解： 故答案为： ． 三、解答题 11．因式分解 (1)； (2)； (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了因式分解等知识，因式分解的一般步骤是“一提二套三检查”，注意分解要彻底． （1）先提公因式，再利用完全平方公式分解即可； （2）先提公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （3）先分组进行提公因式，再进行提公因式即可； （4）根据十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 12．阅读材料：把的式子叫做完全平方式有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法，配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． 用配方法分解因式：． 解：． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ．，即的最小值为． (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为__________； (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值； (4)若实数，满足，则的最小值为__________ 【答案】(1)4 (2) (3)2 (4)6 【分析】本题考查了完全平方公式、利用配方法因式分解，熟练掌握配方法是解题关键． （1）利用完全平方公式即可得； （2）利用配方法变形为，由此即可得； （3）将原式变形为，利用完全平方公式求解即可得； （4）根据 配方可得，从而可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ， ， ； （2）解： ； （3）解： ， ， ， 的最小值为2； （4）解： ， ， ， ， 的最小值为6． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $