专题01 三角形 13大高频考点（期末真题汇编，广西专用）八年级数学上学期

专题01 三角形 13大高频考点概览 考点01三角形的分类 考点02构成三角形的条件 考点03 确定第三边的取值范围 考点04 三角形的稳定性及应用 考点05 画三角形的高 考点06 根据三角形的中线求面积 考点07 根据三角形的中线求长度 考点08 与三角形的高有关的计算问题 考点09 利用网格求三角形的面积 考点10 三角形内角和定理的应用 考点11 三角形外角的定义及应用 考点12 三角形内角和外角的综合 考点13 与角平分线有关的计算 地 城 考点01 三角形的分类 1．在中，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键．根据题意，设，结合三角形内角和定理解得的值，进而确定的值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴，解得， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 2．在中，若，则形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及直角三角形的判定，熟知三角形的内角和是是解答此题的关键．先根据，可得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：C． 3．在中，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和．根据三角形内角和求出的度数即可判断三角形的形状． 【详解】解：在中，， ， 所以的形状是钝角三角形； 故选：C． 地 城 考点02 构成三角形的条件 1．将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，只需验证每组中最长边是否小于其余两边之和即可． 【详解】解：A、，不满足两边之和大于第三边，无法组成三角形； B、，不满足条件，无法组成三角形； C、，且，，均满足条件，能组成三角形； D、，不满足条件，无法组成三角形； 故选：C 2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（　　） A．1，2，4 B．2，3，4 C．2，2，4 D．2，3，6 【答案】B 【分析】本题考查了构成三角形的条件，三角形三边的关系应用是解题的关键． 根据三角形的三边关系在三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求解即可． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D 、不能构成三角形，故D不符合题意； 故选：B． 地 城 考点03 确定第三边的取值范围 1．已知三角形的三边长分别为3，x，7，则x的值可能是（　　） A．3 B．5 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此即可得出答案． 【详解】∵，， ∴， ∴x的可能取值是5． 故选：B． 2．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系是解题的关键．根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出范围，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即10米米， ∴不可能等于10米， 故选：A． 3．如果三角形的两边长分别是和，那么第三边长可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系，可得第三边的取值范围，从而选出答案. 【详解】∵三角形的两边长分别是和 ∴5＜第三边长＜13 又∵5＜8＜13， ∴选C. 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟记两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键. 4．若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．8 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解． 【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3， 即2＜a＜8， 由此可得，符合条件的只有选项C， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，解题的关键是能根据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 地 城 考点04 三角形的稳定性及应用 1．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形组成，这样做的数学根据是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形两边的和大于第三边 C．三角形两边的差小于第三边 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】从安全角度和三角形的稳定性质进行分析即可得出答案． 【详解】解：从安全角度讲，塔吊机需要特别稳固，框架设计成很多个三角形是利用了三角形具有稳定性， 故选D． 【点睛】本题考查三角形稳定性的实际应用，难度较小，解题的关键是灵活运用所学知识． 2．如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，根据三角形具有稳定性即可得到答案． 【详解】解：由题意得这三个三角形可以使射击者在射击过程中保持稳定，其中，蕴含的数学道理是三角形的稳定性； 故选：D． 3．如图，工人师傅砌门时，常用木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点确定一点直线 B．两点之间线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【分析】本题考查了三角形稳定性的实际应用．根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】解：用木条固定长方形门框，使其不变形这样做的数学根据是三角形具有稳定性， 故选：D． 4．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 性．    【答案】稳定 【分析】根据三角形具有稳定性可直接得出答案． 【详解】解：把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的稳定性， 故答案为稳定． 【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是了解三角形具有稳定性，属于基础题，难度不大． 地 城 考点05 画三角形的高 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，过点B作边的垂线，垂足为D，那么线段即为的高，据此逐一判断即可． 【详解】解：由三角形高的定义可得，四个图中只有D选项中的图符合题意， 故选：D． 2．画的边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【详解】解：根据三角形的高的定义可知，C选项表示的边上的高， 故选：C 3．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是(   ) A．  15．如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高，从一个顶点到其对边的垂线叫作三角形的高，据此即可求解； 【详解】解：由三角形的高的定义可知：线段是的边上的高， 故选：A ． 地 城 考点06 根据三角形的中线求面积 1．如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质．利用中线的性质“三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形”即可求解． 【详解】解：∵是的的中线，且的面积为12， ∴， 又∵是的的中线， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形边中点，三角形面积，解决问题的关键是熟练掌握三角形中线的定义，等高（或底）的两个三角形面积之比等于底边（高）之比．因为点是的中点，所以的底是的底的一半，高等于的高，可得的面积等于的面积的一半；同理，、、分别是、的中点，可得的面积是面积的一半；利用三角形的等积变换可解答． 【详解】解：，，分别为边，，的中点， 的底是，的底是，即 ，而高相等， ， 是的中点， ， ， ， ， ，即阴影部分的面积为． 故选：C． 3．如图，在中，点D是边的中点，连接，点E是的中点，连接．若的面积为12，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．2.5 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积进行求解即可． 【详解】解：点D是边的中点，的面积为12， ， 点E是的中点， ， 故选：B． 4．如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了利用三角形的中线求三角形的面积．根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得，． 【详解】解：∵是的中线，的面积是， ∴， ∵是的中线， ∴为的中线， 即， 故答案为：4． 5．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，理解三角形的一条中线将三角形分为面积相等的两个三角形是解题关键．根据题意，结合同底等高的三角形面积相等可知，，进而可得，然后根据三角形中线的性质可得答案． 【详解】解：∵为中点，， ∴， 同理， ∴， ∵为中点， ∴． 故答案为：12． 6．如图，在中，是边上的中线，已知的面积为8，则的面积为 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据中线分出的两个三角形面积相等是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 故答案为：． 地 城 考点07 根据三角形的中线求长度 1．如图，ABC的周长是28cm，AB＝2BC，BD是AC边上的中线． （1）当BC＝6cm时，求AD的长； （2）当BC＝8cm时，能否求出AD的长？若能，则请求出AD的长度；若不能，请说明理由． 【答案】（1）5cm；（2）不能，理由见解析 【分析】（1）先求出AB＝12cm，再利用ABC的周长求出AC＝10，最后根据BD是AC边上的中线即可求得AD的长； （2）先求出AB＝16cm，再利用ABC的周长求出AC＝4，然后根据三角形的三边关系即可判断此时的三角形是不存在的，由此可得答案． 【详解】解：（1）∵AB＝2BC，BC＝6cm， ∴AB＝12cm， ∵ABC的周长是28cm， ∴AB＋BC＋AC＝28cm， ∴AC＝28－12－6＝10cm， 又∵BD是AC边上的中线， ∴AD＝AC＝5cm， ∴AD的长为5cm； （2）不能求出AD的长，理由如下： ∵AB＝2BC，BC＝8cm， ∴AB＝16cm， ∵ABC的周长是28cm， ∴AB＋BC＋AC＝28cm， ∴AC＝28－16－8＝4cm， ∵4＋8＜16， ∴AC＋BC＜AB（与AC＋BC＞AB矛盾）， ∴此时的ABC不存在， ∴此时不能求出AD的长． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及三角形的中线，三角形的周长等相关知识，注意运用三角形的三边关系解决（2）是解决本题的关键． 地 城 考点08 与三角形的高有关的计算 1．如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查三角形高有关的计算问题．根据题意求出的面积，即可得到的面积． 【详解】解：∵于点E，，， ∴， 又∵， ∴的面积． 故选：C． 2．如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键． 如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴ ∴，即， 同理： ∴． 故答案为：． 地 城 考点09 利用网格求三角形的面积 1．如图，三角形向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形； (2)写出平移后各顶点的坐标； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)5 【分析】本题考查点坐标平移的综合应用，熟练掌握点坐标的写法、点坐标的平移规律、根据点坐标画图形的方法及用直线围成的三角形面积求法是解题关键． （1）可在坐标系中画出平移后的三角形； （2）根据点坐标的平移规律分别写出的坐标； （3）用包含的矩形面积减去三个直角三角形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，三角形即为所求． ； （2）解：； （3）解：三角形的面积 ． 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1．按下列题目的要求完成解答： (1)画出三角形向右平移6个小格得到的三角形； (2)如果点是三角形内一点，点随三角形按照上述（1）经过平移后得到的对应点是，那么线段与线段的位置关系是___________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行 (3)2 【分析】本题考查作图－平移变换，三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用平移变换的性质判断即可； （3）用长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【详解】（1）如图，三角形即为所求； （2）由平移的性质可知，线段与线段的位置关系是平行． 故答案为：平行； （3）． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、，将先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到． (1)请在图中画出，并直接写出点的坐标； (2)连接，求出的面积． 【答案】(1)见解析， (2)3 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移，熟练掌握平移性质并正确作出图形是解答的关键． （1）先利用平移性质得到对应点的位置，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形，再根据点的位置写出坐标即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为平移后的图形． 由图可知，； （2）解：连接， 由图可得：． 答：三角形的面积为3． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)5 【分析】（1）根据平移，确定变化后的坐标，描点画图即可； （2）根据平移规律确定点的坐标即可． （3）利用分割法计算面积即可． 本题考查了坐标平移，画图，分割法计算面积，熟练掌握平移和作图是解题的关键． 【详解】（1）解：，．先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到．故，，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据（1）解答，得，． （3）解：根据题意，得得面积为： ． 5．在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． (1)直接写出，的值及点的坐标； (2)请画出平移后的三角形； (3)若点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，坐标与图形变化—平移，根据对应点的坐标得到平移方式是解题的关键． （1）由点A，可得左右平移方式，由点C，可得上下平移方式，据此求解即可； （2）根据（1）所求先描出，再顺次连接即可； （3）计算出三角形的面积，进而得到三角形的面积，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：由三角形得到三角形的平移方式为向右平移：个单位长度；向下平移：个单位长度 ∴，即； （2）解：如图所示，三角形即为所求； （3）解：， ， ∵三角形的面积等于三角形面积的， ∴ 解得：或 故点的坐标为：或． 地 城 考点10 三角形内角和定理的应用 1．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形中，三个内角的度数之和为180度，据此求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故选：B． 2．据传，古希腊哲学家泰勒斯在铺地砖时，通过观察等边三角形地砖的拼接首次发现了三角形内角和定理．三角形内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和为，进行求解即可． 【详解】解：三角形内角和是． 故选：C． 3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，构成三角形的条件， 画出唯一三角形的条件是知道两边长及其夹角的度数，知道三边长，知道两个内角的度数和其中一边长，据此可得答案． 【详解】解：A、∵，，， ∴， ∴此时不能构成三角形，即不能画出，不符合题意； B、由，不能唯一画出，不符合题意； C、由，可得，再结合能唯一画出，符合题意； D、，，不能唯一画出，不符合题意； 故选：C． 4．如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了光线的反射角等于入射角的性质、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．由光线的反射角等于入射角得出，，，由平角的定义和三角形内角和定理求出即可得出结果． 【详解】解：根据题意可得，，，； 由三角形内角和定理和平角的定义得； 故选：D． 5．如图，在中，，则（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及邻补角的性质，牢记定理是关键．首先求得，然后利用邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图， ， ， ． 故选：C． 6．如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，三角形内角和定理，根据已知条件得出，再求出的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：B． 7．如图，与交于点，、分别是、上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用． （1）根据得到，再由已知等量代换得到，即可证明平行； （2）由得到，再由三角形内角和定理以及邻补角即可求解． 【详解】（1）证明：， ． 又， ， ； （2）解：， ． ， ． 8．如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 【答案】(1) (2)甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市 【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可． （2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向， ，，， ， ， ， 在中，． （2）设甲车速度为，根据题意得， 解得：， 答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市． 地 城 考点11 三角形外角的定义及应用 1．如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形外角的性质．熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，是解题的关键．利用三角形外角的性质，直接计算即可． 【详解】∵，， ∴． 故选：B． 2．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠等于（    ） A．105° B．115° C．120° D．125° 【答案】A 【分析】根据三角板上的特殊角度，再根据外角与内角的关系：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答． 【详解】解：根据三角板角度的特殊性可知∠AEB=45°，∠B=60°， ∵∠α是△BDE的外角， ∴∠α=∠AEB+∠B=45°+60°=105°． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角，关键是掌握三角形的外角的性质． 3．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）    A．120° B．90° C．100° D．30° 【答案】C 【详解】∠A=∠ACD﹣∠B =120°﹣20° =100°， 故选C． 4．如图，，，，那么等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质． 根据平行线的性质可求出，再根据三角形外角的性质可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴． 故选A． 5．如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，先由平角的定义求出的度数，再由三角形外角的性质即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 6．如图，已知ABCD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜12°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ． 【答案】37° 【分析】先过E作EGAB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜12°，即可得到6°＜3x60°＜12°，解得22°＜x＜24°，进而得到∠C的度数． 【详解】解：如图，过E作EGAB， ∵ABCD， ∴GECD， ∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF， ∴∠AEF=∠BAE+∠DFE， 设∠CEF=x,则∠AEC=2x， ∴x+2x=∠BAE+60°， ∴∠BAE=3x60°， 又∵6°＜∠BAE＜12°， ∴6°＜3x60°＜12°， 解得22°＜x＜24°， 又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数， ∴∠C=60°23°=37° 故答案为：37°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等． 7．如图，正五角星的每个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠等于 ． 【答案】108°． 【分析】根据三角形内角和定理知，∠AMC＝＝72°，再根据三角形的一个外角与它相邻的内互补，求∠α的度数． 【详解】解：∵∠A＝36°，∠ACM＝∠AMC， ∴∠AMC＝（180°﹣36°）÷2＝72°， ∴∠α＝∠AMB＝180°﹣72°＝108°． 故答案为108°． 【点睛】本题利用了三角形内角和定理和三角形的一个外角与它相邻的内互补求解 地 城 考点12 三角形内角和外角的综合 1．如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形外角的性质及三角形内角和，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， ∴， ∵，， ∴； 故选D． 2．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、对顶角相等等知识点．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图所示，由三角形外角的性质可得、，再根据三角形内角和定理可得 ，最后计算即可． 【详解】解：如图: ∵，， ∴, , ∴的度数为． 故选A． 3．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，折叠的性质，三角形的外角，根据三角形内角和定理，易得；设与交于点，根据三角形的外角易得，，则的度数可求． 【详解】解：∵，， ， 由折叠的性质可得：， 如图，设与交于点， 由三角形的外角可得：，， 则． 故选：D． 4．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠前后图形全等．借助可得，根据即可求解． 【详解】解：∵沿折叠；使点B落在点处， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由以上知识点推出． 延长交于，由平行线的性质推出，由三角形的外角性质得到，求出，由三角形内角和定理求出，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：延长交于， ， ， ， ， ， ， ， 当时， ， 当时， ， ， 不可能取到的度数为． 故选：B． 地 城 考点13 与角平分线有关的计算 1．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据角平分线定义得出∠ABC=2∠ABD=2∠DBC，∠EAC=2∠EAD，∠ACF=2∠DCF，根据三角形的内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，根据三角形外角性质得出∠ACF=∠ABC+∠BAC，∠EAC=∠ABC+∠ACB，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵∠CAE=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB， ∴∠CAE=2∠ACB， ∵AD平分∠CAE， ∴∠CAE=2∠CAD， ∴∠CAD=∠ACB， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC=∠ACB=2∠DBC， ∴∠ACB=2∠ADB，故②错误； 在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°， ∵CD平分△ABC的外角∠ACF， ∴∠ACD=∠DCF， ∵AD∥BC， ∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB， ∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD， ∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°， ∴∠ADC+∠ABD=90°，故③正确； ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠DBC， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC，∠ADC=∠DCF， ∵∠ADC+∠ABD=90°， ∴∠ADC=90°-∠ABD=， ∴， ∴∠BDC=90°-2∠ABD， ∴，故④错误． 故选：B 【点睛】此题考查了三角形外角性质，有关角平分线的计算，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 2.如图，在中，，，，分别是，的角平分线，，相交于点，则的度数是 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查三角形内角和定理以及角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键； 根据三角形内角和为，求得，根据角平分线的性质，可得及，再根据三角形内角和即可解答． 【详解】， ， ，分别是，的平分线， ， ； 故答案为：； 3．已知：如图，，分别平分和，，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，三角形外角的性质等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 设与、分别交于点、，由，分别平分和可得，，由三角形外角的性质可得，进而可得，由三角形外角的性质可得，进而可得，于是得解． 【详解】解：如图，设与、分别交于点、， ，分别平分和， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，三个内角的角平分线交于点，其中，，延长至点，与的平分线交于点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的定义及性质、平行线的性质，由角平分线的定义可得，求出，再由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得得出，代入式子计算即可得解． 【详解】解：∵平分，且， ∴， ∵延长至点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在中，是高，是角平分线．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的高线，角平分线的知识，准确识图并熟记性质与定理是解题的关键．首先根据三角形的内角和等于列式求出，再根据角平分线的定义求出，接下来在中，利用直角三角形两锐角互余列式计算即可求出，然后列式计算即可求出，即可得到题目的结论． 【详解】解：， AE是角平分线， ， 是高， ， ， ， ． 6．在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）两直线平行，同位角相等；；；（2）①互余，理由见解析；②；（3）10秒或16秒． 【分析】（1）由平行线的性质得到，，等量代换即可得到； （2）①利用平行线的性质及角平分线的定义推出，再利用平角的性质即可求解； ②在中，，由三角形的外角性质推出，结合①的结论得到，据此计算即可求解； （3）旋转一周运动停止，求得总时间为20秒，与重合时间为10秒，分在前10秒内和后10秒内，两种情况讨论，根据与平行的次数，求解即可． 【详解】（1）证明；如图1，延长到点， 过点作的平行线． （两直线平行，同位角相等）． ． ； 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； （2）①∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴，即与互余； ②∵是的角平分线， ∴， 在中，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴，   ∴； （3）∵旋转一周运动停止， ∴总时间（秒）， ∵与重合时再以原速返回， ∴重合时间为（秒），此时，延长交于点Q， ∵在前10秒内，由逐渐减少，由逐渐减少至， 又∵当秒时，旋转至，此时，而由逐渐减少至， ∴在前10秒内，与仅一次平行，即与重合时，此时秒； 同理，后10秒，由逐渐增至，由逐渐增加至，与仅可能一次平行，如图所示， 有， 解得， ∴（秒）， 综上，的值为10秒或16秒． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查的是三角形内角和定理，掌握平行线的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 7．【初步运用】（1）如图1，将一个含角的直角三角板一边与直线重合，其中，，过点C作直线，直接写出直线与的位置关系； 【变换探究】（2）如图2，将直角三角板绕点A逆时针旋转度，过点C作直线，的角平分线与直线交于点D． ①时，求的度数； ②用的代数式表示； ③旋转为多少度时，？ 【拓展探究】（3）在（2）的条件下，延长得射线，与的角平分线交于点F（如图3）．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用的代数式表示，若不会，求出的度数（直接写出结论即可）． 【答案】（1） （2）①；②；③ （3）不会， 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和、角平分线定义、对顶角性质、角的运算，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）利用三角形内角和得到，再利用平行线性质即可证明； （2）①利用平行线性质得到，再结合题干条件即可得到的度数； ②利用平行线性质得到，利用角平分线定义和平行线性质即可得到； ③利用平行线判定可知，据此建立等式求解，即可解题； （3）由（2）可知，，利用角平分线定义结合角的运算得到，由对顶角性质得到，再利用角平分线定义得到，进而得到，最后利用三角形内角和即可得到的度数． 【详解】解：（1），理由如下： 在中，，， ， ， ， ； （2）①， ， ，，，，， ； ②由①可得：， ， ， ， 平分， ， ， ③要，则， 由②可得：， 解得：， 旋转为时，； （3）不会，理由如下： 由（2）可知：，， 为的角平分线，， ， 由对顶角性质可知：， 为的角平分线， ， ， ． 8．如图，在中，垂直，垂足为，的平分线交于点． （1）若，求的度数；（2）若，求的度数． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由垂直，可得直角，由平分，可得，依据三角形内角和定理可求，进而求出； （2）方法同（1），只是角度用表示，最后由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，表示即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 又平分， ， 答：； （2）， ， ， ， 又平分， ， ， 答：． 【点睛】考查三角形内角和定理、角平分线意义、垂直的意义等知识，三角形的内角和定理的推论，即三角形的任何一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，在解决问题时也经常用到，注意掌握． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形 13大高频考点概览 考点01三角形的分类 考点02构成三角形的条件 考点03 确定第三边的取值范围 考点04 三角形的稳定性及应用 考点05 画三角形的高 考点06 根据三角形的中线求面积 考点07 根据三角形的中线求长度 考点08 与三角形的高有关的计算问题 考点09 利用网格求三角形的面积 考点10 三角形内角和定理的应用 考点11 三角形外角的定义及应用 考点12 三角形内角和外角的综合 考点13 与角平分线有关的计算 地 城 考点01 三角形的分类 1．在中，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状 2．在中，若，则形状是（    ） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 3．在中，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 地 城 考点02 构成三角形的条件 1．将下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列长度的三根木棒能组成三角形的是（　　） A．1，2，4 B．2，3，4 C．2，2，4 D．2，3，6 地 城 考点03 确定第三边的取值范围 1．已知三角形的三边长分别为3，x，7，则x的值可能是（　　） A．3 B．5 C．10 D．11 2．如图，为估计池塘岸边A、B两点的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，米，米，A、B间的距离不可能是（   ） A．10米 B．15米 C．20米 D．25米 3．如果三角形的两边长分别是和，那么第三边长可能是（  ） A． B． C． D． 4．若长度分别为的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（    ） A．1 B．2 C．3 D．8 地 城 考点04 三角形的稳定性及应用 1．如图所示，建筑工地上的塔吊机的框架设计成很多个三角形组成，这样做的数学根据是（    ） A．三角形的内角和等于 B．三角形两边的和大于第三边 C．三角形两边的差小于第三边 D．三角形具有稳定性 2．如图，我们可以看到跪姿射击的动作，由左手、左肘、左肩构成的托枪姿势可以使射击者在射击过程中保持枪的稳定，这里蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的任意两边之和大于第三边 C．两点确定一条直线 D．三角形的稳定性 固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（   ）    A．两点确定一点直线 B．两点之间线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性 4．如图，把手机放在一个支架上面，就可以非常方便地使用，这是因为手机支架利用了三角形的 性．    地 城 考点05 画三角形的高 1．下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 2．画的边上的高，正确的是（　　） A． B． C． D． 3．下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是(   ) A．  15．如图，的边上的高是（    ） A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 地 城 考点06 根据三角形的中线求面积 1．如图，是的中线，是的中线，若的面积为12，则的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，在中，已知点，，分别为边，，的中点，且，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D是边的中点，连接，点E是的中点，连接．若的面积为12，则的面积为（　　） A．2 B．3 C．2.5 D．4 4．如图，都是的中线，连接的面积是，则的面积是 ． 5．已知：如图所示，在中，点，，分别为，，的中点，且，则阴影部分的面积为 ． 6．如图，在中，是边上的中线，已知的面积为8，则的面积为 地 城 考点07 根据三角形的中线求长度 1．如图，ABC的周长是28cm，AB＝2BC，BD是AC边上的中线． （1）当BC＝6cm时，求AD的长； （2）当BC＝8cm时，能否求出AD的长？若能，则请求出AD的长度；若不能，请说明理由． 地 城 考点08 与三角形的高有关的计算 1．如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的面积是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为 ． 地 城 考点09 利用网格求三角形的面积 1．如图，三角形向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到三角形． (1)在图中画出平移后的三角形； (2)写出平移后各顶点的坐标； (3)求三角形的面积． 2．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1．按下列题目的要求完成解答： (1)画出三角形向右平移6个小格得到的三角形； (2)如果点是三角形内一点，点随三角形按照上述（1）经过平移后得到的对应点是，那么线段与线段的位置关系是___________； (3)求三角形的面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为、、，将先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到． (1)请在图中画出，并直接写出点的坐标； (2)连接，求出的面积． 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．将先向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到． (1)请在图中画出； (2)写出平移后的三个顶点的坐标； (3)求的面积． 5．在平面直角坐标系中，三角形各顶点的坐标分别为，，，若将三角形向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到三角形，点的对应点的坐标是，点的对应点的坐标是． (1)直接写出，的值及点的坐标； (2)请画出平移后的三角形； (3)若点在轴上，且三角形的面积是三角形面积的，请直接写出点的坐标． 地 城 考点10 三角形内角和定理的应用 1．在中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．据传，古希腊哲学家泰勒斯在铺地砖时，通过观察等边三角形地砖的拼接首次发现了三角形内角和定理．三角形内角和是（    ） A． B． C． D． 3．根据下列已知条件，能唯一画出的是（    ） A．，， B．， C．，， D．，， 4．如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，则（） A． B． C． D． 6．如图，经测量，处在处的南偏西的方向，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，与交于点，、分别是、上的点，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 8．如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处． (1)求的度数． (2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？ 地 城 考点11 三角形外角的定义及应用 1．如图，在中，点D在的延长线上，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．一副三角板按如图所示方式叠放在一起，则图中∠等于（    ） A．105° B．115° C．120° D．125° 3．如图，∠ACD=120°，∠B=20°，则∠A的度数是（ ）    A．120° B．90° C．100° D．30° 4．如图，，，，那么等于（   ）． A． B． C． D． 5．如图，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知ABCD，F为CD上一点，∠EFD＝60°，∠AEC＝2∠CEF，若6°＜∠BAE＜12°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为 ． 7．如图，正五角星的每个角都是顶角为36°的等腰三角形，则∠等于 ． 地 城 考点12 三角形内角和外角的综合 1．如图，在中，按图中虚线把角度为的剪去，则等于（   ） A． B． C． D． 2．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中，，，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，三角形纸片中，，，将沿对折，使点C落在外的点处，若，则的度数为（ 　　） A． B． C． D． 4．如图，在中，M，N分别是边上的点，将沿折叠；使点B落在点处，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线的夹角，则反射光束与天花板所形成的角不可能取到的度数为（    ） A． B． C． D． 地 城 考点13 与角平分线有关的计算 1．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.如图，在中，，，，分别是，的角平分线，，相交于点，则的度数是 ． 3．已知：如图，，分别平分和，，， ． 4．如图，在中，三个内角的角平分线交于点，其中，，延长至点，与的平分线交于点，若，则 ． 5．如图，在中，是高，是角平分线．若，求的度数． 6．在人教版义务教育数学教科书八上第12页曾经探索了“三角形的内角和是”，小莹在研究完上面的问题后，对这个图形进行了深入的研究，她的研究过程如下： 【图形再现】（1）请补充下述证明过程． 已知：（图1）， 求证：， 证明：如图1，延长到点， 过点作的平行线． （______）． ______． ______． 【图形探究】（2）如图2，在中，的角平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点． ①与是否互余，请说明理由； ②探究与的数量关系． 【图形思考】（3）如图3，在中，，，过点作，直线与相交于点右侧的点，．绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周停止运动，同时，绕着点以每秒的速度沿顺时针方向旋转，当与重合时以原速返回，当停止运动时，也随之停止运动．设运动的时间为秒，在旋转过程中，是否存在，若存在，请直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 7．【初步运用】（1）如图1，将一个含角的直角三角板一边与直线重合，其中，，过点C作直线，直接写出直线与的位置关系； 【变换探究】（2）如图2，将直角三角板绕点A逆时针旋转度，过点C作直线，的角平分线与直线交于点D． ①时，求的度数； ②用的代数式表示； ③旋转为多少度时，？ 【拓展探究】（3）在（2）的条件下，延长得射线，与的角平分线交于点F（如图3）．在旋转过程中，的度数是否会随的变化而变化？若会，用的代数式表示，若不会，求出的度数（直接写出结论即可）． 8．如图，在中，垂直，垂足为，的平分线交于点． （1）若，求的度数；（2）若，求的度数． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $