第13章 三角形(随堂反馈)-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年八年级上册数学（人教版·新教材）

第十三章三角形 13.1三角形的概念 知识梳理 ①由不在同一条直线上的三条线段 相接所组成的图形叫作三角形.顶点是A, B,C的三角形，记作“ ”,读作“ ” ②按“是否有边相等”，将三角形分成两类：三边都不相等的三角形和 三角形.等边 三角形是特殊的等腰三角形. 当堂练习 1.如图，在△ABC中，D,E分别为BC,AB上的点，则以D为顶点的三角形的个数为( A.3 B.4 C.5 D.6 二边都不 等废三角形 相等的三 介形 B B 1) (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.三角形按边分类可以用集合来表示，则图中椭圆A表示 A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 3.如图，图中共有 个三角形，∠B是 的内角. 4.如图，按要求填空. (1)写出含有∠A的所有三角形： (2)写出含有边BC的所有三角形： (3)写出∠1，∠2，∠A共同的对边： 5.观察图中三角形，其中锐角三角形有 ,直角三角形有 ,钝角三角形有 .（均填序号) 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 知识梳理 ①三角形两边的和 第三边；三角形两边的差 第三边. ②三角形是具有 的图形 当堂练习 1.在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，在电线杆上拉两条钢筋，来加固电线杆.这 是利用了三角形的 A.稳定性 B.灵活性 C.对称性 D.全等性 2.下列图形具有稳定性的是 B 3.若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm,则这个等腰三角形的周长是 A.8 cm B.13 cm C.8cm或13cm D.11cm或13cm 4.若三角形两边的长分别为1,5，第三边长为整数，则第三边的长为 5.已知一个三角形的三条边长分别为2,7，x,则x的取值范围是 6.已知a,b,c是△ABC的三边长，a=4,b=6,设三角形的周长是x. (1)直接写出c及x的取值范围； (2)若x是小于18的偶数：①求c的长；②判断△ABC的形状. ·2· 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 知识梳理 ①三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对的边的 ,所得线段叫作三角形 的中线.三角形三条中线的交点叫作 ②三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线，交它所对的边于一点，所得线段叫作 三角形的角平分线.三角形的三条角平分线相交于一点. ③三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，垂足与这个顶点之间 的线段叫作三角形的高线.三角形的高线简称三角形的高 当堂练习 1.如图，AD是△ABC的中线，则下列结论正确的是 A.AB=AC B.BD=CD C.BD=AD D.AC-AD 2.用三角尺作△ABC边BC上的高，三角尺摆放的位置正确的是 P 3.如图是甲、乙、丙三位同学的折纸示意图 D B(C) 甲 丙 (1)甲折出的AD是△ABC的 (2)乙折出的AD是△ABC的 (3)丙折出的AD是△ABC的 4.如图，在△ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高.填空： (1)BE= 1 (2)∠BAD= 1 (3)∠AFB= =90° ·3· 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 知识梳理 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于 当堂练习 1.下列各组角的度数中，可以构成一个三角形的内角度数的一组是 A.95°，80°，5° B.63°，70°，67° C.34°，36°，50° D.25°，160°，15 2.在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则 A.必有一个内角等于30 B.必有一个内角等于45 C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90° 3.如图，墙上钉着三根木条a,b,c,量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a,b所在直线所夹 的锐角的度数是 ( A.5° B.10° C.30° D.70 (第3题图) (第4题图) (第5题图)》 4.如图，AB∥DE,FG⊥BC于点F,∠CDE=40°，则∠FGB的度数为 5.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD平分∠ABC,则∠BDC的度数为 6.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线BE,CD相交于点F,已知∠ABC=42°， ∠A=60°，求∠BFC的度数. ·4” 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 知识梳理 ①直角三角形的两个锐角 ②有两个角 的三角形是直角三角形. 当堂练习 1.如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 上 (第1题图) (第2题图) (第3题图) 2.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=50°，D是BC上一点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于 点F,则∠EDF的度数为 A.90° B.100 C.110° D.120 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=36°，AD平分∠BAC,则∠ADC的度数为 4.在下列条件中：①∠A：∠B:∠C=1:2:3;②∠A=∠B-∠C;③∠A=∠B= 号∠C,④∠A=2∠B=∠C.能确定△ABC是直角三角形的条件有 .（只填 序号) 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=60°，CE平分∠ACB交AB于点E. (1)∠ACE= (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=75°，求证：△CDF是直角三角形 ·5· 13.3.2三角形的外角 知识梳理 ①三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作 ②(1)三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角； (2)三角形的外角等于 的两个内角的和； (3)三角形的外角和等于 当堂练习 1.如图，下列关于△ABC的外角的说法正确的是 A.∠HBA是△ABC的外角 B.∠HBG是△ABC的外角 C.∠DCE是△ABC的外角 D.∠GBA是△ABC的外角 (1D (第1题图) (第2题图) 2.如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，AD∥BC,∠B=32°，则∠C的度数是( A.64 B.32 C.309 D.40 3.如图，直线AB,CD被BC所截.若AB∥CD,∠1=45°，∠2=35°，则∠3的度数为 -) (第3题图) (第4题图) 4.把一把直尺与一块三角尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 5.如图，已知D是△ABC的边BC延长线上一点，DF交AC于点E,∠A=35°，∠ACD=83°. (1)求∠B的度数； (2)若∠D=42°，求∠AFE的度数. ·6专练（五）因式分解 100-多-61.5不是整数，应舍去.当r-11时y-100-名=65，符合条件.答：甲 AE-AG. 1.B2.B3.解：(1D原式-x2(u-b)-(a-b)-(4-b)(2-1)-(d-b)(r+1)(x △GAF中， ∠EAF=∠GAF,.△EAF2△GAF(SAS),.EF=GF,∠EFA 队做了14天，乙队做了5天. 1):(2)原式=x2-3r一4+3r=x2-4=(r+2)(r-2):(3)原式=(x2-y)+(ar+ AF=AF. 期未复习综合测试（一） ay)=(x十y)(.-y)十a(x+y)=(r十y(x一y十d):(4)原式=(3m-2十m十)(3m ∠GFA=60.∠AFC=180'-∠EFA=180'-60°=120，∴.∠GFC=∠AFC 1.C2.A3.B4.B5.A6.B7.D8.B9.5×1010.r(y+3)11.1<2 一2n一m一n)=(4m-m)(2m-3m),4.解：(1)原式=2023×(2023+1)一2024= ∠AFG=120-6G=60.:∠DFC-∠EFA=60,∴.∠GF℃-∠DF℃.又，CF-CF <312.(1)45°(2)413.解：1)原式-84-7d+4一2：(23原式-x2+2xy+ 2023×2024-2024-2024×(2023-2024)=-2024:(2)原式-98+2×98×2+ ∠DCF=∠GCF,∴.△FDC≌△FGC(ASA),.DF=GF,.EF=DF:(3)EF=DF仍 22=(98+2)2=1002=10000.5.解：5-6(-1)×(-5)-6=-1+(-5) y-(2-2ry+y)=+2y十y-x+2ry-y=4ry:(3)方程两边乘(r十3)(r 然成立，理由如下：如图，在AC上载取AH=AE,连接HF,:∠AFE=∠FAC 3),得x(x+3)-(r-3)=(r+3)(x一3).解得r=一6，检验：当r=-6时，(x+3)(,a (r-1)(x-5)(1)x2+8x-9=x2+8x+16-9-16=(x十4)1-25=(x+4+5)(x+ ∠FCA-(∠BAC+∠ACB)-之180-∠B)=是×180-60)=60.同2)可得 4-5)=4r+9)(x-1)(2)x2-4r-5=r2-x+4-5-4=(x-2)F-9=(x-2十 一学0，所以：源分式方程的将为=-61(0原式-（信吕高）+红竿 △EAF2△HAF,△FHC≌△FDC,∴.DF-HF-EF,即EF=DF 3)(.r-2-3)=(r+10(x-5).x>5.r+1>0,-5>0,.(x+1)(-5)>0.即 a-1 x2-4x-5>0. 二动-92·司-号4解：如圈AM即为所来 a-1 专练（六）分式的混合运算 (2)知图：(3)如图.AB=AC,·∠B=∠3.AM平分∠DAC, 1.D2B3.A4.8攻75号一立6解：1D原式=立(2)原式=6 系式-41：原式一·马用品-结” 随堂反馈答案 (m十1)2 十1 .∠1-∠2.∠DAC=∠B+∠3-∠1+∠2，∴.2∠3=2∠1，.易得∠B=∠2-∠3 “m-m-1=0m=m十1限式=：(2)原式=兰中 =∠1.EF垂直平分AC,EA=EC,.∠3=∠EAC,∠EAC=∠1.∠1+∠2 第十三章三角形 x-1 +∠EAC+∠BAE-180,∠BAE-36.∴∠1+∠1+∠1+36°=180°，即3∠1+36 13.1三角形的概念 (x+1)(x-1D-(2r-1 ”高 x(x-2) x(x-2) r-1 =1804=×180-36)=48，∠B=48.15.证明：1)FG1AC 知识梳理 0首尾颗次△ABC三角形ABC日等腰 当=-2时，式=-2中=-1：3)原式=2如222十m+4m ,.∠FGA=90=∠C,∠FAG+∠F=90.:AF⊥AE,∴.∠FAE=90,∴.∠FAG+ (2n+m)(2-） 当堂练习 ∠F-∠CAE 4n2一2m十2n十m十4m四=4n2十4mn十m2 2m十m)一=2十.:四 1.B2.D3.3△ABC或△ABD4.(1)△ABC,△ACE,△ABD(2)△AB, (2十m)(2和一m) (2十m)(2n-m)(2十m)(2一m)2-7m ∠CAE=0,∴.∠CAE=∠F,在△AGF和△ECA中，∠AGF=∠ECA,.△AGF≌ △BC.△BCD,△BCE(3)BC5.③①①⑥⑦ AF=EA. 号-5m原式-分-号 13.2与三角形有关的线段 △ECA(AAS):(2)由(1)知△AGF≌△ECA.∴.FG=AC-BC在△FGD和△BCD中. 13.2.1三角形的边 专练（七）分式方程及应用 ∠FGD=∠BCD, 知识梳理 L.C2.D3.A4.D5.B6.r=-37.808.解：(1)方程两边乘(r-1D,得 ∠FDG=∠BDC,.△FGD☑△BCD(AAS),.DG=CD.:AD=3CD.AG=AD FG=BC 0大于，小于日稳定性 4r一（+2)=0，解特=检验，当=时，(r-1)≠0，所以，原分式方程的解为 -DG=AD-CD=3CD-CD=2CD,AC=AD+CD=3CD+CD=4CD..BC=AC= 当堂练习 CD.CE=AG=2CD..BC=2CE.即E为BC的中点. 1.A2.D3,D4.55.5<r<96.解：(1)c的取值范时为2<<10：x的取值范 r-：2)方程两边乘x(一).得十3十子一-3,解得-一子.检验：当 围为12<r<20:(2)①：x是小于18的偶数，∴x=16,或x=14,当x=16时，=6，当 期末复习综合测试（二） 普时，-3红≠0，所以，原分式方程的解为x=一是：(3)方程两边乘(x+1(-1). 3 r=14时，r=4:②当c=6时：b=(:△ABC为等腰三角形：当e=4时，a=r,△ABC为 1.D2.A3.D4.D5.D6.B7.A8.C9.6×10-810.-111.412.20° 等膜三角形.综上所述，△ABC是等腰三角形， 得(r一1)=(r十1)+4.解得x=一1，检验：当x=一1时，(x十1)(x-1)=0,因此x 13.那：(1)原式=：一9一a2-公=-一9一4：(2)方程两边乘2（十1），得3=2.x+2一2，解 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 一一1不是原分式方程的解，所以，原分式方程无解：(4)方程两边乘6(r一2)，得3(5x 得x一号检验，当一2时，2x+1D≠0.所以.原分式方程的解为1=号，14.解：原 知识梳理 -4)=2(2r+5)一3(r一2).解得x=2.检验：当r=2时，6(r-2)=0,因此，x=2不是 ①中点：三角形的重心 原分式方程的解，所以：原分式方程无解。头解：2一3（一D-2,解得一3 当堂练习 1.B2.A3.(1)高(2)角平分线(3)中线4.(1)CEBC(2)∠CAD∠BAC 检验：当=3时，2（一1）≠0.所以=3是此方程的解，把上=3代人千=只，得 (3)∠AFC 工元，期A种草每每千克的进价是2元根影题意，利3四-1四-1m,解得一5 3是一学解得m一号m-2m一（号）一2以号-一铝10.解：设平常的速度 13.3三角形的内角与外角 经检验，不=5是原分式方程的解，且符合题意，答：B种草莓每千克的进价为5元： 13.3.1三角形的内角 》r 是rk如m/h.根据题意，得，2勿十2=5.解得r=60.经检验=0是原分式方程的解， (2)该水果店购进A种草莓3000÷(2×5)=300(kg),该水果店购进B种草莓1000÷ 第1课时三角形的内角 且符合题意.4×60=240(km).客：小强家到奶奶家的距离是20km,11.解：(1)设 5=200(kg).据题意，得(16-2×5)×2m+×(16-2×5)×(300-2m)+(9-5)m 知识梳理 180 乙队单独做活要：天才能完成任务，限据题意，得碧+（行十）×20=1解得a= +三×(9-5)(200-m)≥2300.解得m≥125.答：m的最小值为125.16.解： 当堂练习 100,经检验，8一100是原分式方程的解，且符合警意.答：乙队单独做需要100天才能 (1):∠ACB=90°，∠B=60°.∠BAC=30°，：AD.CE分别是∠BAC和∠ACB的平 1.A2.D3.B+.50°5.60°6.解：∠ABC=42,∠A=60'..∠ACB=180 ∠ABC-∠A=180°-42”-60°=78.∠ABC,∠ACB的平分线相交于点F, 完成任务：(2)根据题意，得0+成-1<15y0.且工y为正整数心y-100- 分线，∠DAC=Z∠BAC=15,∠ECA=2∠ACB=4,·∠EFA=∠DAC+ ∠ECA=15+45-60:(2)如图.在AC上载取AG-AE,连接FG.:AD是∠BAC的 六∠FBC=立∠ABC=2X42=21,∠FCB=豆∠ACB=ZX78=89.六∠BFC 号<70.则>12.12<x<15,y都是正整数，“x=13或14当x=13时y= 平分线，CE是∠A(CB的平分线，∴∠EAF=∠GAF,∠DCF=∠GCF.在△EAF和 =180°-∠FBC-∠FCB=180°-21°-39=120， 第49页（共60页） 第50页（共60页） 第51页（共60页） 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 当堂练习 当堂练习 知识梳理 AB=DB. 1.D2.D3.A4.185.706 0互余©互余 1.C2.C3.654.AB∥DE5.解：在△ABC和△DBC中，AC=DC,∴.△ABC 15.1,2线段的垂直平分线 当堂炼习 CB=CB. 第【课时线段磨直平分线的性质与判定 1.B2.C3.63°4.①@05.解：(1)45(2)在△ABC中，∠ACB-180-∠A ≌△DBC(SSS)..∠A=∠D,∠ACB=∠IDCB,∠ABC=∠DBC,∠ABE 知识桩理 ∠DBE,,∠A=25.∠BCD=35,.∠ACB=∠BCD=35,∴∠ABE=∠A+∠ACB ∠B=180-30-60=90,CE平分∠ACB.∠BCE=∠ACE=号∠ACB=45 ①相等②垂直平分线 =25+35°-80°，∴.∠ABD=∠ABE+∠DBE=2∠ABE=2×60°=120. 当堂练习 CDLAB,∴.∠CDB=90.在Rt△CDB中，∠DCB=90°-∠B=90°-60=30°， 第4课时尺规作图 1.A2.63.证明：过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=90.,∠C=90°， .∠FCD=∠BCE-∠IDCB=45°-3G=15,在△CDF中，∠FCD+∠CDF=15'+ 当堂练习 ∠AED-∠C.:AD平分∠BAC.∠EAD-∠CAD.在△AED和△ACD中. 75=90,∴.∠CFD=90°，△CDF是直角三角形 1,解：(1)要从模具片中度量出边BC的长度，∠B及∠C的大小，就可以到店加工一 ∠AED=∠C, 13.3.2三角形的外角 块与期来的模具△ABC的形状和大小完全相同的△A'B'C“模其，因为两角及夹边对应 ∠EAD=∠CAD,.△AED2△ACD(AAS),,AE=AC.,AB=2AC,.AB 知识梳理 相等的两个三角形全等：(2)如图 2.(1)同位角相等，两直线平行 AD-AD. 0三角形的外角②(2)与它不相邻(3)30 2AE.,AB=AE+BE,AE十BE=2AE,BE=AE.义，DELAB,∴.DE是线段 当堂练习 AB的垂直平分线，即点D在线段AB的垂直平分线上. 1.D2.B3.80°4.150°5.解：(1)∠ACD是△ABC的一个外角，∠A=35°， 第2课时线段垂直平分线的有关作图 ∠ACD=83,∴.∠B=∠ACD-∠A=83°-35=48"(2)：∠AFE是△BDF的一个 (2)沿点P所在直线折叠，使点B落在直线a上，折痕为CD把纸片能平，继续沿点P 当堂练习 外角，∠B=48°，∠D=42°，.∠AFE=∠B+∠D=48+42°=0， 所在直线折叠，使点C落在折痕CD上，此时折照为EF把纸片网平，沿折痕画直线 1.A2.解：（之）(3)是轴对称图形，对称轴如图 第十四章全等三角形 EF在问一平面内，垂直于问一条直线的两条直线平行 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 14.1全等三角形及其性质 知识梳理 知识梳理 2) 3 0斜边一直角边斜边，直角边HI.⑨HI,SSS,ASA,AAS,SAS ①全等形全等三角形日对应顶点对应边对应角自相等相等 3.解：如图.直线，即为所求作的对称轴 当堂练习 当堂练习 1,D2.B3.①②③4.证明：DE⊥AC.BF⊥AC,.∠AFB=∠CED=90,在 L.A2.A3.5+.60°5.解：1)：△ACE2△DBF.∴∠A=∠D,AE∥DF: AB-CD. (2),△ACE≌△DBF,,AC=DB=6,.(CD=BD-EC=6-4=2,∴.AD=AC+CD R:△ABF和Rt△.CDE中， ∴.Rt△ABF≌Rt△CDE(Hl.)..∠BAF= BF=DE. =6+2=8. (1) (2) ∠DCE..AB∥CD +.解：如图，作线段AB的垂直平分线交BC于点P,交AB于点D,点P即为所求作的 14.2三角形全等的判定 14.3角的平分线 点.理由如下：由作图知PD为AB的垂直平分线，连接AP,则AP-BP.PA十PC 第1课时用“SAS”判定三角形全等 第1课时 角的平分线的性质 BP+PC-BC 知识梳理 知识梳理 0夹角边角边SAS⑧不一定 ©相等 当堂练习 当堂练习 15.2国轴对称的图形 1.D2.105”3.①4.解：(1)不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角“证明全 1,C2.C3,534.证明：：D为BC的中点，∴BD=CD,在△ABD和△ACD中， 第1课时画轴对称的图形 等，不满足证明全等三角形的条件，(2)AO=B).证明如下，：点P在∠AOB的平分线 AB=AC. 当堂练习 A=B), BD=CD,∴.△ABD≌△ACD(SSS).∠BAD=∠CAD,,AD为∠BAC的平分线. L.解：如图 2.解：(1)如图，△DE'F'即为所求作的图形：(2)如 上，∴.∠AOP=∠BOP.在△AOP和△BOP中，∠AOP=∠BOP,.△AOP≌ AD=AD. PO-PO. DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE=DF △BOP(SAS). 第2深时角的平分线的判定 图.DM即为边EF上的高：(3)△DEF的面积为号×3×2~3. 第2课时用“ASA"或“AAS"判定三角形全等 知识梳理 知识梳理 0角的平分线上©相等 0夹边角边角ASA②对边角角边AAS 当堂炼习 当堂练习 1.A2.1253.40°4.证期：过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG LAC,垂足分别为 第2课时用坐标表示轴对称 1.C2.D3.D4.E明：EDLAB.∠ADE=90.义∠ACB=90..∠ADE E,F,G,:BD平分∠ABC,DE-DF.同可得DF-DG,DE=DG..点D在 当望练习 ∠A=∠A. ∠BAC的平分线上，.∠BAD=∠CAD. 1.A2.A3,-2<a<2 ∠ACB.在△ABC和△AED中，∠ACB=∠ADE..△ABC2△AED(AAS)..AE 第十五章轴对称 15.3等腰三角形 BC-ED. 15,1图形的轴对称 15.3.1等腰三角形 -AB,AC=AD.∴.AE-AC-AB-AD,即CE=DB 15.1.1轴对称及其性质 第1课时等腰三角形的性质 第3课时用“SSS”判定三角形全等 如识梳理 知识梳理 知识梳理 0互相重合对称轴⑨另一个图形：对称轴对称点目垂直平分④中点 0相等日底边上的中线高顶角平分线③轴对称底边上的中线顶角的平 相等边边边sSS 垂直垂直平分线 分线底边上的高 第52页（共60页） 第53页（共60页） 第54页（共60页）