重难点专题02 对数综合（专项训练）数学苏教版高一必修第一册

重难点专题02 对数综合 重难点一 对数与指数的互化 核心依据：相互转化。 关键技巧：利用已知指数式求出对应对数的值，或反之，结合对数运算性质化简求解。 常用搭配：灵活运用常见结论简化计算。 1.若，，则____________ 用、表示 2.已知，，则           用，表示 3.已知，，则__________结果用来表示 4.已知，，则____结果用，表示 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 6.设，则(    ) A. B. C. D. 7.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 8.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 9.若，则的值为          ． 10.方程的解是(    ) A. B. C. D. 重难点二 对数的基本运算性质及其应用 核心公式 关键技巧：先统一对数底数（优先化为常用对数），再根据运算性质拆分、合并，同时结合指数幂运算化简 1.计算          ． 2.已知，试用，表示           3.求值：          ． 4.求值          ． 5.求值：______． 6.求值：_________． 7.求值：______． 8.计算：          ． 9.计算：          ． 10.计算：          ． 11.计算：___________． 12.计算：_________． 重难点三 对数换底公式的应用 核心公式：。 关键技巧：遇到不同底数的对数运算时，通过换底公式统一底数，再结合对数性质计算；比较对数大小可通过换底后作差、作商分析。 1.已知，，则          ． 2.已知，且，则(    ) A. 或 B. 或 C. D. 3.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 4.已知的两根是、，则(    ) A. B. C. D. 重难点四 对数方程与不等式 对数方程解法：先利用对数性质将方程化为的形式，再转化为，最后验根。 关键技巧：含指数与对数的混合方程，可通过指数对数互化统一形式；复杂方程可通过换元法转化为二次方程求解。 对数不等式解法：利用对数函数单调性，注意底数时单调性反转，同时严格遵循真数大于 0 的原则。 1.方程，则为(    ) A. B. C. D. 2.若 ，则等于(    ) A. B. C. D. 3.方程的解是(    ) A. B. C. D. 4.方程的解是(    ) A. B. C. D. 5.方程的根为(    ) A. 或 B. C. D. 或 6.若，则(    ) A. B. C. D. 7.方程的解集为          ． 8.已知，则          ． 重难点五 对数应用题 核心步骤：先根据题意建立对数（或指数）模型，明确各字母的实际意义。 关键技巧：将实际问题中的已知条件代入模型，通过指数与对数互化求解目标量；利用参考数据进行近似计算。 1.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为 　　 A. B. C. D. 2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为(    ) A. B. C. D. 3.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则约为  A. B. C. D. 4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是     参考数据： A. B. C. D. 5.世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”已知，，设，则所在的区间为(    ) A. B. C. D. 6.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为(    ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 7.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的道棋盘即棋盘上有纵横各条线段将棋盘分成个交叉点根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是    参考数据： A. B. C. D. 8.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一．现代围棋棋盘共有行列，个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是    参考数据： A. 的个位数是 B. 的个位数是 C. 是位数 D. 是位数 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题02 对数综合 重难点一 对数与指数的互化 核心依据：相互转化。 关键技巧：利用已知指数式求出对应对数的值，或反之，结合对数运算性质化简求解。 常用搭配：灵活运用常见结论简化计算。 1.若，，则____________ 用、表示 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了指数与对数的互化，对数与对数运算，属于基础题． 由题意，可得，由换底公式进行求解即可． 【解答】 解：， ， 又， ． 故答案为：． 2.已知，，则           用，表示 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数与对数运算，换底公式的应用，属于基础题． 首先由得到，再根据对数运算法则计算即可． 【解答】 解：因为，所以，又， 所以． 故答案为． 3.已知，，则__________结果用来表示 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了对数与对数运算的应用． 根据已知及换底公式，求出的值． 【解答】 解：由换底公式，得． 4.已知，，则____结果用，表示 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数式的运算，属于基础题． 依题意得，，则即可求解． 【解答】 解：因为， 所以，得， 得， 因为， 所以，得， 得， 故． 故答案为． 5.已知，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查指对互化，属于基础题． 直接利用指数、对数的运算性质求解即可． 【解答】 解：由，， 可得， 则， 故选C． 6.设，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查指对数的运算，属于基础题． 将对数方程转化为指数方程求解即可． 【解答】 解：由，可得， ， 故选B． 7.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查指数式与对数式的互化，是基础题． 推导出，从而，由此能求出的值． 【解答】 解：， ， ， 解得． 故选：． 8.若，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查指数式与对数式的互化，是基础题． 把对数式转化为指数式，即可求出的值． 【解答】 解：， ， ． 故选：． 9.若，则的值为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数的运算法则与指对数互化，属于基础题． 利用对数的运算法则与指对数互化求得，进而得到的值，从而得解． 【解答】 解：因为，则，所以，则， 所以． 10.方程的解是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查指数式与对数式的相互转化． 根据指数式与对数式的互化可知，，进而得到答案． 【解答】 解：， ， ， 故选：． 重难点二 对数的基本运算性质及其应用 核心公式 关键技巧：先统一对数底数（优先化为常用对数），再根据运算性质拆分、合并，同时结合指数幂运算化简 1.计算          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了对数的运算，属于基础题 利用对数的运算法则化简计算出结果． 【解答】 解：   ， 故答案为：． 2.已知，试用，表示           【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对数的运算，考查推理能力和计算能力，属于较难题． 利用即可求解． 【解答】 解：， 故答案为． 3.求值：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对数运算与指数运算的应用，属于基础题． 利用对数运算和指数运算法则化简求值即可． 【解答】 解： ． 故答案为：． 4.求值          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数运算性质和指数幂的运算性质，属于基础题． 根指数、对数的运算性质化简求值即可． 【解答】 解：  ． 故答案为． 5.求值：______． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查对数和指数的运算，利用对数和指数的运算法则求解即可． 【解答】 解：原式 ． 故答案为：． 6.求值：_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查对数的运算性质以及指数幂的运算，是基础题． 利用对数的运算法则以及指数幂的运算性质，计算可得结果． 【解答】 解： ． 故答案为． 7.求值：______． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数式、指数式化简求值，是基础题． 利用指数，对数的性质、运算法则求解． 【解答】 解： ， 故答案为． 8.计算：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数、对数的运算，是基础题． 利用指数、对数的运算法则直接求解． 【解答】 解： ． 故答案为：． 9.计算：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力，是基础题． 利用指数、对数的性质、运算法则直接求解． 【解答】 解： ． 故答案为：． 10.计算：          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查指数以及对数的化简运算，属于基础题． 根据指数以及对数运算性质化简，即可求解． 【解答】 解： ， 故答案为． 11.计算：___________． 【答案】  【解析】【分析】 此题考查指数幂的运算，考查对数运算，关键是熟练掌握指数幂与对数运算法则，属于基础题． 利用指数与对数运算性质化简即可． 【解答】 解： ． 故答案为． 12.计算：_________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查指数幂和对数的运算，属于基础题． 根据指数的运算法则和对数运算的法则进行计算即可． 【解答】 解：  ． 故答案为． 重难点三 对数换底公式的应用 核心公式：。 关键技巧：遇到不同底数的对数运算时，通过换底公式统一底数，再结合对数性质计算；比较对数大小可通过换底后作差、作商分析。 1.已知，，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数换底公式，对数式的化简． 由对数的换底公式得，由此能求出结果． 【解答】 解：，， ． 故答案为． 2.已知，且，则(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C  【解析】解：因为，所以， 解得或，即或， 而，因此． 故选：． 3.已知，，，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查利用作差法作商法比较代数式的大小，对数换底公式，属于中档题． 首先证明若，，则，由此结合，可得，，进一步通过作差比较，即可求解． 【解答】 解：若，， 则， 即， 而 ， 又因为，， 所以， ， 又 ， 所以， 所以． 故选：． 4.已知的两根是、，则(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 根据方程的根以及根与系数的关系，求得和的值，再利用换底公式计算的值．本题考查了方程的根以及根与系数的关系应用问题，也考查了换底公式应用问题，属于较难题． 【解答】 解：的两根是、， 和是方程的两个根， 则，； ． 故选C ． 重难点四 对数方程与不等式 对数方程解法：先利用对数性质将方程化为的形式，再转化为，最后验根。 关键技巧：含指数与对数的混合方程，可通过指数对数互化统一形式；复杂方程可通过换元法转化为二次方程求解。 对数不等式解法：利用对数函数单调性，注意底数时单调性反转，同时严格遵循真数大于 0 的原则。 1.方程，则为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了对数的运算性质，是基础题． 由已知可解得的值，然后代入计算可得答案． 【解答】 解：， 则． 故选：． 2.若 ，则等于(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查对数方程的解法，属于基础题． 通过对数的运算性质得到，由此即可得到的值． 【解答】 解：因为 ，所以， 所以，则． 故选C． 3.方程的解是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了对数与对数运算、对数方程的相关知识． 由题可知，即可得解． 【解答】 解：原方程即为， ，． 4.方程的解是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了对数与指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 方程，可得，化为指数式，即可得出结果． 【解答】 解：方程， ，解得． 故选D． 5.方程的根为(    ) A. 或 B. C. D. 或 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了对数式的运算性质，考查了对数方程的解法，关键是验根，是基础题． 由对数式的真数大于，然后去掉对数符号直接解一元二次方程得答案． 【解答】 解：由，得，解得：． 故选：． 6.若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查了对数与对数的运算，属于基础题； 根据得，化简即可得解． 【解答】 解：由得， 所以； 故选A． 7.方程的解集为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数及对数方程，属于基础题． 原方程变形可得，即有，求出的值，验证对数的定义域即可． 【解答】 解：因为， 所以， 所以， 所以或， 又因为，则， 所以， 故方程的解集为． 故答案为：． 8.已知，则          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查对数的运算法则． 根据对数的运算法则，利用换元法依次运算即可得到结果． 【解答】 解：令， 则，可得， 令， 则，可得， 所以，所以． 故答案为． 重难点五 对数应用题 核心步骤：先根据题意建立对数（或指数）模型，明确各字母的实际意义。 关键技巧：将实际问题中的已知条件代入模型，通过指数与对数互化求解目标量；利用参考数据进行近似计算。 1.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足已知某同学视力的五分记录法的数据为，则其视力的小数记录法的数据约为 　　 A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了对数与指数的互化问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 把代入中，直接求解即可． 【解答】 解：在中，， 所以，即， 解得， 所以其视力的小数记录法的数据约为． 故选：． 2.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足，其中星等为的星的亮度为已知太阳的星等是，天狼星的星等是，则太阳与天狼星的亮度的比值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查对数的运算，是基础题． 把已知数值代入，化简后利用对数的运算性质求解． 【解答】 解：设太阳的星等是，天狼星的星等是， 太阳的亮度是，天狼星的亮度是， 由题意可得：， ，则． 故选：． 3.模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数的单位：天的模型：，其中为最大确诊病例数当时，标志着已初步遏制疫情，则约为  A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查指数式与对数式的互化，属于基础题． 根据题意可得，解出的值． 【解答】 解：由题可知， 所以，， ，解得， 故选C． 4.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是     参考数据： A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查指数形式与对数形式的互化，属于中档题． 根据对数的性质：，可得：，将也化为为底的指数形式，进而可得结果． 【解答】 解：由题意：，， 根据对数性质有：， ， ． 故答案选D． 5.世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”已知，，设，则所在的区间为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了对数运算的实际应用，属基础题． 【解答】 解：因为，， 所以   6.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎流行病学基本参数基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间单位：天的变化规律，指数增长率与，近似满足有学者基于已有数据估计出，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加倍需要的时间约为(    ) A. 天 B. 天 C. 天 D. 天 【答案】B  【解析】【分析】 本题结合实际问题考查指数对数化简求值，属于中档题． 根据题意，先将，代入，求得，再由题意即可求解． 【解答】 解：将，代入， 得， 由得， 当增加倍时，， 所需时间为． 故选B． 7.围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有多年的历史．围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来．南北朝时候，棋盘定型为现在的道棋盘即棋盘上有纵横各条线段将棋盘分成个交叉点根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是    参考数据： A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查的是对数的运算，属于基础题． 令，得，计算即可得出，本题可解． 【解答】 解：令， 则 ． 故． 故选A． 8.围棋是我国发明的古老的也是最复杂的智力竞技活动之一．现代围棋棋盘共有行列，个格点，每个格点上可能出现黑子、白子、空三种情况，因此整个棋盘上有种不同的情况，下面对于数字的判断正确的是    参考数据： A. 的个位数是 B. 的个位数是 C. 是位数 D. 是位数 【答案】AC  【解析】【分析】 本题考查了对数运算的实际应用，属于中档题． 由，，，，，，个位数分别为，，，，，，易得周期为，所以的个位数与的个位数相同，可判定、；再计算，化简可判定、． 【解答】 解：由，，，，，， 个位数分别为，，，，，， 以为周期循环往复， 因为的余数为， 故的个位数与的个位数相同， 即的个位数为，故A正确，B错误 因为， 所以， 因为，所以为位数，故C正确，D错误． 故选：． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $