2025-2026学年山东省青岛市西海岸新区自主招生考试数-专题九、反比例函数（适中版）

2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题九、反比例函数（适中版） 一、单选题 1．已知反比例函数，当时，，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．1 2．已知、两点在反比例函数的图象上，且，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 3．如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 4．如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（   ）的一部分 A．直线 B．圆 C．抛物线 D．反比例函数的曲线 5．如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在上的点处，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则t的值是 ． 10．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ． 11．如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 12．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，将正比例函数的图象向右平移个单位长度后，交反比例函数的图象于点B，交x轴于点C，如果，那么k的值为 ． 13．如图，反比例函数在第二象限的图象上有一点，轴于点，轴于点，直线与都与轴相交于点，分别交轴于点、，如果梯形的面积为，那么的值为 ．    14．如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点，与反比例函数交于点，如果，则的值为 ．    三、解答题 15．如图，双曲线与的斜边交于点A，与交于点D，若，，求k的值． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点作轴的平行线与直线交于点（点、不重合）． (1)当点绕着点顺时针旋转恰好落在点时，试求的面积． (2)当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件． 17．如图，过轴上的点分别作轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，交直线于点，已知． (1)求点的坐标； (2)求和的值； (3)猜想的值，直接写出答案． 18．如图，直线与双曲线相交于两点，直线过点，交轴于点，已知． (1)求双曲线的解析式． (2)点为双曲线第三象限图象上的一个动点，连接，交轴于点．若，求点的坐标． 19．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点，且点为反比例图象上的一点，连接，点M为坐标平面上一动点，轴于点N． (1)写出正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当点M在直线上运动时，是否存在点M，使得与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点M在反比例函数图象位于第一象限的一支上运动时，求以为邻边的平行四边形周长的最小值，并求此时点M的坐标． 20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 试卷第2页，共7页 试卷第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年青岛市西海岸新区九年级自主招生考试专题 专题九、反比例函数（适中版） 一、单选题 1．已知反比例函数，当时，，则m的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 求出时y的值，再根据当时，得到，从而得到方程，再求解即可解答． 【详解】 解：当时，， ∵当时，， ∴当时，， ∴，解得：， 经检验：是原方程的解． 故选B． 2．已知、两点在反比例函数的图象上，且，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据和的大小关系以及所在象限来判断和的大小． 【详解】解：， ∴， ∴反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每个象限内，随的增大而增大， 当时，此时A、B两点都在第二象限，根据“在第二象限内随的增大而增大”，可得； 当时，此时A、B两点都在第四象限，根据“在第四象限内随的增大而增大”，可得； 当时，此时A点在第二象限，B点在第四象限，第二象限内的值恒大于0，第四象限内的值恒小于0，所以； 故选：D． 3．如图，点是反比例函数图象上一点，点B为直线上一点，点C为x轴上一点，则周长的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，轴对称的性质，两点间距离公式等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出点坐标，再过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接，得到，，，由，可知点共线时，周长取得最小值，即为，即可求解． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴将点代入，则， ∴， 过点作直线的对称点，作轴的对称点，连接， 则，， ∵反比例函数图象也是轴对称图形，且对称轴为直线，点在反比例函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在反比例函数图象上， 设， ∴点的中点在直线上， ∴， 整理得：， 解得：或（舍）， ∴， ∴， 当点共线时，周长取得最小值，即为的长， ∴， 故选：C． 4．如图，点是函数的图象上的点，点，的坐标分别为，．试利用性质：“函数的图象上任意一点都满足”求解下面问题：作的角平分线，过作的垂线交于，已知当点在函数的图象上运动时，点所经过的路径是（   ）的一部分 A．直线 B．圆 C．抛物线 D．反比例函数的曲线 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理，圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中考选择题中的压轴题．如图：延长交的延长线于，连接．只要证明是的中位线，可得，即可解决问题． 【详解】解：如图：延长交的延长线于，连接． ， ， ，， 为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， 点在以为圆心为半径的圆上运动． 故选：B． 5．如图，反比例函数的图象与矩形的边，分别相交于点，，点的坐标为，将沿翻折，点恰好落在上的点处，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作于点，根据折叠的性质得，，，易证；再根据，即可求出，然后在中利用勾股定理得到关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 四边形是矩形， ，，， 将沿对折后，点恰好落在上的点处， ，，， ， 又， ， ， ； ， 又点，在矩形的边，边上，且在反比例函数上， 点，， ，， ，， ， ，而， ， 在中，， 即， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称性质、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、勾股定理，三角形相似的判定与性质，矩形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键． 6．如图，在反比例函数的图象上，有点 ··它们的横坐标依次为1，2，3，4，…，n，…，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 ，，，，，，，则 的结果为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握过双曲线上任意一点引x轴、轴垂线，所得矩形面积为． 根据反比例函数几何意义，等于点与坐标轴围成的矩形面积，即可解题． 【详解】解：当时，的纵坐标为2，即点坐标为， 当时，的纵坐标，即点坐标为， 当时， 的纵坐标，即点坐标为， 当时，的纵坐标， ∴点与点的纵坐标之差为， ∵由图可得所构成的矩形面积宽为1，长为点与点的纵坐标之差， ∴点与点的纵坐标之差为， ∴． 故选：D． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于A，B两点，且点A的坐标为，将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F，且的面积是．给出以下结论：①；②点B的坐标是；③；④．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键．①把代入求得，然后代入求得；②联立解析式，解方程组即可求得；③根据同底等高的三角形面积相等，得出；④根据列出，解得． 【详解】解：①直线经过点， ， ， 点在双曲线上， ，故①正确； ②联立， 解得或， 点B的坐标为，故②正确； ③将直线向上平移m个单位，交双曲线于点C，交y轴于点F， ， 和是同底等高， ，故③正确； ④， ， 解得，故④正确； 综上，正确的结论有：①②③④，共4个． 故选：D． 8．如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长交轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ∵点的坐标为在反比例函数上， ∴， ∵轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点， ∴轴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 9．如图，反比例函数的图象经过点，过点A作轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点，经过点P作直线的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点在此反比例函数的图象上，则t的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质；会用求根公式法解一元二次方程．根据反比例函数图象上点的坐标特征由点坐标为得到，即反比例函数解析式为，且，则可判断为直角三角形，所以，再利用可得到，然后轴对称的性质得，所以，于是得到轴，则点的坐标可表示为，于是利用得，然后解方程可得到满足条件的的值． 【详解】解：如图， ∵点坐标为， ， ∴反比例函数解析式为， ， ∴为等腰直角三角形， ， ， ， ∵点和点关于直线对称， ， ， ∴轴， ∴点的坐标为， ， ， 整理得， 解得（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 故答案为：． 10．如图，在轴的正半轴上依次截取，过分别作轴的垂线，与双曲线相交于，得5个三角形，设它们的面积从左到右依次为，则= ． 【答案】/0.2 【分析】本题主要考查图形的规律，理解图示意思，理解点在反比例函数图像上，求出各点坐标及对应边的长度是解题的关键． 根据，设点的坐标为，可求出，然后可得，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点的坐标为    ∵，   ∴ 点、、、 ∵ 点在曲线上，   ∴、、、、 又 ∵、、、、均为直角三角形，   ∴ 每个三角形的面积为： ∴ 故答案为： . 11．如图，直线交两坐标轴于点E、F，交反比例函数的图象于点轴于点轴于点D，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、一次函数图象上点的坐标特征、根与系数的关系及两点间的距离公式，设，进而求出，求出，将一次函数表达式代入反比例函数表达式整理后，根据根与系数关系进一步求出，即可求出结论． 【详解】解：设， 点在直线上，， ， 解得：， ， 点在反比例函数图象上， ， 将代入中， 整理，得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A，将正比例函数的图象向右平移个单位长度后，交反比例函数的图象于点B，交x轴于点C，如果，那么k的值为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点，函数图象的平移，相似三角形的判定和性质，联立正比例函数和反比例函数可得点A坐标，作轴，轴，可证，进而可得点B的坐标，列出方程，求解即可得到答案． 【详解】解：联立与得， ， 正比例函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数解析式为， 作轴，轴，则， ， ， ， ， ，代入，得， ， 交反比例函数的图象于点B， ， 解得． 故答案为：12． 13．如图，反比例函数在第二象限的图象上有一点，轴于点，轴于点，直线与都与轴相交于点，分别交轴于点、，如果梯形的面积为，那么的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，由一次函数求出点坐标，进而可得直线解析式，即可得到点坐标，根据梯形面积即可求出点坐标，进而求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：由一次函数可得，， ∴， 把代入得，， ∴直线解析式为， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∵梯形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴点坐标为， 把代入得，， ∴， 故答案为：． 14．如图，直线与反比例函数只有唯一的公共点，与反比例函数交于点，如果，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查反比列函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，熟练掌握一次函数与反比例函数的图象性质是解题的关键． 先根据直线与反比例函数只有唯一的公共点，联立解析式得方程组，由求得a，从而求得点A、B坐标，再过点A作于E，过点C作于F，证明，得 ，求得，从而得到点，然后把代入，求解即可． 【详解】解：联立得， ∴ ∴ ∵直线与反比例函数只有唯一的公共点， ∴ 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ ∴ 解得：， ∴ ∴， ∴， 令，则， ∴， 过点A作于E，过点C作于F，如图，    ∴，， ∴ ∵ ∴ ∵于E， 于F ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 把代入，得 ． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，双曲线与的斜边交于点A，与交于点D，若，，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键．过点A作轴于点E，设，首先通过相似三角形的性质得出的长度，进而求出D点的坐标，最后利用求解即可． 【详解】解：如图，过点A作轴于点E，    设，则， ∵， ， ， ， ， ， ∴D点的横坐标为， 则纵坐标为， ， ， ， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．过点作轴的平行线与函数的图象交于点，与反比例函数的图象相交于点．过点作轴的平行线与直线交于点（点、不重合）． (1)当点绕着点顺时针旋转恰好落在点时，试求的面积． (2)当为何值时，的值为定值？并求出此时、应满足的条件． 【答案】(1)的面积为； (2)当时，的值为定值，此时、应满足的条件为． 【分析】（1）连接，，可得为等腰直角三角形，从而可得点的坐标，进而可得点的坐标，即可得的长度，代入三角形的面积公式计算即可； （2）根据点和点的位置关系，进行分类讨论，用，，表示，化简整理，由的值为定值，可得满足题意的的值，以及对应的、满足的条件． 【详解】（1）解：连接，， 由旋转的性质可知，，， ∴为等腰直角三角形， ∵轴，且过点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． （2）解：根据题意可得，，，，， ∴， 由得， ∴， 当时，， ∵当时，（定值）， 当时，， 若为定值，则，此时，不符合题意， ∴当时，的值为定值，此时、应满足的条件为． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，一次函数与几何的综合，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质． 17．如图，过轴上的点分别作轴的平行线，分别交反比例函数的图象于点，交直线于点，已知． (1)求点的坐标； (2)求和的值； (3)猜想的值，直接写出答案． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数，直线与反比例函数的交点问题 （1）设点， ，根据是和的交点，列式计算即可． （2）根据，，确定，，…, ,利用和，分别计算，后计算比值即可． （3）根据规律，写出答案解． 【详解】（1）设点， ， ∵是和的交点， ∴, ∴, 根据题意，， 解得， 故． （2）∵，， ∴，，…, , ∴，，…, , ∴，；，； …, , ∴ ∴． （3）∵，， ∴，，…, , ∴，，…, , ∴，；，； …, , ∴． 18．如图，直线与双曲线相交于两点，直线过点，交轴于点，已知． (1)求双曲线的解析式． (2)点为双曲线第三象限图象上的一个动点，连接，交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点，可求出，再根据面积求出点，代入即可得到解析式；（2）根据三角形面积相等进行解题，由于和等底同高，可得到，因为，得到，继而可求出，代入即可得到点的坐标． 【详解】（1）令 解得，即点 又 点的纵坐标为 点 双曲线的解析式为． （2）作轴于点轴于点F，则，由双曲线的对称性可知 和同高，设高为 ， 又， ，则， 即， ， 即的横坐标为 代入得点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式、反比例与一次函数的交点问题，解题的关键在于画出正确辅助线． 19．如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点，且点为反比例图象上的一点，连接，点M为坐标平面上一动点，轴于点N． (1)写出正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当点M在直线上运动时，是否存在点M，使得与的面积相等？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点M在反比例函数图象位于第一象限的一支上运动时，求以为邻边的平行四边形周长的最小值，并求此时点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，或． (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）分割法求出的面积，设点M为，利用面积公式列式计算即可； （3）根据最小时，平行四边形的周长最小，进行求解即可． 【详解】（1）解：设正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为， ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）∵， ∴， 设点M为，则：， ∴， 所以点M的坐标为或． （3）∵， ∴， ∴当最短时，平行四边形的周长最小， 设点M为，则： ∵ ∴平行四边形的周长最小是， 此时，点M的坐标为． 20．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点．    (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点在x轴负半轴上，连接，过点B作，交的图像于点Q，连接．当时，若四边形的面积为36，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据反比例函数过点，两点，确定，待定系数法计算即可． （2）根据平移思想，设解析式求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点， ∴， 故反比例函数的解析式为， ∴， 故， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． （2）∵，，，，， ∴四边形是平行四边形， ∴点A到点P的平移规律是向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点到点Q的平移规律也是向左平移个单位，向下平移4个单位， 故， ∵在上， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为， 设与x轴交于点C，连接，如图所示： 把代入，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴当时，符合题意． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，平移规律计算，熟练掌握规律是解题的关键． 试卷第28页，共28页 试卷第27页，共28页 学科网（北京）股份有限公司 $