4.2.1 最短路径 将军饮马 课件 2025.--2026学年青岛版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦最短路径问题（将军饮马模型），通过“将军饮马”情境导入，从已学的“两点之间线段最短”“垂线段最短”切入，逐步探究一点一线、两点一线（同侧/异侧）、一点两线、两点两线等类型，形成递进式学习支架，衔接新旧知识。 其亮点在于情境化与转化策略结合，以“将军饮马”系列情境抽象数学问题，培养数学眼光中的几何直观和抽象能力。通过作对称点转化路径为线段最短，发展数学思维中的推理能力和空间观念。分类小结与分层练习助学生构建模型意识，教师可直接用情境链教学，提升学生问题解决能力。

青岛版数学八年级上册 4.2.1最短路径问题 —将军饮马 你学习过哪些最短连线的知识？ “两点之间，线段最短” “垂线段最短” 创设情境 导入新课 情景一：如图，将军下班后想去带马去河边饮水，问：将军怎么走路程最短？ 探究一 一点一线---垂线段最短 情景一： 抽象成数学问题可表达为: N “垂线段最短” 点A与到直线l上各点的连线距离最短的问题。 探究一 一点一线---垂线段最短 例1、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5,AB=13.点E是AB上一动点，则CE的最小值为多少？ E 解题秘钥：S△ABC=BC·AC=AB·CE 例题讲析 1、如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，A,B,C,D都在直线a上，下列线段中最短的是（ ） A. PA B. PC C.PB D. PD C 巩固练习 情景二：将军要先带马去河边喝水，再去单位上班。请问：马在河边何处喝水时，将军所走的路线最短？ 探究二 两点一线---两点之间线段最短 情景二： 抽象成数学问题可表达为: •B 探究二 两点一线---两点之间线段最短 点A与点B两点之间连线距离最短的问题。 两点之间线段最短 情景三:在单位旁边有一块草地，每天中午休息的时候，将军要赶着马先到草地吃草，再到河边喝水，最后回到单位， 问：将军怎么走路线最短？ 探究三 一点两线---两点之间线段最短 探究二 两点之间线段最短 情景三： 抽象成数学问题可表达为: 如图，一定点P在∠AOB内,在OA,OB上找两点M,N,点使PM+PN+MN 值最小。 A O B •P 两点之间，线段最短 P1 P2 N M （1）两直线内的一个定点 （2）两直线上各一个动点 作该点分别关于两线的对称点，连接对称点，与两线相交，两个交点与该点构成三角形，就是最短路径。 A O B •P 探究二 两点之间线段最短 例2、如图，画出点A关于OM,ON的对称点B,C。若∠MON=30°，OA=10cm,求∠BOC,线段BC的长。 例题讲析 •B •C 1 2 3 4 解：如图 分别作点A关于OM,ON的对称点B,C 作射线OB,OC,OA 由对称性得∠1=∠3， ∠2=∠4 ∵OB=OC=OA=10 ∠3+∠4=∠1+∠2=30° ∴∠BOC=60° ∴△ABC是等边形 ∴BC=10 2.如图,点 P为∠AOB内一点,分别作出点P关于OA,OB的对称点P1，P2。 (1)若∠AOB=45°,OP=4,则以 P1,O,P2三点为顶点的三角形面积是; (2)连接 P1P₂交OA 于点M,交 OB于点N. ①若 P1P₂=2 024 cm,求△PMN 的周长； ②若∠AOB=40°,求∠MPN的度数. 巩固练习 探究四 两点一线---将军饮马型 情景四：现在，单位搬到了将军府的同侧，将军还是要先带马去河边喝水，再去单位上班。 问：将军应该如何走才能使所走路线最短？ •B A• 情景四：此问题也叫 “将军饮马问题”, 抽象成数学问题可表达为: 如图，已知A,B 两点在直线l的同侧,在直线l上求作一点P,使AP+BP 的值最小。 探究四 两点一线---将军饮马型 A P B＇ ┓ B 作法： 1、作点B关于直线l的对称点B＇ 2、连接AB＇ ,交直线l于P 。 则点P即为所求。 探究四 两点一线---将军饮马型 3.如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边l上修建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂的位置,可使用的水管最短？ A• B• •B′ P 巩固练习 例3、如图，在RtABC中,∠C=90° ，且AB=10， MN为AC的垂直平分线，设P为直线MN上任一点， 求PB+PC的最小值。 例题讲析 解：如图 ∵MN为AC的垂直平分线 ∴点A是点C关于MN的对称点 连接AB交MN于点P,则PA=PC ∴PB+PC=PB+PA=AB=10 4.如图，正方形ABCD边长为8，M在BC上，BM＝2， N为AC上的一动点，N在何处时BN+MN的最小值？ 巩固练习 5.如图，已知P、Q是△ABC的边AB和AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最小吗 巩固练习 情景五：如图，将军从将军府出发，先到到河边饮马，然后去草地巡逻，然后去单位，最后回到家， 问：应该怎样走才能使路程最短？ 探究五 两点两线---将军饮马型 情景五：此问题抽象成数学问题可表达为: 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N， 使得四边形AMNB的周长最小. l2 l1 B A 作法：1.分别作点A，B关于直线l1，l2的对称点A1，B1， 2.连接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求. A1 • •B1 M • N • 探究五 两点两线---将军饮马型 课堂小结 最短路径 问题 两点一线型 点在直线异侧 点在直线同侧 B l A C B′ A B l C 两线一点型 l1 l2 A A1 N A2 M 两线两点型 l2 l1 B A B1 M A1 N