4.3 角平分线 课件 2025--2026学年青岛版八年级数学上册

第4章 图形的轴对称 平面图形 轴对称 ………… 青岛版 八年级上册 内容提要 轴对称及其基本性质 轴对称图形 线段、角、等腰三角形的轴对称性 轴对称图形 图形的变化 1.线段垂直平分线的性质定理及判定定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 A B M N O P 几何语言： ∵MN是线段AB的垂直平分线， 点P在MN上， ∴PA=PB。 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 温故而知新 2.尺规作图:作一条线段的垂直平分线。 “过一点作已知直线的垂线”。 温故而知新 3.我们学过哪些基本的尺规作图？ 创设情境 导入新课 线段是轴对称图形,那么角是轴对称图形吗? 如果是轴对称图形，你能画出它的对称轴吗？ 它的对称轴又有什么性质？ 青岛版数学 八年级上册 第4章 图形的轴对称 4.3 角平分线 探究一 角平分线的画法 (1)在一张纸上任意画一个角,将纸折叠, 使角的两边重合,将纸展开后铺平,你有什么发现? 观察与发现 1 2 ∴∠ 1=∠ 2 角是轴对称图形， 角的平分线所在的直线是它的对称轴。 (2)如图，已知∠AOB,你能用尺规作出它的平分线吗? 探究一 角平分线的画法 ①以点O为圆心,以适当的长为半径作弧,分别交这 个角的两边于C,D两点; “作一个角的平分线”也是基本作图。 探究一 角平分线的画法 ②分别以点C,D 为圆心,以大于CD 的长为半径作弧,两条弧交于点P; ③作射线OP。 OP 即为所求作的角平分线。 作法: C D P 探究一 角平分线的画法 C D P 思考与交流 角平分线画法的理论依据是什么？ 理论依据是“SSS”. 由画法知: ∴△OCP≌△ODP(SSS)。 OC=OD PC=PD OP=OP ∴∠COP=∠DOP 巩固练习 1.用尺规把一个角四等分。 (1)如图,在∠AOB 的平分线OC 上取一点P,过点P 作PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是点M,N。线段PM 和PN 有什么关系? 改变点P 的位置,结论还成立吗? 请说明理由。 探究二 角平分线的性质 观察与发现 1 2 ∵PM⊥OA,PN⊥OB ∵OC是∠AOB 的平分线， 1 2 ∴∠ 1=∠ 2 ∴∠ OMP=∠ ONP=90° 在△OMP 和△ONP 中， ∠ OMP=∠ ONP, ∠1=∠2, PO=PO, ∴△MPO≌△NPO(AAS)。 ∴PM=PN 当点P在OC上移动时,总有PM=PN。 角平分线的性质1 角平分线上的点，到这个角的两边的距离相等。 探究二 角平分线的性质 概括与表达 几何语言： ∵OC是∠AOB 的平分线， PM⊥OA,PN⊥OB ∴PM=PN 一平分 两垂直 得相等 例1、（1）如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝______cm. 5 巩固练习 （2）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，且DE＝3 cm，BC＝8 cm，则BD＝________cm. 5 巩固练习 例题讲析 16 例3、如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC与∠ABC的 平分线相交于点O,OD ⊥AB于点 D。若OD=2,S△ABC=42, 求△ABC的周长。 例题讲析 解:如图,连接 OC,过点O分别作 OE⊥BC, OF⊥AC,垂足分别是点E,F。 所以 AB+BC+AC =42,即△ABC的周长为42。 ∵AO平分∠BAC,BO 平分∠ABC, OD ⊥AB, OE ⊥ BC,OF⊥AC,OD = 2, ∴ OE =OF=OD=2。 ∵S△ABO= AB·OD;S△BCO= BC·OE,S△ACO= AC·OF ∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO = (AB+BC+AC)·OD=42, 1.如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为点D,PD=2.求点P到直线OA的距离。 2.如图，利用尺规在△ABC的边BC上求作一点P，使点P到边AB，AC所在直线的距离相等。 巩固练习 (2)在角的内部,到角两边距离相等的点是否在角的平分线上? 探究三 角平分线的判定 思考与交流 已知:PM⊥OA,PN⊥OB,垂足分别是点M,N,PM=PN。 求证:点P 在∠AOB 的平分线上。 证明:如图,连接OP。 ∵PM⊥OA,PN⊥OB, 所以点P 在∠AOB 的平分线上。 PM=PN PO=PO, ∴∠PMO=∠PNO=90°。 在Rt△PMO 和Rt△PNO 中, ∴Rt△PMO≌Rt△PNO(HL)。 ∴∠POA=∠POB。 角的内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上. 角平分线的判定 ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE ∴点Q在∠AOB的平分线上． 探究三 角平分线的判定 概括与表达 几何语言： 22 22 例4、如图,P是∠AOB 内部的点,PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分别是点E,F,且PE=PF。Q 是射线OP上的任意一点,QM⊥OA, QN⊥OB,垂足分别是点M,N。QM 与QN 相等吗? 为什么? ∴QM=QN(角平分线的性质定理)。 解:QM=QN。理由如下: ∵PE⊥OA,PF⊥OB,PE=PF, ∴OP 是∠AOB 的平分线(角的内 部到角两边距离相等的点在角的平分线上)。 ∵点Q 在射线OP 上,QM⊥OA,QN⊥OB, 巩固练习 25 本节课你有什么收获？ 1.填空 (1). ∵∠1= ∠2,DC⊥AC, DE⊥AB ∴___________ (___________________________________________) (2). ∵DC⊥AC ,DE⊥AB ,DC=DE ∴__________ (_ ______________________________________________) A C D E B 1 2 ∠1= ∠2 DC=DE 到角的两边的距离相等的点在角平分线上。 角平分线上的点到角的两边的距离相等 当堂检测 B 28 B 29 30 31 5.如图,直线l1,l2,l3 表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,利用尺规确定可供选择的位置。 l3 l1 l2 例2、如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证：BE＝CF. 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90° ∵D是BC中点 ∴BD＝CD ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL) ∴BE＝CF 3.已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F. (1)求证：PD＝PE＝PF； (2)点P在∠BAC的平分线上吗？说明理由. 2.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是(　　) A．10 B．15 C．20 D．30 3.如图，点P是△ABC内一点，且PD＝PE＝PF，则点P是 (　　) A．△ABC三边垂直平分线的交点 B. △ABC三条角平分线的交点 C. △ABC三条高所在直线的交点 D. △ABC三条中线的交点 4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D.求证： (1)OC＝OD； (2)OP是CD的垂直平分线. 证明：(1)∵OP平分∠AOB ∴∠COP＝∠DOP ∵PC⊥OA，PD⊥OB，∴∠OCP＝∠ODP＝90° 又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS) ∴OC＝OD (2)∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB ∴PC＝PD ∴点P落在CD的垂直平分线上 ∵OC＝OD ∴点O落在CD的垂直平分线上 ∴OP是CD的垂直平分线 $$