山东省济南市长清区2025-2026学年高二上学期期中学习质量检测数学试题

2025年11月长清区高二期中学习质量检测 数学试题 本试卷涧分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座号填写在规定的位 置上。 2.回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮棕千 净后，再选涂其它答案标号。 3.回答非选择题时，必须用0.5毫米黑色签字笔作答（作图除外)，答案必须写在答题卡各 题目指定区域内相应的位置：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不能使用涂 改液、胶带纸、修正带和其他笔。 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 1.已知直线/与直线'：x+y-1=0垂直，则直线/的倾斜角是（) A. B. 2K c牙 D. 2.已知空间向量a=(1,1,0)。b=(0,一1,4).则1a+b1=() A.15 B.15 C.17 D.17 3.若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点(3,0)，则椭圆的标准方程为() A. +1或女+=1 169 9'16 B.l 169 4.过直线y=x+1上一动点P作圆M:(x-5+y2=2的一条切线/，切点为A,则线段PA长度的 最小值为() A.6 B.4 C.32 D. 5.设点A(4.-3),B(-2,-2),直线/过点P(1,)且与线段AB相交，则1的斜率k的取值范围是() Ak之1或≤4B.k之1或k≤-月 C.-4≤k≤1 D.-≤k1 6在正方体ABCD-A1B1CD1中，点P是CD1的中点，且AP=AD十xAE+ynM,则实数x+y=() B c 第1页，共4页 7.已知R,5是椭圆c:关+广=1的两个焦点，点M在C上，则HM的最大值为() 25I6 A.25 B.12 C.13 D.16 8.如图，在三梭P-MBC中，B=AC=PB=PC=5,PA=4,BC=6,点M在平面PBC内， 且AM=V5,设异面直线M与BC所成的角为c,则cosa的最大值为() A.5 B.3 c 2 D 2 5 5 二、选择题：本题共3小题。每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知图C:（x-1)2+y-12=16,直线1：(2m-1)x+(m一1)y-3m+1=0.下列说法正 确的是() A.直线I恒过定点(2,1) B.圆C被y轴截得的弦长为2V15 C.直线1被圆C截得的弦长存在最大值，此时直线I的方程为2x十y一3=0 D.直线1被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线I的方程为x一2y一4=0 0.记猫圆C:+与圆C+1内部重登区峨的边界为曲线C,P是曲线G上年 43 意一点，则() A.圆C,与椭圆Cz的离心率相等 B.曲线C关于y=女对称 C.P到点（一1,0），(1,0)，(0，一1).(0,1)的距离之和为定值 D,P到原点的距离的最大值为2压 11、如图，在校长为1的正方体ABCD-AB1CD1中，M,N分别为BD1,B1C的中点，点P在正 方体的表面上运动，且满足MP⊥CW.下列说法中正确的是() A.点P可以是棱BB,的中点 B线段MP的最大值为 C.点P的轨迹是正方形 D.点P的轨迹长度为2十V5 第2页，共4页 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12若直线2x一y一3=0与4x一2y十a=0之间的距离为V5,则实数a= 13.在空间直角坐标系中，已知A(1,一1,0)，B(4、3,0),C（5、4,一1)，则A到BC的距 离为一 14.己知直线：k女-y+3-3k=0的图象与曲线Cy=√-x2+2x有且只有-个交点，则实 数k的取值范图是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知空间三点A(-2,0,2),8(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=AB,b=AC (1)若|cI=3,且e∥BC,求c: (2)若ka十b与ka一2b互相垂直，求k的值. 16（15分)如图，已知平行六面体ABCD-A2B1C2D1中。底面ABCD是边长为1的正方形，A41=2, ∠AA8=∠AAD=120°. (1)求线段AC的长： (2)求异面直线AC1与AD所成角的余弦值： 1 ·(3)求证：AA⊥BD. 17.(15分)知☒，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD为平行四边形， 其中PA=5、AB=1,D=2AB,且∠ABC=60°，点E为PD的中点. (1)求点B到平面AEC的距离， (2)求平面PBC与平面AEC所成锐二面角的余弦值. 第3页，共4页 18、(17分)已知，h是椭圆c:+长=1(b>0)的左、右焦点，过点F的直线与c交于A, B两点，且1A51:1A8|:1BF2|=3:4:5. (1)求C的离心率： (2)设M,N分别为C的左、右顶点，点P在C上（点P不与点M,N重合），证明：∠MPN≤∠MAN, 19.(17分)现定义，若圆A上一动点M,圆A外一点N,满足W的最大值为其最小值的 两倍，则称N为圆A的“白银点”若点G同时是圆A和圆B的”白银点“，则称G为圆”A⑧B的黄 金点r已短盟46x++0+以-号 (1)若点C为圆A的白银点”，求点C的轨迹方程并说明轨迹的形状： (2)已知劂B:(x-2)2+0y-2)2=1,且P,2均为圆°A⑧B的黄金点” (i)求直线P2的方程： ()若圆H是以线段P2为直轻的圆，直线：y=:+与圈H交于I,J两点，深究当k不断变 化时，在y轴上是否存在一定点W,使得y轴平分∠IWJ?若存在，求出点丽的坐标：若不存 在，请说明理由， 第4页，共4页 2025年11月长清区高二期中学习质量检测 数学答案 一.选择题 1-8CD C BB D AA 二。选择题 9.BD 10.ABD 11.BD 三，填空题 12.4或-16 13.V8 3 14.1<ks3或k=6-25 3 四。解答题 15解：(1)c∥BC.c=BC=a(-2,-1,2)=(-2m,-m,2m). 1c1=J(-2m)2+(-m)2+(2m)2=31al=3. ..3分 ,0=土1. ∴c=(-2,-1,2)或c=(2,1,-2)。 ....6分 (2).ka十b=(k-1,k,2),ka-2b=（k+2,k,-4), ...8分 ka十b与ka一2b互相垂直， (k-1)(k+2)+R-8=0, .10分 六k-2或=—号 即当a+b与ka一2b互相垂直时，k=2或k=一多 .13分 16.解：(1)设AB=a,AD=b,AA2=c, 则1a|=1b1=1,1c|=2,8b=0, ca=cb=2×1×cos120°=-1. …✉2分 因为AC3=AB+AD+AA,=&十b+c, 所以1AC:1=1a+b计el=(a+b+c)2- 1a12+1b12+1c12+2ab+2bc+2ac =1+1+4+0-2-2=V2,所以线段4G的长为V2. .....5分 (2)因为AC1=a十b+c,A1D=b-c 所以AC2AD=(a+b+c)·(b-c)=r6-ac+6-c=0+1+1-4=-2,.7分 1AD1=16o1-√(b-c)7 =1b12+1c12-2bc =V1+4+2=√7， .9分 设异面直线AG与A,D所成的角为0， 则cos0=|cos<AC1,AD>1=1AG,·AoL=H2L=匹 I ACAbI V2XV77 即异面直线AG与A,D所成角的余弦值为严 7 .11分 （3)证明：因为AA:=o,BD=b-a, 所以AA1BD=c(b-a)=cb-ca=-1+1=0,即AA1⊥BD, 所以AM,⊥BD. .15分 17.(1)由已知，∠ABC=60°，AB=1,AD=2AB=2, 在△ABC中，由余弦定理得AC=√AB2+BC2-2ABBC-cOs60°=V5, 则AB2+AC2=4=BC2,由勾股定理，则AB LAC, 又PA⊥底面ABCD,AC,ABC平面ABCD,则有PA⊥AB,PA⊥AC, 所以以A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，以AP为：轴，建立如图示的空间直角坐 标，则A0,0,0),B(1,0.0),C(0,5,0),D(-1,V50),P(0,0,5) .3分 PD的中点E 9正9 ac=0,5,o）: 设平面AEC法向量为m=(x,y,)，则， m.AC=3y=0 而亚-+-0叔-h题x5,y=0,放m6,0小 2y 2x+ ...6分 B1=(-1,00),则点8与平面4BC的距离d-1BAm-Y5 [ml .8分 (2)由(1)得， BP=(1,0,,BC=(-15,0),设平面BP℃的法向量为n=(a,b,c) 则，Jn.Bp=-a+√3c=0 n-BA=-a+V36=0 取c=1,则a=5.b=1.则万=(N3,1,1), ...12分 平面AEC与平面BPC所成角余弦值为cos(m,》= m-月5x5+_25 同2×55 ...15分 18.解：(1)+-1(6>0)得=4，则a=2. AFI=3m,ABI =4m.I BF,I =5m 由勾股定理知∠BA=? 由|1+|AB1+|BF|=4a=8可知=子 3分 所以|AE1=2,IAF|=2a-|A51=4-2=2, 所以△AFB为等腰直角三角形， 所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b=c=V2, ….6分 所以椭圆的离心率为c==三 a 2 …….7分 (2)证明：由(1)可得椭圆方程为5+二-1， 2 则M(-2,0),N(2,0). 由椭圆的对称性可设A(0,2),P(,乃)，∈(0、V2,..9分 a=∠PHN,B=∠PMM, 则tana=yo, xat中2，tanB=_y0.o+y0=l, 所以tan0·tanB=n·0=分=发=l x0+22-x04-x号2y哈2 tan o+tan B=Yo+yo=4yo=4yo2 x0+22-x04-x名2y哈y0 BA=(-1,0,0),则点B与平面AEC的距离d= 1BAm|√5 m 2 .8分 (2)由(1)得， BP=(-1,0,V5).BC=(-1,V5,0),设平面BPC的法向量为n=(a,b,c) 则，Jn·BP=-a+V3c=0 n.BA=-a+36=0 取c=1,则a=V3,b=1,则万=(51,1)， ...12分 平面AEC与平面BPC所成角余弦值为cos(m,训= 历万 |5xV5+1_2W5 2x5 ..15分 18.解：(1)由+为=1(6>0》得d=4,则a=2. 设|4AR|=3m,|AB1=4,|BR|=5m, 由勾股定理知∠BAS=? 由1AR1+1AB1+1BS1=4a=8可知=子， …3分 所以1A51=2,1AR|=2a-|A51=4-2=2, 所以△ARB为等腰直角三角形， 所以点A是椭圆短轴的一个端点，则b=c=V②， .6分 所以椭圆的离心率为e=c= ….7分 (2)证明：由(1)可得椭圆方程为+兰-1， 2 则M(一2,0)，N(2,0). 由椭圆的对称性可设A(0,V2),P(x,)，乃∈(0，V2],.9分 O=∠PMN,B=∠PNM, xo+2'tan p=yo 则tana=y0 +5=1, 2-x04 2 所以tang·tanB=o·o=分 x0+22-x04-x始2% tan a+tan g=Yo+yo=4yo4yo=2 X0+22-x04-x22y哈y0 所以tan(a十B)=tana+tans=4 ....15分 1-tanatanβ 所以当y,=V2时，tan(a+B)取得最小值2V2, (a+B)∈(0， 所以当点P与点A重合时，a十B取得最小值，此时∠PW=元一（a+B)取得最大值， 所以∠MP≤∠CAN .....17分 19.(1)设C(x,y),因为点C为圆A的“白银点”， k4-e- 即CA=V3,得到√x+1)+y+1)=V5 所以C的轨迹方程为(x+1)2+(y+1)2=3 点C的轨迹是以A(-1,-I)为圆心以√3为半径的圆 ..5分 (2)()因为P为圆“A⑧B”的“黄金点”，所以P同时为圆A与圆B的“白银点”。 由PB+1=2PB-1),则|P8=3, 即点P在圆(x-2)2+0y-2)2=9上， .7分 由P为圆A的“白银点”，由(1)知点P在圆(x+I)?+y+1)2=3上， 所以点P是圆(x+1)2+0+1)2=3和(x-2)2+0y-2)2=9的交点. 由题直线P为圆(x+1)2+y+I)2=3和(x-2)2+(y-2)2=9的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得x+y=0,故直线P?的方程为x+y=0 ….9分 (i)记(x+1)2+(0y+1)2=3的圆心为S(-1,-1). 又记(x-2)2+(0y-2)2=9的圆心为T(2,2). 所以直线ST的方程为y=x,与x+y=0联立得PQ的中点坐标为(0,0). 点s到袋x+=0离为疗万，则空--可-1， 所以圆H的方程为x2+y2=1. ......12分 假设y轴上存在点W(0,)满足题意，设I(x,y),J(x2,y2),xx2≠0. 则km+km=0,即-+2，==0，整理得xy-）+x0,-)=0. X1 X2 将%=+=+分代入上式可得(+号小(+分小-0。 整理得26+侵1j中)=00 联立 =&+2,消y可得公+1r+c-子=0，必有△>≥0， x2+y2=1 3 且6+为=k2÷x=-4k2÷1） ...15分 代入①并整理得k(1-2)=0，所以t=2, 故存在点W(0,2),满足题意恒成立. .17分 W