福建省莆田第二中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

莆田二中2025-2026学年上学期高三年段期中考 数学科试卷 命题人：郑佳欣 审核人：陈阳琴 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试时间120分钟. 一.选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的） 1．已知集合，则（　　） A． B．C． D． 2．已知是虚数单位，复数满足，则（       ） A． B． C． D．5 3．设a，b∈R，则“”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件 4．在等比数列中，，是方程的两个实数根，则的值为（     ） A．2 B．-2 C． D． 5．若一个圆锥与一个圆柱的体积相等，侧面积也相等，且圆锥底面半径是圆柱底面半径的 倍，圆柱的高为3，则该圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 6．已知，若，则tan(α+β)=（       ） A． B． C． D． 7．已知数列的前项和为，其中，且，则（       ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象是由的图象向右平移个单位得到的．若在上仅有一个零点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知数列满足，则（        ） A． B．的前8项和为86 C．的前12项和为 D．的前16项和为168 10．在中，，，，点D，E分别是边和的中点，且，交于点O.设向量，，则（     ） A． B． C．向量在向量方向上的投影向量为 D． 11．已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（       ） A．函数是奇函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．设平面向量，若不能组成平面上的一个基底，则=_____. 13．已知函数，若，且，则的最小值是__________. 14．已知函数，其部分图象如图所示，其中为最高点，，，则的解析式为_________，_________.     四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（13分）如图，在直四棱柱中，，，，，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值： 16．（15分）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 17．（15分）已知正项数列的的前n项为，且满足，等比数列是递增数列，，为其前n项和，且满足． (1)分别求，的通项公式； (2)当时，若对任意的恒成立，求实数的最大值． 18．（17分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角A； (2)D为BC上一点，． （i）若，求的值； （ii）若，求面积的最大值． 19．（17分）已知函数． (1)求函数在x=1处的切线方程； (2)记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A D B A C D 二、多选题 题号 9 10 11 答案 AD BCD BCD 三、填空题 12、 13、8 14、 四、解答题 15．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由直四棱柱知，底面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 因为，，． 所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又，平面，所以平面． （2）因为底面，平面， 所以，因为，所以两两垂直， 所以以为原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 由（1）知，为平面的一个法向量． 设平面的一个法向量为， 因为， 则，令，则， 平面的一个法向量为． 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 16．(1)答案见解析 (2)． 【详解】（1）求导得， 当时，，则，得，，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，解得或， 当时，，则，得或，，得， 则在内单调递减，在和上单调递增； 当时，，，则在区间上单调递增； 当时，，则，得或，，得， 则在区间内单调递减，在和上单调递增， 综上，时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在内单调递减，在和上单调递增； 时，在区间上单调递增； 时，在区间内单调递减，在和上单调递增. （2）由可得， 即， 令，则， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则，则， 故，令， 则，令，解得， 则当时，，当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，所以， 故的取值范围为． 17．(1)， (2) 【详解】（1）由于，故， 当时，得 ， ， ， 故是以2为公差的等差数列， 又当时，得， ， ， 等比数列是递增数列，，故公比， 由可得，解得， 故； （2）数列的前项和， 数列的前项和， 由可得，故对任意的恒成立， 设，则， 当时，，则； 当时，，则； 故， ，故实数的最大值为 18．(1)； (2)（i）；（ii）. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理得，而，所以. （2）（i）由，得，， 在中，由正弦定理得，， 在中，由正弦定理得， 所以. （ii）由得，得，则， 因此，即， 当且仅当时取等号，则，， 所以当时，的面积取得最大值. 19．(1) (2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解 【详解】（1）因为．所以 所以。切线的斜率为0 又，所以函数在x=1处的切线方程为 （2）（i）因为， 所以， 则， 所以， 即， 所以 （ii）函数， 因为当时，， 所以当时，， 所以当时，， 因此， 故，即 因为， 所以当时，， 综上，，所以， 所以， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $