精品解析：重庆市名校联盟2025-2026学年高一上学期第一次联合考试数学试卷

重庆市名校联盟2025-2026学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2028届） 【考试时间：2025年11月12日15:00-17:00】 【命题学校：万州高级中学命题人：秦雪梅聂一怀审题人：刘燕】 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡､试卷､草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，，，则=（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求得，然后求. 【详解】依题意，所以. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义判断即可. 【详解】时，解得，不一定成立， 当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式和可得． 详解】由题意得：，解得：， 由，解得：， 故函数的定义域是， 故选：C. 4. 下列命题的否定为真命题的是（ ） A. ，使得方程有整数解 B. ， C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. ，方程是一元二次方程 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义以及真命题的定义逐一判断各个选项即可. 【详解】原命题的否定为“，方程9没有整数解”，令，则，此时方程有整数解，即原命题的否定为假命题，A错误； 原命题的否定为“”，，当且仅当时等号成立，即原命题的否定为假命题，B错误； 原命题的否定为“存在一组邻边相等的平行四边形不是菱形”，为假命题，C错误； 原命题的否定为“，方程不是一元二次方程”，当时，原方程为是一元一次方程，即原命题的否定为真命题，D正确． 故选：D. 5. 函数的图像可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A， 当时，∴，所以排除B， 当时，∴，所以排除C，故选D. 考点：函数图象的平移. 6. 若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义域及其单调性，结合已知不等式求参数范围. 【详解】由题意，则，可得. 故选：C 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】直接由作差法逐一判断即可. 【分析】对于A：， 因为，则，， 所以，当时，，当时，， 当时，，A错误； 对于B：因为，则，，， 则， 所以，B正确； 对于C，因为，则，，， 由题意， 即，故C错误； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：B. 8. 已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意可得，， 故当或时，， 当时，， 故当或时，， 当时，， 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，， 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B. 二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “设，且，则且”是假命题 D. 设，则“或”是“”的充要条件 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用充分性和必要性的定义即可判断选项AD；利用命题的否定即可判断选项B；利用赋值法即可判断选项C. 【详解】对选项A：，则，解得或， 所以时，不能得到，而时，一定有， 故“”是“”的必要不充分条件，选项A正确； 对选项B：“”的否定是“”， 选项B错误； 对选项C：取则，不满足且，命题为假命题，选项C正确； 对选项D：则或；或时，则有， 所以“或”是“”的充要条件，选项D正确. 故选：ACD. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，①， 但是无解，所以①等号不成立，所以A选项错误. B选项，当时，， ， 当且仅当时等号成立，所以B选项正确. C选项，当时，， 所以， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，是正数， ， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：BCD 11. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个不同的解 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数新定义有，再应用奇偶性定义、方程法判断函数的奇偶性和零点个数，由解析式及二次函数的性质的判定区间单调性. 【详解】当时，， 当或时，， 综上，， 当，则，显然， 当，则，显然， 综上，为偶函数，A对， 令，则或时，时， 所以方程有三个不同的解，B对， 在上，显然不单调，C错， 在上，，时，又图象连续，显然单调递减，D对. 故选：ABD 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】应用有理数指数幂的运算性质化简求值即可. 【详解】由. 故答案为： 13. 已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的单调性和对称性，解出不等式即可 【详解】因为，定义域为关于原点对称，， 所以为偶函数，当时，为减函数，为减函数， 所以为减函数，所以在上单调递减， 在上单调递增； 则有不等式等价为, 即有 解得， 故答案为： 14. 已知，，则的最大值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的最小值，再将化为，即可求得答案. 【详解】因为，， 故， 当且仅当，结合，即时等号成立， 所以，即的最大值是， 故答案为： 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），. （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出集合、集合，以及集合的补集，再根据集合的交集运算和并集运算，即可求出结果； （2）由，得到，按照集合是否为空集分类讨论，即可求出结果. 小问1详解】 ，解得或，则或， . 又由 ，即，解得，则， 所以，. 【小问2详解】 因为，所以， 当时，则有，即； 当时，则有，解得， 综上，实数的取值范围为或. 16. 已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 【答案】（1）证明见详解； （2）. 【解析】 【分析】（1）令，可得，根据函数单调性定义证明即可； （2）由（1）知，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值，可求得，当时，函数取得最小值. 【小问1详解】 令，则 ， 因为，所以，，， 所以，所以， 所以函数在区间上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知，函数在区间上单调递减， 又在区间上的最大值为， 即当时，函数取得最大值，即，所以， 解得， 当时，函数取得最小值，所以. 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 【答案】（1）答案见详解 （2）商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元 【解析】 【分析】（1）由题意可知，分别代入和运算求解即可； （2）设商品投入万元，则商品投入万元，分和两种情况，利用基本不等式以及二次函数性质运算求解即可. 【小问1详解】 因为投入10万元，即， 若只经销商品，则所获得的收益为万元； 若只经销商品，则所获得的收益为万元. 小问2详解】 设商品投入万元，则商品投入万元， 可知总收益， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在上的总收益最大值为16万元； 若，则， 可知的图象开口向下，对称轴为，则， 所以在上的总收益最大值小于万元； 因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元. 18. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 【答案】（1）奇函数 （2）证明见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解. （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分类讨论法运算即可得解. 【小问1详解】 解：由题意，函数对任意实数恒有， 令得，解得：. 取，则由得， ∴，即， ∴函数是奇函数. 【小问2详解】 证明：任取，且，则， ∵当时，，∴， 由得， ∴， ∴， ∴是上的减函数. 【小问3详解】 解：由得， 由得， 则， ∴不等式可化为， ∵是上的减函数， ∴，即………①. （i）当时，不等式①式即为，解得：，即原不等式解集为； （ii）当时，不等式①式化为，即， 若，上式不等式即为，解得：，即原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； 若，则，原不等式解集为； （iii）当时，不等式①式化为，即， ∵此时，∴原不等式解集为； 综上，当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为； 当时，原不等式解集为. 【点睛】方法点睛： 1.解一元二次不等式一般步骤：（1）化为标准形式；（2）确定判别式的符号，若，则求出该不等式对应的一元二次方程的根；若，则该不等式对应的一元二次方程无根；（3）结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集. 2.含有参数的一元二次不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较相应方程的根的大小，注意分类讨论思想的应用. 19. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记． （1）写出集合和； （2）证明：对任意，存在，使得； （3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可； （2）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立； （3）任取，，可证明，且，，再设集合中的元素个数为，设，设集合，通过证明，，推出，即可完成证明． 【小问1详解】 ，． 【小问2详解】 对任意，设， 则均为非负整数，且． 令，则，所以，且． 【小问3详解】 对任意，， 记，则，，…，均为非负整数， 且， 所以，且，． 设集合中的元素个数为，设． 设集合． 对任意，都有，，…，， 且，．所以． 若，其中，， 设，因为，所以， 记，则， 所以，并且有，所以，所以．所以． 因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数． 【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市名校联盟2025-2026学年度第一期第一次联合考试 数学试卷（高2028届） 【考试时间：2025年11月12日15:00-17:00】 【命题学校：万州高级中学命题人：秦雪梅聂一怀审题人：刘燕】 本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名､考场号､座位号填写在试卷的规定位置上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，须将答题卡､试卷､草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）. 一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知全集，，，则=（ ） A B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A B. C. D. 4. 下列命题的否定为真命题的是（ ） A. ，使得方程有整数解 B. ， C. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D. ，方程是一元二次方程 5. 函数的图像可能是（ ）． A. B. C. D. 6. 若定义在上的函数是单调递减函数，且，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 7. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数.记，则的最大值与的最小值的差为 （    ） A. B. C. D. 二､多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中正确是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 命题“”的否定是“” C. “设，且，则且”是假命题 D. 设，则“或”是“”的充要条件 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是2 B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是5 D. 若正数满足，则的最小值为3 11. 对任意两个实数，定义，若，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 函数是偶函数 B. 方程有三个不同的解 C. 函数在上单调递增 D. 函数在上单调递减 三､填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 计算：__________. 13. 已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为______． 14. 已知，，则的最大值是________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15 已知集合，，． （1）求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数. （1）利用函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若在区间上的最大值为，求在区间上的最小值. 17. 大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品． （1）假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益； （2）如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益． 18. 函数对任意实数恒有，且当时，. （1）判断的奇偶性； （2）求证：是上的减函数； （3）若，解关于的不等式. 19. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记． （1）写出集合和； （2）证明：对任意，存在，使得； （3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $