培优04 相似章末14题型归类（专项训练）数学人教版九年级下册

培优04 相似章末14题型归类 题型1 相似图形的识别 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 2．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列四组图形中，是相似形的一组是（    ） A．各有一个角是的两个等腰三角形 B．底角为的两个等腰梯形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．邻边之比都等于2的两个平行四边形 3．（24-25九年级上·甘肃·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D   4．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 题型2 成比例线段 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）下列各组线段，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 题型3 利用比例的性质求解 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，若，且，则 ． 9．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为 ； 10．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 题型4 黄金分割 1）先判断黄金分割点的位置：可能在线段上，也可能在延长线上，需结合题意确定 “长段” 和 “全段”。 2）解方程时优先保留根式：最后一步再代入近似值，保证计算准确性。 12．（24-25八年级下·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 13．（24-25八年级下·山东·期末）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级上·上海虹口·月考）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 16．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 题型5 由平行判断成比例线段 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为：等. 17．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 20．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 题型6 利用平行截线求相关线段的长或比值 当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 21．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 23．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 26．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是(   ) A． B． C． D． 27．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 28．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 29．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 30．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 31．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 题型8 相似三角形判定与性质综合 1.判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 2.求解线段的比或者线段长度问题，应拓宽解题思路，可考虑利用相似三角形的性质，所以掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键. 32．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 33．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图所示是由三个小正形组成的网格，连接，，，根据要求完成下列题目．求证： (1)； (2)． 34．（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 35．（2025·广东茂名·模拟预测）平面直角坐标系中，，，，，点P在线段上． (1)当与全等时，求P点坐标； (2)在（1）的条件下，是__________三角形； (3)当与相似时，求P点坐标． 题型9 相似三角形的性质（求面积） 相似三角形面积比等于相似比的平方 36．（2025·四川成都·二模）如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为 ． 38．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 39．（2025·河北唐山·一模）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ． 题型10 相似三角形动态问题 对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件. 40．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为 ． 42．（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： (1)点出发几秒后，可使的面积为？ (2)点出发几秒后，？ 题型11 相似三角形与尺规作图问题 43．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 44．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 45．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 46．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线， (2)在图②中，在上找一点，使； (3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上． 题型12 相似三角形与实际问题 通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出宽度/高度． 47．（24-25八年级下·山东泰安·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 48．（2025·陕西安康·二模）渭河，作为黄河的最大支流，被誉为“陕西的母亲河”，滋养着三秦大地．小晨和小悦为了解渭河某段的宽度，采用了如下测量方法：如图，该段渭河流域两岸平行，他们在河的对岸选定一个目标点A，在靠近自己的河岸选取点和点，接着分别在，的延长线上取点，，使得．经测量，米，米，点到河岸的垂直距离为40米，且于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算渭河该段的宽度． 49．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 50．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 题型13 坐标系中画位似图形 画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形.注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 51．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)请在轴左侧，画出以点为位似中心，位似比为的． 52．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 53．（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 54．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 题型14 相似三角形与函数综合 55．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． (1)当时，求反比例函数的解析式及B点的坐标． (2)直线与反比例函数图象的另一支交于点C，连接交y轴于点D．若，求直线的函数解析式． 56．（2025·湖南衡阳·二模）如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点在抛物线上，连接，若，求点的坐标． 57．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 58．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优04 相似章末14题型归类 题型1 相似图形的识别 在判定两个多边形相似时，需满足3个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例. 1．（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 2．（20-21八年级下·江苏苏州·阶段练习）下列四组图形中，是相似形的一组是（    ） A．各有一个角是的两个等腰三角形 B．底角为的两个等腰梯形 C．各有一个角是的两个等腰三角形 D．邻边之比都等于2的两个平行四边形 【答案】C 【分析】根据相似图形的判定以及等腰三角形、平行四边形、等腰梯形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、有一个角为30°，可以是一个三角形的顶角，另一个三角形的底角，则不能构成相似三角形，故本选项不符合； B、底角为40°，但两底边，腰长不一定能够对应成比例，所以不一定相似，故本选项不符合； C、有一个角为120°，只能是等腰三角形的顶角，可以构成相似三角形，故本选项符合； D、邻边之比为2，但夹角不一定相等，所以两个平行四边形不一定构成相似图形，故本选项不符合； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似图形的判定，必须是对应角相等，对应边成比例，二者缺一不可，熟练掌握定义，严格按照定义判定即可． 3．（24-25九年级上·甘肃·期中）下列每个选项中的两个图形，不是相似图形的是（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，根据相似图形的概念即可作出判断．判断两个图形是否相似，就是看两个图形是不是形状相同，与其他因素无关． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项中D的两个图形不相似； 故选：D． 4．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 题型2 成比例线段 1）统一单位.将四条线段单位统一. 2）大小排序.将四条线段按照由长到短或由短到长排序. 3）计算判断.①方法一：前两个的比是否等于后两个的比； ②方法二：前后两个的积是否等于中间两个的积. 5．（24-25九年级下·宁夏吴忠·开学考试）下列各组线段，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】A 【分析】本题考查比例线段．解题的关键是掌握比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，简称比例线段．注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．据此解答即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 6．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c，且是a，c的比例中项，其中，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是比例线段，熟知对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如，我们就说这四条线段是成比例线段，当时，即，则称b是a、d的比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义解答即可． 【详解】解：∵b是a，c的比例中项， ∴， ∵， ∴， 解得． ∴的长度为， 故选：A． 7．（25-26九年级上·上海·阶段练习）在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是 千米． 【答案】17 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 题型3 利用比例的性质求解 与比例性质相关的题目主要是运用比例的性质对比例式进行各种变形，得出所要求的结果.特别地，设未知数能极大简化推导过程，口诀:见比设k. 8．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）已知，若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 9．（24-25九年级下·四川内江·阶段练习）已知非负数a、b、c满足，若，则S的最大值与最小值之差为 ； 【答案】3 【分析】本题考查比的应用，设，将、、分别用含的代数式表示出来，设，将、、分别用含的代数式表示出来，根据、、为非负数列关于的一元一次不等式组并求其解集，将、、分别代入并化简，从而将用含的代数式表示出来，进而分别求出的最大值和最小值，再求出二者之差即可． 【详解】解：设， 则，，， 、、为非负数， ， 解得， ， 当时值最大，， 当时值最小，， ． 故答案为：3． 10．（24-25八年级下·山东烟台·期中）（1）已知，且，则_________． （2）已知线段a、b、c满足，且． ①求a、b、c的值； ②若线段是线段a、b的比例中项，求线段的长； ③若四条线即a，b，c，d为成比例线段，则线段的长为__________． 【答案】（1）8；（2）①；②；③ 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便． （1）由题意可知，，，由即可得到答案； （2）①设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值； ②由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可； ③根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①设，则，，， ∵，所以，解得， ∴，，； ②∵线段x是线段a、b的比例中项， ∴，所以（舍负）； ③∵a，b，c，d为成比例线段， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知为的三边长，且满足． (1)求的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理的逆定理，熟知比例的性质是解题的关键． （1）设，则，据此计算求解即可； （2）同（1）得，再根据建立关于k的方程，解方程求出k的值，进而求出的值，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且两直角边的长为10，24， ∴． 题型4 黄金分割 1）先判断黄金分割点的位置：可能在线段上，也可能在延长线上，需结合题意确定 “长段” 和 “全段”。 2）解方程时优先保留根式：最后一步再代入近似值，保证计算准确性。 12．（24-25八年级下·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（   ） A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形 【答案】C 【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵正方形，、的中点E、F， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，符合定义， 故选：C． 13．（24-25八年级下·山东·期末）为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高的雷锋人体雕像，向全体师生征集设计方案．小兵同学查阅了有关资料，了解到黄金分割数常用于人体雕像的设计中．如图是小兵同学根据黄金分割数设计的雷锋人体雕像的方案（雕像上部（腰以上）与下部（腰以下）高度比等于下部与全部的高度比），其中雷锋人体雕像下部的设计高度（精确到，参考数据：，，）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了学生对黄金分割的应用和解分式方程的应用，利用题中的信息找出黄金分割中成比例的对应线段并列出等式是解决问题的关键.． 设雷锋人体雕像下部的设计高度为，则雕像上部的高度为．根据雕像上部与下部的高度之比等于下部与全部的高度比，列出方程． 【详解】解：设雷锋人体雕像下部的设计高度为，那么雕像上部的高度为．依题意，得， 解得，（不合题意，舍去）． 经检验，是原方程的根， ∵， ∴． 故选：C． 14．（25-26九年级上·上海虹口·月考）黄金分割是汉字结构最基本的规律．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（2025·陕西西安·模拟预测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割.根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·福建龙岩·阶段练习）关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 题型5 由平行判断成比例线段 平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的的对应线段成比例． 若将AB称为上，BC称为下，AC称为全，上述的比例式可用形象的语言简述为：等. 17．（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，若，则下列各式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由平行判断成比例的线段，解题关键是正确列出比例式． 根据由平行判断成比例的线段，正确列出比例式，再对四个式子逐一作出判断． 【详解】解：∵， ∴，，， 不能推得，故A、B、C正确，D错误， 故选：D． 18．（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 19．（24-25九年级上·河南开封·期末）如图，直线，直线分别交直线，，于点A，B，C，直线分别交直线，，于点D，E，F直线，交于点，则下列结论错误的是（   ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，判断即可． 【详解】解：， ，A选项成立，故不符合题意； ，B选项成立，故不符合题意； ，C选项不成立，故符合题意； ，D选项成立，故不符合题意； 故选C． 20．（2025·上海松江·一模）已知线段，求作线段，使．下列作图方法中不合理的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握比例的性质，线段成比例的计算方法是解题的关键． 根据作，结合线段成比例的计算方法判定即可． 【详解】解：A、已知线段，求作线段，作，可以运用平行线分线段成比例得到，故作图合理，不符合题意； B、求作线段的值，即运用确定的的计算，B选项中需要确定的长度，点A也可以在点C的右边，故无法保证，故作图不合理，符合题意； C、如图，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； D、如图所示，，交于点，， ∴， ∴，即， ∴，故作图合理，不符合题意； 故选：B ． 题型6 利用平行截线求相关线段的长或比值 当几何图形中所求线段的比与已知条件没有明确的联系时，可以过某一点作平行线，分离图形，构造出“A 型”或“X型”，得出与已知和未知线段相关联的成比例线段，从而解决问题.有效构建，准确识别是处理此类问题的关键. 21．（2025·河南·中考真题）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点D、E分别是边、与网格线的交点，连接，则的长为（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，证明出是的中位线是解题关键．取格点、，由网格的性质可知，，得到，，进而证明是的中位线，即可求解． 【详解】解：如图，取格点、，    由网格的性质可知，， ，， 、分别是、的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 22．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，注意线段的对应性． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 23．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，的平分线交于点E，F是线段上的一点，，连接，交于点G．若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质以及平行线分线段成比例定理．先根据平行四边形性质得到，，再利用平行线分线段成比例定理得出，设，则，求出x的值，最后通过角平分线的定义及平行线的性质证明． 【详解】解：在中，，，， ， 设，则， ， ， 解得， ， 平分， ， ， ， ， ， 故选C． 24．（25-26九年级上·四川成都·阶段练习）中，点是边上的一点，点在上，连接并延长交于点． (1)如图1，点是中点，点是中点，交于点，求证：； (2)如图2，若，，求的值； (3)若为的中点，设，，请求出、之间的等量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，中点定义，比例的基本性质，构造辅助线是解题的关键． （1）先证点，点分别是线段的中点即可求解； （2）如图2，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，进而可求得的值； （3）如图3，过点作交于点，根据平行线分线段成比例定理证得，又为的中点，可得，最后根据可确定、之间的关系． 【详解】（1）证明：点是中点， ， 交于点， ， 又点是中点， ， ， ； （2）如图2，过点作交于， ， ， ， ， ，即， ， ，即； （3）如图3，过点作交于， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ． 25．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，是三个全等的等腰三角形，底边，，在同一条直线上，且，，分别交，，于点，，．解答下列问题： (1)的值为__________； (2)求证：； (3)求：的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由题意可得，，从而可得，即可得解； （2）由题意可得，，即可得证； （3）由题意可得，，从而可得，，再由平行线分线段成比例定理可得，，求出，，即可得解． 【详解】（1）解：∵，，是三个全等的等腰三角形，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴， （3）解：，，是三个全等的等腰三角形， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ，， ∴，即， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成比例的运用，掌握等腰三角形的性质，平行线分线段成比例是计算是解题的关键． 题型7 选择或补充条件使两个三角形相似 26．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故A不符合题意； B、由得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故B不符合题意； C、两三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意． 故选：C． 27．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 28．（2025九年级下·全国·专题练习）如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够判定的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 29．（24-25九年级下·江西赣州·阶段练习）在数学探究活动中，老师给出了如图所示的图形及三个式子：①；②；③．当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，求解随机事件的概率，先分别在条件①或②或③的情况下，看能不能证明与相似，再利用随机事件的概率公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，而不一定等于， ∴与不一定相似； ∴当从这三个式子中，任意选择一个作为已知条件时，能得到与相似的概率为； 故答案为： 30．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】或（答案不唯一），证明见详解 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】解：使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 故答案为：或（答案不唯一）． 31．（23-24九年级上·北京昌平·期末）如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 题型8 相似三角形判定与性质综合 1.判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边、对顶角等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用. 2.求解线段的比或者线段长度问题，应拓宽解题思路，可考虑利用相似三角形的性质，所以掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键. 32．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 33．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图所示是由三个小正形组成的网格，连接，，，根据要求完成下列题目．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， 又∵， ∴． （2）证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 34．（2025·山东烟台·一模）已知：如图，在四边形中，，连接、，是等边三角形，，与交于点E，． (1)请写出与之间的数量关系，并证明； (2)求证：点E是线段的黄金分割点． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，黄金分割点的计算，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）根据，得出，根据，得出，即可证明． （2）根据，得出．证出．根据为等边三角形，得出，结合，得出，证出为等边三角形，即可得，结合和，得出，即可证明点E是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：， 证明：如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴． ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴点E是线段的黄金分割点． 35．（2025·广东茂名·模拟预测）平面直角坐标系中，，，，，点P在线段上． (1)当与全等时，求P点坐标； (2)在（1）的条件下，是__________三角形； (3)当与相似时，求P点坐标． 【答案】(1) (2)等腰直角 (3)或 【分析】（1）先根据题意求得轴，轴，，再由全等三角形的性质即可求解； （2）由两点间距离公式及勾股定理的逆定理求解即可； （3）发为①，②，两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ∴轴，轴，， ∴， 若与全等，则：， ∴， ∴， ∴P点坐标是； （2）解：，，， ，，， 。 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角； （3）解：由（1）可知，， 若与相似，分两种情况： ①，则：，得： ∴ ∵ ∴ ∴ 解得： ∴ 此时，P点坐标是 ②，则：，得 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得：或 当时，，此时，P点坐标是 当时，，此时，P点坐标是 综上所述，当与相似时，P点坐标是或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，掌握坐标与图形，全等三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 题型9 相似三角形的性质（求面积） 相似三角形面积比等于相似比的平方 36．（2025·四川成都·二模）如图，把面积为的正三角形剪去三个三角形得到一个正六边形，则这个正六边形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，正多边形的内角和，相似三角形的判定与性质，熟练掌握这些性质和判定是解题的关键．先证明是等边三角形，再证明，利用，求出，同理，即可求解． 【详解】解：∵正六边形，是正三角形， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴正六边形的面积是， 故选：D． 37．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如果两个相似三角形的面积之比是，其中小三角形一个内角的角平分线的长为，那么大三角形对应角的角平分线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形中对应线段：三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应角的角平分线的比等于相似比，列式计算即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的面积之比是， 两个相似三角形的相似比为， 设大三角形对应角上的角平分线的长为， 由题意得， ， 故答案为：． 38．（24-25九年级下·云南楚雄·开学考试）如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的定理得到，进而得到，根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 39．（2025·河北唐山·一模）点，，在同一直线上，点，，在同一条直线上，，部分数据如图所示，将沿虚线剪成三块，其中两块为梯形，一块为三角形，阴影部分的面积记为．将沿虚线剪成三块，三块均为三角形，阴影部分的面积记为，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形的面积，理解相似三角形的面积比既是对应边比的平方是解题的关键． 根据题意先求出，即可得出，根据三角形的面积可得出，再由得出，即可求出． 【详解】解：如图，如图标注， 由题意知，四边形，为梯形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 题型10 相似三角形动态问题 对于动态相似图形问题，一般是已知结论，求使结论成立的条件，可采取逆向思维，把结论视为题设的一部分，再结合已有的条件和图形进行分析、探究，便可得到所需的条件. 40．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时， cm． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 41．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在钝角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为，动点E的运动速度为，如果两点同时出发，那么以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间为 ． 【答案】秒或秒 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．根据相似三角形的性质，分和，两种情况得出结论即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， ∵，，点D的运动速度为，动点E的运动速度为， ∴， 当时，，即：，解得； 当时，，即：，解得； 故答案为：秒或秒． 42．（2025·湖南娄底·一模）如图所示，在中，，，，点沿边从点向终点以的速度移动，同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．请解答下列问题： (1)点出发几秒后，可使的面积为？ (2)点出发几秒后，？ 【答案】(1)点P，Q出发1秒后，可使的面积为 (2)点P，Q出发2.4秒后， 【分析】本题意考查了一元二次方程的应用，相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． （1）设点P，Q出发x秒，根据“的面积为”列方程求解即可； （2）设点P，Q出发y秒后，，可得，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：设点P，Q出发x秒后，的面积为． ∵点P沿边从点A向终点C以的速度移动，同时点Q沿边从点C向终点B以的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． ∴，， 根据题意，得， 解得：，（舍去）   答：点P，Q出发1秒后，可使的面积为； （2）解：设点P，Q出发y秒后，， ∴， ∴， ∴= ∴y=2.4      答：点P，Q出发2.4秒后，． 题型11 相似三角形与尺规作图问题 43．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    44．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上． (1)在图①中，＝ ；（填两数字之比） (2)如图②，在线段AB上找一点P，使 （利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法）； (3)如图③，大小4×4的正方形方格中，△ABC的顶点A，B，C都在小正方形的格点上，请在图中画出与△ABC相似且面积不相等的一个三角形． 【答案】(1) (2)见解析； (3)见解析 【分析】本题考查了作图-应用与设计，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）证明，即可求得； （2）如图，取格点，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质即可得解； （3）如图，取格点、、，使，两个三角形的相似比为，即可作图． 【详解】（1）解：∵，，且， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：点如图所示， ； （3）如图③中，即为所求作． 45．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 46．（23-24九年级下·吉林松原·阶段练习）图①、图②、图③均是的正方形网格、每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，作的中线， (2)在图②中，在上找一点，使； (3)在图③中，以为对称中心画一个中心对称四边形，且点、在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了用无刻度直尺在格点图中作图，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中心对称图形的性质等知识，掌握相关知识是关键． （1）取格点G、H，连接交于点，连接即可； （2）取格点P、F，连接交于点E，则点E满足条件，即为所作的点； （3）延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形． 【详解】（1）解：如图，取格点G、H，连接交于点，连接，则为所作的中线； （2）解：取格点P、F，连接交于点E，则； （3）解：如图，延长到M，延长到N，且使，显然M、N均是格点，依次连接，则可得四边形是中心对称图形． 题型12 相似三角形与实际问题 通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出宽度/高度． 47．（24-25八年级下·山东泰安·期中）某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． (1)如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． (2)如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】(1)墙的垂直高度为米 (2)墙的垂直高度为米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； （2），， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 48．（2025·陕西安康·二模）渭河，作为黄河的最大支流，被誉为“陕西的母亲河”，滋养着三秦大地．小晨和小悦为了解渭河某段的宽度，采用了如下测量方法：如图，该段渭河流域两岸平行，他们在河的对岸选定一个目标点A，在靠近自己的河岸选取点和点，接着分别在，的延长线上取点，，使得．经测量，米，米，点到河岸的垂直距离为40米，且于点，请你根据提供的数据，帮助他们计算渭河该段的宽度． 【答案】渭河该段的宽度为80米 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键．如图，过点作于点．易证可得，再证明，最后运用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点． ∵， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴，即， 解得米． 答：渭河该段的宽度为80米． 49．（2025·江苏苏州·一模）综合与实践：古井探秘． 【了解】 在中国传统文化中，人们常以“井”寓意家乡．在江南水乡的苏州，水井更是独特的文化符号．图①是苏州平江区居民老宅的水井，该井的内部为圆柱体形状，图②是该井的侧面示意图，其中为井口直径，，为水面直径，且．为经水面所成的虚像（与关于对称），点P为观测点，，分别与相交于点M，N． 【发现】 如图②，当观测点P在上自由移动时，的长度是否会发生改变？如果不变，求出的长；如果改变，请说明理由； 【探索】 图③是当观测点P在井口的上方处（即图④中的）时，拍摄的一张照片．量得照片中的水面直径，井口的倒影直径．请你利用示意图④，求出井口到水面距离AC的长． 【答案】[发现]不会发生改变，；[探索] 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． [发现]证明，根据相似三角形的性质即可得出，进而可得出答案． [探索]根据题意画出图形，然后延长交与点L，交于点K，得出，由相似三角形的性质得出，进而可得出答案． 【详解】解：[发现]∵与关于对称，，且，分别与相交于点M，N． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即当观测点P在上自由移动时，的长度是不会发生改变，且． [探索]根据题意画图，然后延长交与点L，交于点K， 则， 同上可知：， 可知， ∴ 即， 解得： 即井口到水面距离AC的长． 50．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 题型13 坐标系中画位似图形 画图形以某点为位似中心的位似图形时，先连接位似中心和原图形的关键点，再沿要求的方向延长这些线段，根据相似比，确定所作的位似图形的关键点，最后顺次连接这些关键点，得到放大或缩小后的图形.注意：当题目未明确位似图形与原图形在位似中心的同侧还是异侧时，需要将两种情况都画出来. 51．（24-25九年级下·甘肃武威·阶段练习）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于x轴成轴对称的； (2)请在轴左侧，画出以点为位似中心，位似比为的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画轴对称图形，画位似图形． （1）作出点、、分别关于轴的对称点，然后再连接对称后的各个顶点即可得到； （2）以点为位似中心，根据位似的性质找到，，的坐标，连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，为所求． 52．（25-26九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，各顶点坐标，，． (1)画以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到； (2)内有一点在中的对应点的坐标为___________ (3)___________ 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了画位似图形，位似图形的性质，熟知位似图形的性质是解题的关键． （1）把点A，点B，点C的横纵坐标分别乘以可得它们的对应点的坐标，描出，并顺次连接即可； （2）把点P的横纵坐标分别乘以即可得到的坐标； （3）根据位似图形的面积之比等于位似比的平方即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得，内有一点在中的对应点的坐标为； （3）解：∵以点为位似中心，在第一象限内将放大到原来的2倍，得到， ∴． 53．（2025·安徽·模拟预测）如图，平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点均在格点上，利用无刻度尺按要求作图． (1)在第一象限内，作关于原点O的位似图形，相似比为； (2)将绕原点顺时针旋转，得，画出； (3)在（2）操作中，的弧长为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图-位似变换，旋转变换和求弧长，解题的关键是掌握旋转变换，位似变换的性质． （1）利用位似变换的性质分别作出A，B，C 的对应点即可． （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点即可． （3）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作， （2）解：如图，即为所作． （3）解：， 所以，的弧长为， 故答案为：． 54．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)①以原点为位似中心，在轴的右侧画出将放大为原来的2倍得到的． ②画出将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后得到的． (2)判断与是不是位似图形，若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)与是位似图形，作图见解析， 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键． （1）①分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可；②分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据位似图形的定义进行判断，连接，并延长交于点M，由交点可得位似中心，从而可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意：， 如图，为所作； ②根据题意：， 如图，为所作； （2）解：由平移的性质得与全等，由（1）知与时位似图形， 则与是位似图形； 如图，点为所求，坐标为． 题型14 相似三角形与函数综合 55．（24-25九年级下·四川泸州·阶段练习）已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）． (1)当时，求反比例函数的解析式及B点的坐标． (2)直线与反比例函数图象的另一支交于点C，连接交y轴于点D．若，求直线的函数解析式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点A代入反比例函数解析式中，可求出反比例函数解析式，再求两函数的交点即可； （2）设，，则，可求，再由A、C关于原点对称，可得，过B作轴，过点D作于点F，过点C作于点，，可证明，得到，则可求出，，进而得到，，再利用待定系数法求解即可． 本题考查反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或 ∴； （2）解：设，， ∵点A和点B都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即， 由反比例函数的对称性可得，A、C关于原点对称， ∴； 过B作轴，过点D作于点，过点C作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 56．（2025·湖南衡阳·二模）如图①，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线与抛物线于相交于点，． (1)求抛物线的函数表达式及点的坐标； (2)如图②，点是直线上方抛物线上的动点，连接，与相交于点，是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． (3)点在抛物线上，连接，若，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再联立抛物线解析式和直线解析式，求出点D坐标即可； （2）过点P作轴交于Q，设，则，则，证明，得到，据此利用二次函数的性质求解即可； （3）过点A作于E，设交x轴于H，则，利用等面积法可求出，解直角三角形得到，则，即此时点Q的坐标为；过点C作交x轴于F，则，可证明，得到，可推出，求出直线解析式为，联立，解得或，则此时点Q的坐标为． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 联立，解得或， ∴点D的坐标为； （2）解：如图所示，过点P作轴交于Q， 设，则， ∴， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴，即此时点P的坐标为； （3）解：如图所示，过点A作于E，设交x轴于H，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点Q与点A重合时，此时有，即此时点Q的坐标为； 如图所示，过点C作交x轴于F，则， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴此时点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合等等，解（2）的关键在于构造相似三角形，解（3）的关键在于证明． 57．（24-25九年级上·山东济宁·期末）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，连接，在直线上有一动点，过点作轴的平行线交二次函数的图象于点，交轴于点， (1)求抛物线与直线的函数解析式； (2)设点的坐标为，求当以为直径的圆与轴相切时的值； (3)若点在线段上运动，则是否存在这样的点，使得与相似，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请写出理由． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)存在这样的点或，使得与相似 【分析】（1）把点代入抛物线，运用待定系数法可得二次函数解析式，设直线的解析式为，运用待定系数法可得解析式，由此即可求解； （2）根据题意得到，，则线段的中点，根据题意，分类讨论：点在轴下方时，与轴切于点；点在轴上方时；数学结合分析即可求解； （3）分类讨论：如图所示，，得，由此列式求解；如图所示，，过点作轴于点，可证，则，由此列式求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为； （2）解：抛物线的解析式为，直线的解析式为，， ∴，， ∴设线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即，过点作轴于点， 如图所示，点在轴下方时，与轴切于点， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴， 解得，，， 当时，，即点重合，不符合题意，舍去； ∴时，以为直径的圆与轴相切； 如图所示，点在轴上方时， ∴， ∴， 解得，（不符合题意，舍去），， ∴时，以为直径的圆与轴相切； 综上所述，的值为或； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，， ∴，， ∵，，，， ∴， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去），（点与点重合，不符合题意，舍去），， ∴， ∴； 如图所示，，过点作轴于点， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴，则， ∵，，，， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在这样的点或，使得与相似． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数与一次函数，圆的综合，二次函数与相似三角形的综合运用，掌握二次函数，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，数学结合分分析思想是解题的关键． 58．（2025·江苏镇江·一模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴相交于点C，抛物线的顶点为D，直线交y轴于点E，点P为点D右侧的抛物线上的一点，连接． (1)求二次函数的函数表达式； (2)若，则点P的坐标为 ； (3)如图2，延长交x轴于点G，若． ①求点G的坐标； ②Q为线段上一点(不与A、D重合)，N为x轴上一点，其横坐标为n，若，则n的最大值为 ． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质，证明三角形相似是本题的难点． （1）由题意得：，即可求解； （2）证明和关于对称，得到直线的表达式为：，联立和抛物线解析式即可求解； （3）①由，则，即可求解； ②证明 ，则AN：：PD，即：：，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知， ∴点， 设抛物线的对称轴交x轴于点H， 则轴，则， 而， 则， 即和关于对称， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：舍去或3， 则点， 故答案为：； （3）解：①设点， ， 则， 则， 即点； ②由点A、D的坐标得， 直线的表达式为：， 同理可得直线的表达式为：， 联立和抛物线的表达式得： ， 则舍去或， 则点， 设点，点， 由点A、N、D、P、Q的坐标得， ，，，， 由①知，， 而， 即， 则， 即， ， ， 则， 即：, 则， 即n的最大值为：， 故答案为： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $